gab mp5 2008 2 miniprova avlc cin

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Pernambuco
Centro de Informática
Álgebra Vetorial e Linear para Computação
Miniprova 5 – 2008.2 - 17/10/2008
1.Sejam 
 e 
 bases do IR2.
A)Encontre 
.
 = 	 a c
 b d
onde a e b são as coordenadas do vetor (1,2) de α em função dos vetores de β:
(1,2) = a (2,1) + b (1,-1) 				
2a + b = 1
a – b = 2
a = 1
b= -1						(0,1)
e c e d são as coordenadas do vetor (1,1) de α em função dos vetores de β:
(1,1) = c (2,1) + d (1,-1)				
2c + d = 1
c – d = 1
c = 2/3
d= -1/3						(0,1)
Logo temos que 
 = 	 1 2/3
 -1 -1/3				(0,05)
 
B)Considere 
 e 
 bases do IR2 tais que 
. Encontre 
.
 = {(x,y),(z,w)} = ?
Temos dá questão anterior que 
 = 1 2/3
 				 -1 -1/3
Como 
, então 
 = 1 2/3	
 	 		 -1 -1/3
Da matriz de mudança de base temos que:
(1,0) = 1(x,y) + (-1)(z,w) 	e 	(0,1) = 2/3(x,y) + (-1/3)(z,w)	 
	(0,1)					 (0,1)
Logo:
x – z = 1
y – w = 0
2x/3 – z/3 = 0
2y/3 – w/3 = 1
x = -1 ; y = 3; z = -2; w = 3	
		
Assim temos que 
 = {(-1,3),(-2,3)}	 		(0,05)
2. Considere a transformação linear 
 dada por:
Encontre (justificando) bases para N(T) e Im(T), e explicite as dimensões destes espaços.
N(T) = {(x,y,z,w)/ T(x,y,z,w) = 0 0 }		(0,05)
0
x-y+z+w 2x+2w = 0 0
x+z+w-y y-z	 	0 0	
		
x-y+z+w = 0 
x+z+w-y = 0
2x+2w = 0 
y-z = 0					(0,05)
Resolvendo o sistema temos que:
 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 0 0 1 
 1 -1 1 1 0 1 -1 0 0 1 -1 0 0 1 -1 0 
 2 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 
 0 1 -1 0 0 0 0 0+ 0 0 0 0 0 0 0 0 
x = -r
y = s
z = s
w = r 
N(T) = {(0,1,1,0),(-1,0,0,1)} 				(0,1)
dim(N(T)) = 2				(0,05)
Im(T) = { µ € M2x2 / T(x,y,z,w) = µ }, para (x,y,z,w) € R4.		(0,05)
Admitindo as imagens dos vetores que formam a base canônica do R4, temos:
T(1,0,0,0) = 1 2
 1 0
T(0,1,0,0) = -1 0
 -1 1
T(0,0,1,0) = 1 0
 1 -1
T(0,0,0,1) = 1 2
 1 0
Im(T) = [ 1 2 , -1 0 , 1 0 , 1 2 ] ; gerador da Im(T)	(0,05)
 1 0 -1 1 1 -1 1 0
Eliminando as matrizes que são combinações lineares temos
Im(T) ={ 1 2 , -1 0 } que corresponde a uma base da Im(T). (0,1)
 1 0 -1 1 
dim(Im(T)) = 2.		(0,05)
_1285749249.unknown
_1285749333.unknown
_1285749402.unknown
_1286044892.unknown
_1286044908.unknown
_1286045867.unknown
_1285749484.unknown
_1285749291.unknown
_1285749184.unknown
_1285749041.unknown