Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA CÁLCULO B Material elaborado pelo Prof. Francisco Leal Moreira Revisado pelo Prof. Francisco Alberto Silveira 2007/1 SUMÁRIO ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.. INTEGRAÇÃO POR PARTES ............................................................. 1 1.1. RESPOSTAS .......................................................................................................................................... 1 2 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS .......................................................................................................................... 2 2.1. RESPOSTAS .......................................................................................................................................... 2 3. CÁLCULO SOMATÓRIO ............................................................................................................................ 3 3.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO ..................................................................................... 3 3.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO .................................................................................................... 4 3.3. SOMATÓRIO DUPLO ........................................................................................................................... 6 3.4. RESPOSTAS .......................................................................................................................................... 7 4. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES ............................................................................................................................. 8 4.1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 8 4.2. SEQÜÊNCIAS INFINITAS ................................................................................................................... 8 4.3. LIMITE DE UMA SEQÜÊNCIA ........................................................................................................... 9 4.4. SÉRIES INFINITAS ............................................................................................................................... 9 4.5. SOMA DE UMA SÉRIE ....................................................................................................................... 11 4.6. SÉRIES GEOMÉTRICAS .................................................................................................................... 11 4.7. PROPRIEDADES DAS SÉRIES .......................................................................................................... 12 4.8. TESTE DA DIVERGÊNCIA ................................................................................................................ 13 4.9. TESTE DA INTEGRAL ....................................................................................................................... 13 4.10. SÉRIE-P............................................................................................................................................... 13 4.11. TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMITE ......................................................................................... 14 4.12. SÉRIES ALTERNADAS ..................................................................................................................... 14 4.13. TESTE DE LEIBNIZ ........................................................................................................................... 14 4.14. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONAL ....................................... 15 4.15. TESTE DA RAZÃO ............................................................................................................................ 15 4.16. SÉRIES DE POTÊNCIAS ................................................................................................................... 16 4.17. INTERVALO DE CONVERGÊNCIA ................................................................................................ 16 4.18. FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES DE POTÊNCIAS .................................................................. 17 4.19. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS ....................................................... 18 4.20. SÉRIES DE TAYLOR ......................................................................................................................... 18 4.21. RESPOSTAS ....................................................................................................................................... 20 5. OS CONJUNTOS 2 ℜ E 3 ℜ ................................................................................................................ 21 5.1. O CONJUNTO 2 ℜ ........................................................................................................................... 21 5.2. O CONJUNTO 3 ℜ ........................................................................................................................... 21 6. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ....................................................................................................... 