Sinais e Sistemas no Tempo Contínuo - Material Complementar

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Prof. MSc. Osmar Tormena Junior
Sinais e Sistemas no Tempo Contínuo
— Material Complementar
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Lista de Figuras
Figura 1 – Convergência da Série de Fourier truncada, ilus-
trando o fenômeno de Gibbs. . . . . . . . . . . . 21
Figura 2 – Onda quadrada periódica. . . . . . . . . . . . . . 32
Figura 3 – Os coeficientes da série de Fourier e sua envoltó-
ria, para o sinal onda quadrada periódico, com:
(a) T = 2T1; (b) T = 4T1; (c) T = 8T1. . . . . . . 34
Figura 4 – (a) Sinal aperiódico x(t) e (b) sinal periódico x˜(t),
obtido a partir de x(t). . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 5 – (a) Região de Convergência na plano s; (b) Dia-
grama de polos e zeros no plano s. . . . . . . . . 56
Figura 6 – Função sinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Figura 7 – Função degrau unitário (ou função de Heaviside). 78
Figura 8 – Função impulso unitário (ou função de delta de
Dirac). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Figura 9 – Função retangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Figura 10 – Função triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Figura 11 – Função gama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Figura 12 – Função gaussiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Figura 13 – Função sinc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Figura 14 – Função de Bessel de primeira espécie. . . . . . . 88
Figura 15 – Função de Bessel de segunda espécie. . . . . . . . 89
Lista de Tabelas
Tabela 1 – Propriedades das Séries de Fourier. . . . . . . . . 26
Tabela 2 – Séries de Fourier de sinais periódicos. . . . . . . 28
Tabela 3 – Propriedades da Transformada de Fourier. . . . 48
Tabela 4 – Pares transformados de Fourier. . . . . . . . . . 50
Tabela 5 – Propriedades da Transformada de Laplace. . . . 65
Tabela 6 – Pares comuns da Transformada de Laplace. . . . 66
Tabela 7 – Propriedades da Transformada de Laplace Unila-
teral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Sumário
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 SÉRIES DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Perspectiva histórica . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Resposta de sistemas LIT às exponenciais com-
plexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Representação de sinais periódicos através de
Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Convergência da Série de Fourier . . . . . . . . 18
1.5 Propriedades da Série de Fourier . . . . . . . . . 20
1.5.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.2 Deslocamento no tempo . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.3 Reflexão no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.4 Mudança na escala de tempo . . . . . . . . . . . . 24
1.5.5 Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.6 Conjugação e simetria conjugada . . . . . . . . . . 24
1.5.7 Relação de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Séries de Fourier para sinais periódicos comuns. 27
2 TRANSFORMADA DE FOURIER . . . . . . . . 31
2.1 Representação de sinais através da Transformada
de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1 Definição da Transformada de Fourier . . . . . . . . 32
2.1.2 Convergência da Transformada de Fourier . . . . . . 37
2.2 Transformada de Fourier para sinais periódicos . 39
2.3 Propriedades da Transformada de Fourier no tempo
contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2 Deslocamento no tempo . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.3 Conjugação e simetria conjugada . . . . . . . . . . 41
2.3.4 Diferenciação e integração . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.5 Mudança na escala de tempo e na frequência . . . . 43
2.3.6 Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.7 Relação de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.8 Propriedade da convolução . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.9 Propriedade da multiplicação . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Pares transformados de Fourier comuns . . . . . 50
2.5 Definições alternativas da Transformada de Fou-
rier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 TRANSFORMADA DE LAPLACE . . . . . . . . 53
3.1 A Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . 54
3.2 A Região de Convergência da Transformada de
Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . 59
3.4 Propriedades da Transformada de Laplace . . . 59
3.4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.2 Deslocamento no tempo . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.3 Deslocamento no domínio s . . . . . . . . . . . . . 61
3.4.4 Mudança na escala do tempo . . . . . . . . . . . . 61
3.4.5 Conjugação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.6 Propriedade da Convolução . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.7 Diferenciação temporal . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.8 Diferenciação no domínio s . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.9 Integração temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4.10 Teoremas de Valor Final e Inicial . . . . . . . . . . 64
3.5 Pares comuns da Transformada de Laplace . . . 66
3.6 Transformada de Laplace Unilateral . . . . . . . 68
3.6.1 Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral 69
Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
APÊNDICES 73
APÊNDICE A – FUNÇÕES “EXÓTICAS” COMUNS
EM ENGENHARIA . . . . . . . . . 75
A.1 Função Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
A.2 Função Degrau Unitário . . . . . . . . . . . . . . 77
A.2.1 Discrepância entre as Transformadas de Laplace e de
Fourier da Função Degrau Unitário . . . . . . . . . 79
A.3 Função Impulso Unitário . . . . . . . . . . . . . . 79
A.4 Função Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
A.5 Função Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
A.6 Função Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A.7 Função Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A.8 Função Sinc (Seno Cardinal) . . . . . . . . . . . 85
A.9 Funções de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
A.9.1 Funções de Bessel de primeira espécie . . . . . . . . 87
A.9.2 Funções de Bessel de segunda espécie . . . . . . . . 88
APÊNDICE B – EXPANSÃO EM FRAÇÕES PAR-
CIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . 91
B.1 Divisão longa de polinômios . . . . . . . . . . . . 94
B.2 n polos distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
B.3 Polos com multiplicidade . . . . . . . . . . . . . 96
B.4 Polos complexos conjugados . . . . . . . . . . . 97
B.4.1 Completar o quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Introdução
Este texto consiste de uma referência aos conhecimentos da obten-
ção da Série de Fourier de um sinal periódico no tempo contínuo;
a obtenção da Transformada de Fourier para um sinal no tempo
contínuo e a obtenção da Transformada de Laplace para sinais no
tempo contínuo.
Sinais no tempo contínuo são descritos como funções matemá-
ticas, como x(t), onde o domínio (i.e. intervalo válido da variável
independente t) é todos os reais, ou seja t ∈ R.
O objetivo dos capítulos a seguir é revisar e servir como simples
referência a estas transformações que são ferramentas fundamentais
na análise de sinais e sistemas no tempo contínuo.
Em suma, este trabalho serve como uma ferramenta de apoio
no desenvolvimento da disciplina de Sinais e Sistemas, retomando
de forma simples, sucinta e direta, os conceitos apresentados na
disciplina de Métodos de Matemática Aplicada.
CAPÍTULO 1
Séries de Fourier
Como será abordado neste capítulo, sinais periódicos no tempo contí-
nuo podem ser representados por séries de exponenciais complexas1,
a esta representação é dado o nome de Séries de Fourier.
1.1 Perspectiva histórica
O desenvolvimento da análise de Fourier é um trabalho coletivo que
se espalhou nos séculos. A utilização de somas trigonométricas já
erautilizada pelos babilônios, no mundo antigo, para prever eventos
astronômicos.
O estudo moderno da análise de Fourier se iniciou com os tra-
balhos publicados por Leonhard Euler2, em 1748, sobre a análise
do movimento de cordas vibrantes. Outros nomes que contribuíram
1 Relação de Euler: e±jθ = cos θ ± j sen θ
2 (1707 – 1783) matemático e físico suíço.
12 Capítulo 1. Séries de Fourier
para o desenvolvimento da teoria foram Daniel Bernoulli3 em 1753,
e Joseph-Louis Lagrange4 em 1759.
Jean Baptiste Joseph Fourier5, apresentou suas ideias sobre sé-
ries trigonométricas cinco décadas mais tarde. Suas contribuições,
que hoje levam seu nome, só foram devidamente apreciadas após
sua morte. Independentemente disto, foram avanços de grande im-
pacto no desenvolvimento da matemática, ciências e engenharia.
1.2 Resposta de sistemas lineares e invariantes no tempo
às exponenciais complexas
É vantajoso representar sinais arbitrários como combinações lineares
de sinais básicos, principalmente se este conjunto de sinais básicos
for capaz de representar uma classe ampla e útil de sinais arbitrários.
A importância da análise de Fourier está no fato que é possível
aplicar exponenciais complexas est (onde s é complexo) como sinais e
entrada (x(t)) em sistemas LIT (Lineares e Invariantes no Tempo) e
obter no sinal de saída (y(t)) a mesma exponencial complexa, apenas
com uma alteração de amplitude e fase, ou seja
x(t) = est −→ y(t) = H(s)est (1.1)
sendo H(s) uma função a valores complexos, sobre a variável com-
plexa s. Assim, dada a relação exposta na Eq. 1.1, a função est é
uma autofunção do sistema e H(s) o seu autovalor associado.
Considerando um sistema LIT com resposta impulsiva h(t), para
uma entrada x(t) o sinal de saída y(t) é determinado pela integral
3 (1700 – 1782) matemático e físico suíço.
4 (1736 – 1813) matemático e astrônomo italiano.
5 (1768 – 1830) matemático e físico francês.
1.2. Resposta de sistemas LIT às exponenciais complexas 13
de convolução6. Com x(t) = est
y(t) =
∫ ∞
−∞
h(τ)x(t− τ)dτ (1.2)
=
∫ ∞
−∞
h(τ)es(t−τ) dτ (1.3)
reescrevendo es(t−τ) como este−sτ e vendo que est é constante na
integração sobre τ em
y(t) = est
∫ ∞
−∞
h(τ)e−sτ dτ (1.4)
Assumindo que a integração seja convergente, o resultado pode ser
escrito como
y(t) = H(s)est (1.5)
onde H(s) é um valor complexo, obtido de h(t) através de
H(s) =
∫ ∞
−∞
h(τ)e−sτ dτ (1.6)
Desta forma, em um sistema LIT, se o sinal de entrada for da
forma
x(t) = a1e
s1t + a2e
s2t + a3e
s3t (1.7)
o sinal de saída poderá ser obtido através de
y(t) = a1H(s1)e
s1t + a2H(s2)e
s2t + a3H(s3)e
s3t (1.8)
Assim, de forma generalizada, se a entrada for da forma
x(t) =
∑
k
ake
skt (1.9)
a saída será
y(t) =
∑
k
akH(sk)e
skt (1.10)
A análise das seções subsequentes tomam a variável s como pu-
ramente imaginária, ou seja, s = jω.
6 Este resultado é estudado na disciplina de Sinais e Sistemas.
14 Capítulo 1. Séries de Fourier
1.3 Representação de sinais periódicos no tempo contínuo
através de Séries de Fourier
Um sinal pode ser considerado periódico com período T se
x(t) = x(t+ T ), para todo t (1.11)
O período é o menor valor não nulo de T que satisfaz a Eq. 1.11.
O valor ω0 = 2piT é chamado de frequência fundamental (dada em
rad/s).
