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CÁLCULO IV
Aula 4: Integrais de Linha
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Integrais de Linha
Tipos de Integrais de Linha
Teoremas relacionados a Integrais de Linha
Propriedades relacionadas a Integrais de Linha
Teorema de Green.
Assim podemos dizer f(t) = (x(t), y(t), z(t)) é uma parametrização de uma curva C, e as equações paramétricas são representadas por:
x = x(t), y = y(t) e z = z(t) 
Exemplo
Determine uma parametrização para a curva y = 1+2x.
INTEGRAIS DE LINHA 
Introdução
Agora vamos trabalhar com uma integral na qual a função que será integrada é calculada ao longo de uma curva.  
A função a ser integrada na integral de linha pode ser de dois tipos: 
Integral de linha de função escalar quando a integral é uma função real. 
Integral de linha de campo vetorial quando a integral é uma função vetorial.
Considere o intervalo [a,b] onde uma curva C que é descrita pelas equações paramétricas: x = x(t), y = y(t) e z = z(t), onde a≤ t ≤ b. Podemos então definir formalmente: 
Integral de Linha de função escalar
: I = [a,b] 3
t(t) = (x(t),y(t),z(t))
EXEMPLO 
Suponhamos que a curva C represente um arame e f(x,y,z) a densidade (massa por unidade de comprimento) em cada ponto (x, y, z) na curva C.  
Desejamos calcular a massa total do arame. Para fazermos isso usaremos a integral
Comprimento de arco
Podemos escrever a seguinte definição: 
Seja uma curva C em R3, parametrizada por (t)=(x(t),y(t),z(t)), t [a,b], onde é de classe C1, e f(x,y,z) uma função real contínua em C. 
Definimos a integral de linha de f ao longo de C por:
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
A área da cerca é a integral de linha da função f ao longo da curva C e denotaremos
EXEMPLO 1
Procedimento para calcular a integral de linha
Passo 1 – Definir a equação cartesiana da curva
Passo 2 – Parametrizar a curva encontrada
Passo 3 – Calcular
Passo 4 – Aplicar na integral os valores encontrados no passo 2 e passo 3.
4o Passo: Aplicar na integral 
 
 x=t y = t+1
EXEMPLO 2
INTEGRAL DE LINHA DE CAMPO VETORIAL
A ideia de campo vetorial vem da Física e corresponde a associar a cada ponto do plano ou do espaço uma grandeza que possui direção, sentido e módulo (tamanho), ou seja, um vetor.
Por exemplo se considerarmos um fluido percorrendo um encanamento com fluxo constante. 
Se associamos a cada ponto a velocidade do fluido nesse ponto, obtemos um campo de vetores F de velocidades do fluido.
DEFINIÇÃO 
Considere uma curva C em R3 parametrizada por (t)= (x(t),y(t),z(t)), t[a,b], e F(x,y,z) =(F1(x,y,z),F2(x,y,z), F3(x,y,z)) é um campo vetorial contínuo definido em C.
Definimos a integral de linha de F ao longo de C por 
Onde, é um produto escalar.
Para encontrarmos os valores de A(y) e B(x) deveremos comparar as funções encontradas f(x,y) = ex sen y+A(y) 
f(x,y) = ex sen y +B(x) 
Observe que elas têm em comum ex sen y portanto, este termo existe na função potencial f(x,y). 
Por comparação podemos dizer que A(y) = 0 e B(x) = 0. Portanto, f(x,y) = ex sen y.
TEOREMA DE GREEN 
O teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano xy com uma integral dupla sobre a região limitada pela curva fechada. Veremos também podemos resolver integrais de linha ao longo de uma curva dependendo apenas do ponto inicial e final, isto é, integrais curvilíneas independentes do caminho de integração e construiremos função potencial usando integrais indefinidas.