Lista de Geometria Analítica

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Prof. Rafael Clarim - Geometria Analítica - Física e Matemática
Lista 5 - Coordenadas Polares
Questão 1: Seja ABC um triângulo equilátero, sendo A (0,0) e B (3 , pi). Determine as coordenadas
polares de C.
Questão 2: Seja ABCDEF um hexágono regular cujos lados medem 5. Determine as coordenadas
polares dos seus vérticas sabendo que o centro do hexágono coincide com o polo (origem) do sistema e
que um dos vértices pertence ao eixo polar.
Questão 3: Seja ABCDEF um hexágono regular cujos lados medem 4. Determinar as coordenadas
polares de seus vértices sabendo que o vértice A é o polo de sistema e que o eixo polar contém um
vértice adjacente a A.
Questão 4: Escreva cada ponto a seguir com raio polar positivo e ângulo polar θ ∈ [0, 2pi]
(a) (2,−pi/4) (d) (−25,−pi/6)
(b) (−4, 27◦) (e) (−5,−133◦)
(c) (−8, 235◦) (f) (−2,−pi)
Questão 5: Escreva cada ponto a seguir com raio polar negativo e ângulo polar θ ∈ [0, 2pi]
(a) (2, 120◦) (d) (9,−15◦)
(b) (4, 95◦) (e) (1,−132◦)
(c) (10, 148◦) (f) (3,−313◦)
Questão 6: Calcular a distância entre P1(5, 23
◦) e P2(2, 38◦).
Questão 7: Determinar as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos:
(a) (1, pi/6) (c) (4
√
3, 210◦)
(b) (2, 50◦) (d) (2,−pi/6)
Questão 8: Determinar as coordenadas polares dos seguintes pontos:
(a) (−3, 3) (c) (0,−4)
(b) (2
√
3 + 2, 2
√
3− 2) (d) (−3√3,−3)
1
Questão 9: Transforme as seguintes equações cartesianas em equações polares:
(a) x2 + y2 = 49 (e) 4y2 − 20x− 25 = 0
(b) x2 − y2 = 4 (f) x2 + y2 − 2y = 0
(c) (x2 + y2)2 = 4(x2 − y2) (g) (x2 + y2)2 − 18xy = 0
(d) x− 3y = 0 (h) x2 + y2 = x+ y
Questão 10: Transforme as seguintes equações polares em equações cartesianas:
(a) r = 8 (e) r = 6sec(θ)
(b) θ = pi/4 (f) r(2− cos(θ)) = 4
(c) r = 8cos(θ) (g) 2r = 2 + cos(2θ)
(d) r = 6sen(θ) + 3cos(θ) (h) r2 = 5cos(2θ)
(i) r = 4(1 + cos(θ))
Questão 11: Esboce o gráfico das curvas polares:
(a) r = 8
(b) θ = pi/4
(c) r = 8cos(θ)
(d) r = 6sen(θ) + 3cos(θ)
(e) r = 6sec(θ)
2
Gabarito
Questão 1: C(3, 120◦) ou C(3, ?120◦)
Questão 2: A(5, 0◦) , B(5, 60◦) , C(5, 120◦) , D(5, 180◦), E(5, 240◦) e F (4, 300◦)
Questão 3: A(0, 0◦) , B(4, 0◦) , C(4
√
3, 30◦) , D(8, 60◦) , E(4
√
3, 90◦) e F (4, 120◦)
Questão 4:
(a) (2, 225◦) (d) ((25, 150◦)
(b) ((4, 207◦) (e) (5, 47◦)
(c) ((8, 55◦) (f) (2, 0◦)
Questão 5:
(a) (−2, 300◦) (d) (−9,−165◦)
(b) (−4, 275◦) (e) (−1, 48◦)
(c) (−10, 328◦) (f) (−3, 227◦)
Questão 6: d(P1, P2) =
√
29− 5(√6 +√2)
Questão 7:
(a) (
√
3/2, 1/2) (c) (−6,−2√3)
(b) (−√3, 1) (d) (√3,−1)
Questão 8:
(a) (3
√
2, 135◦) (c) (4, 270◦)
(b) (4
√
2, 15◦) (d) (6, 210◦)
Questão 9:
(a) r = 7 (e) r = 52(1−cos(θ)
(b) r2cos(2θ) = 4 (f) r = 2sen(θ)
(c) r2 = 4cos(2θ) (g) r2 = 9sen(2θ)
(d) θ = arctg(1/3) (h) r = sen(θ) + cos(θ)
3
Questão 10:
(a) x2 + y2 = 64 (e) x = 6
(b) y = x (f) 3x2 + 4y2 − 8x− 16 = 0
(c) x2 + y2 − 8x = 0 (g) 4(x2 + y2)3 = (3x2 + y2)2
(d) x2 + y2 − 3x− 6y = 0 (h) (x2 + y2)2 = 5x2 − 5y2
(i) 16(x2 + y2) = (x2 + y2 − 4x)2
4