Um sinal exponencial complexo
x(t) = ejω0t (1.12)
é um exemplo de um sinal periódico. Com este sinal é possível cons-
truir o grupo de exponencial complexas harmonicamente relaciona-
das
φk(t) = e
jkω0t, para k ∈ Z (1.13)
Cada um desses sinais possui frequência que é um múltiplo inteiro
da frequência fundamental, o que todos eles também periódicos em
T . Desta forma, uma combinação linear de exponenciais complexas
harmonicamente relacionadas
x(t) =
∞∑
k=−∞
ake
jkω0t (1.14)
também é periódica com período T . Nesta equação, o termo para
k = 0 é um valor constante, os termos para k = ±1 possuem frequên-
cia exatamente igual a ω0, sendo chamados de componentes funda-
mentais ou componentes de primeira harmônica. De uma forma ge-
ral, os termos subsequentes para ±k são chamados de componentes
da k-ésima harmônica.
1.3. Representação de sinais periódicos através de Séries de Fourier 15
A representação de um sinal periódico através da Eq. 1.14 é
denominada representação por Séries de Fourier, onde os valores ak
são os coeficientes da série.
Assumindo que x(t) seja uma função a valores reais (i.e. x(t) ∈ R,
de forma que x∗(t) = x(t), pode-se obter
x∗(t) =
( ∞∑
k=−∞
ake
jkω0t
)∗
x(t) =
∞∑
k=−∞
a∗ke
−jkω0t
(1.15)
realizando uma substituição de variáveis no somatório de k para −k
x(t) =
∞∑
k=−∞
a∗−ke
jkω0t (1.16)
que, comparada à Eq. 1.14, impõe a igualdade ak = a∗−k, ou de
forma equivalente
a∗k = a−k (1.17)
para coeficientes da Série de Fourier de sinais reais.
Com esse conhecimento é possível obter formas alternativas para
as Séries de Fourier (quando x(t) ∈ R)
x(t) = a0 +
∞∑
k=1
[
ake
jkω0t + a−ke−jkω0t
]
(1.18)
substituindo a−k por a∗k
x(t) = a0 +
∞∑
k=1
[
ake
jkω0t + a∗ke
−jkω0t] (1.19)
Percebe-se que os dois termos dentro do somatório são complexos
conjugados, assim é possível escrever
x(t) = a0 + 2
∞∑
k=1
<{akejkω0t} (1.20)
16 Capítulo 1. Séries de Fourier
Lembrando que ak ∈ C e pode ser expresso na forma polar
ak = Ake
jθk (1.21)
a Eq. 1.20 pode ser reescrita como
x(t) = a0 + 2
∞∑
k=1
<
{
Ake
j(kω0t+θk)
}
(1.22)
ou seja
x(t) = a0 + 2
∞∑
k=1
Ak cos (kω0t+ θk) (1.23)
A Eq. 1.23 é uma forma comumente utilizada para representar
sinais periódicos reais no tempo contínuo. Uma outra forma pode
ser obtida escrevendo ak na forma retangular
ak = Bk + jCk (1.24)
com Bk e Ck reais. Assim, a Eq. 1.20 pode ser reescrita como
x(t) = a0 + 2
∞∑
k=1
[
Bk cos(kω0t)− Ck sen(kω0t)
]
(1.25)
que é conhecida como a forma trigonométrica das Séries de Fourier.
Para funções periódicas reais, as formas de representar a Série de
Fourier nas Eqs. 1.14, 1.23 e 1.25 são completamente equivalentes.
Embora as duas últimas utilizem funções trigonométricas (aparen-
temente mais familiares e simples), a forma exponencial complexa
é particularmente útil e conveniente para os propósitos da análi-
ses de sinais e sistemas no tempo contínuo, sendo utilizada quase
exclusivamente.
Supondo que um dado sinal periódico x(t) possa ser represen-
tado através da Série de Fourier da Eq. 1.14. Faz-se necessário um
1.3. Representação de sinais periódicos através de Séries de Fourier 17
procedimento para obter os coeficientes ak. Multiplicando ambos os
lados da Eq. 1.14 por e−jnω0t, obtém-se
x(t)e−jnω0t =
∞∑
k=−∞
ake
jkω0te−jnω0t (1.26)
integrando temporalmente de 0 a T = 2piω0 , ou seja, integrando sobre
o período fundamental∫ T
0
x(t)e−jnω0t dt =
∫ T
0
∞∑
k=−∞
ake
jkω0te−jnω0t dt (1.27)
trocando a ordem do somatório e da integração∫ T
0
x(t)e−jnω0t dt =
∞∑
k=−∞
ak
[∫ T
0
ej(k−n)ω0t dt
]
(1.28)
utilizando a relação de Euler para calcular a integral entre colchetes∫ T
0
ej(k−n)ω0t dt =
∫ T
0
cos [(k − n)ω0t] dt+
j
∫ T
0
sen [(k − n)ω0t] dt (1.29)
É possível observar que, para k 6= n, tanto cos [(k − n)ω0t]
quanto sen [(k − n)ω0t] são senóides periódicas em T , cuja inte-
gração neste intervalo resulta em zero. Para k = n, o integrando
torna-se unitário, ou seja, a integral se resume a
∫ T
0
ej(k−n)ω0t dt =
T, k = n0, k 6= n (1.30)
de forma que a parte direita da Eq. 1.28 é reduzida para anT , assim
an =
1
T
∫ T
0
x(t)e−jnω0t dt (1.31)
18 Capítulo 1. Séries de Fourier
substituindo n por k
ak =
1
T
∫ T
0
x(t)e−jkω0t dt (1.32)
É possível provar que este resultado é válido não apenas para
o intervalo de 0 a T , mas para qualquerintervalo de largura T , de
forma que é mais comum (e útil) definir
ak =
1
T
∫
T
x(t)e−jkω0t dt (1.33)
Assim, o par de equações 1.33 e 1.14 são conhecidos como Equa-
ções de Análise e Síntese das Séries de Fourier, respectivamente.
1.4 Convergência da Série de Fourier
Nem todos os sinais periódicos no tempo contínuo possuem represen-
tação através de Séries de Fourier. Ainda sim, as Séries de Fourier
podem ser utilizadas para representar uma ampla classe de sinais
periódicos e contínuos no tempo.
Para avaliar a validade da representação por Séries de Fourier,
toma-se um sinal periódico x(t) cuja aproximação até a N -ésima
harmônica é definida como
xN (t) =
N∑
k=−N
ake
jkω0t (1.34)
Definindo eN (t) como o erro da aproximação
eN (t) = x(t)− xN (t) (1.35)
Um critério comum para quantificar a qualidade da aproximação de
sinais é a energia do erro
EN =
∫
T
∣∣eN (t)∣∣2 dt (1.36)
1.4. Convergência da Série de Fourier 19
Nesta análise, quanto mais componentes harmônicos são utiliza-
das, mais fiel é a reprodução do sinal, consequentemente menor é a
energia de erro. No caso ideal da Série de Fourier não ser truncada
por um valor finito (ou seja, N →∞), a energia de erro é nula.
Alguns sinais simplesmente não possuem uma Série de Fourier
equivalente, ou porque a integral da Equação de Análise (Eq. 1.33)
diverge, ou porque os coeficientes obtidos na mesma, quando apli-
cados na Equação de Síntese (Eq. 1.14), não reproduzem o sinal
original.
A classe de sinais periódicos representáveis por Séries de Fourier
contém sinais que possuem, em um período, energia finita∫
T
∣∣x(t)∣∣2 dt <∞ (1.37)
se esta condição é satisfeita, os coeficientes ak obtidos na Eq. 1.33 são
finitos. Também fica garantido que a energia de erro é inversamente
proporcional ao número de harmônicas utilizadas na truncagem.
Um outro conjunto mais abrangente de condições para a equi-
valência de um sinal e sua representação por Séries de Fourier foi
desenvolvido por Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet7. As cha-
madas Condições de Dirichlet são:
1. Em qualquer período, x(t) deve ser absolutamente integrável∫
T
∣∣x(t)∣∣dt <∞ (1.38)
pois∣∣ak∣∣ ≤ 1
T
∫
T
∣∣x(t)e−jkω0t∣∣ dt = ∫
T
∣∣x(t)∣∣dt <∞ (1.39)
2. Dado qualquer intervalo finito de tempo, x(t) possui variação
limitada, ou seja, possui um número finito de máximos e mí-
nimos.
7 (1805 – 1859) matemático alemão.
20 Capítulo 1. Séries de Fourier
3. Dado qualquer intervalo finito de tempo, x(t) possui um nú-
mero finito de descontinuidades, sendo cada uma destas des-
continuidades finitas.
Vale ressaltar que todos os sinais, periódicos e contínuos no
tempo, fisicamente realizáveis respeitam as condições de Dirichlet,
possuindo representação válida através das Séries de Fourier.
Para melhor exemplificar como a convergência das Séries de Fou-
rier funciona para funções com descontinuidades, toma-se o trabalho
de Albert Abraham Michelson8, que em 1898, construiu o primeiro
analisador harmônico que calculava a aproximação para a Série de
Fourier truncada (Eq. 1.34) para, no máximo, N = ±80.
Ao analisar os resultados obtidos para a aproximação de uma
onda quadrada periódica, a obtenção de resultados inesperados o
levou a buscar ajuda de Josiah Willard Gibbs9, que investigou e
publicou a explicação em 1899.
Como pode ser observado na Figura 1, a aproximação de uma
onda quadrada por uma Série de Fourier truncada em diversos valo-
res de N apresenta um sobressinal próximo à descontinuidade que
não diminui com o aumento de N . Este efeito é chamado de fenô-
meno de Gibbs, em homenagem à autoria de sua explicação analí-
tica.
1.5 Propriedades da Série de Fourier
A representação através das Séries de Fourier possui várias proprie-
dades que expandem o entendimento da representação, e, adicional-
mente, ajudam na obtenção da Série de Fourier para alguns sinais.
8 (1852 – 1931) físico norte-americano.
9 (1839 – 1903) matemático, físico e químico norte-americano.
1.5. Propriedades da Série de Fourier 21
t
xN (t)N = 1
t
xN (t)N = 3
t
xN (t)N = 5
t
xN (t)N = 9
t
xN (t)N = 29
t
xN (t)N = 79
Figura 1 – Convergência da Série de Fourier truncada, ilustrando o
fenômeno de Gibbs.
Na definição das propriedades, é conveniente estabelecer uma
maneira simples de indicar a Série de Fourier para um sinal periódico
x(t), com frequência fundamental ω0 = 2piT e os coeficientes da Série
de Fourier ak, da forma
x(t)
SF←−−−−−→ ak (1.40)
ou, alternativamente
ak = SF
{
x(t)
}
x(t) = SF−1
{
ak
}
(1.41)
que indica que os coeficientes ak foram obtidos do sinal x(t) a partir
da Eq. 1.33, ou de forma inversa, que o sinal x(t) pode ser obtido a
partir dos coeficientes ak através da Eq. 1.14. O operador SF
{ · }
denota a aplicação da Equação de Análise e SF−1
{ ·} a aplicação
da Equação de Síntese.
