Apostila de Álgebra Linear

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Apostila de Álgebra Linear		
Notas de Aula de Álgebra Linear
1. MATRIZES
O conceito de matriz e suas operações são essenciais para o estudo da Álgebra Linear. Por isso será feito a seguir uma pequena revisão de matrizes.
1.1.1 Matriz com Dimensões m(n
Definição: Seja a matriz A, com elementos dispostos em m linhas e n colunas. Neste caso, a matriz A é representada por:
Como exemplo, vamos definir algumas matrizes com ordens baixas que serão usadas para definir operações nesta revisão. Assim:
	
		
		
Exemplo 1.1: 	Sejam as matrizes 
,	
,	
.
1.1.2 Tipos Especiais de Matrizes
Matriz Nula – é aquela em que 
, para todo i e j.
Exemplo 1.2:	
Matriz Diagonal – é uma matriz quadrada (m = n) onde 
, para 
 , isto é, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.
Exemplo 1.3:	
.
Matriz Identidade – é aquela em que 
 e 
, para 
.
Exemplo 1.4:	
.
Matriz Triangular Superior – é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, m = n e 
 para i > j .
Exemplo 1.5:
Matriz Triangular Inferior – é aquela em que m = n e 
 para i < j .
Exemplo 1.6:
Matriz Simétrica – é aquela em que m = n e 
.
Exemplo 1.7:	
1.1.3 Operações com Matrizes
Adição: A soma de duas matrizes da mesma ordem, 
 , é uma matriz 
3 ( 3 , que denotaremos por A + B , cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B. Isto é,
Exemplo 1.8:
Multiplicação por Escalar: Seja a matriz 
 e k um número, então, define-se multiplicação de matriz por escalar uma nova matriz na seguinte forma:
Exemplo 1.9:
Transposição de Matriz : Dada uma matriz 
, pode-se obter outra matriz 
, cujas linhas são as colunas de A , isto é, 
 . A matriz 
 é denominada transposta de A.
Exemplo 1.10:
Multiplicação de Matrizes – Sejam as matrizes 
, define-se 
 , onde 
Exemplo 1.11:
Determinante de uma Matriz
Definição: Sejam as matrizes 
 e 
. Os respectivos determinantes são definidos por:
Exemplo 1.12 Seja 
.
Matriz singular
Definição: uma matriz quadrada 
 cujo determinante é nulo é uma matriz singular.
Exemplo 1.13 Seja 
. 
. Logo, A é uma matriz singular.
Matriz não singular
Definição: uma matriz quadrada 
 cujo determinante é diferente de zero é uma matriz não singular.
Exemplo 1.14 Seja 
. 
. Logo, A é uma matriz não singular.
Matriz Inversa
Definição: Seja a matriz quadrada 
. Denomina-se matriz inversa de A, a matriz 
 tal que 
 , onde 
 é a matriz identidade de ordem n. 
Propriedades da Matriz Inversa
I) Se a matriz A é não singular admite inversa 
e esta é única.
II) Se a matriz A é não singular, sua inversa 
 também é. A matriz inversa de 
 é A.
III) A matriz identidade I é não singular e é sua própria inversa: 
.
IV) Se a matriz A é não singular, sua transposta 
 também é. A matriz inversa de 
 é 
.
V) Se as matrizes A e B são não singulares e de mesma ordem, o produto AB é uma matriz não singular. A inversa de AB é a matriz 
.
Matriz dos Cofatores
Definição: Seja a matriz 
. Denomina-se matriz dos cofatores de A , a matriz cujos elementos são os cofatores dos elementos de A e denota-se por:	
Onde, 
 é o cofator ou complemento algébrico do elemento 
 da matriz inicial e 
 é a submatriz da matriz A inicial, de onde foram suprimidas a i-ésima linha e a j-ésima coluna. Portanto, é uma matriz quadrada de ordem n-1.
Exemplo 1.15: Obtenha a matriz dos cofatores da matriz A seguinte.
Portanto, a matriz dos cofatores de A, neste caso, é:
Matriz Adjunta
Definição: Seja a matriz 
. Denomina-se matriz adjunta de A a transposta da matriz dos cofatores de A. E denota-se por:
Exemplo 1.16: Obtenha a matriz adjunta da matriz A do exemplo anterior, 1.15.
Matriz Inversa
Teorema : Uma matriz quadrada A tem inversa se, e somente se, det A ( 0. Neste caso, tem-se:
Exemplo 1.17: Obtenha a matriz inversa da matriz A dada abaixo.
Verificação: 
1.1.4 Problemas Propostos
1.1.1) Sejam as matrizes 
 . Encontre:
a) A+B	b) A.C + B.C	c) C.D		d) D.A		e) B - A
1.1.2) Sejam as matrizes 
, Calcule:
a) A+B	b) B+C	c) 2A-C	d) 3B+3C-A	e) AB		f) BC
g) BAT	h) AB-C	i) ABC		j) AAT		k) 2BT-C+3A
1.1.3) Dadas as matrizes 
 e 
 , calcule:
a)	detA + detB		b) det(A + B).
1.1.4) Calcule o determinante das matrizes:
a) 
	b) 
	c) 
1.1.5) Calcule a matriz inversa de cada uma das matrizes:
a) 
		b) 
		c) 
1.1.5 Operações Elementares.
As operações elementares sobre as linhas de uma matriz são três: 
i) Permutação das linhas i-ésima e j-ésima 
.
Exemplo 1.23: 
 (
)
ii) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k. 
.
Exemplo 1.24: 
iii) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha. 
.
Exemplo 1.25: 
1.1.6 Cálculo da Inversa de uma Matriz por Meio de Operações Elementares.
Para se determinar a matriz inversa de uma matriz A, basta seguir o seguinte procedimento:
coloca-se ao lado da matriz A a matriz identidade I, com a mesma dimensão de A, separada por um traço vertical;
transforma-se, por meio de operações elementares, a matriz A na matriz I, aplicando-se, simultaneamente, à matriz I, colocada ao lado da matriz A, as mesmas operações elementares.
Exemplos resolvidos:
1) Determine a matriz inversa da matriz 
.
Solução:
	