22 6.1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................... 22 6.2. CURVAS DE NÍVEL ........................................................................................................................... 23 6.3. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 24 7. DERIVADAS PARCIAIS ........................................................................................................................... 25 7.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS................................................ 25 7.2. DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM ........................................................................... 26 7.3. HESSIANO ........................................................................................................................................... 26 7.4. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 27 8. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS............................................................ 28 8.1. PONTO CRÍTICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS ....................................................... 29 8.2. CRITÉRIO PARA CARACTERIZAÇÃO DE PONTOS EXTREMANTES ....................................... 29 8.3. MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS .................................................................................... 30 8.4. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 31 9. BIBLIOGRAFIA .......................................................................................................................................... 33 1 1. INTEGRAÇÃO POR PARTES Sabemos que [ f (x).g(x) ]’ = f(x).g’(x) + g(x).f ’(x) ou f(x).g’(x) = [ f(x) . g(x) ]’ – g (x). f ’(x) Integrando ambos os membros dessa equação , obtemos ∫ ∫−= dx)x('f).x(g)x(g)x(fdx)x('g).x(f Fazendo f(x) = u e g(x) = v, vem: ∫ ∫−= du.vv.udv.u E1)Calcule : 1) ∫ dxxex 2) ∫ xdxsenx 3) ∫ xdxln4) ∫ − xdxcos)1x2( 5) ∫ dxxlnx 6) ∫ dxxlnx2 7) ∫ dxxsecx 2 8) ∫ + xdx2cos)1x( 9) ∫ xdx3lnx 10) ∫ dxxe x4 1.1. RESPOSTAS E1) 1) xex – ex + k 2) –xcos x + sen x + k 3)xln x – x + k 4) (2x – 1)sen x + 2cos x + k 5) k 9 x4 xln 3 x2 33 +− 6) k 9 x 3 xlnx 33 +− 7) xtg x + ln | cos x | + k 8) k 4 x2cos 2 x2sen)1x( ++ + 9) k 4 x 2 x3lnx 22 +− 10) k 16 e 4 xe x4x4 +− 2 2. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS A integral imprópria de f sobre o intervalo ),a[ +∞ é definida por ∫∫ ∞→ ∞ = t ata dx)x(flimdx)x(f . Se o resultado é um número real, dizemos que a integral imprópria converge. Se o limite não existe ou é infinito, dizemos que a integral imprópria diverge. E1) Determine se cada integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu valor. 1) ∫ ∞ 1 3x dx 2) ∫ ∞ 1 x dx 3) ∫ ∞ 1 x dx 4) ∫ ∞ 0 x 2 dx e x 3 5) ∫ ∞ +0 3 2 dx 1x x 2.1. RESPOSTAS E1) 1) Converge, 1/2 2) Diverge 3) Diverge 4) Converge, 1/3 5) Diverge 3 3. CÁLCULO SOMATÓRIO Consideremos a seguinte soma indicada : 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 100 Podemos observar que cada parcela é um número par e portanto pode ser representada pela forma 2n, neste caso, com n variando de 0 a 50. Esta soma pode ser representada abreviadamente por: ∑ = 50 0n n.2 que se lê: “somatório de 2n com n variando de 0 a 50”. A letra ∑ que é o esse maiúsculo grego (sigma) é denominada sinal de somatório e é usada para indicar uma soma de várias parcelas. Seja {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto de n números reais, o símbolo ∑ = n 1i ia representa a sua soma, isto é, ∑ = n 1i ia = a1 + a2 + a3 + ... + an. Em ∑ = n 1i ia : a) A letra i é denominada índice do somatório e, em seu lugar, pode figurar qualquer outra letra. b) Os valores 1 e n, neste caso, são denominados, respectivamente, limites inferior e superior. E1)Desenvolva os seguintes somatórios: 1) ∑ = − 5 1x 2 )xx( 2) ∑ ∞ = − 2j j j.)1( 3) ∑ = 5 0n na!n E2)Escreva sob a forma de somatório as seguintes expressões: 1) 1 – 3 + 5 – 7 + ... 2) 5 24 4 6 3 2 2 1 1 ++++ 3) 11.9 10 ... 6.4 5 5.3 4 4.2 3 3.1 2 +++++ E3)Calcule o valor de: 1) ∑ = − 5 0n n !n.)1( 2) ∑∑ == − 5 0i 2 25 0i ii 3.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO na1papa n pi ia ++++ = =∑ L , logo ∑ = n pi ia tem ( n – p + 1 ) parcelas E4)Destaque a parcela central e a décima parcela de ∑ = − 100 0n n n3.)1( . 4 3.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO 1. Somatório de uma constante Sejam ai = k , com i = p,...,n. k)1pn(kkkaaaak n1pp n pi i n pi +−=+++=+++== + == ∑∑ LL ∑ = +−= n pi k).1pn(k 2. Somatório do produto de uma constante por uma variável Sejam kai , com i = p,...,n. ∑∑ = ++ = =+++=+++= n pi in1ppn1pp n pi i ak)aaa(kkakakaka LL ∑∑ == = n pi i n pi i akka 3. Somatório de uma soma algébrica Sejam ai ± bi , com i = p,...,n. )bbb()aaa()ba()ba()ba()ba( n1ppn1ppnn1p1ppp n pi ii +++±+++=±++±+±=± ++++ = ∑ LLL ∑∑ == ±= n pi i n pi i ba ∑∑∑ === ±=± n pi i n pi i n pi ii ba)ba( 4. Separação do último termo n 1n pi i n pi i aaa +=∑∑ − == 5. Separação do primeiro termo ∑∑ += += = n 1pi iapa n pi ia 5 6. Avanço dos limites j)jn(j1)jp(j)jp()jj(n)jj(1p)jj(pn1pp n pi i aaa)aaaaaaa −+−++−+−+−++−++ = +++=+++=+++=∑ LLL ∑ + += −= jn jpi jia ∑∑ + += − = = jn jpi ji n pi i aa E5) Complete a tabela abaixo: i xi yi xi 2 yi 2 xi 2yi xiyi 1 1 2 2 1 3 3 2 2 4 3 4 5 