22 Capítulo 1. Séries de Fourier
1.5.1 Linearidade
Sejam x(t) e y(t) sinais periódicos, com período T , e com coeficientes
da Série de Fourier ak e bk, respectivamente.
x(t)
SF←−−−−−→ ak
y(t)
SF←−−−−−→ bk
(1.42)
Como x(t) e y(t) possuem o mesmo período T , qualquer combi-
nação linear de ambos também será periódica em T . Os coeficientes
da série resultante da combinação linear são dados por:
Ax(t) +By(t)
SF←−−−−−→ Aak +Bbk (1.43)
1.5.2 Deslocamento no tempo
Um sinal periódico, deslocado de t0, mantém sua periodicidade. A
partir da definição, a Série de Fourier de y = x(t− t0) é dada por
bk =
1
T
∫
T
x(t− t0)e−jkω0t dt (1.44)
fazendo τ = t− t0 e substituindo a variável de integração
bk =
1
T
∫
T
x(τ)e−jkω0(τ+t0) dτ
= e−jkω0t0
1
T
∫
T
x(τ)e−jkω0τ dτ
= e−jkω0t0ak
(1.45)
ou seja, assumindo que
x(t)
SF←−−−−−→ ak (1.46)
então
x(t− t0) SF←−−−−−→ e−jkω0t0ak (1.47)
1.5. Propriedades da Série de Fourier 23
Vale notar que o deslocamento no tempo traz apenas alterações
na fase dos coeficientes das Séries de Fourier, permanecendo inalte-
rada a sua magnitude.
1.5.3 Reflexão no tempo
O período T de um sinal periódico não se altera quando o mesmo é
refletido no tempo. Tomando o sinal y(t) = x(−t) e a Eq. 1.14
x(−t) =
∞∑
k=−∞
ake
−jkω0t (1.48)
substituindo k = −m
y(t) = x(−t) =
∞∑
m=−∞
a−mejmω0t (1.49)
observando que o membro direito desta equação é a Equação de
Síntese para x(−t)
bk = a−k (1.50)
Ou seja, se
x(t)
SF←−−−−−→ ak (1.51)
então
x(−t) SF←−−−−−→ a−k (1.52)
Desta forma, a reflexão no tempo do sinal causa uma reflexão na
sequência dos coeficientes. Pode-se observar que se o sinal x(t) for
par (i.e. x(t) = x(−t)), então a Série de Fourier também será par
(ak = a−k). Se o sinal foi ímpar (i.e. x(−t) = −x(t)), então a Série
de Fourier também será ímpar (a−k = −ak).
24 Capítulo 1. Séries de Fourier
1.5.4 Mudança na escala de tempo
A mudança na escala do tempo altera o período do sinal original. Se
x(t) é periódico em T , com frequência fundamental ω0 = 2piT , então
x(αt), sendo α ∈ R+, será periódico, com período Tα e frequência
fundamental αω0. Uma vez que a mudança de escala é aplicada
em todos os componentes harmônicos de x(t), pode-se concluir que
todos os coeficientes da Série de Fourier permanecem inalterados
x(αt) =
∞∑
k=−∞
ake
jk(αω0)t (1.53)
Vale lembrar que, embora os coeficientes da Série de Fourier
permaneçam os mesmos, com a mudança da frequência fundamental,
a Série de Fourier, propriamente dita, mudou.
1.5.5 Multiplicação
Sejam x(t) e y(t) periódicos em T , de forma que
x(t)
SF←−−−−−→ ak
y(t)
SF←−−−−−→ bk
(1.54)
Como o produto x(t)y(t) também é periódico em T , o sinal resul-
tante pode ser expresso através de uma Série de Fourier cujos coefi-
cientes são definidos por
x(t)y(t)
SF←−−−−−→
∞∑
l=−∞
albk−l (1.55)
1.5.6 Conjugação e simetria conjugada
Aplicação da conjugação complexasobre x(t) resulta na conjugação
e reflexão no tempo sobre os coeficientes da Série de Fourier, ou seja,
1.5. Propriedades da Série de Fourier 25
assumindo que
x(t)
SF←−−−−−→ ak (1.56)
então
x∗(t) SF←−−−−−→ a∗−k (1.57)
Esta propriedade produz algumas consequência que são impor-
tantes de nota: se x(t) for real, de forma que x∗(t) = x(t), então os
coeficientes da Série de Fourier apresentarão simetria conjugada
a−k = a∗k (1.58)
A Tabela 1 contém outras propriedades da simetria conjugada
para sinais reais.
1.5.7 Relação de Parseval
A Relação de Parseval10 para sinais periódicos contínuos no tempo
é definida como
1
T
∫
T
∣∣x(t)∣∣2 dt = ∞∑
k=−∞
∣∣ak∣∣2 (1.59)
A Relação de Parseval indica a que energia de um dado sinal é a
mesma, independente se representado no tempo x(t), ou por Séries
de Fourier ak.
10 Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755 – 1836), matemático francês.
26 Capítulo 1. Séries de Fourier
Tabela 1 – Propriedades das Séries de Fourier.
Propriedade Sinal Séries de Fourier
Os sinais x(t) e y(t) são periódicos em T (frequência fundamental
ω0 =
2pi
T ) com coeficientes da Série de Fourier ak e bk, respecti-
vamente.
Linearidade Ax(t) +By(t) Aak +Bbk
Deslocamento no
tempo x(t− t0) ake
−jkω0t0
Deslocamento na
frequência e
jMω0tx(t) ak−M
Conjugação x∗(t) a∗−k
Reflexão no tempo x(−t) a−k
Mudança na escala
do tempo11 x(αt) ak
Convolução
periódica
∫
T
x(τ)y(t− τ) dτ Takbk
Multiplicação x(t)y(t)
∞∑
l=−∞
albk−l
Diferenciação dx(t)dt jkω0ak
Integração12
∫ t
−∞
x(t)dt 1
jkω0
ak
Continua na próxima página
11 α > 0, periódica em T
α12 x(t) finita, com a0 = 0
1.6. Séries de Fourier para sinais periódicos comuns. 27
Propriedade Sinal Séries de Fourier
Simetria conjugada
para sinais reais x(t) real
ak = a
∗
−k
<{ak} = <{a−k}
={ak} = −={a−k}∣∣ak∣∣ = ∣∣a−k∣∣
∠ak = −∠a−k
Simetria para
sinais reais e pares x(t) real e par ak real e par
Simetria para
sinais reais e
ímpares
x(t) real e ímpar ak puramente imagi-nário e ímpar
Decomposição
par-ímpar de sinais
reais13,14
xe(t) = E
{
x(t)
}
xo(t) = O
{
x(t)
} <{ak}
j={ak}
Relação de
Parseval
1
T
∫
T
∣∣x(t)∣∣2 dt = ∞∑
k=−∞
∣∣ak∣∣2
1.6 Séries de Fourier para sinais periódicos comuns.
A Tabela 2 contém algumas Séries de Fourier para sinais periódicos
comuns. Alguns dos sinais são representados graficamente por razões
de clareza e simplicidade.
13 Decomposição Par: E{x(t)} = x(t)+x(−t)
2
14 Decomposição Ímpar: O{x(t)} = x(t)−x(−t)
2
28 Capítulo 1. Séries de Fourier
Tabela 2 – Séries de Fourier de sinais periódicos.
Sinal Série de Fourier
x(t) ak
∞∑
k=−∞
ake
jkω0t ak
∞∑
n=−∞
δ(t− nT ) ak = 1
T
, para todo k
ejω0t
1 se k = 1,0 se k 6= 1
cos(ω0t)
 12 se k = ±1,0 se k 6= ±1
sen(ω0t)
 1j2 se k = ±1,0 se k 6= ±1
x(t) = 1
1 se k = 0,0 se k 6= 0
t0
1
T1
T
T1
T
sinc
(
k
T1
T
)
Continua na próxima página
1.6. Séries de Fourier para sinais periódicos comuns. 29
Sinal Série de Fourier
x(t) ak
t0
1
T/2
T
sen
(
k pi2
)
kpi
=

1
2 se k = 0,
0 se k par,
(−1) k−12
kpi se k ímpar
t0
1
T
1− cos(kpi)
pi2k2
=

1
2 se k = 0,
0 se k par,
2
pi2k2 se k ímpar
t0
1
T
 12 se k = 0,j 12pik se k 6= 0
t0
1
T/2
T
1 + e−jkpi
2pi(1− k2) =

1
pi(1−k2) se k par,
∓j 14 se k = ±1,
0 se k ímpar
t0
1
T
2
pi(1− 4k2)
Continua na próxima página
30 Capítulo 1. Séries de Fourier
Sinal Série de Fourier
x(t) ak
t0
1
α
T
(cosα+ j2k senα)e−j2kα + 1
pi(1− 4k2)
15
15 α em radianos.
CAPÍTULO 2
Transformada de
Fourier
Embora as Séries de Fourier sejam bastante úteis na análise do con-
teúdo em frequência de sinais periódicos no tempo contínuo, seu
universo de aplicação é bastante reduzido devido à limitação a si-
nais periódicos.
Uma representação em frequência mais ampla e generalista, con-
templando sinais aperiódicos é desejável. A Transformada de Fou-
rier é a representação do espectro do sinal aperiódico contínuo no
tempo. Neste caso, o conteúdo em frequência não é mais limitado a
harmônicas da frequência fundamental, mas está distribuído infini-
tesimalmente sobre todos os valores de frequência (i.e. ω ∈ R).
O desenvolvimento de uma representação em frequência para
sinais aperiódicos foi uma das contribuições mais importantes de
Fourier neste campo de estudo. Fourier obteve a definição da Trans-
formada de Fourier para sinais aperiódicos avaliando a Série de Fou-
32 Capítulo 2. Transformada de Fourier
rier de sinais periódicos com o período tendendo ao infinito (efeti-
vamente tornando o sinal periódico aperiódico). Este efeito é facil-
mente observável nas Séries de Fourier: quanto maior o período T de
um sinal periódico, menor sua frequência fundamental ω0 = 2pi/T e,
consequentemente, mais próximos são os valores em frequência das
componentes harmônicas.
2.1 Representação de sinais aperiódicos através da Trans-
formada de Fourier
2.1.1 Definição da Transformada de Fourier
Para iniciar a análise da obtenção da Transformada de Fourier de um
sinal aperiódico, toma-se o sinal periódico onda quadrada definido
por
x(t) =
1,
∣∣t∣∣ ≤ T1/2
0, T1/2 <
∣∣t∣∣ < T/2 (2.1)
sendo x(t) = x(t+nT ), com n ∈ Z, conforme ilustrado na Figura 2.
t
x(t)
−2T −T −T1
2
0 T1
2
T 2T
Figura 2 – Onda quadrada periódica.
