Lista 1 - Equação diferencial

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Primeira lista de exerc´ıcios
A´lgebra Linear e Equac¸o˜es Diferenciais
SME0141
Tiago Pereira, Ton Marar
2 de Agosto de 2016
1. Em cada case verifique se a func¸a˜o e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
correspondente e determinar c de modo que a soluc¸a˜o particular resultante
satisfac¸a a condic¸a˜o dada:
(a) y′ + y = 1; y(t) = 1 + c e−t; y = 3 quando t = 0
(b) t y′ = 3y, y(t) = c t3; y = 1 quando t = −2
(c) y′′ + 9y = 0; y(t) = cos 3t+ c sen 3t; y = 5 quando t = pi/6
2. Encontre as soluc¸o˜es de cada uma das equac¸o˜es diferenciais abaixo:
(a) y′ + y2 sen t = 3t2y2 (b) y′ = y2 cos t (c) 2y3y′ = 3t2
(d) (1 + t2)y′ = t y(1 + y2) (e) z′ = z
2−5xz
x2 (f) y
′ = ty
(g) (1 + x2)y′ = 1 + y2 (h) z′ = x
2+xz
z2+xz
3. Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo:
(a) y′ + y2 sen t = 3t2y2, y(0) = 1 (b) y′ = y2 cos t, y(0) = −1
(c) (1 + x2)y′ = (1 + y2), y(1) = 0 (d) y′ = y2 sen t, y(0) = 1
4. Encontre a soluc¸a˜o geral de cada uma das equac¸o˜es abaixo:
(a) t y′ − 2y = 0 (b) y′ cos t+ y sen t = 0
(c) y′ + y = cos t+ sen t (d) y′ cos t+ y sen t = cos t+ sen t
(e) ty′ + y = (t− 1)et (f) ty′ − 2y = t3
(g) z′ + 2tz = 4t e−2t
2
(h) y′ + ety = 3et
5. Resolva cada um dos problemas de valor inicial abaixo:
(a)
{
t y′ − 2y = ln t
y(1) = 0
(b)
{
(1 + t2)y′ + 2ty = 6t2
y(0) = 5
(c)
{
y′ sen t+ y cos t = cos 2t
y(pi/2) = 3
(d)
{
y′ + 1t−2y = 3t
y(0) = 3
6. Verifique que as equac¸o˜es abaixo sa˜o exatas e encontre suas curvas inte-
grais:
(a) (2ax+ by) + (bx+ 2ay)y′ = 0 (b) (ey + cosx) + x ey y′ = 0
(c) ex cos y − (ex sen y)y′ = 0 (d) (x+ y2)/x2 = 2(y/x)y′
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7. Para cada uma das equac¸o˜es abaixo, encontre um fator integrante e de-
termine suas curvas integrais
(a) cos y − y′ sen y = 0 (b) y2 + x = 2 y x y′
(c) t+ t2 − y2 − t y y′ = 0
8. Achar uma curva que passa pelo ponto (0,−2) de modo que o coeficiente
angular da reta tangente em qualquer um dos seus pontos seja igual ao
triplo da ordenada do mesmo ponto.
9. Um paraquedista cai desde uma altura inicial y(0) = y0 = 10.000[m]. A
equac¸a˜o de Newton para a posic¸a˜o, y(t), do paraquedista se escreve
my′′ = −mg − γ y′.
A massa do paraquedista e´ m = 75[kg]. Com o paraquedas fechado se
tem que γ = 10.6[kg/s], e quando o paraquedas esta´ aberto se tem que
γ = 176.6[kg/s]. Qual e´ a altura mı´nima a` qual o paraquedista deve abrir
o paraquedas se sabe-se que a velocidade ma´xima de impacto (para ele
na˜o se machucar) e´ de 6[m/s]?.
10. A taxa de variac¸a˜o da pressa˜o atmosfe´rica P em relac¸a˜o a` altura h e´
diretamente proporcional a` pressa˜o. Supondo que a pressa˜o a 6000 metros
seja metade de seu valor P0 ao n´ıvel do mar, achar a fo´rmula para qualquer
altura.
11. Uma coloˆnia de bacte´rias cresce a uma raza˜o proporcional ao nu´mero de
bacte´rias presentes. Se o nu´mero de bacte´rias duplica a cada 24 horas,
quantas horas sera˜o necessa´rias para que este nu´mero aumente cem vezes
sua quantidade original?
12. Um tanque de 200 litros de capacidad conte´m incialmente 40 litros de a´gua
pura. A partir do instante t = 0, adiciona-se no tanque uma soluc¸a˜o de
salmoura com 250 gramas de sal por litro, a` raza˜o de 12 litros por minuto.
A mistura e´ suposta uniforme, escoa do tanque a` raza˜o de 8 litros/minuto.
Determinar: o tempo necessa´rio para que ocorra o transbordamento; a
concentrac¸a˜o de sal na mistura presente no tanque no instante do trans-
bordamento.
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