4 1 6 0 5 ∑ E6) Com os valores da tabela acima e o uso das propriedades do somatório, calcule: 1) ∑ = +− 6 1i ii )4y3x2( 2) ∑∑ == − 5 1i 2 i 25 1i i xx 3) )yx()yx( ii 6 2i ii +−∑ = 4) 10x 5 2i 2 i +∑ = 5) ∑ = − 6 1i 2 ii )yx( 6) ∑ = + 5 1i 2 i )3y( 7) ∑ = −− 5 2i 1ii )xx( 8) ∑ = + 3 0i 2iy 6 3.3. SOMATÓRIO DUPLO Seja a matriz A = mn3m2m1m n2232221 n1131211 xxxx xxxx xxxx L MMMM L L As somas dos elementos de cada uma das linhas de A são: ∑∑∑ === n 1j mj n 1j j2 n 1j j1 x,,x,x L A soma de todos os elementos da matriz A é: ∑∑∑∑∑∑ = ===== =+++=+++ n 1j m 1i ijmjj2 n 1j j1 n 1j mj n 1j j2 n 1j j1 x)xxx(xxx LL Observações: a) ∑∑∑∑ = == = = m qi n pj ij n pj m qi ij xx b) ∑∑ = = n pj m qi ijx tem (n – p + 1)(m – q + 1) parcelas. E7) Desenvolva os seguintes somatórios: 1) ∑∑ = = − 3 1x 4 2y )10xy( 2) ∑∑ = = + 5 2x 3 2y 2)yx( 3) ∑∑ = = 3 2x 4 1y yx 4) ∑∑ = = − 3 1i 4 2j ij )xy( E8) Calcule o valor de: 1) ∑∑ = = − 3 1x 2 1y )5xy( 2) ∑∑ = = − 3 1i 4 2j )jx( 3) ∑∑ = = 5 2x 3 2y 2z 4) ∑∑ = = + 4 2x 3 2y 2)1x( E9) Escrever sob a forma de somatório as expressões: 1) 23 + 24 + 25 + 33 + 34 +35 2) 5 4 4 4 5 3 43 5 2 4 2 5 1 4 1 +++++++ E10) Encontre uma fórmula(em função de n) para cada um dos somatórios abaixo: 1) ∑∑ = + = n2 1i 1i 0j n 2) ∑∑ = = + n 1i n 1j )ji( 3) ∑∑ = = + n 1i n 1j )in( 4) ∑∑ = = n 1i i 3j i 7 3.4. RESPOSTAS E1) 1) 0 + 2 + 6 + 12 + 20 2) 2 – 3 + 4 – 5 + ... 3) a0 + a1 + 2a2 + 6a3 + 24a4 + 120a5 E2) 1) ∑ ∞ = +− 0i i )1i2.()1( 2) ∑ = + 4 0i 1i !i 3) ∑ = + +9 1i )2i(i 1i E3) 1) –100 2)170 E4) a50 =150 e a10 = -27 E6) 1) –5 2) 90 3) –25 4) 40 5) 40 6) 151 7) 3 8) 10 E7) 1) –8 – 7 – 6 – 6 – 4 – 2 – 4 – 1 + 2 2) 16 + 25 + 25 + 36 + 36 + 49 + 49 + 64 3) 2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 + 27 + 81 4) (y2 – x1) + (y3 – x1) + (y4 – x1) + (y2 – x2) + (y3 – x2) + (y4 – x2)+ (y2 – x3) + (y3 – x3) + (y4 – x3) E8)1) –12 2) 9x – 27 3) 8z2 4) 100 E9) 1) ∑∑ = = 3 2i 5 3j ji 2) ∑∑ = = 4 1i 5 4j j i E10) 1) )5n2(n 2 + 2) n2 (n + 1) 3) 2 )1n3(n 2 + 4) 6 )5n2)(1n(n −+ 8 4. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES 4.1. INTRODUÇÃO As séries infinitas podem ser usadas para obter valores funcionais. Podemos representar certas funções como séries infinitas cujos termos contêm potências de uma variável x. Substituindo x por um número real c e determinando a soma infinita resultante, obtemos o valor de f(c). Isto é, em essência, o que uma calculadora faz quando calcula valores de funções. A representação por séries infinitas, de sen x , ex e outras expressões nos permite abordar problemas que não podem ser resolvidos por métodos finitos, como por exemplo, a integral .dxe 2x ∫ − 4.2. SEQÜÊNCIAS INFINITAS Uma seqüência infinita é uma lista de números numa certa ordem. a1, a2, a3,...,an,... onde: a1 : 1 0 termo a2 : 2 0 termo .................. an: n-ésimo termo ou termo geral Notações: { a1, a2, a3,...,an,... } ou {an} Exemplos: a) Os termos da seqüência +1n n são: ,... 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 Representação gráfica da seqüência : an 1 0,9 Observa-se que: se n cresce sem limites, an cresce aproximando-se de 1, isto é, = = +∞→∞→ 1n n limlim n n n a 1 0,5 Neste caso, dizemos que a seqüência converge para 1. 0,1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 9 b)Os termos da seqüência { }∞=− 2n2n são: 0, 1, 2 , 3 , 2, 5 ,... Representação gráfica da seqüência : an 3 Observa-se que: se n cresce sem limites, an também cresce sem limites, isto é, 2 =−= ∞→∞→ 2na limlim n n n ∞ 1 Neste caso, dizemos que a seqüência diverge. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.3. LIMITE DE UMA SEQÜÊNCIA Dizemos que a seqüência {an} converge para um número real L, ou que tem por limite L quando .Lalim n n = ∞→ Se n n alim ∞→ não existe, dizemos que a seqüência {an} não converge(diverge). Outros exemplos de seqüências: a) an = 1n 1n + − é o termo geral da seqüência 0, ,... 5 3 , 4 2 , 3 1 b)A seqüência de Fibonacci é definida por a1 = 1, a2 = 1 e an+1 = an + an-1 , para n 2≥ Os termos da seqüência de Fibonacci são 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Esta seqüência tem importância especial na ciência da computação; o estado de um computador, a cada tique do seu relógio interno, depende do seu estado no tique anterior. c) A seqüência dos números primos: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...} 4.4. SÉRIES INFINITAS Se {an} é uma seqüência infinita, então uma expressão ...a...aaa n21 1n n ++++=∑ ∞ = é chamada série numérica infinita de termo geral an. 10 Exemplos: a) ...n...321n 1n +++++=∑ ∞ = Soma parciais: S1 = 1, S2 = 3, S3 = 6, S4 = 10, S5 = 15, ..., Sn= 2 )1n(n + Representação gráfica da seqüência {Sn} = + = ∞→∞→ 2 )1n(n S limlim nn n ∞ Sn 15 Portanto, a seqüência das somas parciais diverge. 10 Dizemos, neste caso, que a série ∑ ∞ =1n n diverge. 5 0 1 2 3 4 5 n b) ...)1(...111)1( n 1n n +−++−+−=∑ − ∞ = Soma parciais: S1 = -1, S2 = 0 , S3 = -1, S4 = 0, S5 = -1, Sn= − parénse,0 imparénse,1 , Sn oscila Representação gráfica da seqüência {Sn} Sn .existenãoSnlim n ∞→ Portanto, a seqüência das somas parciais diverge.0 n Dizemos, neste caso, que a série ∑ ∞ = − 1n n)1( diverge. c) ... 2 1 ... 