Os coeficientes da Série de Fourier deste sinal podem ser dados
2.1. Representação de sinais através da Transformada de Fourier 33
por
ak =
T1
T
sinc
(
k
T1
T
)
=
sen(pikT1/T )
pik
=
sen(kω0T1/2)
kω0T/2
=
2 sen(kω0T1/2)
kω0T
(2.2)
onde ω0 = 2pi/T .
Reescrevendo a Eq. 2.2, de forma conveniente
Tak =
2 sen(ωT1/2)
ω
(2.3)
com ω = kω0.
Desta forma, assumindo que ω é contínua, a função
2 sen(ωT1/2)
ω
(2.4)
representa uma envoltória dos valores de Tak. Fixando um valor
para T1, a envoltória Tak é independente de T . A Figura 3 repre-
senta diferentes Séries de Fourier para diferentes valores de T , sob
a mesma envoltória Tak.
Conforme fica claro pela análise da Figura 3, o aumento do pe-
ríodo (e subsequente diminuição da frequência fundamental ω0 =
2pi/T ) faz com que a envoltória seja amostrada mais frequentemente.
Para um período T →∞, a amostragem é feita tão frequentemente
que se torna infinitesimalmente separada ω0 → 0, ou seja, se torna
a própria envoltória.
De uma forma geral, um sinal x(t) aperiódico e finito (i.e. possui
valores não-nulos dentro de uma faixa finita do domínio) pode ser
utilizado para criar um sinal periódico x˜(t), do qual x(t) compõe um
período (Figura 4). Conforme aumenta-se arbitrariamente o período
T do sinal gerado, x˜(t) e x(t) são iguais em intervalos maiores de
tempo. No limite, com T →∞, x˜(t) ≡ x(t).
34 Capítulo 2. Transformada de Fourier
ω0
Tak
(a)
ω0
Tak
(b)
ω0
Tak
(c)
Figura 3 – Os coeficientes da série de Fourier e sua envoltória, para
o sinal onda quadrada periódico, com: (a) T = 2T1; (b)
T = 4T1; (c) T = 8T1.
2.1. Representação de sinais através da Transformada de Fourier 35
t
x(t)
−T1 T1
(a)
t
x˜(t)
−2T −T −T1 T1 T 2T
(b)
Figura 4 – (a) Sinal aperiódico x(t) e (b) sinal periódico x˜(t), obtido
a partir de x(t).
Analisando a representação por Séries de Fourier do sinal x˜(t)
(por conveniência, o intervalo de análise será −T/2 < t ≤ T/2)
x˜(t) =
∞∑
k=−∞
ake
jkω0t (2.5)
ak =
1
T
∫ T/2
−T/2
x˜(t)e−jkω0t dt (2.6)
com ω0 = 2pi/T . Observando que x˜(t) = x(t) para |t| ≤ T/2 e que,
fora deste intervalo x(t) = 0, pode-se reescrever a Eq. 2.6 como
ak =
1
T
∫ T/2
−T/2
x(t)e−jkω0t dt
=
1
T
∫ ∞
−∞x(t)e−jkω0t dt
(2.7)
Assim, a envoltória Tak (Figura 3), chamada de X(jω), fica
36 Capítulo 2. Transformada de Fourier
definida por
X(jω) =
∫ ∞
−∞
x(t)e−jωt dt (2.8)
é possível obter os coeficientes ak da Série de Fourier como
ak =
1
T
X(jkω0) (2.9)
Combinando as Eqs. 2.9 e 2.5, pode-se obter x˜(t) a partir de
X(jω) através de
x˜(t) =
∞∑
k=−∞
1
T
X(jkω0)e
jkω0t (2.10)
como T = 2pi/ω0
x˜(t) =
1
2pi
∞∑
k=−∞
X(jkω0)e
jkω0tω0 (2.11)
Conforme T →∞, x˜(t) se aproxima de x(t) o que faz com que, no
limite, a Eq. 2.11 seja a definição de x(t). Paralelamente, conforme
T → ∞ ⇐⇒ ω0 → 0 e o membro direito da Eq. 2.11 se torna uma
integração. Cada termo do somatório corresponde à um retângulo
de largura ω0 e altura X(jω)ejω0t. Conforme ω0 → 0, o somatório
infinitesimal converge para uma integral de X(jω)ejωt, de forma
que é possível escrever
x(t) =
1
2pi
∫ ∞
−∞
X(jω)ejωt dω (2.12)
e
X(jω) =
∫ ∞
−∞
x(t)e−jωt dt (2.13)
As Eqs. 2.12 e 2.13 são chamadas de par transformado de Fou-
rier, com a Eq. 2.13 sendo a Transformada de Fourier (ou integral
de Fourier), também chamada de Equação de Análise. A Eq. 2.12 é
2.1. Representação de sinais através da Transformada de Fourier 37
chamada de Transformada Inversa de Fourier, ou Equação de Sín-
tese.
A funçãoX(jω) é, então, a Transformada de Fourier do sinal x(t).
Alternativamente, a função X(jω) é chamada de espectro de x(t).
A partir do próprio desenvolvimento da definição da Transformada
de Fourier, sua inter-relação com a Série de Fourier de uma função
periódica em T é dada por
ak =
1
T
X(jω)
∣∣∣∣∣
ω=kω0
(2.14)
A análise da Eq. 2.14 torna claro que a Série de Fourier do sinal
x˜(t) é uma amostragem, escalada por 1/T , da Transformada de
Fourier de x(t).
2.1.2 Convergência da Transformada de Fourier
O mecanismo utilizado na definição da Transformada de Fourier
X(jω) a partir de um sinal x(t) é válido para uma ampla classe de
sinais, porém nem toda função matemática x(t) possuirá uma repre-
sentaçãoX(jω) válida. Especificamente, considera-se a convergência
da Transformada de Fourier satisfeita se a função X(jω), obtida de
x(t) através da Equação de Análise (Eq. 2.13), quando aplicada à
Equação de Síntese (Eq. 2.12) produz um sinal xˆ(t), onde este sinal
é equivalente ao sinal original x(t) (i.e. xˆ(t) ≡ x(t)).
Se x(t) é um sinal de energia finita, ou seja∫ ∞
−∞
∣∣x(t)∣∣2 dt <∞ (2.15)
sabe-se então que X(jω) será finito (ou seja, a Equação de Análise
converge). Assumindo um sinal de erro e(t) = xˆ(t)−x(t), se a energia
de erro é nula ∫ ∞
−∞
∣∣e(t)∣∣2 dt = 0 (2.16)
38 Capítulo 2. Transformada de Fourier
fica garantida a equivalência entre x(t) e xˆ(t). Em outras palavras,
não é estritamente necessária que xˆ(t) = x(t), apenas que suas dife-
renças não possuam energia.
Analogamente ao que acontece na Série de Fourier, existe um
conjunto alternativo de condições que garantem a equivalência de
xˆ(t) e x(t), exceto em descontinuidades, onde o valor da função é
igual à média da descontinuidade. Estas condições são, novamente,
chamadas de condições de Dirichlet:
1. A função x(t) deve ser absolutamente integrável:∫ ∞
−∞
∣∣x(t)∣∣dt <∞
2. A função x(t) deve possuir um número finito de máximos e
mínimos em qualquer intervalo finito.
3. A função x(t) deve possuir um número finito de descontinui-
dades em qualquer intervalo finito. Estas descontinuidades de-
vem ser finitas.
Apesar dos dois conjuntos de condições serem suficientes para ga-
rantir que um sinal possua Transformada de Fourier válida, há uma
classe importante de sinais que não são absolutamente integráveis,
nem quadraticamente integráveis, sobre um intervalo infinito. Al-
guns sinais periódicos importantes, como o seno e o cosseno, estão
nesta condição, mas possuem representação de Fourier se funções
impulso unitário (δ(t) — delta de Dirac) forem permitidas na sua
representação.
Esta abordagem traz uma intersecção comum entre as Séries de
Fourier e a Transformada de Fourier que é útil na análise de alguns
sinais.
2.2. Transformada de Fourier para sinais periódicos 39
2.2 Transformada de Fourier para sinais periódicos
Muito embora a motivação para o desenvolvimento da Transformada
de Fourier seja a representação em frequência de sinais aperiódicos, a
representação de sinais periódicos também através da Transformada
de Fourier é útil pois traz a análise em frequência dentro de um
contexto unificado.
A transformada resultante de um sinal periódico consiste de um
trem de impulsos unitários (deltas de Dirac) cujas áreas são nume-
ricamente iguais aos coeficientes da Série de Fourier do sinal.
Fazendo a engenharia reversa deste resultado, assumindo um
sinal x(t), cuja Transformada de Fourier seja X(jω), sendo esta um
impulso de área 2pi na frequência ω = ω0
X(jω) = 2piδ(ω − ω0) (2.17)
aplicando a Transformada Inversa de Fourier para obter x(t)
x(t) =
1
2pi
∫ ∞
−∞
2piδ(ω − ω0)ejωt dω
= ejω0t
(2.18)
De uma forma geral, assumindo X(jω) como uma combinação
linear de impulsos uniformemente espaçados na frequência
X(jω) =
∞∑
k=−∞
2piakδ(ω − kω0) (2.19)
então o sinal x(t) obtido através da Transformada Inversa de Fourier
será da forma
x(t) =
∞∑
k=−∞
ake
jkω0t (2.20)
onde se observa que a Eq. 2.20 corresponde exatamente à represen-
tação por Séries de Fourier do sinal x(t).
40 Capítulo 2. Transformada de Fourier
Desta forma a Transformada de Fourier de um sinal periódico
com o conjunto de coeficientes da Série de Fourier {ak} pode ser
interpretada como um trem de impulsos unitários, ocorrendo nas
frequência harmonicamente relacionadas, de área 2piak para a k-
ésima harmônica (frequência ω = kω0).
2.3 Propriedades da Transformada de Fourier no tempo
contínuo
Um estudo das propriedades gerais da Transformada de Fourier é
útil pois estas propriedades normalmente reduzem de forma signifi-
cativa a quantidade de cálculos necessária na solução de problemas
mais complexos.
Uma outra utilidade é que, como há uma inter-relação entre a
Transformada de Fourier e a Série de Fourier de um sinal periódico,
o estudo das propriedades da Transformada de Fourier resulta em
algumas propriedades das Séries de Fourier que não são descritas no
texto da Seção 1.5, mas figuram na Tabela 1.
De maneira análoga às Séries de Fourier, é conveniente expressar
a Transformada de Fourier através de uma notação mais compacta
que a definição da mesma, de forma que se estabelece que
x(t)
F←−−−→ X(jω) (2.21)
ou, alternativamente
X(jω) = F
{
x(t)
}
x(t) = F−1
{
X(jω)
}
(2.22)
onde o operador F
{ · } denota a aplicação da Transformada de
Fourier e F−1
{ · } a aplicação da Transformada Inversa de Fourier.