	(	
	
(
�� EMBED Equation.3 (
�� EMBED Equation.3 (
	
( 
	
(
	
(
(	
Uma vez que a matriz A foi transformada na matriz I, a matriz:
é a matriz inversa de A. Faça a verificação fazendo o produto 
, cujo resultado deve ser I.
2) Determine a matriz inversa da matriz 
.
Solução:
 
 ( 
 
( 
(	
	
	(	
(	
2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
2.2.1 Equação Linear
Definição – Seja R o conjunto dos números reais. Denomina-se equação linear uma expressão algébrica da forma:
							(2.1)
onde, 
 ;
os 
 são chamados coeficientes dos 
;
os 
 são chamados incógnitas ou variáveis; e
b é chamado termo independente, termo constante ou simplesmente constante da equação.
Exemplo 2.1: 
 , onde 3, 2 e 3 são os coeficientes das variáveis (incógnitas) x, y e z. O termo constante da equação é o 4.
Solução de uma Equação Linear– é o conjunto de valores que atribuídos as incógnitas , torna verdadeira a equação. Ou, dito de outra forma, satisfaz a equação.
Exemplo-2.2 Seja a n-upla 
.Se ao fazer-se 
 na equação (1), resultar 
 verdadeira, então S é solução de (1).
Exemplo-2.3 Considere a equação linear 
 . A quádrupla u = (3, 2, 1, 0) é solução da equação dada, pois , 
 resulta em 
 ou seja torna a equação (igualdade) verdadeira.
2.2.2 Sistema de Equações Lineares
Definição – Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo:
						(2.2)
Onde, os 
 , são números reais. (
).
Solução de um Sistema de Equações Lineares– Uma solução do sistema linear (2.2) é uma n-upla de números 
 que satisfaz simultaneamente as m equações de (2.2).
Exemplo 2.4. Considere o seguinte sistema de equações lineares:
A tripla ordenada S = (2, 3, -1) é uma solução deste sistema porque substituindo-se S nas três equações do sistema , S torna as três equações verdadeiras. Verifique.
2.3 Forma Matricial
Pode-se escrever o sistema de equações lineares (2.2) numa forma matricial. Ou seja 
						(2.3)
ou
onde 
matriz dos coeficientes;
		matriz das incógnitas;
		matriz dos termos constantes ou independentes.
Exemplo 2.5 Considere o seguinte sistema de equações lineares:
		
Sendo a última expressão acima a sua forma matricial. 
2.3.1 Matriz Ampliada do Sistema
Matriz ampliada de um sistema de equações é a matriz dos coeficientes deste sistema de equaçõescom mais a coluna de seus termos constantes (independentes). 
Exemplo 2.6: A matriz ampliada do sistema de equações lineares (2.2) é a seguinte.
						(2.4)
Exemplo 2.7: A matriz ampliada do sistema de equações lineares do exemplo 2.5 é a seguinte.
2.3.2 Matriz Linha Equivalente
Se A e B são matrizes m ( n , diz-se que B é matriz linha equivalente a A se B for obtida de A através de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A.
Notações : 
 .
Exemplo 2.8: 
 é linha equivalente a 
 , pois
Teorema 2.1 – Dois sistemas lineares que tem matrizes ampliadas equivalentes são equivalentes.
Exemplo 2.9: Seja o sistema de equações lineares seguinte
		cuja matriz ampliada é	
.
Através de operações elementares chega-se a seguinte matriz ampliada
	cujo sistema associado é	
Os sistemas, inicial e final, são equivalentes como garante o teorema, isto é, a solução de um dos sistemas é também solução do outro. Verifique.
2.4 Escalonamento e classificação de sistemas lineares.
2.4.1 Matriz Escalonada (Escada)
Definição-5: Uma matriz m ( n é linha reduzida a forma escalonada (escada) se :
O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha, tem todos os seus outros elementos iguais a zero.
Toda a linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto é, daquelas que tem pelo menos um elemento não nulo).
Se as linhas 1, ... , r são linhas não nulas , e se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki , então 
 . (Esta condição impõe a forma escalonada à matriz.)
Exemplo 2.28: A matriz abaixo é uma matriz escalonada porque satisfaz todas as condições da Definição-5.
Teorema 2.2: Toda matriz 
 é linha equivalente a uma única matriz-linha reduzida à forma escalonada. (veja a demonstração deste teorema na página 60 da Referência 1)
Definição-6: Dada uma matriz 
 e seja 
 a matriz-linha reduzida à forma escalonada linha equivalente a A. O Posto de A (ou Característica de A), denotado por p (ou c ), é o número de linhas não nulas de B.
Exemplo 2.29: Encontre o posto e a nulidade de A, onde 
Reduzindo A à matriz –linha equivalente , obtém-se:
Logo, o posto de A é 3.
2.4.2 Soluções de um sistema de Equações Lineares
Teorema 1.3: 
Um sistema de m equações lineares e n incógnitas admite solução se, e somente se o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes.
Se as duas matrizes tem o mesmo posto p e p = n , a solução será única.
Se as duas matrizes tiverem o mesmo posto p e p < n , pode-se escolher n – p incógnitas, e as outras p incógnitas serão dadas em função destas. (Neste caso diz-se que o grau de liberdade do sistema é n – p.)
Notação: 	
 posto da matriz dos coeficientes.
 posto da matriz ampliada. Se 
 , denota-se o posto da matriz simplesmente por p.
Exemplo 2.30: 
Neste caso, tem-se: 
. Então, a solução é única e 
 . 
Exemplo 2.31: 
Neste caso, tem-se: 
 Tem-se um grau de liberdade 
( n – p = 3 – 2 = 1 ). As soluções são do tipo: 
.
Exemplo 2.32: 
Neste caso, tem-se: 
 O sistema é impossível, isto é, não tem solução.
2.5 Métodos de Resolução
Para se resolver um sistema de n equações com n variáveis (incógnitas), serão apresentados dois métodos: o método de Gauss-Jordan e o método da Matriz Inversa.
2.5.1 Método de Gauss-Jordan
O método de Gauss-Jordan é constituído do seguinte processo:
1) coloca-se ao lado da matriz dos coeficientes das variáveis, separada por um traço vertical, a matriz coluna dos termos independentes, formando a matriz ampliada do sistema.
2) transforma-se, por meio de operações elementares, a matriz dos coeficientes na matriz unidade, aplicando-se, simultaneamente, à matriz coluna, colocada ao lado da matriz dos coeficientes das variáveis, as mesmas operações.
3) transformada a matriz dos coeficientes na matriz unidade, a matriz dos termos independentes ficará transformada, ao final, na solução do sistema.
Exemplo 2.33: Resolver o sistema abaixo pelo método de Gauss-Jordan
Solução:
	
