2ª LISTA - GEOMETRIA ANALÍTICA - 2016/2

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2a Lista de Geometria Analı´tica e Ca´lculo Vetorial
Circunfereˆncia e Coˆnicas
Circunfereˆncia
1. Determine a equac¸a˜o da circunfereˆncia de centro C(2,−1) e que passa
por P (3, 3).
2. Determine o centro e o raio das seguintes circunfereˆncias:
(a) x2 + y2 − 6y + 8 = 0;
(b) 2x2 + 2y2 + 8x+ 8y − 34 = 0.
3. Qual o ponto sime´trico da origem com relac¸a˜o ao centro da circun-
fereˆncia x2 + y2 + 2x+ 4y = r2?
4. Determine a, b e c de modo que a equac¸a˜o 36x2 + ay2 + bxy + 24x −
12y + c = 0 represente uma circunfereˆncia.
5. Qual a relac¸a˜o entre m,n e p para que circunfereˆncia de equac¸a˜o x2 +
y2 −mx− ny + p = 0 passe pela origem?
6. Dada a circunfereˆncia x2+y2−mx−ny+p = 0, obtenhaa relac¸a˜o entre
m,n e p para que a circunfereˆncia tangencie os eixos coordenados.
7. Calcule a distaˆncia do centro da circunfereˆncia λ : x2+y2+5x−7y−1 =
0 a` reta s : 4x+ 3y = 0.
8. Dadas a circunfereˆncia (x − 1)2 + y2 = 4 e a reta s : x = k, para que
valores de k a reta intercepta a circunfereˆncia em pontos distintos?
9. Dadas a reta s : x + y + c = 0 e a circunfereˆncia λ : x2 + y2 − 2x = 0,
obter c de modo que s seja exterior a λ.
10. Qual o comprimento da corda que a reta s : 7x−24y−4 = 0 determina
na circunfereˆncia λ : x2 + y2 − 2x+ 6y − 15 = 0?
11. Determine as a´reas dos triaˆngulos iso´sceles inscritos na circunfereˆncia
λ : (x−1)2+(y+2)2 = 100 e que teˆm base sobre a reta r : 3x−4y+19 =
0.
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12. As circunfereˆncias de equac¸a˜o
x2 + y2 − 10x+ 2y + 16 = 0 e x2 + y2 − 8x+ 4y + 16 = 0
interceptam-se nos pontos A e B. Determine a distaˆncia do centro da
circunfereˆncia de raio maior a` reta que conte´m A e B.
13. Obtenha as circunfereˆncias de centro C(−2, 1) e tangentes a` circun-
fereˆncia x2 + y2 + 4x− 6y = 0.
Coˆnicas
14. Encontre a equac¸a˜o da elipse de focos nos pontos F1(−1, 0) e F2(1, 0)
e´ tal que a soma das distaˆncias a F1 e F2 e´ igual a 4.
15. Encontre a equac¸a˜o da hipe´rbole de focos nos pontos F1(−1, 0) e F2(1, 0)
tal que o mo´dulo das diferenc¸as das distaˆncias F1 e F2 e´ igual a 1.
16. Encontre o foco e a diretriz da para´bola dada pela equac¸a˜o y2 − 2y =
x− 5.
17. Dada a reta r : y = −1
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x e a para´bola λ : y = x2 − x − 2, obtenha a
tangente a λ que e´ perpendicular a r, bem como o ponto de tangeˆncia.
18. Obtenha as tangentes a elipse λ2x2 + 3y2 = 6 que sa˜o paralelas a`
r : y = x.
19. Obtenha as tangentes a hipe´rbole λ : x2 − y2 = 1 que sa˜o paralelas a`
r : y = 2x.
20. Caracterize as coˆnicas abaixo, determine todos os seus elementos e fac¸a
um esboc¸o no plano cartesiano:
(a) 9x2 + 25y2 − 36x+ 50y − 164 = 0;
(b) y2 − 4x− 6y + 13 = 0;
(c) 5x2 − 4y2 + 30x+ 16y + 49 = 0;
(d) x2 − 4x− 12y − 32 = 0;
(e) 9x2 + 5y2 + 54x− 30y + 81 = 0;
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