As funções x(t) e X(jω) ficam chamadas de par transformado de
Fourier.
2.3. Propriedades da Transformada de Fourier no tempo contínuo 41
2.3.1 Linearidade
Assumindo que
x(t)
F←−−−→ X(jω) (2.23)
e que
y(t)
F←−−−→ Y (jω) (2.24)
então
ax(t) + by(t)
F←−−−→ aX(jω) + bY (jω) (2.25)
onde a e b são constantes quaisquer. Esta propriedade é facilmente
provada a partir da definição da Transformada de Fourier e pronta-
mente expansível para uma combinação linear de tamanho arbitrá-
rio.
2.3.2 Deslocamento no tempo
Assumindo que
x(t)
F←−−−→ X(jω) (2.26)
então pode-se provar que
x(t− t0) F←−−−→ e−jωt0X(jω) (2.27)
Esta propriedade é facilmente provada fazendo a substituição de
variáveis t→ t− t0, da definição da Equação de Síntese.
2.3.3 Conjugação e simetria conjugada
Assumindo que
x(t)
F←−−−→ X(jω) (2.28)
então
x∗(t) F←−−−→ X∗(−jω) (2.29)
42 Capítulo 2. Transformada de Fourier
Esta propriedade pode ser provada através da aplicação direta
da conjugação sobre a Equação de Análise.
A partir desta propriedade, é possível provar que se x(t) for real
(i.e. x(t) = x∗(t)),então X(jω) apresentará simetria conjugada, ou
seja
se x(t) real → X(−jω) = X∗(jω) (2.30)
Sabendo disso, é possível concluir que:
1. Definindo X(jω) = <{X(jω)} + j={X(jω)}, se x(t) é real
então:
a) A parte real da Transformada de Fourier é função par
<{X(jω)} = <{X(−jω)}
b) A parte imaginária da Transformada de Fourier é função
ímpar
={X(jω)} = −={X(−jω)}
2. Definindo X(jω) =
∣∣X(jω)∣∣ej∠X(jω), para x(t) real:
a) A magnitude da Transformada de Fourier é função par∣∣X(jω)∣∣ = ∣∣X(−jω)∣∣
b) A fase da Transformada de Fourier é função ímpar
∠X(jω) = −∠X(−jω)
Adicionalmente, pode-se provar que se x(t) for função real e par,
X(jω) será real. Se x(t) for real e ímpar, X(jω) será puramente
imaginária.
2.3. Propriedades da Transformada de Fourier no tempo contínuo 43
2.3.4 Diferenciação e integração
Assumindo que
x(t)
F←−−−→ X(jω) (2.31)
diferenciando no tempo a Equação de Síntese, é possível provar que
dx(t)
dt
F←−−−→ jωX(jω) (2.32)
Esta propriedade é de particular importância no uso da análise
de Fourier em sistemas LIT, substituindo a abordagem de equações
diferenciais no tempo por equações algébricas na frequência.
Não deve ser surpresa que, se a diferenciação no tempo resulta
em uma multiplicação por jω na frequência, então a integração no
tempo deve resultar em uma divisão por jω na frequência. Na ver-
dade, isto é apenas uma parte da relação, que na íntegra é expressa
como ∫ t
−∞
x(τ)dτ F←−−−→ 1
jω
X(jω) + piX(0)δ(ω) (2.33)
onde o impulso unitário em frequência contempla o valor médio
resultante da integração.
2.3.5 Mudança na escala de tempo e na frequência
Assumindo que
x(t)
F←−−−→ X(jω) (2.34)
então
x(at)
F←−−−→ 1∣∣a∣∣X
(
jω
a
)
(2.35)
44 Capítulo 2. Transformada de Fourier
para a qualquer real não-nulo. Esta propriedade é derivada direta-
mente da definição da Transformada de Fourier
F
{
x(at)
}
=
∫ ∞
−∞
x(at)e−jωt dt (2.36)
fazendo a substituição de variáveis τ = at
F
{
x(at)
}
=
 1a
∫∞
−∞ x(τ)e
−j(ω/a)τ dτ, a > 0
− 1a
∫∞
−∞ x(τ)e
−j(ω/a)τ dτ, a < 0
(2.37)
Assim, à parte da escala 1/
∣∣a∣∣, um fator de mudança de escala
de a no tempo, corresponderá a uma mudança de 1/a na frequência,
e vice-versa.
Para o caso específico de a = −1, deriva-se a propriedade da
reversão no tempo
x(−t) F←−−−→ X(−jω) (2.38)
ou seja, uma reversão no tempo equivale a uma reversão na frequên-
cia.
2.3.6 Dualidade
Comparando as Eqs. de Análise (Eq. 2.13) e de Síntese (Eq. 2.12)
da Transformada de Fourier, é possível notar algumas similarida-
des em sua estrutura. Esta simetria notável leva às propriedades de
dualidade da Transformada de Fourier.
A dualidade é melhor entendida através de um exemplo: to-
mando o sinal laplaciano e−
∣∣t∣∣, cujo par transformado é
x(t) = e−
∣∣t∣∣ F←−−−→ X(jω) = 2
1 + ω2
(2.39)
Tomando agora uma função y(t) da forma
y(t) =
2
1 + t2
(2.40)
2.3. Propriedades da Transformada de Fourier no tempo contínuo 45
A obtenção de Y (jω) a partir da definição é, no mínimo, bas-
tante envolvida. Porém, a dualidade oferece um caminho bem mais
simples. Observando a similaridade na forma de y(t) e X(jω), pode-
se utilizar a Equação de Síntese do par x(t) F←−−−→ X(jω) da forma
e−
∣∣t∣∣ = 1
2pi
∫ ∞
−∞
(
2
1 + ω2
)
ejωt dω (2.41)
multiplicando os dois lados da igualdade por 2pi, e substituindo a
variável t por −t
2pie−
∣∣t∣∣ = ∫ ∞
−∞
(
2
1 + ω2
)
e−jωt dω (2.42)
finalmente, substituindo as variáveis t por ω e vice-versa
2pie−
∣∣ω∣∣ = ∫ ∞
−∞
(
2
1 + t2
)
e−jωt dt (2.43)
observa-se que o parte à direita da igualdade é justamente a Equa-
ção de Análise da função y(t), de forma que a parte à esquerda
da igualdade é, então, Y (jω). Assim, através da dualidade, pôde-se
obter o par transformado
y(t) =
2
1 + t2
F←−−−→ Y (jω) = 2pie−
∣∣ω∣∣ (2.44)
Uma análise cuidadosa mostra que a dualidade, em geral con-
siste da simples substituição de t por ω, e vice-versa, bem como o
escalamento de 2pi.
A dualidade também pode ser aplicada para obter novas proprie-
dades da Transformada de Fourier, chamadas de propriedades duais
de propriedades já definidas. A seguir são expostas algumas destas:
• Deslocamento na frequência (dual da propriedade de desloca-
mento no tempo)
ejω0tx(t)
F←−−−→ X (j(ω − ω0)) (2.45)
46 Capítulo 2. Transformada de Fourier
• Diferenciação na frequência (propriedade dual da diferencia-
ção no tempo)
−jtx(t) F←−−−→ dX(jω)dω (2.46)
• Integração na frequência (propriedade dual da integração no
tempo)
− 1
jt
x(t) + pix(0)δ(t)
F←−−−→
∫ ω
−∞
X(jν) dν (2.47)
2.3.7 Relação de Parseval
Assumindo que
x(t)
F←−−−→ X(jω) (2.48)
então pode-se provar que∫ ∞
−∞
∣∣x(t)∣∣2 dt = 1
2pi
∫ ∞
−∞
∣∣X(jω)∣∣2 dω (2.49)
A relação de Parseval pode ser obtida a partir da própria defini-
ção da Transformada de Fourier, observando apenas que
∣∣x(t)∣∣2 =
x(t)x∗(t), e substituindo x∗(t) por sua Equação de Síntese, dentro
da Equação de Análise de x(t)x∗(t).
A Relação de Parseval simplesmente demonstra a equivalência
da energia do sinal, seja por sua representação no tempo, seja por
sua representação em frequência. A função
∣∣X(jω)∣∣2 é chamada de
densidade de energia do sinal x(t).
2.3.8 Propriedade da convolução
Sistemas LIT são completamente definidos por sua resposta impul-
siva h(t), de forma que é possível obter a saída y(t) para qualquer
2.3. Propriedades da Transformada de Fourier no tempo contínuo 47
entrada x(t), como a convolução y(t) = h(t) ∗ x(t). Assumindo que
x(t)
F←−−−→ X(jω) (2.50)
e, dada a integral de convolução
y(t) =
∫ ∞
−∞
x(τ)h(t− τ)dτ (2.51)
então, a partir da Equação da Análise, pode-se escrever
Y (jω) =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
x(τ)h(t− τ) dτ e−jωt dt (2.52)
Substituindo a ordem de integração e observando que x(τ) é
independente de t
Y (jω) =
∫ ∞
−∞
x(τ)
[∫ ∞
−∞
h(t− τ)e−jωt dt
]
dτ (2.53)
da propriedade do deslocamento no tempo, o termo entre colchetes
se iguala a e−jωτH(jω), de forma que
Y (jω) =
∫ ∞
−∞
x(τ)e−jωτH(jω)dτ
= H(jω)
∫ ∞
−∞
x(τ)e−jωτ dτ
(2.54)
o resultado da integral é X(jω), assim
Y (jω) = H(jω)X(jω) (2.55)
Desta forma, fica estabelecida a propriedade da convolução
y(t) = h(t) ∗ x(t) F←−−−→ Y (jω) = H(jω)X(jω) (2.56)
Assim, a propriedade da convolução mapeia uma convolução no
domínio do tempo por um produto no domínio da frequência, o que
é um importante resultado na análise de sistemas LIT.
48 Capítulo 2. Transformada de Fourier
2.3.9 Propriedade da multiplicação
A propriedade da multiplicação pode ser interpretada como a propri-
edade dual da convolução. Uma vez que a propriedade da convolução
estabelece que uma convolução no tempo é mapeada como uma mul-
tiplicação na frequência, a propriedade da multiplicação estabelece
exatamente o oposto: uma multiplicação no tempo se mapeia como
uma convolução na frequência, assim
y(t) = x(t)c(t)
F←−−−→ Y (jω) = 1
2pi
X(jω) ∗ C(jω) (2.57)
A propriedade da multiplicação é bastante útil no estudo de mo-
dulação por amplitude (AM), em telecomunicações. Por esta razão,
esta propriedade também é comumente chamada de propriedade da
modulação.
A Tabela 3 sumariza as propriedades da Transformada de Fourier
para sinais contínuos no tempo.
Tabela 3 – Propriedades da Transformada de Fourier.