	(	
	
	(
	
	(	
	
	(
	
	(	
	
	(
 
	(	
 
 (
De acordo com o que foi explicado, o sistema inicial de equações lineares foi transformado no sistema equivalente:
Cuja solução é:	
.
2.5.2 Método da Matriz Inversa
Para simplificar a dedução da fórmula, será usado aqui um sistema de 3 equações com 3 variáveis, porém, os resultados são válidos para qualquer sistema de n equações com n variáveis.
Seja o sistema de 3 equações com 3 variáveis:
Transformando-se para a forma matricial, resulta:
Usando a notação abreviada, tem-se:
Onde,
		
	
Admitindo-se a existência da matriz inversa de A, 
, e pré-multiplicando-se ambos os membros da igualdade, vem:
	mas, 
	logo, 
	mas, 
Logo,
										(5)
Assim, a solução do sistema é obtida pela multiplicação da matriz inversa 
 da matriz dos coeficientes pela matriz coluna dos termos independentes B.
Exemplo 2.34: Resolver o sistema abaixo pelo método da matriz-inversa.
Solução:
	
	
Determinação da inversa 
, pelo método das operações elementares.
	
	(	
	
(
�� EMBED Equation.3 (
�� EMBED Equation.3 (
	
( 
	
(
	
(
(	
Uma vez que a matriz A foi transformada na matriz I, a matriz:
É a matriz inversa de A. Assim, a solução do sistema é dada por:
Ou 
Problemas Resolvidos.
2.35. Resolver o seguinte sistema de equações lineares:
a) Para 
, 
, 
b) Para 
, 
, 
c) Para 
, 
, 
Solução:
Fazendo:
	
	
	
	
Os três sistemas se transformam em:
1) 
2) 
3) 
E a solução deles é dada pela fórmula (5):
1) 
2) 
3) 
Mas, obtendo-se a inversa de A, por um dos métodos, chaga-se a:
Portanto,
1) 
Isto, é:	
.
2) 
Isto, é:	
.
3) 
Isto, é:	
.
Obs.: esse tipo de sistemas é muito comum em Macroeconomia.
Exercícios Propostos:
2.1) Resolver os sistemas pelo método de Gauss-Jordan:
a) 
	b) 
	c) 
2.2) Resolver os sistemas pelo método da matriz inversa:
a) Para 
, 
, 
b) Para 
, 
, 
c) Para 
, 
, 
Respostas:
1) a) 
;		b) 
;	c) 
2) a) 
;	b) 
; c) 
3. VETORES
Este capítulo tem por objetivo principal, revisar resumidamente a noção de vetor no R2 e no R3.e sua propriedades [3].
3.1 Definições.
	O estudo de vetores será fundamentado no conjunto de todos os pontos do espaço tridimensional ou Euclidiano, que será indicado por R3. 
	Os pontos de R3 serão denotados por letras latinas maiúsculas (A,B,C,...), as retas, por letras latinas minúsculas (a, b, c, ...) e os planos, por letras gregas minúsculas ((, (, (,...). 
3.1.1 Grandezas Escalares e Vetoriais.
	As grandezas físicas se subdividem em escalares e vetoriais. As grandezas escalares se caracterizam por sua intensidade ou tamanho (um número e sua unidade correspondente), como por exemplo: o tempo, a massa, a temperatura, comprimento, etc. As grandezas vetoriais se caracterizam por três componentes ou sejam intensidade, direção e sentido, como por exemplo: a força, o momento linear, o deslocamento, etc.
Exemplo 3.1: Grandezas Escalares:
50 kg de massa;
30 minutos;
15 m de comprimento.
 Grandezas vetoriais.
Uma força de 5 N fazendo um angulo de 30( com a reta x e tendo o sentido da esquerda para a direita. Veja a figura baixo.
 
= 5 N
 30(
 x
Uma velocidade de 10 m/s na direção da reta s e no sentido da direita para a esquerda. Veja a figura abaixo.
 
= 10 m/ss
3.1.2 Segmento Orientado.
	Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos (A, B) sendo o primeiro chamado de origem e o segundo de extremidade. Sua representação geométrica é feita por uma seta indo do ponto A para o ponto B, conforme na figura abaixo.
 ( B
 A(
	A direção de um segmento orientado é dada pela sua reta suporte, isto é, pela reta que contém os pontos que o define ou por qualquer reta paralela a ela.
	O sentido de um segmento orientado é definido pela orientação do ponto origem para o ponto extremidade ou pela seta na sua representação geométrica.
	O comprimento de um segmento orientado é a medida do segmento geométrico que vai desde o ponto origem até o ponto extremidade. Exemplo:
 A( (B
 4 cm
	Segmentos orientados nulos são aqueles cuja origem e cuja extremidade é o mesmo ponto. Exemplos: (A,A), (B,B), (P,P), etc.
	Segmentos opostos são dois segmentos com mesma direção, mesmo comprimento e sentidos opostos. Por exemplo, se A ( B , então os segmentos (A,B) e (B,A) são segmentos opostos.
3.1.3 Vetor
Definição : Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados que tem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Notação:
a) Se (A,B) é um segmento orientado, o vetor correspondente é denotado por 
. O segmento orientado (A,B) é chamado de representante do vetor 
.
b) Usa-se também letras latinas minúsculas para indicar vetores. Por exemplo, 
. Neste caso, não se faz referência a seu representante.
Exemplo 3.2: 
 B
 
 
 
 
 
 A 
Vetor nulo é aquele cujo representante é um segmento orientado nulo e é representado por 
 