8 1 4 1 2 1 2 1 n 1n n +++++=∑ ∞ = Soma parciais: S1 = 2 1 , S2 = 4 3 , S3 = 8 7 , S4 = 16 15 , ..., Sn= n n 2 12 − Representação gráfica da seqüência {Sn} Sn = ∞→ n n Slim 1 2 1 1lim 2 12 lim nnn n n = −= − ∞→∞→ 1 Portanto, a seqüência das somas parciais converge para 1. 0,5 Dizemos, neste caso, que a série ∑ ∞ =1n n2 1 converge para 1. 0 1 2 3 4 5 6 n 11 4.5. SOMA DE UMA SÉRIE Dizemos que o número real S é a soma da série ∑ ∞ =1n na , ou que a série ∑ ∞ =1n na converge para S, se e somente se SSlim n n = ∞→ (o limite da seqüência das somas parciais S1, S2, S3,...,Sn é S). Neste caso, escrevemos S =∑ ∞ =1n na . Quando n n Slim ∞→ não existe, dizemos que a série ∑ ∞ =1n na diverge. A divergência pode ocorrer porque Sn torna-se infinita ou Sn oscila quando n ∞→ . Outros exemplos de séries: d) 2,4,6,8,10,12,14,16 é uma seqüência finita e 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 =∑ = 8 1n n2 é uma série finita de termo geral an = 2n. e) 1, 2, 6, 24, 120,... é uma seqüência infinita e 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + ... =∑ ∞ =1n !n é uma série infinita de de termo geral an = n!. f) A série harmônica ∑ ∞ = =+++++ 1n n 1 ... n 1 ... 3 1 2 1 1 cujo termo geral an = n 1 4.6. SÉRIES GEOMÉTRICAS Uma série geométrica é uma série da forma a + ar + ar2 +ar3 + ...+arn-1 + ... = ∑ ∞ = − 1n 1nar com a ≠ 0. Da página 16, exercício E8, 1, a n-ésima soma parcial da série geométrica é Sn= a + ar + ar 2 + ar 3 + ... + arn-1 = r1 )r1(a n − − , r ≠ 1 Se | r | < 1 , 0rlim n n = ∞→ , e assim r1 a r1 )r1(a lim n n − = − − ∞→ . Se | r | > 1, n n rlim ∞→ não existe, e assim r1 )r1(a lim n n − − ∞→ não existe. Se r = 1, então Sn= na e portanto, n n Slim ∞→ não existe. Se r = -1, então Sn oscila e portanto, n n Slim ∞→ não existe. A a série geométrica converge se | r | < 1 e sua soma é S = r1 a − . A a série geométrica diverge se | r | ≥ 1 12 E1) Determine se a série é convergente ou divergente, se convergente encontre a soma. 1) ... 8 1 4 1 2 1 1 ++++ 2) ... 8 27 4 9 2 3 1 ++++ 3) ∑ − ∞ = + 1n 1n)1( E2) Determine a série infinita que tem a seguinte seqüência de somas parciais: 1){Sn} = +1n n4 2){Sn} = +1n3 n2 3){Sn} = +1n n 2 4){Sn} = { }n2 E3) Expresse a dizima periódica 0,222... como uma fração comum. 4.7. PROPRIEDADES DAS SÉRIES a) Se ∑ ∞ =1n na converge e c é um número real, então ∑ ∞ =1n nca também converge e ∑ ∞ =1n nca = c ∑ ∞ =1n na . Exemplo: ∑ ∞ =1n n2 5 é convergente. Justifique. b) Se ∑ ∞ =1n na e ∑ ∞ =1n nb convergem , então ∑ ± ∞ =1n nn )ba( também converge e ∑ ± ∞ =1n nn )ba( = ∑ ∞ =1n na ± ∑ ∞ =1n nb . Exemplo: ) 3 1 2 1 ( 1n nn ∑ − ∞ = é convergente. Justifique. c) Se ∑ ∞ =1n na converge e ∑ ∞ =1n nb diverge, então ∑ ± ∞ =1n nn )ba( diverge. Exemplo: )2 3 1 ( 1n n n ∑ + ∞ = é divergente. Justifique. Observação: Se ∑ ∞ =1n na diverge e ∑ ∞ =1n nb diverge, então ∑ ± ∞ =1n nn )ba( pode convergir ou divergir. d) Se ∑ ∞ =1n na converge, então 0alim n n = ∞→ . Justificativa: Se ∑ ∞ =1n na converge, n n Slim ∞→ = S e 1n n Slim − ∞→ = S. Como Sn= a1 + a2 + ... an-1 + an , an = Sn – Sn-1. Logo, n n alim ∞→ = n n Slim ∞→ - 1n n Slim − ∞→ = S – S = 0 E4) Verifique se a série converge, em caso afirmativo, determine a sua soma: 1) ∑ ∞ =1n n2 1 2)∑ ∞ =1n 1 3) ∑ + ∞ =1n )1n(n 1 (série telescópica) Para muitas séries é difícil ou praticamente impossível encontrar uma fórmula simples para Sn . Em tais casos, são usados alguns testes que não nos fornecem a soma S da série; dizem-nos apenas se a soma existe. Isto é suficiente na maioria das aplicações porque, sabendo que a soma existe, podemos aproximar o seu valor com um grau arbitrário de precisão, bastando somar um número suficiente de termos da série. 13 4.8. TESTE DA DIVERGÊNCIA Se 0alim n n ≠ ∞→ , então a série infinita ∑ ∞ =1n na diverge. Observação: O 0alim n n = ∞→ não garante a convergência da série. E5) Prove que as séries seguintes são divergentes: 1) ∑ +∞ =1n 2 2 n 1n 2) ∑ − ∞ = + 1n 1n)1.(2 3) ... 1n2 n ... 7 3 5 2 3 1 + + ++++ 4.9. TESTE DA INTEGRAL Sejam ∑ ∞ =1n na uma série de termos positivos e f uma função continua, tal que f(n) = an , para todo n. Então ∑ ∞ =1n na converge ⇔ ∫ ∞ 1 dx)x(f converge. E6) Determine se a série dada é convergente ou divergente. 1) ∑ ∞ =1n n 1 2) ∑ ∞ =1n 2n 1 3) ∑ ∞ =1n n 1 4) ∑ ∞ = − 1n ne 5) ∑ ∞ =1n nlnn 1 6) ∑ ∞ = − 1n nne 4.10. SÉRIE-P Uma série do tipo ∑ ∞ =1n pn 1 é denominada série- p e, converge se p >1 e diverge se p ≤ 1. Justificativa: Para p = 1, a série-p torna-se∑ ∞ =1n n 1 , e é chamada série harmônica. Diverge(exercícioE6, 1) Se p ≠ 1, )1b(lim p1 1 1p x limdxxlim x dx p1 b b 1 1p b1 b 1 p bp − − = +− == − ∞→ +− ∞→ ∞ − ∞→∫ ∫ Para p > 1, p1 1 )1 b 1 (lim p1 1 )1b(lim p1 1 1pb p1 b − =− − =− − −∞→ − ∞→ . Logo a série p converge. Para 0 < p < 1, ∞=− − − ∞→ )1b(lim p1 1 p1 b . Logo a série p diverge. Para p< 0, ∞=== − ∞→∞→∞→ p npn n n nlim n 1 limalim . Logo, a série p diverge. Para p = 0, a série-p torna-se ∑ ∞ =1n 1 que é uma série divergente. Portanto, a série-p é convergente somente quando p > 1. 14 4.11. TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMITE Sejam ∑ ∞ =1n na e ∑ ∞ =1n nb séries de termos positivos. Se ,cb a lim n n n = ∞→ onde c é um número positivo, então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem. E7) Determinese a série dada é convergente ou divergente. 