ExercíciosIntegrais2RES

Prévia do material em texto

1 
 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
 CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICA 
 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 DISCIPLINA: CÁLCULO I 
 PROFESSOR: MARCOS MARTINS 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 - INTEGRAIS (Resoluções) 
 
1) Resolva as integrais: 
a) 
 
5
2x dx
 
Solução: 
 Fazendo a substituição 
2u x du dx   
, vem: 
 
6
5
52
6
u
x dx u du C    
. 
 Retornando à variável “
x
”: 
 
 
 
6
5 2
2 .
6
x
x dx C

  
 
 
b) 
2sen cosx xdx
 
Solução: 
 Fazendo a substituição 
cos senu x du xdx   
, vem: 
3
2 2sen cos
3
u
x xdx u du C     
. 
 Retornando à variável “
x
”: 
 3
2 cossen cos .
3
x
x xdx C  
 
c) 
2
2 3
3 2
x
dx
x x
 
 
 
Solução: 
 Fazendo a substituição 
2 3 2 2 3u x x du x dx     
, vem: 
2
2 3
ln
3 2
x du
dx u C
x x u
 
   
  
. 
 Retornando à variável “
x
”: 
 
2
2
2 3
ln 3 2 .
3 2
x
dx x x C
x x
 
    
  
 
d) 2
21
x
x
e
dx
e
 
Solução: 
 Fazendo a substituição 
2 21 2x xu e du e dx    
, vem: 
 
2 
 
2
2
1 1
ln .
1 2 2
x
x
e du
dx u C
e u
  
 
. 
 
 Retornando à variável “
x
”: 
 2
2
2
1
ln 1 .
1 2
x
x
x
e
dx e C
e
  
 
 
e) 
32 xx e dx
 
Solução: 
 Fazendo a substituição 
3 23u x du x dx  
, vem: 
32 1 1 .
3 3
x u ux e dx e e C   
. 
 
 Retornando à variável “
x
”: 
 
3 32 1 .
3
x xx e dx e C  
 
f) 
3 1x dx
 
Solução: 
 Fazendo a substituição 
3 1 3u x du dx   
, vem: 
3
1 32
2 2
1 1 2
3 1 .
33 3 9
2
u
x dx u u C      
. 
 
 Retornando à variável “
x
”: 
 
 
3
2
2
3 1 3 1 .
9
x dx x C    
 
g) 
2
5 3
dx
x
 
Solução: 
 Fazendo a substituição 
5 3 3u x du dx    
, vem: 
2 2 1 2
ln .
5 3 3 3
dx u C
x du
    
 
. 
 
 Retornando à variável “
x
”: 
 
2 2
ln 5 3 .
5 3 3
dx x C
x
   
 
 
 
 
3 
 
h) 
 
2
2
1
3 4 2x x dx 
 
Solução: 
       
2
2
2 3 2
1
1
3 4 2 2 2 8 8 4 1 2 2 11.x x dx x x x           
 
 
i) 
2 xx e dx
 
Solução: 
 Usaremos integração por partes: 
 2 2
x x x
u x du xdx
dv e dx v e dx e
   

    
 
 Assim vem: 
 
2 2
I
2x x xx e dx x e xe dx  
. 
 
 Resolvendo (I) também por partes: 
 
x x x
u x du dx
dv e dx v e dx e
  

    
 
 
 Então: 
(I) 
.x x x x xxe dx xe e dx xe e    
 
 
 Logo, 
 
 2 2 2 22 2 2 2 .x x x x x x x x xx e dx x e xe dx x e xe e x e xe e C         
 
 
j) 
senx xdx
 
Solução: 
 Usaremos integração por partes: 
 
sen sen cos
u x du dx
dv xdx v xdx x
  

     
 
 Assim vem: 
 
sen cos cos cos senx xdx x x xdx x x x C       
. 
 
 
 
 
 
4 
 
k) 
cos3xdx
 
Solução: 
 Fazendo a substituição 
3 3u x du dx  
, vem: 
1 1
cos3 cos sen .
3 3
xdx u du u C   
. 
 
 Retornando à variável “
x
”: 
 
1
cos3 sen3 .
3
xdx x C  
 
2) Determinar a área do primeiro quadrante limitada pelas curvas 
2y x
, 
0x 
 
e 
9y 
. 
Solução: 
 Esboço da região: 
 
 
 Determinação dos limites de integração: 
 
2 9 3.x x   
 
 
Observação: Queremos apenas a área entre 
0x 
(eixo do 
y
) e a curva 
2y x
. 
 
 Cálculo da área: 
 
 
33 3
2
0 0
9 9 18 u.a.
3
x
A x dx x
 
     
 
 
 
3) Determinar a área limitada pela curva 
31y x 
e as retas
2x  
, 
2x 
 e o eixo 
x
. 
Solução: 
 Esboço da região: 
 
 
5 
 
 
 Cálculo da área: 
 
   
1 2
1 2 4 4
3 3
2 1 2 1
1 1
4 4
27 11 19
u.a.
4 4 2
x x
A x dx x dx x x
 
   
           
   
   
 
 
 
4) Encontre a área da região limitada pela curva 
2xy 
e as retas
1y 
 e 
3x 
. 
Solução: 
 Esboço da região: 
 
 Cálculo da área: 
 
 
3
3
0 0
2 7
2 1 3 u.a.
ln 2 ln 2
x
xA dx x
   
        
  
 
 
 
 
6 
 
5) Verifique se as integrais são convergentes ou divergentes: 
0
a) xe dx


 
Solução: 
 
0
0 0
lim lim lim 1 1.
t
t
x x x t
t t t
e dx e dx e e

   
  
              
 Logo, a integral converge para 1. 
 
1
0
b)
dx
x
 
Solução: 
 
1
2
1
1 1 1
2
0 0 0
0
lim lim 2 lim 1 2.
1
2
t t t
t
t
dx x
x dx t
x
  

  
 
 
        
 
 
  
 Logo, a integral converge para 2. 
 
1
c)
dx
x

 
Solução: 
    
1
1 1
lim lim ln lim ln ln1 lim ln 0 .
t
t
t t t t
dx dx
x t t
x x

   
            
 Logo, a integral diverge. 
 
2
0
d) xxe dx


 
Solução: 
 
2 2 2
0 0 0
2
1
lim lim
2
1 1 1
lim .
2 2 2
tt
x x x
t t
t
t
xe dx xe dx e
e

  
 


 
   
 
 
    
 
 
 
 Logo, a integral converge para 1
2
. 
1
0
e)
xe
dx
x

 
Faça esse item você mesmo. A resposta a ser obtida é que a integral converge para 2. 
 
x u
u x du dx
u
x
e dx e du
e du
e C

  

 
 
  
 
 
2
2
2
2
1 1
2 2
x u x
u x du xdx
xe dx e du e C 
  
     