Propriedade Sinal Transformada de Fourier
x(t) X(jω)
y(t) Y (jω)
Linearidade ax(t) + by(t) aX(jω) + bY (jω)
Deslocamento
no tempo x(t− t0) e
−jωt0X(jω)
Deslocamento
na frequência e
jω0tx(t) X (j(ω − ω0))
Conjugação x∗(t) X∗(−jω)
Continua na próxima página
2.3. Propriedades da Transformada de Fourier no tempo contínuo 49
Propriedade Sinal Transformada de Fourier
Reflexão no
tempo x(−t) X(−jω)
Mudança na
escalado tempo
e na frequência
x(at)
1∣∣a∣∣X
(
jω
a
)
Convolução x(t) ∗ y(t) X(jω)Y (jω)
Multiplicação x(t)y(t) 1
2pi
X(jω) ∗ Y (jω)
Diferenciação no
tempo
dx(t)
dt jωX(jω)
Integração
∫ t
−∞
x(t)dt 1
jω
X(jω) + piX(0)δ(ω)
Diferenciação no
frequência tx(t) j
dX(jω)
dω
Simetria
conjugada para
sinais reais
x(t) real
X(jω) = X∗(−jω)
<{X(jω)} = <{X(−jω)}
={X(jω)} = −={X(−jω)}∣∣X(jω)∣∣ = ∣∣X(−jω)∣∣
∠X(jω) = −∠X(−jω)
Simetria para
sinais reais e
pares
x(t) real e par X(jω) real e par
Simetria para
sinais reais e
ímpares
x(t) real e ímpar X(jω) puramente imaginá-rio e ímpar
Continua na próxima página
50 Capítulo 2. Transformada de Fourier
Propriedade Sinal Transformada de Fourier
Decomposição
par-ímpar de
sinais reais1,2
xe(t) = E
{
x(t)
}
xo(t) = O
{
x(t)
} <{X(jω)}
j={X(jω)}
Relação de
Parseval
∫ ∞
−∞
∣∣x(t)∣∣2 dt = 1
2pi
∫ ∞
−∞
∣∣X(jω)∣∣2 dω
2.4 Pares transformados de Fourier comuns
A Tabela 4 contém os pares transformados mais comuns da Trans-
formada de Fourier.
Tabela 4 – Pares transformados de Fourier.
Sinal Transformada de Fourier
∞∑
k=−∞
ake
jkω0t 2pi
∞∑
k=−∞
akδ(ω − kω0)
ejω0t 2piδ(ω − ω0)
cos(ω0t) pi [δ(ω + ω0) + δ(ω − ω0)]
sen(ω0t)
pi
j
[δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)]
∞∑
n=−∞
δ(t− nT ) 2pi
T
∞∑
k=−∞
δ
(
ω − 2pik
T
)
x(t) = 1 2piδ(ω)
Continua na próxima página
1 Decomposição Par: E{x(t)} = x(t)+x(−t)
2
2 Decomposição Ímpar: O{x(t)} = x(t)−x(−t)
2
2.5. Definições alternativas da Transformada de Fourier 51
Sinal Transformada de Fourier
Π(t) sinc
( ω
2pi
)
sinc(t) Π
( ω
2pi
)
Λ(t) sinc
( ω
2pi
)2
δ(t) 1
δ(t− t0) e−jωt0
sgn(t) 2
jω
u(t)
1
jω
+ piδ(ω)
e−atu(t), <{a} > 0 1
a+ jω
te−atu(t), <{a} > 0 1
(a+ jω)2
tne−atu(t), <{a} > 0 n!
(a+ jω)n+1
2.5 Definições alternativas da Transformada de Fourier
A definição da Transformada de Fourier trabalhada no decorrer
deste capítulo é baseada na frequência angular ω, dada em rad/s.
Esta definição é chamada não-unitária pelo ajuste de escala neces-
sário (2pi) para explorar a propriedade da dualidade.
X(jω) =
∫ ∞
−∞
x(t)e−jωt dt (2.58)
x(t) =
1
2pi
∫ ∞
−∞
X(jω)ejωt dω (2.59)
52 Capítulo 2. Transformada de Fourier
Uma definição alternativa, também de uso comum, é a utilização
da frequência ordinária f em Hz. Sabendo que ω = 2pif , de forma
que o elemento diferencial se torne dω = 2pidf , obtém-se
X(jf) =
∫ ∞
−∞
x(t)e−j2pift dt (2.60)
x(t) =
∫ ∞
−∞
X(jf)ej2pift df (2.61)
esta forma apresenta duas vantagens distintas: frequências em Hertz
são mais facilmente inteligíveis; esta definição é unitária, o que re-
sulta em uma dualidade mais simples.
Uma terceira convenção, menos comum, é a separação do fator
2pi entre as equações de análise e síntese da Transformada de Fourier,
remapeada sobre uma nova variável de frequência angular (em rad/s)
ν, obtendo
X(jν) =
1√
2pi
∫ ∞
−∞
x(t)e−jνt dt (2.62)
x(t) =
1√
2pi
∫ ∞
−∞
X(jν)ejνt dν (2.63)
esta forma apresenta a vantagem de ainda estar definida na unidade
natural de frequência (rad/s), e também ser unitária.
CAPÍTULO 3
Transformada de
Laplace
A análise de Fourier, através da Série de Fourier ou da Transformada
de Fourier, é bastante útil no estudo e na análise de sinais e sistemas
LIT. Esta importância é devida ao fato de que uma ampla gama de
sinais podem ser representados através de combinações lineares de
exponenciais complexas, sendo que estas exponenciais complexas
são autofunções de sistemas LIT.
Conforme visto na Seção 1.2, estas propriedades são atendidas
para funções exponenciais complexas da forma est, com s uma variá-
vel complexa (i.e. s ∈ C). A análise de Fourier é definida sobre uma
variável s puramente imaginária, ou seja, para s = jω (ou seja, para
exponenciais complexas da forma ejω). Os resultados da Seção 1.2
são válidos para qualquer valor de s complexo, não apenas a valores
puramente imaginários.
54 Capítulo 3. Transformada de Laplace
A utilização de s complexo, da forma s = σ+jω (com σ = <{s}
e ω = ={s}), leva à uma generalização da Transformada de Fourier
para o tempo contínuo, conhecida como Transformada de Laplace.
A grande vantagem da análise de sinais e sistemas LIT através
da Transformada de Laplace é que a mesma é mais abrangente que
a Transformada de Fourier, por exemplo: a Transformada de Fourier
não é capaz de representar sistemas instáveis, mas a Transformada
de Laplace é.
Da mesma forma que a Transformada de Laplace pode ser vista
como uma generalização da Transformada de Fourier, a Transfor-
mada de Fourier pode ser considerada um caso especial da Trans-
formada de Laplace. A apresentação desta definição é bastante de-
pendente da ordem de aprendizado destas transformações.
3.1 A Transformada de Laplace
A Transformada de Laplace de um sinal qualquer x(t) é definida
como
X(s) =
∫ ∞
−∞
x(t)e−st dt (3.1)
esta definição é comumente chamada de Transformada de Laplace
Bilateral, devido aos limites de integração de −∞ a ∞, para dife-
renciá-la da Transformada de Laplace Unilateral (com limites de
integração de 0 a∞). Este texto omitirá a definição bilateral, sendo
que, quando necessário, estará explícito o uso da transformada uni-
lateral (a ser estudada na Seção 3.6).
A definição da Transformada de Laplace na Eq. 3.1 pode ser facil-
mente obtida pela expansão da Transformada de Fourier (Eq. 2.13),
substituindo a variável puramente imaginária jω pela complexa s.
A Transformada de Laplace pode ser indicada, de forma mais
conveniente, através do operador Transformada de Laplace L
{ · },
3.1. A Transformada de Laplace 55
ou através do par transformado
x(t)
L←−−−−→ X(s) (3.2)
Vale notar, da própria definição na Eq. 3.1 que, se a Transfor-
mada de Laplace for avaliada para s = jω, ela se reduzirá à Trans-
formada de Fourier. De uma forma mais geral, a relação entre a
Transformada de Laplace e a de Fourier pode ser expressa como
X(σ + jω) =
∫ ∞
−∞
x(t)e−(σ+jω)t dt (3.3)
X(σ + jω) =
∫ ∞
−∞
[
x(t)e−σt
]
e−jωt dt (3.4)
onde o membro direito da Eq. 3.4 pode ser visto como a Trans-
formada de Fourier de x(t)e−σt. Assim a Transformada de Laplace
pode ser vista como a aplicação da Transformada de Fourier após a
multiplicação pela exponencial real e−σt, que pode ser crescente ou
decrescente, conforme o sinal de σ.
Sabendo que um sinal, para possuir Transformada de Fourier,
deve ser absolutamente integrável (Condições de Dirichlet)∫ ∞
−∞
∣∣x(t)e−σt∣∣dt <∞ (3.5)
a existência da Transformada de Laplace pode estar condicionada a
uma faixa específica de valores de σ, dependendo do sinal x(t). De
uma forma geral, o intervalo de valores de s para o qual a Transfor-
mada de Laplace converge é chamada de Região de Convergência,
ou ROC (Region of Convergence).
Será visto na sequência que a informação da ROC é de fundamen-
tal importância nos estudos da Transformada de Laplace, pois exis-
tem diferentes funções no tempo x(t) que resultam em uma mesma
expressão X(s), cuja única diferença é a ROC.
56 Capítulo 3. Transformada de Laplace
Como s é uma variável complexa, a representação da ROC pode
ser feita, graficamente, através do plano s. A Figura 5 (a) ilustra
uma ROC para os valores <{s} > σ0.
<
j=
σ0
(a)
<
j=
−1 + j
−1− j
−1, 5 0
(b)
Figura 5 – (a) Região de Convergência na plano s; (b) Diagrama de
polos e zeros no plano s.
É bastante comum que as funções X(s) sejam racionais, ou seja
X(s) =
N(s)
D(s)
(3.6)
onde N(s) é o polinômio em s do numerador e D(s) é o polinômio
em s do denominador. As raízes de N(s) são chamadas de zeros de
X(s), enquanto as raízes de D(s) são chamadas de polos de X(s).
É comum a representação de polos e zeros graficamente, no planos.
Zeros são representados por “ ” e polos são representados por “ ”.
A Figura 5 (b), mostra um exemplo do diagrama de polos e zeros
3.2. A Região de Convergência da Transformada de Laplace 57
da função
X(s) =
s
(s+ 1, 5)(s+ 1 + j)(s+ 1− j)
=
s
(s+ 1, 5)(s2 + 2s+ 2)
=
s
s3 + 3, 5s2 + 5s+ 3
(3.7)
com ROC <{s} > −1.
Assim, exceto por um valor de escala, o diagrama de polos e zeros
no plano s, juntamente com a ROC associada define univocamente
a função X(s).