1) ∑ ∞ = +1n n31 1 2) ∑ ∞ = +1n 2 2n 1 3) ∑ ∞ = − 1n 1n2 2 4) ∑ ∞ = ++1n 24 2nn 1 5) ∑ ∞ = +1n 2 1n n 6) ∑ ∞ = + 1n 3n 1n 4.12. SÉRIES ALTERNADAS Uma série alternada é uma série da forma ∑ −∑ − ∞ = ∞ = + 1n n n 1n n 1n a)1(oua)1( com an > 0. 4.13. TESTE DE LEIBNIZ Seja uma série alternada. Se an ≥ an+1 e 0alim n n = ∞→ , então a série converge. E8) Determine se as séries alternadas convergem ou divergem. 1) ∑ − ∞ = + 1n 1n)1( 2) ∑ −∞ =1n n n )1( 3) 3n4 n2 )1( 1n 1n − ∑ − ∞ = − 4) )1n(n 2n )1( 1n n + + ∑ − ∞ = 5) 3n4 n2 )1( 2 1n 1n − ∑ − ∞ = − O conceito a seguir permite que utilizemos testes para séries de termos positivos para determinar a convergência de outros tipos de séries. 15 4.14. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONAL a)Se ∑ ∞ =1n n |a| =|a1| + |a2| + |a3| +...+|an| +... converge, dizemos que uma série ∑ ∞ =1n na é absolutamente convergente. b)Se ∑ ∞ =1n na converge e |a| 1n n∑ ∞ = diverge, dizemos que ∑ ∞ =1n na converge condicionalmente E9) Determine se a série dada é absolutamente convergente. 1) ∑ −∞ = + 1n 2 1n n )1( 2) ∑ −∞ = + 1n 1n n )1( 3) ∑ −∞ = − + 1n 1n 1n 2 )1( 4) ∑ ∞ =1n n3 5) ∑ ∞ = +− 1n 1n n )1( 6) ∑ ∞ = +− 1n 2 n n )1n()1( Observações: a)Se ∑ ∞ =1n na é uma série de termos positivos, então |an | = an , portanto a convergência absoluta coincide com a convergência. b) Se uma série infinita ∑ ∞ =1n na é absolutamente convergente, então ∑ ∞ =1n na é convergente. 4.15. TESTE DA RAZÃO Seja ∑ ∞ =1n na uma série infinita com an ≠ 0, para todo n. a) Se n 1n n a a lim + ∞→ < 1, então ∑ ∞ =1n na converge absolutamente. b) Se n 1n n a a lim + ∞→ > 1 ou n 1n n a a lim + ∞→ =∞ , então ∑ ∞ =1n na diverge. c) Se n 1n n a a lim + ∞→ = 1, então nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada do teste. E10) Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. 1) ∑ ∞ =1n !n 1 2) ∑ ∞ =1n 2n 1 3) ∑ ∞ = +− 1n 2 1n n !n )1( 4) ∑ ∞ =1n n2 !n 5) ∑ ∞ = +− 1n 1n n )1( 6) ∑ − ∞ =1n n n !n 3 )1( 7) ∑ ∞ =1n 2 n n 3 8) ∑ ∞ = + − − 1n 1n 1n2 n )1( Observação: O teste da razão é mais adequado quando an contém potências e produtos e não funciona em série-p. 16 4.16. SÉRIES DE POTÊNCIAS Série de potências de x é uma série infinita da forma∑ ∞ =0n n nxb = b0 + b1x + b2x 2 + b3x 3 + ... + bnx n + ... Uma série infinita da forma ∑ ∞ = − 0n n n )cx(b = b0 + b1(x-c) + b2(x-c) 2 + b3(x-c) 3 + ... + bn(x-c) n + ... é uma série de potências centrada em c. Quando em uma série de potências a variável for substituída por um número, a série resultante é numérica e pode convergir ou não. 4.17. INTERVALO DE CONVERGÊNCIA Para cada série de potências ∑ ∞ = − 0n n n )cx(b , exatamente uma das seguintes afirmações é verdadeira. a) A série converge somente quando x = c. c b) A série converge absolutamente para todo x real. ℜ c) Existe um número real positivo R, tal que a série é absolutamente convergente se | x – c | < R e é divergente se | x – c | > R. Neste caso, R é chamado raio de convergência da série e (c – R , c+ R) é o intervalo de convergência da série. c-R c c+R ? ? Procedimento para encontrar o intervalo de convergência de uma série de potências. 1. Aplicar o teste da razão. 2. Resolver a inequação resultante. 3. Analisar os extremos individualmente. E11) Determine os intervalos de convergência das séries: 1) ∑ ∞ =1n n n x 2) ∑ +∞ =0n n3 2n (x-2)n 3) ∑ ∞ =0n n !n x 4) ∑ −∞ =1n nn !n )x10(10 5) ∑ ∞ =0n nnx 6) ∑ + ∞ =0n n)1x(!n 7) ∑ ∞ =0n nx 8) ∑ ∞ =1n n n x 17 4.18. FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES DE POTÊNCIAS Uma série de potências de x pode ser encarada como uma função de variável x, f(x) =∑ ∞ = − 0n n n )cx(b , onde o domínio de f é o conjunto dos valores de x que tornam a série convergente. Cálculos numéricos utilizando série de potências são a base para a construção de calculadoras. Cálculos algébricos, diferenciação e integração podem ser realizados com o uso de séries. O mesmo acontece com as funções trigonométricas, trigonométricas inversas, logarítmicas e hiperbólicas. E12) Ache uma função f representada pela série de potências 1 + x + x2 + x3 + ... + xn + ... E13) Considere o exercício E12 e calcule o valor aproximado de f(1/10) a) usando os dois primeiros termos da série. b) usando os três primeiros termos da série. c) usando os quatro primeiros termos da série. d) usando os cinco primeiros termos da série. E14) Calcule o valor de f(1/10) usando a lei. E15) Comparando os valores encontrados em E13 e E14, o que se pode concluir ? E16) Considere o exercício E12 e calcule o valor aproximado de f(2) a) usando os dois primeiros termos da série. b) usando os três primeiros termos da série. c) usando os quatro primeiros termos da série. E17) Calcule o valor de f(2) usando a lei. E18) Comparando os valores encontrados em E16 e E17, o que se pode concluir ? E19) Considere o exercício E12 e obtenha uma representação em série de potências para 1)g1(x) = x1 1 + 2) g2(x) = x1 1 − − 3) g3(x) = 2x1 1 − 18 4.19. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS Se f(x) = ∑ ∞ = − 0n n n )cx(b está definida no intervalo (c – R , c + R) para algum R > 0, então: a)f é derivável e f ’(x) =∑ ∞ = −− 1n 1n n )cx(nb =∑ ∞ = + −+ 0n n 1n )cx(b)1n( , para todo x ∈ (c – R , c + R). b)f é integrável e ∫ x 0 dt)t(f =∑ ∞ = + + − 0n 1n n 1n )cx(b , para todo x ∈ (c – R , c + R). E20) Seja f(x) = x1 1 − =∑ ∞ =0n nx , determine: 1) f ’(x) e a série que representa f ’(x) 2) ∫ dx)x(f e a série que representa ∫ dx)x(f 3) ∫ 2/1 0 dx)x(f e a série que representa ∫ 2/1 0 dx)x(f 4.20. SÉRIES DE TAYLOR Se f é uma função que admite uma representação em séries de potências f(x) = ∑ ∞ = − 0n n n )cx(b , quem são os bn ? f(x) = b0 + b1(x-c) + b2(x-c) 2 + b3(x-c) 3 + b4(x-c) 4 + ... + bn(x-c) n + ...