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GEOMETRIA ANALI´TICA Prof. Raquel Vieira Lopes Lista 1 - Sistemas de Coordenadas Nome: ra: Curso: 1. Desenhe um sistema de coordenadas cartesiano. Plote os seguintes pontos e escreva as coordenadas pro´ximo a cada ponto do seu desenho: (3, 0), (0, 2), (−3,−2), (−2, 3), (−3, 3) 2. Determine dois nu´meros reais entre −2pi e 2pi que determina cada um dos pontos no cı´rculo unita´rio. 3. Qual e´ o sinal de cada uma das seguintes expresso˜es? (a) sen(45◦)+cos(45◦) (b) sen(225◦)+cos(225◦) (c) sen ( 7pi 4 ) +cos ( 7pi 4 ) (d) sen(300◦)+cos(300◦); 4. Indicar no ciclo trigonome´trico os seguintes aˆngulos: (a) 3pi 4 (b) −5pi 4 (c) 11pi (d) −3pi (e) 25pi 3 (f) −19pi 6 (g) pi 8 (h) 11pi 8 (i) 17pi 4 5. Marque o ponto cujas coordenadas polares sa˜o dadas. A seguir encontre as coordenadas cartesianas do ponto. (a) (r, θ) = (1, pi) (b) (r, θ) = ( 2, −2pi 3 ) (c) (r, θ) = ( 1, 5pi 2 ) (d) (r, θ) = ( 2, −7pi 6 ) 6. As coordenadas cartesianas de um ponto sa˜o dadas. Encontre as coordenadas polares (r, θ) do ponto, onde r > 0 e 0 ≤ θ ≤ 2pi. (a) (2,−2) (b) (3 √ 3, 3) (c) (1,−2) 7. (a) Converta a equac¸a˜o r = 2 para uma equac¸a˜o em coordenadas retangulares. (b) Converta a equac¸a˜o r = −2cos(θ) para uma equac¸a˜o em coordenadas retangulares. 8. Encontre a equac¸a˜o cartesiana para a curva descrita pela equac¸a˜o polar dada: (a) r = sen(θ) (b) rcos(θ) = 1 (c) r = 2sen(θ) + 2cos(θ) 9. Encontre uma equac¸a˜o polar para a curva representada pela equac¸a˜o cartesiana x2+y2 = 9. 10. (a) Suponha que tg(θ) = −4 3 , com 0 < θ < pi. Encontre o valor exato de tg(θ + pi). (b) Suponha que tg(θ) = −4 3 , com 0 < θ < pi. Encontre o valor exato de cotg(pi). (c) Encontre todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o √ 2sec(θ) + 2 = 0 no intervalo [0, 2pi]. Page 2 (d) Suponha que um cabo suporte liga, a partir do topo, uma antena de 25 metros a um ponto no cha˜o a 20 metros a partir da base da antena. Qual e´ o aˆngulo entre o cabo e o cha˜o. (e) Com respeito ao diagrama abaixo, encontre o valor exato de sen(θ). (f) Suponha que sen(θ) = 1 3 , com pi 2 < θ < pi. Encontre o valor exato de sen(2θ). (g) Suponha que sen(θ) = −5 13 , com 3pi 2 < θ < 2pi e cos(α) = −3 5 , com pi < α < 3pi 2 . Encontre o valor exato de sen(θ + α). (h) Se sen(θ) = √ 3 2 e cotg(θ) < 0, encontre o valor exato de tg(θ). (i) Em um certo momento do dia, um monumento produz uma sombra de 790 me- tros. A partir do extremo da sombra, o aˆngulo que e´ formado entre a horizontal e o topo do monumento e´ de 35◦. Use esta informac¸a˜o para encontrar a altura do monumento. Page 3
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