Vetores opostos - Dado um vetor 
 , o vetor 
 é o oposto de 
 e se indica por -
 ou 
.
Módulo (ou norma) de um vetor é o comprimento de qualquer um de seus representantes. Por exemplo, se 
 for um vetor qualquer, o módulo de 
 é indicado por 
.
Vetor unitário - é o vetor cujo módulo é igual a unidade, ou seja, se 
 é unitário então 
.
Versor - de um vetor 
 não nulo é o vetor unitário com mesma direção e mesmo sentido que 
 ou seja
3.2 Adição de vetores
Para todos os vetores 
 e 
 de R3 , a operação de adição de 
 e 
 faz corresponder um vetor chamado soma indicado por 
 + 
Regra do Triângulo para a Adição de Vetores. - Sejam os vetores 
 e 
 dados por seus representantes (A,C) e (C,B), respectivamente, então a soma 
 + 
 é dada pelo representante (A,B), como pode ser visto na figura abaixo.
 
 C ( 
 
 
 
 A ( (B 
 
 + 
Regra do Paralelogramo para a Adição de Vetores. - Sejam os vetores 
 e 
 dados por seus representantes (A,D) e (A,B), respectivamente, então a soma 
 + 
 é dada pelo representante (A,C), como pode ser visto na figura abaixo.
 D ( ( C 
 
 
 
 + 
 
 A( ( B 
 
 
Propriedades da adição de vetores
	Sejam os vetores 
 quaisquer e 
 o vetor nulo, então as seguintes propriedades são válidas para a adição de vetores:
A.1) Propriedade Associativa.
A.2) Propriedade Comutativa.
�� EMBED Equation.2 �� EMBED Equation.2 
A.3) Elemento Neutro.
A.4) Elemento Oposto
Subtração de vetores
	A subtração do vetor 
 pelo vetor 
 é por definição a soma do vetor 
 com o vetor oposto de 
, ou seja
3.3 Multiplicação de escalar (número real ) por vetor
	Seja 
 um vetor qualquer de R3 e seja ( um número real qualquer. A multiplicação do escalar ( pelo vetor 
 é a operação “externa” em R3 que a cada escalar ( e a cada vetor 
 associa um vetor (
 tal que:
1) Se (=0 ou 
 , então 
 (por definição).
2) Se 
, então 
 é caracterizado por:
a) 
 é paralelo a 
.
b) 
 e 
 tem mesmo sentido se 
 e sentidos contrários de 
.
c) 
, isto é, o módulo de 
 é igual ao produto do módulo de ( pela norma de 
 .
Propriedades da multiplicação de escalar por vetores
Sejam os vetores 
 quaisquer e os escalares 
 quaisquer, então as seguintes propriedades são válidas para a multiplicação de escalar por vetor:
M.1) 
;
M.2) 
;
M.3) Elemento Neutro
 ; 
M.4) 
.
Exercícios propostos
3.1 Sejam os vetores 
 quaisquer, represente graficamente 
 
a) Usando a regra do triângulo.
b) Usando a regra do paralelogramo.
3.2 Demonstre graficamente a propriedade comutativa da adição de vetores ou seja mostre que 
 = 
.
3.3 Seja o vetor 
 qualquer. Represente graficamente 
 = 2
.
3.4 Sejam os vetores 
e 
 quaisquer, represente graficamente 
. Explique a operação.
3.5 Demonstre que o segmento que une os pontos M e N que dividem os lados AC e CB em segmentos de tamanhos 1/3 e 2/3, é igual a 2/3 da medida da base, isto é, prove que 
. C 
 
 M N
 A B
3.6 Seja o triangulo ABC , e seja X o ponto médio de AB . Ache a relação 
 XC = f( AC, BC )
 C 
 A X B
3.7 Seja o vetor 
de módulo igual a 3 cm e o vetor 
 de módulo igual a 4 cm, sabendo que o ângulo entre eles é de 90(, represente graficamente 
 
a) Usando a regra do triângulo.
b) Usando a regra do paralelogramo.
3.8 Dados os vetores 
 abaixo obtenha a soma 
 
