Exercicios Sequencias e Series Calculo3

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1 
Lista de Exercícios – Seqüências e Séries 
 
 1 – Determine se a seqüência converge ou diverge. 
1. 
 )1( nn
 
2. 








2
253
nn
n
 
3.  









1
1
2
1
n
n
n 
4. 





 
2
)1(3
n
n 
5. 






n
n )ln( 2
 
6. 
 nn 2.
 
7. 
 














1
1
n
nn
 
8. 






n
n
2
cos2
 
9. 








1
12
n
n
 
10. 








 1212
22
n
n
n
n
 
 
 
 
 
2 – Calcule o limite da seqüência: 






,...222,22,2
 
 
3 – Em cada parte, ache os valores exatos das quatro primeiras somas parciais, ache a forma 
fechada para n-ésima soma parcial, e determine se a série converge calculando o limite da n-
ésima soma parcial. Se ela converge estabeleça sua soma. 
1. 


 1 )12)(12(
1
n nn
 2. 


 1 )23)(13(
5
n nn
 
 
 
4 – Deixa-se cair uma bola de uma altura de 18 metros. Cada vez que ela bate no chão, sobe a 
uma altura correspondente a dois terços da altura da queda anterior. Ache a distância 
percorrida pela bola até o repouso. 
 
 
5 – A trajetória de cada oscilação de um pêndulo, após a primeira, é 80% da trajetória da 
oscilação anterior de um lado até outro. Se a trajetória da primeira oscilação mede 18 cm de 
comprimento e se a resistência do ar leva o pêndulo ao repouso, quanto mede o trajeto total 
percorrido pelo pêndulo até que ele pare? 
 
 
6 – Escreva os valores de p para os quais a série é convergente. 
1. 


2 )(ln
1
n
pnn
 2. 
p
n
nn )1(
1
2



 
 
 
7 – Os termos de uma série são definidos recursivamente pelas equações 
21 a
 e 
nn a
n
n
a .
34
15
1



. Determine se 
 na
 converge ou diverge. 
 
 2 
8 – Teste a convergência ou divergência da série. 
 
1. 


 

1
2
2
1
1
n n
n
 
2. 


 1
2
1
n nn
 
3. 




1
3
1
2
)3(
n
n
n 
4. 




1
7,1
n
n
 
5. 


1n
ne
n
 
6. 




1
1
ln
)1(
n
n
nn
 
7. 


1
3)(ln
2
n nn
 
8. 


1
2
!
3
n
n
n
n
 
9. 


 1 )23....(8.5.2
!
n n
n
 
10. 


 1 )1(
1
n nn
 
11. 




1
2)2(
n
n
n
n
 
12. 


 1 )!12(
2
n
n
n
 
13. 2
1 1
n
n n
n










 
14. 






1
1
1
)1(
n
n
n
n
 
15. 




1 !5
)12.....(5.3.1
n
nn
n
 
16. 









1 13n
n
n
n
9 – Escreva os 5 primeiros termos de cada seqüência (an) e determine o limite das que forem 
convergentes: 
a) 





 
2n
n1
 b) 














n
3
1 c) 









 
1n2
)1( 1n d) 






!n
1
 e)  n)1(2  f) 










n
1
7
 
g) 






n2
n
 h) 












2
n
cos

 i) 







  
n
)1( 1n j) 






n
nsen
 k) 







 
n
)1(n n l) 













 
n
n
5n 
 
Respostas: a) 0; b) 0; c) 0; d) 0; e) div.; f) 1; g) 0; h) div.; i) 0; j) 0; k) 1; l) e
5
 
 
 
10 – Determine uma expressão simples para a soma sn dos n primeiros termos de cada série: 
 
a) 
...
)2n)(1n(
1
...
6.5
1
5.4
1
4.3
1
3.2
1



 
b) 
...
1n
n
ln...
5
4
ln
4
3
ln
3
2
ln
2
1
ln 






























 
c) 
...
2
)1(
...
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1
n
n



 
d) 
...
100
9
...
100
9
100
9
100
9
n32

 
e) 1+2+3+4+5+...+n+... 
 
