Equação Polar e Cartesiana - Lista CLC B Jardel

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
MTM 5162 - CA´LCULO B
Unidade 3: Exerc´ıcios-Lista 4
Prof. Jardel Morais Pereira
1. Determine as coordenadas cartesianas dos pontos dados em coordenadas polares e
represente-os no plano.
(a) (2,−pi
2
) (b) (−4, 11pi
6
) (c) (4,−pi
3
) (d) (3,−3pi
2
) (e) (−6,−pi
4
) (f) (3, pi)
2. Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos em
coordenadas cartesianas.
(a) (−2, 2) (b) (2
√
3, 2) (c) (
√
3, 1) (d) (−3,−3) (e) (2
√
2, 2) (f) (4, 0)
3 Esboce a curva r = 4(sen θ+cos θ) e identifique-a determinando a equac¸a˜o em coordenadas
polares correspondente.
4. Mostre que o gra´fico de r = 2a cos θ+ 2b sen θ ou e´ um ponto ou e´ um c´ırculo que passa
pela origem. Determine o centro e o raio do c´ırculo.
5. Transforme a equac¸a˜o cartesiana dada em uma equac¸a˜o polar equivalente.
(a) y = x2 (b) x2 − y2 = 9 (c) y2 = x(x2 − y2) (d) xy = 1 (e) x2 + y2 = 25
6. Esboce a curva e ache a a´rea limitada por ela.
(a) r2 = 4 cos 2θ (b) r = 4− sen θ (c) r = sen 3θ (d) r2 = sen 2θ
7. Ache a a´rea do lac¸o interno da curva r = 1 + 2 sen θ.
8. Ache a a´rea dentro de ambas as curvas.
(a) r = 3 + 2 sen θ, r = 2 (b) r = sen 2θ, r = cos 2θ
9. Ache a a´rea dentro do lac¸o maior e fora do lac¸o menor da curva r = 12 + cos θ.
10. Calcule o comprimento de arco da curva dada.
(a) r = 5 cos θ, 0 ≤ θ ≤ 3pi/4 (b) r = 2θ, 0 ≤ θ ≤ 2pi (c) r = cos2( θ2)
11. Ache o comprimento do segmento parabo´lico r = 6/(1 + cos 2θ), 0 ≤ θ ≤ 2pi.
12. Ache o comprimento das curvas
(a) r = 8 sen3
(
θ
3
)
(b) r =
√
1 + cos 2θ, 0 ≤ θ ≤ pi√2.
Respostas: 1. (−2, 0) (−2√3, 2) (2,−2√3) (0, 3) (−3√2, 3√2) (−3, 0) 2.
(2
√
2, 7pi/4), (−2√2, 3pi/4); (4, pi/3), (−4, 4pi/3); (2, pi/3), (−2, 4pi/3);
1
(3
√
2, pi/4), (−3√2, 5pi/4); (2√3, pi/4), (−2√3, 5pi/4); (4, 0), (−4, 0) 3. (x−2)2+(y−
2)2 = 8 4. (x− a)2 + (y− b)2 = a2 + b2; a = b = 0 ⇒ (0, 0), caso contra´rio, e´ um c´ırculo
com centro em (a, b) e raio (a2+b2)
1
2 . 5. (a) r2 cos2θ = r sen θ (b) r2 cos2θ−r2 sen2θ = 9
(c) r2 sen θ = r3 cos θ cos 2θ (d) r2 cos θ sen θ = 1 (e) r = 5 6. (a)A = 8 (b) A = 33pi2
(c) A = pi/4 (d) A = 2 7. A = pi − 3
√
3
2 8. (a)
19pi
3 − 11
√
3
2 (b)
pi
2 − 1 9.
pi+3
√
3
4 10. (a)
15pi
4 (b)
√
1 + (ln 2)2(4pi−1)/ ln 2 (c) ... 11. 3√2 + ln (1 +√2) 12.
(a) pi8 +
3
8 (b) 2pi
2