 
3.9 Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é igual a semi-soma das medidas das bases, isto é, prove que 
.
 D C
 M N
 A B
3.2. VETORES NO R2
3.2.1 definições
O conjunto R2 é dado por
,
e representa o Espaço Bidimensional e geometricamente é interpretado pelo plano cartesiano xOy. Veja figura a baixo.
Qualquer vetor 
 considerado neste plano tem sempre um representante [segmento orientado (O,P)], cuja origem é a origem do sistema. Veja figura abaixo.
Neste curso, serão considerados, geralmente, vetores representados por segmentos orientados com origem na origem do sistema. Nessas condições, cada vetor do plano é determinado pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x,y) individualiza o vetor 
 (veja a figura abaixo) e escreve-se: 
. Portanto, identificam-se as coordenadas de P com as componentes de 
.
A origem do sistema, o ponto O(0,0), representa o vetor nulo.
O vetor oposto de 
 é o vetor 
.
3.2.2 Igualdade de Vetores
Dois vetores 
 e 
 são iguais se, e somente se, 
 e 
 e escreve-se 
.
Exemplos:
1) Os vetorese 
 são iguais.
2) Determine x e y para que os vetores 
 e 
 sejam iguais.
Solução:
Da definição de igualdade, tem-se: 
 e 
 ( x = 4 e y = 5.
3.2.3 Operações com Vetores
Adição de Vetores
Definição: Para somar dois vetores 
 e 
, somam-se suas componentes correspondentes, isto é,
Produto de Vetores por um Número
Definição: Para multiplicar um vetor 
 por um número a(R, multiplica-se cada componente do vetor por este número, isto é,
Exemplos:
1) Se 
 e 
, calcule 
 e 
.
Solução:
3.2.4 Vetor Definido por dois Pontos
Ocorre, às vezes, o caso de um vetor ser representado por um segmento orientado que não parte da origem do sistema. Considere o vetor 
 de origem no ponto 
 e extremidade 
. Veja a figura abaixo.
Usando a regra do triângulo para adição de vetores, tem-se: 
. Isolando o vetor 
 no primeiro membro, resulta: 
. E, portanto:
Isto é, as componentes do vetor 
 são obtidas pela diferença entre as coordenadas da extremidade B e as da origem A.
Exemplos:
1) Se 
 e 
, obtenha as componentes do vetor 
.
Solução:
3.2.5 Produto Escalar
3.2.5.1 Definição
Chama-se produto escalar (ou produto interno) de dois vetores 
 e 
, e se representa por 
, ao número real:
Obs.: Lê-se “
 escalar 
”.
Exemplos:
1) Se 
 e 
, obtenha o produto escalar. 
.
Solução:
3.2.5.2 Módulo de um Vetor
Módulo de um vetor 
, representado por 
, é o número real não negativo:
Finalmente,
Exemplos:
1) Se 
, obtenha o módulo de 
.
Solução:
Obs.: Dado um vetor 
 com extremidades nos pontos 
 e 
, o módulo desse vetor é dado por 
3.2.5.3 Vetor Unitário ou Versor
A partir de cada vetor 
 é possível obter um vetor unitário ou versor de 
 representado por 
 e definido por:
Exemplos:
1) Se 
, obtenha o vetor unitário de 
.
Solução:
3.2.5.4 Propriedades do Produto Escalar
Para quaisquer 
 e para qualquer número real k , tem-se:
	(comutativa);
	 (distributiva em relação a adição de vetores);
Obs.: Como conseqüência das propriedades do produto escalar, obtém-se:
							(1)
e
							(2)
Demonstração de (1):
3.2.6 Ângulo entre dois vetores
Definição: Sejam os vetores não nulos 
 e 
 e sejam os pontos A, B e C tais que 
 e 
 (veja a figura abaixo). Seja ( a medida em radianos (graus) do “ângulo BÂC” satisfazendo a restrição 
.
 B
 (
 A C
Então, o número ( é chamado medida em radianos (graus) do ângulo entre 
 e 
.
3.2.6.1 Cálculo do ângulo entre dois vetores
Sejam os vetores 
 e 
. O ângulo formado por 
 e 
 pode ser calculado pela fórmula 
Exemplos:
1) Se 
 e 
, obtenha a medida do ângulo entre os vetores 
 e 
.
Solução:
e
	(	
3.2.6 Condição de Ortogonalidade de dois Vetores
Sejam dois vetores quaisquer 
 e 
. O vetor 
 é ortogonal a 
(
) se, e somente se, 
.
Demonstração: Partindo da fórmula do ângulo entre dois vetores, tem-se:
Mas, se 
 e 
 são ortogonais, o ângulo entre eles é de 90(. Portanto,
Exemplos:
1) Se 
 e 
, verifique se são ortogonais.
Solução:
. Logo, são ortogonais.
3.2.7 Condição de Paralelismo entre dois Vetores
Se dois vetores quaisquer 
 e 
 são paralelos (ou colineares), existe um número real k tal que:
Ou seja, 
O que implica,
	(	
Isto é, dois vetores 
 e 
 são paralelos quando suas componentes são proporcionais.
Exemplos:
1) Se 
 e 
, verifique se são paralelos.
Solução:
		(	
Portanto, os dois vetores são paralelos.
3.2.8 Projeção do vetor 
 na direção do vetor 
Sejam os vetores 
 e 
, sendo 
 e 
, e ( o ângulo entre eles. A projeção do vetor 
 sobre o vetor 
, representada por 
, é o vetor definido por
 
 (
 
 
3.3. VETORES NO R3
3.3.1 definições
O conjunto R3 é dado por
.
E representa o Espaço Tridimensional. Geometricamente, é interpretado pelo espaço cartesiano tridimensional Oxyz. Veja figura a baixo.
Da mesma forma que foi feito para o plano, considera-se geralmente vetores representados por segmentos orientados com origem na origem do sistema. Nessas condições cada vetor do espaço é determinado pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x,y,z) individualiza o vetor 
 (veja figura acima) e escreve-se:
Identificando-se as coordenadas de P com as componentes de 
.
A origem do sistema O(0,0,0) representa o vetor nulo.
O vetor oposto de 
 é o vetor 
.
De forma análoga à que foi feito no plano, tem-se no espaço:
1) Dois vetores 
 e 
 são iguais se, e somente se, 
, 
 e 
.
2) Dados os vetores 
 e 
 e o número real “a”, define-se:
3) Se 
 e 
 são dois pontos quaisquer no espaço, então:
4) O produto escalar dos vetores 
 e 
 é o número real:
5) O módulo do vetor 
 é dado por:
6) Se 
 e 
 são vetores não nulos e ( é o ângulo formado por eles, então:
7) Para 
, 
 e um número real k, tem-se:
a) Condição de Paralelismo: 
 se, e somente se, 
;
b) Condição de ortogonalidade: 
 se, e somente se, 
.
Exemplos:
1) Determine 
, sabendo que:	
.
Solução:
Inicialmente, da expressão dada, obtém-se:
Fazendo 
, resulta:
Da condição de igualdade de vetores, resulta:
Portanto, 
2) Sabendo-se que a distância entre os pontos A(-1, 2, 3) e B(1,-1, m) é 7, calcule m.
Solução:
Dois pontos determinam um vetor, logo:
Mas, a distância entre os pontos A e B é igual ao módulo do vetor 
. Logo,
( 
( 
	Resolvendo a equação do 2º. grau em “m”, resulta:	
.
3) Calcule o ângulo entre os vetores 
 e 
.
Solução:
 