Além disso, ainda que não figurem explicitamente na forma algé-
brica de X(s), é interessante analisar a presença de polos e/ou zeros
no infinito. Por exemplo, se X(s) possui o número de polos maior
que o número de zeros, à medida que o valor de s aumenta, X(s)
tende a zero, típico comportamento esperado para a presença de
zeros no infinito. Se X(s) possui o número de zeros maior que o de
polos, X(s) tende ao infinito, conforme s cresce de forma ilimitada,
o que pode ser entendido como a presença de polos no infinito.
De uma forma geral, se n é a ordem do denominador (número
de polos) e m a ordem do numerador (número de zeros), então se
n > m, o número de zeros no infinito será n−m. Alternativamente,
se n < m, o número de polos no infinito será m− n. Se n = m, não
haverá nem polos nem zeros no infinito.
3.2 A Região de Convergência da Transformada de Laplace
Conforme afirmado na Seção anterior, a relação x(t) L←−−−−→ X(s)
não é única, sendo necessária a informação da ROC para deter-
minar, sem ambiguidade, um par transformado. Nesta seção serão
estudadas as propriedades da Região de Convergência, enumeradas
a seguir:
58 Capítulo 3. Transformada de Laplace
1. A ROC de X(s) consiste de faixas verticais, paralelas ao eixo
jω, no plano s.
2. Em Transformadas de Laplace racionais, a ROC não contém
nenhum polo.
3. Se a função x(t) tem duração finita e é absolutamente integrá-
vel, a ROC será todo o plano s.
4. Se x(t) for uma função lateral direita, e se a reta <{s} = σ0
pertencer à ROC, então todos os valores de s onde <{s} > σ0
também estarão na ROC.
5. Se x(t) for uma função lateral esquerda, e se a reta <{s} = σ0
pertencer à ROC, então todos os valores de s onde <{s} < σ0
também estarão na ROC.
6. Se x(t) for uma função bilateral, e se a reta <{s} = σ0 per-
tencer à ROC, então a ROC consistirá de uma faixa no plano
s que contém a reta <{s} = σ0.
7. Se a Transformada de Laplace X(s) de x(t) for racional, então
sua ROC é um semiplano limitado por polos à esquerda e à
direita, ou se estende até o infinito, à direita ou à esquerda.
Adicionalmente, nenhum polo estará contido na ROC.
8. Se a Transformada de Laplace X(s) é racional e x(t) é lateral
direita, a ROC é o semiplano no plano s à direita do polo mais
à direita. Alternativamente, se x(t) é lateral esquerda, a ROC
é o semiplano no plano s à esquerda do polo mais à esquerda.
O conhecimento das propriedades da ROC é útil no estudo de
sistemas LIT, simplificando a análise em problemas complexos.
3.3. Transformada Inversa de Laplace 59
3.3 Transformada Inversa de Laplace
Na Seção 3.1, foi mostrado que a Transformada de Laplace de x(t)
pode ser interpretada como a Transformada de Fourier de x(t)e−σt,
uma vez que s = σ + jω. Escrevendo este resultado na Equação de
Síntese da Transformada de Fourier
x(t)e−σt = F−1
{
X(σ + jω)
}
=
1
2pi
∫ ∞
−∞
X(σ + jω)ejωt dω
(3.8)
multiplicando os dois lados da igualdade por eσt
x(t) =
1
2pi
∫ ∞
−∞
X(σ + jω)e(σ+jω)t dω (3.9)
Uma vez que s = σ + jω, pode-se obter x(t) a partir de X(s) para
um valor fixo de σ (pertencente à ROC) e variando ω de −∞ a ∞.
Além disso, verificando que ds = jdω (para σ constante), então a
definição da Transformada Inversa de Laplace é
x(t) =
1
j2pi
∫ σ+j∞
σ−j∞
X(s)est ds (3.10)
O cálculo formal da Eq. 3.10 involve uma integral de contorno so-
bre o plano complexo, sendo a integração convergente para qualquer
σ pertencente à ROC. Embora possível, esta operação é demasiada-
mente trabalhosa, sendo comumente utilizadas técnicas alternativas
para a obtenção da Transformada Inversa de Laplace (discutidas no
Apêndice B).
3.4 Propriedades da Transformada de Laplace
Similarmente à Transformada de Fourier, a Transformada de La-
place apresenta um conjunto de propriedades úteis na análise de
60 Capítulo 3. Transformada de Laplace
problemas complexos e no estudo aprofundado da Transformada de
Laplace. Estas propriedades são discutidas em detalhe na sequência.
3.4.1 Linearidade
Assumindo que
x(t)
L←−−−−→ X(s), com ROC = Rx (3.11)
e que
y(t)
L←−−−−→ Y (s), com ROC = Ry (3.12)
então
ax(t) + by(t)
L←−−−−→ aX(s) + bY (s), com ROC ⊃ Rx ∩Ry
(3.13)
Conforme indicado, a ROC resultante contém a interseção das
ROCs constituintes. Em casos extremos, a combinação linear resul-
tante pode possuir um conjunto vazio como ROC, de forma que a
Transformada de Laplace não é definida.
3.4.2 Deslocamento no tempo
Assumindo que
x(t)
L←−−−−→ X(s), com ROC = Rx (3.14)
então
x(t− t0) L←−−−−→ e−st0X(s), com ROC = Rx (3.15)
Esta propriedade pode ser obtida pela simples substituição de va-
riáveis na definição da Transformada de Laplace.
3.4. Propriedades da Transformada de Laplace 61
3.4.3 Deslocamento no domínio s
Assumindo que
x(t)
L←−−−−→ X(s), com ROC = Rx (3.16)
então
es0tx(t)
L←−−−−→ X(s− s0), com ROC = Rx + <
{
s0
}
(3.17)
Ou seja, a ROC é deslocada de <{s0}. Exemplificando, se X(s)
possui um polo em s = a, X(s−s0) possuirá um polo em s = a+s0.
Um caso especial importante de nota é s0 = jω0, onde
ejω0tx(t)
L←−−−−→ X(s− jω0), com ROC = Rx (3.18)
Neste caso, o sinal x(t) modula a exponencial complexa, e a função
X(s−jω0) pode ser interpretada como um deslocamento no sentido
paralelo ao eixo jω.
3.4.4 Mudança na escala do tempo
Assumindo que
x(t)
L←−−−−→ X(s), com ROC = Rx (3.19)
então
x(at)
L←−−−−→ 1∣∣a∣∣X
(
s
a
)
, com ROC = aRx (3.20)
Deve ser observado que há um escalamento na ROC, dependendo
do valor de s. Se 0 < a < 1, há uma compressão no valor da ROC,
se a > 1, há uma expansão da ROC. Se a < 0, há a reversão da
ROC.
62 Capítulo 3. Transformada de Laplace
A reversão no tempo é um caso especial da mudança de escala,
definida como
x(−t) L←−−−−→ X(−s), com ROC = −Rx (3.21)
3.4.5 Conjugação
Assumindo que
x(t)
L←−−−−→ X(s), com ROC = Rx (3.22)
então
x∗(t) L←−−−−→ X∗(s∗), com ROC = Rx (3.23)
Assim, se x(t) é real, então X(s) = X∗(s∗).
3.4.6 Propriedade da Convolução
Assumindo que
x(t)
L←−−−−→ X(s), com ROC = Rx (3.24)
e que
y(t)
L←−−−−→ Y (s), com ROC = Ry (3.25)
então
x(t) ∗ y(t) L←−−−−→ X(s)Y (s), com ROC ⊃ Rx ∩Ry (3.26)
Como na propriedade de linearidade, a ROC resultante pode ser
maior que a interseção devido ao possível cancelamento de polos e
zeros entre as funções.
3.4. Propriedades da Transformada de Laplace 63
3.4.7 Diferenciação temporal
Assumindo que
x(t)
L←−−−−→ X(s), com ROC = Rx (3.27)
então
dx(t)
dt
L←−−−−→ sX(s), com ROC ⊃ Rx (3.28)
Esta propriedade pode ser provada aplicando a derivada na definição
da Transformada Inversa de Laplace
x(t) =
1
j2pi
∫ σ+j∞
σ−j∞
X(s)est ds (3.29)
resultando
dx(t)
dt =
1
j2pi
∫ σ+j∞
σ−j∞
sX(s)est ds (3.30)
Como a multiplicação por s pode cancelar um polo na origem,
há a possibilidade de uma ROC mais abrangente que a original.
3.4.8 Diferenciação no domínio s
Assumindo que
x(t)
L←−−−−→ X(s), com ROC = Rx (3.31)
então
−tx(t) L←−−−−→ dX(s)ds , com ROC = Rx (3.32)
Esta propriedade pode ser provada aplicando a derivada na definição
da Transformada de Laplace
X(s) =
∫ ∞
−∞
x(t)e−st dt (3.33)
resultando em
dX(s)
ds =
∫ ∞
−∞
−tx(t)e−st dt (3.34)
64 Capítulo 3. Transformada de Laplace
3.4.9 Integração temporal
Assumindo que
x(t)
L←−−−−→ X(s),com ROC = Rx (3.35)
então∫ t
−∞
x(τ) dτ L←−−−−→ 1
s
X(s), com ROC ⊃ Rx ∩
{<{s} > 0}
(3.36)
Esta propriedade pode ser facilmente provada a partir da pro-
priedade da convolução, pois a convolução de uma função x(t) com
o degrau unitário u(t) é numericamente equivalente à integração.
3.4.10 Teoremas de Valor Final e Inicial
Se x(t) = 0 para t < 0 e se lim
t→∞x(t) <∞, o Teorema do Valor Final
afirma que
lim
t→∞x(t) = lims→0 sX(s) (3.37)
Sob as condições que x(t) = 0 pata t < 0, e que x(t) não possui
impulsos ou outras singularidades de ordem mais alta na origem,
pode-se utilizar a Transformada de Laplace para calcular direta-
mente seu valor inicial x(0+) (i.e. seu limite se aproximando pela
direita). Assim, o Teorema do Valor Inicial estabelece que
x(0+) = lim
s→∞ sX(s) (3.38)
A Tabela 5 sumariza as propriedades da Transformada de La-
place.
3.4. Propriedades da Transformada de Laplace 65
Tabela 5 – Propriedades da Transformada de Laplace.