 3 
Respostas: a)
4n2
n

; b) –ln (n + 1); c) 















n
2
1
1
3
2 ; d) 







n100
1
1
11
1
; e) 
2
)1n(n 
. 
 
 
11 – Determine, caso exista, a soma de cada uma das séries do exercício anterior. 
 
Respostas: a) ½; b) div.; c) 2/3; d) 1/11; e) div. 
 
 
12 – Deixa-se cair uma bola da altura de “a” metros. Cada vez que a bola atinge o solo, após 
cair de uma altura “h” metros, ela volta a subir “0,75” metros. Determine a distância total 
percorrida pela bola. Resposta: “7a” metros. 
 
 
13 – Expresse a dízima periódica 1,2373737... como uma série infinita e expresse sua soma 
como razão p/q: 
 
Resposta: 1225/990 
14 – Encontre uma expressão simples para a n-ésima soma parcial da série 




1n
n)1(
 
Resposta: 
2
)1(1 n 
 
 
15 – Diga se as séries indicadas convergem ou não, justificando sua resposta: 
a) 


n
5)1( n b) 


n
1n
5
2 c) 

n
1
ln
 d) 

n2
1
 
e) 
 n5
)ncos( 
 f) n
n
5
1 






 g) 
 n
3
2
n h) 

50n
1
 
i) 
n2en 
 j) 

 6n
10
5
 k) 


n3!n!3
)!3n(
 l) 
 n)2(ln
1
 
m) 

1n
n
2
 n) 
  3n)n2(
 o) 



)!1n2(
)1( n p) 

 3)n(
1
 
q) 

1n
8
 r) 



)!3n(
)!1n(
 s) 
 n7n
1
 t) 


n
n
8
7)1( 
u) 

)!n2(
2n v) 

nn
1
 x) 


!n
)2n)(1n(
 y) 
 






n
1n3
n 
 
Respostas: a) C; b) C; c) D; d) C; e) C; f) D; g) C; h) D; i) C; j) C; k) C; l) C; m) C; 
n) D; o) C; p) C; q) D; r) C; s) C; t) C; u) C; v) C; x) C; y) C. 
 
 4 
16 – Classifique as afirmativas em verdadeiras ou falsas, justificando: 
 
a) Sendo (sn) a seqüência das soma parciais da série 
 na
, se existe lim sn, então lim 
an = 0. 
b) A convergência da série 


2
2n
n
ncos)1( é mostrada com a aplicação do Teste de 
Leibniz. 
c) Toda série alternada é condicionalmente convergente. 
d) Se 
 na
e 
 nb
são séries divergentes, então 
  )ba( nn
 é divergente. 
e) Se 

na
1
 é uma série convergente, então não existe lim an. 
 
Respostas: a) V; b) F; c) F; d) F; e) V. 
 
 
17 – Determine se as séries indicadas são Absolutamente Convergentes, Condicionalmente 
Convergentes ou Divergentes, justificando: 
a) 


n
)5n3()1( n b) 


2
n
n
)n1()1( c) 
 n2
!n
 d) 


 
n
1n
5n
)2( 
e) 
 n
2
)3/2(
n f) 


2
n
nln
nln)1( g) 


10
nn
n
10)1( h) 
  n)2(
 
i) 

 )1n2(n
1
 j) 
nxsen)1( n 
 k) 
...
3
1
3
2
2
1
2
2
1
1
1
2

 
l) 
...
25
1
16
1
9
1
4
1
1 
 
 
Respostas: a) D; b) CC; c) D; d) AC; e) D; f) D; g) D; h) D; i) AC; j) D; k) D; l) AC 
 
 
18 – A figura ao lado mostra os quatro primeiros 
termos de uma série infinita de quadrados.O 
quadrado exterior tem uma área de 4m
2
 e cada um 
dos outros é obtido ligando-se os pontos médios dos 
lados do quadrado anterior. Encontre a soma das 
áreas de todos os quadrados. 
 
 
 
Resposta: 8m
2 
 
Referências 
 
1- www.pucrs.br/famat/beatriz/diferencial2/EXERCICIOS 
2- pt.wikibooks.org/wiki/Cálculo...3)/Sequências_e_séries:_Exercícios