Logo, 		
.
4) Prove que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, -1) e C(2, 2, -2) é um triângulo retângulo.
Solução:
A forma mais simples de provar que um triângulo é retângulo, é mostrar que o produto escalar de dois vetores que determinam os lados do triângulo é nulo. Assim, 
Agora, testando o produto escalar dos vetores que determinam os lados, dois a dois.
 não formam ângulo reto.
 formam ângulo reto.
Portanto, se tem um ângulo reto, o triângulo é retângulo.
Exercícios propostos.
3.3.1 Ache a medida em graus do ângulo entre 
 e 
 nos casos abaixo.
a) 
b) 
c) 
3.3.2 Ache x de modo que 
 ( 
 nos casos abaixo.
a) 
b) 
c)
3.3.3 Calcule o perímetro do triângulo de vértices A(0,1,2), B(-1,0,-1) e C(2,-1,0).
3.3.4 Seja o triângulo de vértices A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e C(3,-2,1). Determinar o ângulo interno ao vértice B.
3.3.5 Dados os vetores 
, 
 e 
, determinar o valor de ( para que o vetor 
 seja ortogonal ao vetor 
.
4. ESPAÇOS VETORIAIS FINITOS E REAIS.
4.1 Introdução.
Sabe-se que o conjunto:
É interpretado geometricamente como sendo o Plano Cartesiano. Um par (x, y) pode ser encarado como um ponto (Figura 3.1.a) e, nesse caso x e y são coordenadas, ou pode ser encarado com um vetor (Figura 3.1.b) e, nesse caso, x e y são componentes.
	Essa mesma idéia, em relação ao plano, se estende para o espaço tridimensional que é a interpretação geométrica do conjunto R3. Embora se perca a visão geométrica de espaços com dimensão acima de 3, é possível estender essa idéia a espaços como R4, R5 , (, Rn . Assim, quádruplas de números 
 podem ser vistas como pontos ou vetores no espaço R4. De maneira similar, o espaço de dimensão “n” (ou espaço n-dimensional) será constituído pelo conjunto de todas as ênuplas ordenadas e representado por Rn, isto é:A maneira de se trabalhar nesses espaços é idêntica àquela vista em R2 e em R3.
Por exemplo, se :
 e 
São vetores do Rn e ( um escalar, define-se:
a) 
 se, e somente se, 
.
b) 
.
c) 
d) 
.
e) 
4.2 Definição de Espaço Vetorial.
Definição: Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações: adição e multiplicação por escalar, isto é:
Para todo 
;
Para todo 
 e para todo 
O conjunto V com essas duas operações é chamado Espaço Vetorial Real (ou espaço vetorial sobre R) se forem verificados os seguintes axiomas: 
A) Em relação a adição:
A1) 
;
A2) 
;
A3) Existe 
 tal que 
 (
 é chamado vetor nulo), 
;
A4) 
, existe 
 tal que 
.
M) Em relação a multiplicação por escalar:
M1) 
;
M2) 
;
M3) 
;
M4) Existe 
 tal que 
, 
.
Observações:
1) Os elementos do espaço vetorial V são chamados vetores, independentemente de sua natureza. Parece estranho a primeira vista se chamar de vetores “os polinômios”, as “matrizes”, etc. A justificativa está no fato de as operações de adição e multiplicação por escalar realizadas com esses elementos de natureza tão distinta se comportarem de forma idêntica, como se estivesse trabalhando com os vetores do R2ou do R3.
2) Se na definição acima se tivesse tomado para escalares o conjunto C dos números complexos, V seria um espaço vetorial complexo.
Exemplos:
1) O conjunto 
 é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas:
Demonstração em sala de aula.
2) Os conjuntos 
, são espaços vetoriais com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
3) O conjunto R em relação as operações de adição e multiplicação por escalar usuais é um espaço vetorial. Nesse caso, os vetores são os números reais e os escalares também são os números reais.
4) O conjunto M(m,n) das matrizes 
 com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais é um espaço vetorial. Nesse caso, os vetores são as matrizes e os escalares são os números reais.
5) O conjunto 
 dos polinômios de grau ( n, mais o polinômio nulo, em relação as operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial. Nesse caso, os vetores são os polinômios e os escalares são os números reais.
4.3 Propriedades dos Espaços Vetoriais
Da definição de espaço vetorial V decorrem as seguintes propriedades:
I) Existe um único vetor nulo em V (elemento neutro da adição).
II) Cada vetor 
 admite apenas um simétrico 
.
III) Para quaisquer vetores 
, se 
, então 
.
IV) Para todo 
, tem-se: 
, isto é, o oposto de 
 é 
.
V) Quaisquer que sejam 
, existe um e somente um 
 tal que: 
.
VI) Qualquer que seja 
, tem-se: 
.
VII) Qualquer que seja 
, tem-se: 
.
VIII) 
 implica 
 ou 
.
IX) Para todo 
, tem-se: 
.
X) Para todo 
 e 
, tem-se: 
.
4.4 Subespaços Vetoriais
Definição: Seja V um espaço vetorial e S um subconjunto não-vazio de V. O subconjunto S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por escalar definidas em V.
Teorema: Um subconjunto S, não-vazio, de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se estiverem satisfeitas as condições:
I) Para todo 
, tem-se:
II) Para todo o 
 e para todo 
, tem-se:
Demonstração: Será demonstrado que sendo válidas essas duas condições em S, os oito axiomas de espaço vetorial também se verificam em S.
De fato: Seja 
 um vetor qualquer de S. Pela condição II, 
 para todo 
. Fazendo-se 
( = 0, vem 
, ou seja, 
 (axioma A3). Fazendo-se ( = -1, segue 
(axioma A4).
	Os demais axiomas A1, A2, M1, M2, M3 e M4 de espaço vetorial são verificados em S pelo fato de S ser um subconjunto não-vazio de V.
OBs.: Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o conjunto 
, chamado subespaço zero ou nulo, e o próprio espaço vetorial V. Esses dois são chamados subespaços triviais de V. Os demais subespaços são denominados subespaços próprios de V.
Exemplos:
1) Sejam 
 e 
, isto é, S é o conjunto de vetores do plano que tem a segunda componente igual ao dobro da primeira.
Evidentemente que 
, pois (0, 0)(S.
Verifiquemos agora as condições I e II.
Para 
 e 
, tem-se:
I) 
, pois a segunda componente de 
 é igual ao dobro da primeira.
II) 
, pois a segunda componente de 
 é igual ao dobro da primeira.
Portanto, S é um subespaço vetorial de 
. Esse subespaço S representa geometricamente uma reta que passa pela origem. (veja figura abaixo).
2) Sejam 
 e 
, isto é, S é o conjunto de vetores do plano que tem a segunda componente igual ao dobro da primeira.
Nesse caso:
 implica 
.
 implica 
.
I) Somando essas igualdades, resulta:
e essa igualdade mostra que:
pois as coordenadas de 
 satisfazem a equação 
II) Por outro lado,
Pois, se:
,		então:		
.
Ou	
	o que vem mostrar que as coordenadas de 
 satisfazem a equação 
.
Logo, S é um subespaço vetorial de 
. Esse subespaço S representa um plano qualquer passando pela origem no 
.
4.5 Combinação Linear.
Definição: Sejam V um espaço vetorial real, 
, do espaço vetorial V e os valores escalares 
. Qualquer vetor 
 da forma:
 