⇒ f(c) = b0 f ’(x) = b1 + 2b2(x-c) + 3b3(x-c) 2 + 4b4(x-c) 3 + ... + nbn(x-c) n-1 + ... ⇒ f ’(c) = b1 = 1!b1 e b1 = !1 )c('f f ’’(x) = 2b2 + 3.2b3(x-c) + 4.3b4(x-c) 2 + ... + n(n-1)bn(x-c) n-2 + ... ⇒ f ’’(c) = 2b2 = 2!b2 e b2 = !2 )c(''f f ’’’(x) = 3.2b3 + 4.3.2b4(x-c) + ... + n(n-1)(n-2)bn(x-c) n-3 + ... ⇒ f ’’’(c) = 3.2b3= 3!b3 e b3 = !3 )c('''f f (IV)(x) = 4.3.2b4 + ... + n(n-1)(n-2)(n-3)bn(x-c) n-4 + ... ⇒ f (IV)(c) = 4.3.2b4 = 4!b4 e b4 = !4 )c(f )IV( M M M Logo b0 = f(c) e bn = !n )c(f )n( para n ≥ 1 e portanto f(x) = f(c) + ∑ − ∞ =1n n )n( )cx( !n )c(f que é denominada série de Taylor para f de centro em c, para todo x pertencente ao intervalo de convergência. 19 Se c = 0, a série de Taylor assume a forma f(x) = f(0) + f ’(0)x + 2x 2! (0)''f + 3x 3! (0)'''f + ... + n )n( x !n )0(f + ... que é denominada série de Maclaurin para f. E21) Encontre a série de Taylor de centro em c = 1 para: 1) f(x) = ln x 2) f(x) = ex 3) f(x) = x 1 E22) No exercício anterior, para que valores de x a série encontrada representa a função f ? E23) Encontre a série de Taylor de centro em c = 0 para: 1) f(x) = ln(1+ x) 2) f(x) = ex 3) f(x) = 2xe 4) f(x) = e-2x 5) f(x) = sen x 6) f(x) = sen 2x 7) f(x) = cos x 8) f(x) = 1x 1 − 20 4.21. RESPOSTAS E1) 1) Conv. S = 2 2) Div. 3) Div. E2) 1) L++++ 5 1 3 1 3 2 2 2) L++++ 65 1 35 1 14 1 2 1 3) L++++ 20 19 12 11 6 5 2 1 4) 2 + 2 + 4 + 8 + 16 + .. E3) 9 2 E4) 1) Conv. S = 1 2) Div. 3) Conv. S = 1 E6) 1) Div. 2) Conv. 3)Div. 4) Conv. 5) Div. 6) Conv. E7) 1) Conv. 2) Conv. 3)Div. 4) Conv. 5) Conv. 6) Conv. E8) 1) Div. 2) Conv. 3)Div. 4) Conv. 5) Conv. E9) 1) Conv. Abs. 2) Conv. Cond. 3) Conv. Abs. 4) Div. 5) Conv. Cond. 6) Conv. Cond. E10) 1) Conv. 2) Conv. 3) Div. 4) Div. 5) Conv. Cond. 6) Conv. Abs. 7) Div. 8) Div. E11) 1) [-1,1) 2) (-1,5) 3)ℜ 4) ℜ 5) (-1,1) 6) {-1} 7) (-1,1) 8) [-1,1) E12) f(x) = x1 1 − , (-1,1) E13) a) 1,1 b) 1,11 c) 1,111 d) 1,1111 E14) 1,111... E16) a) 3 b) 7 c) 15 E17) –1 E19) 1) n 0n n x)1(∑ ∞ = − , | x | < 1 2) n 0n x∑ ∞ = − , | x | < 1 3) n2 0n x∑ ∞ = , | x | < 1 E20) 1) f ’(x) = 2)x1( 1 − , 1n 1n xn − ∞ = ∑ 2) –ln (1 – x ) , ∑ ∞ =1n n n x 3) -ln 2 1 , L++++ 64 1 24 1 8 1 2 1 E21) 1) ∑ ∞ = − −− 1n n1n n )1x()1( 2) ∑ ∞ = − 0n n !n )1x.(e 3) n 0n n )1x()1( −−∑ ∞ = E22) 1) (0,2] 2)ℜ 3) (0,2) E23) 1) ∑ ∞ = +− 1n n1n n x)1( 2) ∑ ∞ =0n n !n x 3) ∑ ∞ =0n n2 !n x 4) ∑ ∞ = − 0n nn !n x.)2( 5) ∑ ∞ = −+ − − 1n 1n21n )!1n2( x)1( 6) ∑ ∞ = −+ − − 1n 1n21n )!1n2( )x2()1( 7) ∑ ∞ = − 0n n2n )!n2( x.)1( 8) n 0n x∑ ∞ = − 21 5. OS CONJUNTOS 2 ℜ E 3 ℜ 5.1. O CONJUNTO 2 ℜ 2ℜ = ℜℜx = { }ℜ∈y,x/)y,x( y y1 P(x1,y1) P(x,y) ∈Ox⇔ y = 0 P(x,y) ∈Oy⇔ x = 0 0 x1 x E1) Represente graficamente os conjuntos: 1) {(x,y) 2ℜ∈ / y = 2x} 2) {(x,y) 2ℜ∈ / y 2x≥ } 3) {(x,y) 2ℜ∈ / x < 2} 4) {(x,y) 2ℜ∈ / y < 3 - x} 5) {(x,y) 2ℜ∈ / 2y1 <≤ } 6) {(x,y) 2ℜ∈ / x2 + y2 ≥ 1} 7) {(x,y) 2ℜ∈ / y < ex } 5.2. O CONJUNTO 3 ℜ 3ℜ = ℜℜℜ xx = { }ℜ∈z,y,x/)z,y,x( z yOz P(x,y,z) ∈Ox⇔ y = z = 0 z1 P(x,y,z) ∈Oy⇔ x = z = 0 P(x1,y1,z1) P(x,y,z) ∈Oz⇔ x = y = 0 xOz O y1 y P(x,y,z) ∈xOy⇔ z = 0 x1 P(x,y,z) ∈xOz⇔ y = 0 xOy P(x,y,z) ∈yOz⇔ x = 0 x E2) Represente graficamente os pontos: 1) (0,2,0) 2) (-2,0,0) 3) (0,0,3) 4) (2,3,0) 5)(-1,0,2) 6) (0,-4,2) 7) (2,3,4) 8) (3,-2,-1) 9) (-1,-3,2) 10) (3,3,3) 11) (2,4,-3)12) (-1,-2,-3) E3) Represente graficamente os planos(equação de um plano do 3ℜ : ax + by + cz + d = 0): 1) z = 0 2) z = 4 3) y = 0 4) y = -2 5) x = 0 6) x = 3 7) 2x –3y + 4z – 12 =0 8) x – y + 2z – 4 = 0 9) 3x + 2y – 6 = 0 10) x + z – 2 = 0 11 ) 4y + 2z – 8 = 0 22 6. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 6.1. INTRODUÇÃO Quando dizemos que a medida do volume de um paralelepípedo retângulo depende das medidas das suas dimensões, queremos dizer que: conhecidas as medidas das arestas a, b e c, podemos determinar o seu volume V, através da expressão V = abc. A equação V = abc define V como função de a, b e c, pois dados os valores das variáveis independentes a, b e c, existe em correspondência um único valor para a variável dependente V. Uma relação deste tipo é denominada de função de três variáveis. Uma função de n variáveis é uma relação que a cada n-upla ordenada de números reais (x1,x2,...,xn) faz corresponder um único número real. E1) Seja a função dada f(x,y) = x2 + y2 (duas variáveis). Encontre: a) f(1,2) b) f(0,0) c) f(-3,-4) d) Dom f e) Im f O gráfico de f é uma superfície do 3ℜ (parabolóide abaixo). z Observação: As funções de três ou mais variáveis não podem ser representadas graficamente. 