Transformada de Laplace

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TRANSFORMADA DE LAPLACE
 
e
st=eσ t cos(ω t)+ jeσ t sen(ω t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A TRANSFORMADA DE LAPLACE 
UNILATERAL
● Baseia-se somente nas porções positivas de tempo ( t > 0 ) de um 
sinal.
● Não é preciso considerar a RDC.
 
PROPRIEDADES
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE SISTEMAS COM 
TRANSFORMADAS
● A função de transferência de um sistema é definida como a 
transformada de Laplace da resposta ao impulso.
● A saída de um sistema LTI relaciona-se com a entrada em 
termos da resposta ao impulso por meio da convolução:
● A função de transferência é a razão da transformada de 
Laplace da saída pela transformada de laplace da entrada. Se 
aplica em valores de s para os quais X(s) é diferente de zero.
 
 
 
Causalidade e Estabilidade
● Deseja-se encontrar a resposta ao impulso única de um 
sistema. Pela resposta ao impulso sabemos se o sistema é 
estável ou não.
● A resposta ao impulso é a transformada de Laplace inversa da 
função de transferência.
● Para obter uma transformada inversa única, devemos conhecer 
a RDC ou ter algum outro conhecimento a respeito da resposta 
ao impulso.
● As relações entre pólos, zeros e as características do sistema 
podem proporcionar este conhecimento:
● Se soubermos que um sistema é causal, zero para t<0, a 
resposta ao impulso será determinada pela transformada 
inversa unilateral.
 
Causalidade e Estabilidade
 
Causalidade e Estabilidade
● Se o sistema for estável, a resposta ao impulso é integrável 
e isto implica que a FT existe determinando de maneira 
única a Transformada de Laplace inversa.
 
Uma resposta ao impulso estável não pode conter termos exponencialmente crescentes,
uma vez que uma exponencial crescente não é absolutamente integrável.
Um polo no semiplano direito contribuirá ou com uma exponencial decrescente de lado 
esquerdo que não é causal, ou com uma exponencial crescente de lado direito que 
resulta numa resposta instável ao impulso. 
 
A transformada de Laplace inversa de um pólo que está no semiplano direito do 
plano s é ou estável ou causal, mas não pode ser tanto estável como causal. 
Sistemas que são estáveis e causais devem ter todos os seus pólos no semiplano
esquerdo do plano s.
 
 
 
>> z=roots([2, 0,3])
z =
 0 + 1.2247i
 0 - 1.2247i
>> p=roots([1,5,1])
p =
 -4.7913
 -0.2087
POLOS E ZEROS
 
>> [r,p,k]=residue([2, 0,3],[1,5,1])
r =
 -10.6737
 0.6737
p =
 -4.7913
 -0.2087
k =
 2
FRAÇÕES PARCIAIS
 
>> ilaplace((-s-4)/(s^2+3*s+2))
 
ans =
 
2/exp(2*t) - 3/exp(t)
TRANSFORMADA INVERSA
 
>> Z=[0+1.2247*j,0-1.2247*j]
Z =
 0 + 1.2247i 0 - 1.2247i
>> p=[-4.79,-0.2087]
p =
 -4.7900 -0.2087
>> k=1
k =
 1
ENTRA COM POLOS ZEROS E GANHO 
 
>> syszpk=zpk(z,p,k)
 
Zero/pole/gain:
 (s^2 + 1.5)
-------------------
(s+4.79) (s+0.2087)
 
>> systf=tf(syszpk)%Converte para a forma de função de função de transferência 
 
Transfer function:
 s^2 + 1.5
----------------------
s^2 + 4.999 s + 0.9997
 
>> pzmap(systf)%gera plotagem de polos e zeros
>> w=[0:499]*20/500;500 pontos uniformemente espaçados no intervalo de 0 a 20 rad/seg
>> H=freqresp(systf,w);determina a resposta em frequencia
>> Hmag=abs(squeeze(H)); extrai módulo; squeeze(H) converte H para um vetor de 
tamanho N que pode ser exibido com o comando plot.
>> plot(w,Hmag)
 
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EQUIPE 3 EQUIPE 4
EQUIPE 5