é uma Combinação Linear dos vetores 
.
Exemplos:
1) No espaço vetorial P2, do polinômios de grau ( 2, o polinômio 
 é uma combinação linear dos polinômios:	
 e 
.
De fato:
2) Considere os vetores 
 e 
 no 
:
a) Escreva o vetor 
 como combinação linear dos vetores 
 e 
.
b) Mostre que o vetor 
 não é combinação linear dos vetores 
 e 
.
c) Determine o valor de k para que o vetor 
 seja combinação linear dos vetores 
 e 
.
d) Determine a condição para x, y e z de modo que (x, y, z) seja combinação linear dos vetores 
 e 
.
Soluções:
a) Pretende-se que: 	
, sendo 
 e 
 escalares a determinar. Então, deve-se ter:
Pela condição de igualdade de dois vetores resulta:
Resolvendo o sistema acima, obtém-se: 	
 e 
. Portanto, 
b) Deve-se mostrar que não existem escalares 
 e 
 tais que:
Com procedimento análogo ao do problema (a), tem-se:
De onde resulta:
Observe que esse sistema difere do anterior pelos termos independentes. Como esse sistema é incompatível, isto é, não tem solução, logo, conclui-se que o vetor 
 não pode ser escrito como combinação linear dos vetores 
 e 
.
c) Deve-se ter: 
	ou 	
. De onde vem:
Do qual resulta como solução do problema proposto, k=13 com 
 e 
. Ou seja 
d) Deve-se ter: 
Donde resulta:
O vetor (x,y,z) somente será combinação linear de 
 e 
 se o sistema tiver solução, e isto somente ocorre se:
		ou		
Assim, todos os vetores 
, que são combinações lineares de 
 e 
, tem a forma:
com 
.
4.5.1 Subespaços Gerados
Definição: Seja V um espaço vetorial. Considere um subconjunto 
, com 
A ((. O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V. Simbolicamente, o subespaço S pode ser representado por:
Observações:
1) o subespaço S diz-se ser gerado pelos vetores 
, ou gerado pelo conjunto A, e representado por:
Os vetores 
 são chamados de geradores do subespaço S, enquanto A é o conjunto gerador de S.
2) Para o caso particular de A = (, define-se: [(] = { 0 }.
3) 
.
4) Todo conjunto A ( V gera um subespaço vetorial de V, podendo ocorrer G(A) = V. Nesse caso, A é o conjunto gerador de V.
Exemplos:
1) Os vetores 
 e 
 geram o espaço vetorial 
, pois qualquer vetor (x, y)(
 é combinação linear de 
. De fato:
. Logo, 
.
2) Os vetores 
 e 
 do espaço vetorial 
 geram o subespaço:
Pois, 
Logo, 
 é um subespaço próprio do 
 e representa, geometricamente o plano x0y. Veja figura abaixo.
3) Os vetores 
,
 e 
geram o espaço vetorial 
, pois qualquervetor 
 é combinação linear de 
:
ou
Portanto,	
.
4) Seja 
. Determinar o subespaço gerado pelo vetor 
.
Solução:
Da definição, tem-se:	
Da igualdade: 
, vem: 	x = a; y = 2a; z = 3a.	Donde: y = 2x; z = 3x.
Logo, 
	ou	
4.6 Dependência e Independência Linear
Definição 4.4: Sejam V um espaço vetorial, e 
. Diz-se que o conjunto A é linearmente independente ou os vetores 
 são linearmente independentes (LI) se a equação
tiver apenas a solução trivial ou seja 
. No caso em que exista algum 
, diz-se que o conjunto A é linearmente dependente ou os vetores 
 são linearmente dependentes (LD).
Exemplos:
1) No espaço vetorial 
, os vetores 
, 
 e 
 formam um conjunto linearmente dependente, pois
Ou seja
2) No espaço vetorial 
, o conjunto de vetores os vetores 
, tal que 
 