0 y x E2) Seja a função dada por f(x,y,z) = 222 zyx ++ . Determine: 1) f(0,0,0) 2) f(-1,-1,1) 3) f(1,2,3) 4) Dom f 5) Im f E3) Seja a função dada por f(x,y) = xy x3 − . Determine: 1) f(1,0) 2) f(3,-7) 3) f(1,-1) 4) Dom f 5) a representação gráfica do Dom f E4) Seja f(x,y) = yx 1 2 − . Determine: 1) f(1,0) 2) f(3,-7) 3) f(1,-1) 4) Dom f 5) a representação gráfica do Dom f 23 E5) Represente graficamente os domínios das seguintes funções : 1) f(x,y)= 1yx −+ 2) 1yx2 1 )y,x(f +− = 3) f(x,y)= ln (x2- y + 1) 4) f(x,y) = 1x xln − 6.2. CURVAS DE NÍVEL Ck = { }k)y,x(f/)y,x( 2 =ℜ∈ Seja a função dada por z= x2 + y2 . As curvas de nível para z = 0 , z =1 , z = 2 e z = 4 são : z=0 ⇒ x2 + y2 = 0 (x = y = 0 ) z=1 ⇒ x2 + y2 = 1 (circunferência de centro C(0,0) e raio 1 ) z=2 ⇒ x2 + y2 = 2 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2 ) z=4 ⇒ x2 + y2 = 4 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2 ) Mapa de curvas de nível y 2 z =4 2 z = 2 1 Observação: As curvas de nível nunca z = 1 se interceptam. z=0 -2 - 2 -1 00 1 2 2 x -1 - 2 -2 Gráfico da Função (parabolóide) z y x 24 E6) Esboce as curvas de nível das funções: 1) z = y - x2 para z = 0, z =1 e z =2 2) z = y – x para z = 0, z =2 e z =4 3) z = y – ln x para z = 0, z =1 e z =2 E7) Seja a função dada por z = 22 yx4 −− 1) Faça as curvas de nível para z = 0, z = 1 e z = 2 2) Represente graficamente a função 6.3. RESPOSTAS E1) 1) 5 2) 0 3) 25 4) 2ℜ 5) ),0[ +∞ E2) 1) 0 2) 3 3) 14 4) 3ℜ 5) ),0[ +∞ E3) 1) –3 2) – 10 9 3) 2 3 − 4) }xy/)y,x{( 2 ≠ℜ∈ E4) 1) 1 2) 4 1 3) 2 2 4) }xy/)y,x{( 22 <ℜ∈ E5) 1) }1xy/)y,x{( 2 +−≥ℜ∈ 2) }1x2y/)y,x{( 2 +≠ℜ∈ 3) }1xy/)y,x{( 22 +<ℜ∈ 4) }1xe0x/)y,x{( 2 ≠>ℜ∈ 25 7. DERIVADAS PARCIAIS Se y = f(x) é uma função de uma variável real, sua derivada f ’(x) = x )x(f)xx(f lim 0x ∆ −∆+ →∆ pode ser interpretada como a taxa de variação de y em relação a x ou como a função declividade da reta tangente ao gráfico de f. Se z = f(x,y) é uma função de duas variáveis, podemos falar em duas derivadas, por isso, denominadas derivadas parciais. Uma derivada parcial é obtida quando x varia e y permanece constante e, a outra, quando y varia e x permanece constante. As derivadas parciais de f em relação a x e a y são denotadas por fx ou x f ∂ ∂ e fy ou y f ∂ ∂ e são definidas por fx(x,y) = x )y,x(f)y,xx(f lim 0x ∆ −∆+ →∆ e fy(x,y) = y )y,x(f)yy,x(f lim 0y ∆ −∆+ →∆ Nota: ∂ é uma variante da letra grega δ (delta minúsculo). E1) Determine as derivadas parciais x z ∂ ∂ e y z ∂ ∂ das funções: 1) z = 4x2y – 5x3y2 + 2x – y 2) z = yx 3) z = ln(xy2) 4) z = 1yx 22 −+ 5) z = y2x3 xy2 − 6) z = y4x y3x2 2 + − 7) z = (2x – y)exy 8) z = 2x2ysen 2y 9) z = 2xcos (1-xy) 10) z = y2 1 x 1 − + ln exy 7.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS Considere a superfície abaixo, gráfico de uma função z = f(x,y). Para y = k (constante) a função f se reduz a uma função de uma variável x, z = f(x,k).z t z = f(x,y) P y1= k 0 y x1 x z= f(x,k) Portanto, a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x1,y1) representa a declividade da superfície no ponto (x1,y1) na direção paralela ao eixo x, isto é x f ∂ ∂ (x1,y1) = at 26 Analogamente , a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x1,y1) representa a declividade da superfície no ponto (x1,y1) na direção paralela ao eixo y, isto é y f ∂ ∂ (x1,y1) = at E2) Encontrar a declividade da reta tangente à curva resultante da intersecção de: 1) z = x2 + y2 com o plano x = 1, no ponto ( 1,2,5) 2) z = x2 + y2 com o plano y = 2, no ponto (2,2,8) 3) z = 22 y4x934 −− com o plano y = 2, no ponto (1,2,3) E3) Dada a função f(x,y) = , yx 1 y 22 2 + + determine : 1) o domínio de f 2) fx(3,4) 3) fy(3,4) 4) a declividade da reta tangente à curva intersecção do gráfico de f com o plano x = 3 no ponto (3,4). 7.2. DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM Derivadas puras: xx2 2 f x f x f x = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ; yy2 2 f y f y f y = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ Derivadas mistas ou cruzadas: yx 2 f yx f y f x = ∂∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ; xy 2 f xy f x f y = ∂∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ E4) Determinar as derivadas parciais de segunda ordem das funções dadas por: 1) z = x2y – xy2 + 2x – y 2) z = xy 3) z = ln(xy) 4) z = 2xye− 5) z = x y2 6) z = x3y2 7) z = xe-y 8) z = xsen 2y 9) z = cos (x2-y) 10) z = xln exy Observação: As derivadas parciais de segunda ordem mistas, são iguais para funções continuas com derivadas parciais continuas. 7.3. HESSIANO Chama-se Hessiano da função z = f(x,y) a função H(x,y) = )y,x(f)y,x(f )y,x(f)y,x(f yyyx xyxx 27 E5) Calcule o Hessiano da função dada por: 1)f (x,y) = x3 – y3 + 2xy – 1 no ponto (2,-1) 2) f(x,y) = x2y3 + 2xy – 4x + 3y – 5 no ponto (-1,-1) 7.4. RESPOSTAS E1) 1) 8xy – 15x2y2 + 2 ; 4x2 – 10x3y – 1 2) y ; y2 x 3) x 1 ; y 2 4) 1yx x 22 −+ ; 1yx y 22 −+ 5) 2 2 )y2x3( y4 − − ; 2 2 )y2x3( x6 − 6) 22 2 )y4x( y8xy6x2 + ++− ; 22 2 )y4x( x8x3 + −− 7)exy(2xy – y2 + 2) ; exy(2x2 – xy – 1) 8) 4xysen 2y ; 2x2(sen 2y + 2ycos 2y) 9) 2cos(1-xy) + 2xysen(1-xy) ; 2x2sen(1-xy) 10) y x 1 2 +− ; x y2 1 2 + E2) 1) 4 2) 4 3) -3 E3) 1) )}0,0{(2 −ℜ 2) 125 3 − 3) 125 996 E4) 125 996 E4) 1) 2y ; -2x ; 2x – 2y 2) 0 ; 0 ; 1 3) 2x 1 − ; 2y 1 − ; 0 4) 2xy4ey − ; )1xy2(xe2 2xy 2 −− ; )yxy(e2 3xy 2 −− 5) 3x y4 ; 0 ; 2x 2 − 6) 6xy2 ; 2x3 ; 6x2y 7) 0 ; xe-y ; -e-y 8) 0 ; -4xsen 2y ; 2cos 2y 9) –2sen(x2-y) – 4x2cos(x2 – y) ; -cos(x2 – y) ; 2xcos(x2 – y) 10) 2y ; 0 ; 2x E5) 1) 68 2) -4 28 8. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de máximo relativo ou local de f, se existir uma bola aberta de centro em (xo,yo) e raio r tal que, para todo ponto P(x,y) do domínio situado no interior dessa bola, tenhamos f(x,y) ≤ f(xo,yo). O número f(xo,yo) recebe o nome de máximo relativo ou local de f. Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de mínimo relativo ou local de f, se existir uma bola aberta de centro em (xo,yo) e raio r tal que, para todo ponto P(x,y) do domínio situado no interior dessa bola, tenhamos f(x,y) ≥ f(xo,yo). O número f(xo,yo) recebe o nome de mínimo relativo ou local de f. z (a,b) é ponto de máximo relativo de f (c,d) é ponto de mínimo relativo de f d b y a c x Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de máximo absoluto ou global de f, se para todo ponto P(x,y) do domínio, tivermos f(x,y) ≤ f(xo,yo). O número f(xo,yo) recebe o nome de máximo absoluto ou global de f. Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de mínimo absoluto ou global de f, se para todo ponto P(x,y) do domínio, tivermos f(x,y) ≥ f(xo,yo). O número f(xo,yo) recebe o nome de mínimo absoluto ou global de f. 29 8.1. PONTO CRÍTICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS Seja z = f(x,y) uma função definida num conjunto aberto D 2ℜ⊂ . Um ponto (xo,yo)∈D é um ponto de f se as derivadas parciais fx(xo,yo) e fy(xo,yo) são nulas(extremos suaves) ou não existem(extremos bruscos). Geometricamente, são pontos do gráfico da função onde o plano tangente é horizontal ou não existe. E1) Encontre os pontos críticos das funções: 1) f(x,y) = x2 + y2 2) f(x,y) = x3 + y3 – 3x2 –3y 3)f(x,y) = 4x – 2y + 4 4)f(x,y) = 22 yx + 8.2. CRITÉRIO PARA CARACTERIZAÇÃO DE PONTOS EXTREMANTES TESTE DO HESSIANO Seja z = f(x,y) uma função continua, com derivadas parciais até segunda ordem continuas e (xo,yo) um ponto crítico de f. a)Se H(xo,yo) > 0 e fxx(xo,yo) > 0 então (xo,yo) é ponto de mínimo relativo de f. b) Se H(xo,yo) > 0 e fxx(xo,yo) < 0 então (xo,yo) é ponto de máximo relativo de f. c) Se H(xo,yo) < 0 então (xo,yo) não e ponto extremante,é ponto de sela. d) Se H(xo,yo) = 0, nada se pode afirmar. E2) Determine e caracterize os pontos extremantes das funções: 1)f(x,y) = 3x4 + 8x3 - 18x2 + 6y2 + 12y – 4 2) f(x,y) = x2 + y2 – 2x + 1 3) f(x,y) = x3 + 3xy + y2 – 2 4) f(x,y) = 8x3 - 3x2 + y2 + 2xy + 2 5) f(x,y) = 3x2 + y2 – xy + 5 6) f(x,y) = x3 + y2 – 6xy + 6 7) f(x,y) = x3 + 2y2 – 3x – 4y – 8 30 8.3. MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS Seja z = f(x,y) a função da qual se quer determinar o máximo ou mínimo sujeito à condição R(x,y) = 0. z z máx de f sem restrição máx de f com restrição restrição R 0 y 0 y x x 1. MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO. Consiste em substituir x (ou y) obtido a partir da restrição R(x,y) = 0, na função f. Obtém-se dessa forma uma função de uma só variável, e o problema se reduz à determinação de máximos e mínimos da função de uma variável. E3) Seja L(x,y) = -2x2 - y2 + 32x + 20y a função lucro de uma indústria que produz e comercializa dois produtos em quantidades x e y. Calcular o lucro máximo, sabendo que a produção da indústria é limitada em 24 unidades. 2. MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. Consiste em construir a função de Lagrange L(x,y, λ ) = f(x,y) - λ R(x,y) e resolver o sistema = = ∂ ∂ = ∂ ∂ 0)y,x(R 0 y L 0 x L Os possíveis pontos extremantes de f sujeita a restrição R(x,y) = 0 são os pontos (x0 ,y0) tais que (x0 ,y0, λ ) são soluções do referido sistema. E4) Deseja-se cercar um terreno retangular de área 60 m2, de modo que o custo para cercar as laterais seja R$ 300,00 por metro linear e o custo para cercar a frente e o fundo seja de R$ 500,00 por metro linear. Determine as dimensões do terreno de tal modo que o custo para cercá-lo seja o menor possível. Nesse caso, qual o custo mínimo para cercá-lo ? 31 E5) Ache o ponto de máximo ou de mínimo das funções a seguir: 1)f(x,y) = x2 + y2 , sujeito a x + y – 4 = 0 2)f(x,y) = 2x + y – 10 , sujeito a xy = 200 3)f(x,y) = 9 - x2 - y2 , sujeito a x + y – 2 = 0 4) f(x,y) = 2/12/1 yx , sujeito a 2x + 10y = 60 E6) Suponha que a função Produção para uma empresa é z = 2/12/1 yx10 e que a função Custo associada é C = 2x + 2y + 10. Suponha, ainda, que o fabricante limita seu custo em 46 e decida em que ponto se tem a produção máxima com o custo fixado em 46. 8.4. RESPOSTAS E1) 1) (0,0) 2) (0,-1),(0,1),(2,-1) e (2,1) 3) Não tem 4) (0,0) E2) 1) (0,-1) é ponto de sela , (1,-1) e (-3,-1) são pontos de mínimo 2) (1,0) é ponto de mínimo 3) (0,0) é ponto de sela; ) 4 9 , 2 3 ( − é ponto de mínimo 4) (0,0) é ponto de sela; ) 3 1 , 3 1 ( − é ponto de mínimo 5) (0,0) é ponto de mínimo 6) (0,0) é ponto de sela ; (6,18) é ponto de mínimo 7) (-1,1) é ponto de sela ; (1,1) é ponto de mínimo E3) 204 E4) 10 m, 6 m e R$ 12000,00 E5) 1) (2,2) 2) (10,20) 3) (1,1) 4) (15,3) E6) (9,9) 32 9. BIBLIOGRAFIA ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6.ed. Porto Alegre : Bookman, 2000. v 1 e v 2. SANTOS, Ângela Rocha.; BIANCHINI, Waldecir. Aprendendo Cálculo com Maple. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S A, 2002 SALLAS, S., HILLE, E. Calculus. One variable. 7.ed New York : John Willey & Sons, Inc, 1995. STEWART, James. Cálculo. 4 ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2001. v.1 e v 2 SWOKOWSKI, Earl William. Cálculo com geometria analítica. 2.ed. São Paulo : Makron Books, 1994. v.1 TANEJA, I. J. MAPLE V uma abordagem computacional no ensino de cálculo. Florianópolis: Editora da UFSC, 1997.
Compartilhar