 e 
 formam um conjunto linearmente independente. 
De fato: 
ou
Portanto,
Logo,
 é um conjunto de vetores LI.
3) No espaço vetorial M(2,2), mostre que o conjunto
		é LD.
Examine a equação
					(1)
Ou de modo equivalente
E daí o sistema
Cuja solução é 
 e 
. Como existem soluções 
 para a equação (1), o conjunto A é LD.
Teorema : Um conjunto 
 é LD se, e somente se, pelo menos um desses vetores é combinação linear dos outros.
Demonstração: Veja no livro do Steinbruch [2] (página 58).
Exemplos:
1) V = R3. Sejam 
. 
 é LD se, e somente se 
 estiverem na mesma reta, que passa pela origem. 
.
2) V = R3. Sejam 
. 
 é LD se estes três vetores estiverem no mesmo plano, que passa pela origem. 
.
3) Nos gráficos a seguir são apresentadas interpretações geométricas da dependência linear de dois e três vetores no 
.
Exercícios Propostos:
1) Verifique se são LI ou LD os seguintes conjuntos:
a) 
b) 
c) 
d) 
Obs.: solução na página 61 do livro do Steinbruch [2].
4.6.1 Propriedade da Dependência e Independência Linear
Seja V um espaço vetorial.
I) Se 
 e 
, então A é LI.
II) Se um conjunto 
 contém o vetor nulo, então A é LD.
III) Se uma parte de um conjunto 
 é LD, então A é LD.
IV) Se um conjunto 
 é LI, qualquer parte 
de A é também LI.
Obs.: Demonstrações nas páginas 64, 65 e 66 do livro do Steinbruch [2]
4.7 Bases e Dimensões dos Espaços Vetoriais
4.7.1 Base de um Espaço Vetorial
Seja V um espaço vetorial. Chama-se base de V um subconjunto de seus vetores que gere todos os demais vetores de V.
Definição: Um conjunto 
 de vetores de V será uma base se:
é Linearmente Independente (LI);
 , isto é, se o espaço gerado pelo conjunto 
 for igual ao espaço vetorial V.
Exemplos:
1) Sejam V = R2, 
 Então, o conjunto 
 é base de V, conhecida como base canônica ou ortonormal de R2 , pois 
I) 
 se, e somente se a = b = 0. Verifique.
II) E 
 gera R2.
2) Sejam V = R2, 
 Neste caso, o conjunto 
 não é base de R2 , porque são LD. Se (0, 0) = a(0, 1) + b(0, 2) , tem-se a = -2b e assim a e b não são necessariamente zero. 
3) Sejam V = R3, 
 Então, o conjunto 
 é base de V, conhecida como base canônica ou ortonormal de R3 , pois 
I) 
 se, e somente se a = b = c = 0. Verifique.
II) E 
 gera R3.
4) Seja 
. Mostre que B é base de M(2, 2).
I) 
 ou 
, donde vem: a=b=c=d=0. Portanto, B é LI.
II) Por outro lado B gera M(2,2), pois qualquer 
 e pode ser escrito assim: 
Logo, B é base de M(2,2).
4.7.2 Teorema
Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores 
. Então, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD (e portanto qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores).
Demonstração: Veja no livro do Steinbruch [2] (página 71).
4.7.3 Corolário
Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de vetores.
Demonstração: Veja no livro do Steinbruch [2] (página 72).
4.7.4 Dimensão de um Espaço Vetorial
Seja V um espaço vetorial. Se V possui uma base com n vetores, então V tem dimensão n e 
anota-se: dim V= n.
Se V não tem base, então dim V = 0. Se V tem uma base com infinitos vetores, então a dimensão de V é infinita ou seja dim V = (.
Exemplos:
dim R2 = 2, pois toda base do R2 tem dois vetores.
dim Rn = n.
dim M(2,2) = 4, onde M(2,2) é o espaço vetorial das matrizes 2(2.
dim M(m,n) = m(n.
dim 
 = n+1, onde 
 é o espaço vetorial dos polinômios de grau ( n.
dim { 
 } = 0.
Obs.:
1) Seja V um espaço vetorial tal que dim V = n. Se S é um subespaço de V, então dim S ( n. No caso de dim S = n, tem-se S = V.
2) Seja 
. A dimensão de qualquer subespaço S do 
 só poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Os subespaços de 
, tem as seguintes interpretações geométricas:
I) dim S = 0, então S = {
} é a origem do 
.
II) dim S = 1, então S é uma reta que passa pela origem.
III) dim S = 2, então S é um plano que passa pela origem.
IV) dim S = 3, então S é o próprio 
.
4.7.5 Teorema
Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Qualquer conjunto de vetores LI em V é parte de uma base, isto é, pode ser completado até formar uma base de V.
Demonstração: ver livro do Steinbruch página 74 [2].
4.7.6 Teorema
Dada uma base 
 de V, cada vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear de 
.
Demonstração: Veja no livro do Steinbruch página 75 [2].
4.7.7 Componentes de um vetor
Sejam 
 base de V e 
 onde 
 . Chamam-se estes números 
 de componentes ou coordenadas de 
 em relação à base B e se representa por:
	ou na forma matricial 
.
A n-upla 
 é chamada vetor-coordenada de 
 em relação a base B e o vetor-coluna
 é chamado matriz-coordenada de 
 em relação a base B.
Exemplos:
1) No 
, considere as bases: A = {(1,0), (0, 1)}; B = {(2, 0), (1, 3)}; C = {(1, -3), (2, 4)}.
Dado o vetor 
, tem-se:
(8, 6) = 8(1, 0) + 6(0, 1)
(8, 6) = 3(2, 0) + 2(1, 3)
(8, 6) = 2(1, -3) + 3(2, 4)
Com a notação acima, escreve-se:	
; 
; 
.
2) Determine a dimensão e uma base do espaço vetorial 
.
Solução:
Isolando-se z na equação acima, tem-se:	z = -2x – y, onde x e y são variáveis livres. Logo, qualquer vetor 
 tem a forma: (x, y, -2x – y) e, portanto pode-se escrever:
(x, y, z) = (x, y, -2x – y)	ou 	(x, y, z) = x(1, 0, -2) + y( 0, 1, -1)
Isto é, todo vetor de S é combinação linear dos vetores (1, 0, -2) e (0, 1, -1). Como esses dois vetores de S são LI, eles formam uma base de S e conseqüentemente dim S = 2.
Exercícios propostos
1) Sejam os vetores 
, 
 e 
. Mostrar que o conjunto 
 é uma base de 
. (página 79).
2) Seja B = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1) uma base de 
. (a) determinar o vetor coordenada e a matriz-coordenada de 
 em relação a base B. (b) determinar o vetor 
 cujo vetor coordenada em relação a B é 
. (página 81 [2]).
Exercícios propostos
Nos exercícios de 1 a 7 apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, indicar os axiomas que não se verificam.
1) 
 e 
.
2) 
 com as operações usuais.
3) 
 e 
.
4) 
 e 
.
5) 
 e 
6) 
 com as operações usuais.
7) 
 com as operações usuais.
Nos exercícios de 8 a 13 são apresentados subconjuntos de 
. Verificar quais deles são subespaços vetoriais de 
 relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
8) 
.
9) 
.
10) 
.
11) 
.
12) 
.
13) 
.
Bibliografia
[1] BOLDRIN, C e FIGUEIREDO, W., Álgebra Linear, Ed. Arbra Ltda, São Paulo, 1986.
[2] STEINBRUCH, A.e WINTERLE, P., Algebra Linear, McGraw-Hill, São Paulo, 1987.
[3] BOULOS, P., Geometria Analitica: um tratamento vetorial , Makron Books, São Paulo, 1987
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