Propriedade Sinal Transformadade Laplace ROC
x(t) X(s) = Rx
y(t) Y (s) = Ry
Linearidade ax(t) + by(t) aX(s) + bY (s) ⊃ Rx ∩Ry
Deslocamento
no tempo x(t− t0) e
−st0X(s) = Rx
Deslocamento
em s e
s0tx(t) X(s− s0) = Rx + <
{
s0
}
Mudança na
escala do
tempo
x(at)
1∣∣a∣∣X
(
s
a
)
= aRx
Conjugação x∗(t) X∗(s∗) = Rx
Convolução x(t) ∗ y(t) X(s)Y (s) ⊃ Rx ∩Ry
Diferenciação
no tempo
dx(t)
dt sX(s) ⊃ Rx
Diferenciação
em s −tx(t)
dX(s)
ds = Rx
Integração
∫ t
−∞
x(τ) dτ 1
s
X(s) ⊃ Rx∩
{<{s} > 0}
Teorema do
Valor Final
Se x(t) = 0 para t < 0 e lim
t→∞x(t) <∞, então:
lim
t→∞x(t) = lims→0 sX(s)
Continua na próxima página
66 Capítulo 3. Transformada de Laplace
Propriedade Sinal Transformadade Laplace ROC
Teorema do
Valor Inicial
Se x(t) = 0 para t < 0 e x(t) não contém im-
pulsos ou singularidades de ordem mais alta na
origem, então:
x(0+) = lim
s→∞ sX(s)
3.5 Pares comuns da Transformada de Laplace
Conforme dito na Seção 3.3, a obtenção da Transformada Inversa de
Laplace a partir da definição é um processo matemático demasiada-
mente complexo. Uma alternativa comum é a utilização dos pares
transformados comuns, mais as propriedades da Transformada de
Laplace, para a obtenção da Transformda Inversa de Laplace.
A simplificação de uma função X(s) arbitrária para os compo-
nentes mais simples que figuram na Tabela 6 é chamada de expansão
em frações parciais. Este procedimento é explicado em detalhe no
Apêndice B. A Tabela 6 sumariza os pares transformados de Laplace
mais comuns.
Tabela 6 – Pares comuns da Transformada de Laplace.
Sinal Transformadade Laplace ROC
δ(t) 1 todo s
u(t)
1
s
<{s} > 0
Continua na próxima página
3.5. Pares comuns da Transformada de Laplace 67
Sinal Transformadade Laplace ROC
−u(−t) 1
s
<{s} < 0
tnu(t)
n!
sn+1
<{s} > 0
−tnu(−t) n!
sn+1
<{s} < 0
e−atu(t)
1
s+ a
<{s} > −a
−e−atu(−t) 1
s+ a
<{s} < −a
tne−atu(t)
n!
(s+ a)n+1
<{s} > −a
−tne−atu(−t) n!
(s+ a)n+1
<{s} < −a
δ(t− t0) est0 todo s
cos(ω0t)u(t)
s
s2 + ω20
<{s} > 0
sen(ω0t)u(t)
ω0
s2 + ω20
<{s} > 0
e−at cos(ω0t)u(t)
s+ a
(s+ a)2 + ω20
<{s} > −a
e−at sen(ω0t)u(t)
ω0
(s+ a)2 + ω20
<{s} > −a
δn
′
(t) =
dnδ(t)
dtn s
n todo s
un(t) = u(t) ∗ . . . ∗ u(t)︸ ︷︷ ︸
n vezes
1
sn
<{s} > 0
68 Capítulo 3. Transformada de Laplace
3.6 Transformada de Laplace Unilateral
Até agora, foi analisada a Transformada de Laplace Bilateral. Nesta
Seção será estudada a Transformada de Laplace Unilateral, que pos-
sui grande valor na análise de sistemas causais (sistemas cuja saída
a um dado tempo é dependente apenas da entrada ao mesmo tempo,
ou um tempo anterior) e, particularmente, sistemas determinados
por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e com
condições iniciais não-nulas (ou seja, sistemas que não estão inicial-
mente em repouso).
A Transformada de Laplace Unilateral é definida por
X (s) =
∫ ∞
0−
x(s)e−st dt (3.39)
neste texto, será utilizada X (s) para representar a Transformada
de Laplace Unilateral, para evitar confusão com a Transformada de
Laplace Bilateral X(s).
O limite inferior de integração 0−, significa que são incluídos no
intervalo de integração quaisquer impulsos ou singularidades de alta
ordem que possam aparecer na origem. Analogamente à Transfor-
mada de Laplace Bilateral, a Transformada de Laplace Unilateral
também possui uma notação abreviada
x(t)
UL←−−−−−→ X (s) X (s) = U L {x(t)} (3.40)
Sinais que diferem apenas para t < 0 terão Transformadas de
Laplace Unilateral iguais, mas Transformadas de Laplace Bilaterais
diferentes. Sinais que sejam nulos para t < 0 possuem Transforma-
das de Laplace Unilateral e Bilateral idênticas.
De forma alternativa, a Transformada de Laplace Unilateral de
x(t) pode ser abordada como a Transformada de Laplace Bilateral
de x(t)u(t), ou seja X (s) = L {x(t)u(t)}.
3.6. Transformada de Laplace Unilateral 69
3.6.1 Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral
Analogamente à Transformada de Laplace Bilateral, a Transformada
de Laplace Unilateral também apresenta propriedades gerais, mui-
tas delas idênticas às da Transformada de Laplace Bilateral, mas
algumas substancialmente diferentes.
Uma das diferenças mais marcantes da Transformada de Laplace
Unilateral é que sua ROC associada é sempre o semiplano à direita
do polo mais à direita, daí a razão de não haver referências explícitas
à ROC nas propriedades da Transformada de Laplace Unilateral,
sumarizadas na Tabela 7.
Tabela 7 – Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral.
Propriedade Sinal
Transformada de
Laplace Unilate-
ral
x(t) X (s)
y(t) Y(s)
Linearidade ax(t) + by(t) aX (s) + bY (s)
Deslocamento em s es0tx(t) X (s− s0)
Mudança na escala
do tempo x(at), a > 0
1
a
X
(
s
a
)
Conjugação x∗(t) X ∗(s)
Convolução1 x(t) ∗ y(t) X (s)Y(s)
Diferenciação no
tempo
dx(t)
dt sX (s)− x(0
−)
Continua na próxima página
1 Supondo x(t) e y(t) nulos para t < 0.
70 Capítulo 3. Transformada de Laplace
Propriedade Sinal
Transformada de
Laplace Unilate-
ral
Diferenciação em s −tx(t) dX (s)ds
Integração
∫ t
0−
x(τ) dτ 1
s
X (s)
Se x(t) não contém impulsos ou singularidades de ordem mais
alta em t = 0, então:
Teorema do Valor
Final
lim
t→∞x(t) = lims→0 sX (s)
Teorema do Valor
Inicial
x(0+) = lim
s→∞ sX (s)
Algumas das mudanças importantes de nota são:
• A propriedade da convolução é definida apenas para sinais
inicialmente em repouso (nulos para t < 0).
• Os limites da propriedade de integração são alterados para o
novo intervalo de interesse da Transformada de Laplace Uni-
lateral (i.e. [0−,∞)).
• A alteração mais marcante, porém, é na propriedade da di-
ferenciação no tempo, onda há a adição de um termo inde-
pendente −x(0−) à propriedade análoga na Transformada de
Laplace Bilateral. Na sequência é desenvolvida a prova desta
propriedade∫ ∞
0−
dx(t)
dt e
−st dt = x(t)e−st
∣∣∣∣∣
∞
0−
+ s
∫ ∞
0−
x(t)e−st dt
= sX (s)− x(0−)
(3.41)
Referências
Bibliográficas
HAYKIN, S. S.; VEEN, B. V. Signals and systems. 2nd ed. ed.
New York: Wiley, 2003. ISBN 0471164747 (cloth : alk. paper).
LATHI, B. P. Linear systems and signals. 2nd ed. ed. New York:
Oxford University Press, 2005. ISBN 0195158334.
OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S.; NAWAB, S. H. Signals &
systems. 2nd ed. ed. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall, 1997.
ISBN 0138147574.
Apêndices
APÊNDICE A
Funções “exóticas”
comuns em Engenharia
Nas Engenharias, especialmente Engenharia Eletrônica ou afins, há
uma ampla classe de funções comumente utilizadas que, de forma
geral, passam desapercebidas em outras áreas. Para muitas áreas de
conhecimento, o estudo das funções polinomiais, trigonométricas,
exponenciais,logarítmicas, etc. é suficiente. Neste capítulo serão
apresentadas, de maneira formal, outras funções, menos conhecidas,
mas de extrema utilidade.
Como nem sempre estas funções são definidas sobre o domínio
do tempo, este Apêndice utilizará x como a variável independente.
76 APÊNDICE A. Funções “exóticas” comuns em Engenharia
A.1 Função Sinal
Comumente escrita como função sgn(x) — do latim signum. A fun-
ção sinal é uma função ímpar sobre valores reais que extrai o sinal
do seu argumento. A função pode ser definida por
sgn(x) ,

−1 se x < 0,
0 se x = 0,
1 se x > 0
(A.1)
cuja representação gráfica é mostrada na Figura 6.
x
sgn(x)
−1
0
1
Figura 6 – Função sinal.
Qualquer número real pode ser expresso através de seu valor
absoluto e a função sinal
x = sgn(x)|x| (A.2)
alternativamente
|x| = sgn(x)x (A.3)
assim, para qualquer x 6= 0
sgn(x) = x|x| (A.4)
A função sinal é a derivada da função valor absoluto, exceto
onde a mesma não é diferenciável, na origem. De forma que pode-se
A.2. Função Degrau Unitário 77
escrever
d|x|
dx = sgn(x) para x 6= 0 (A.5)
Embora a função sinal seja diferenciável, com derivada nula para
todo x exceto x = 0 no sentido estrito. Abordando-a como uma
distribuição matemática1, ao invés de uma função matemática, é
possível redefinir a função sinal em termos da função degrau unitário
u(x) (tomando u(x) também como uma distribuição)
sgn(x) = 2u(x)− 1 (A.6)
assim, pode-se obter uma derivada de sgn(x) para todo x através
de
d sgn(x)
dx = 2
du(x)
dx = 2δ(x) (A.7)
sendo δ(x) a função impulso unitário.
Este resultado é importante na obtenção da transformada de
Fourier da função sinal
F
{d sgn(x)
dx
}
= F {2δ(x)} (A.8)
jωF {sgn(x)} = 2 (A.9)
de forma que
sgn(x) F←−−−→ 2
jω
(A.10)
A.2 Função Degrau Unitário
A função degrau unitário, também conhecida como função de Hea-
viside2 é uma função descontínua cujo valor é nulo para argumentos
negativos e, para argumentos positivos, seu valor é unitário.
1 A Teoria da Distribuição estabelece normas mais relaxadas que permitem
trabalhar com funções singulares e descontínuas como se fossem funções
contínuas bem comportadas.
2 Em homenagem ao matemático inglês Oliver Heaviside (1850 – 1925).
78 APÊNDICE A. Funções “exóticas” comuns em Engenharia
Raramente é relevante seu valor para argumento nulo, uma vez
que a mesma é comumente utilizada como integrando. Em sua forma
mais genérica, onde ela é definida como uma distribuição matemá-
tica, ela é definida por
u(x) =

0 se x < 0
1
2 se x = 0
1 se x > 0
(A.11)
sendo que neste caso, o degrau unitário pode ser definido em termos
da função sinal
u(x) =
1
2
(
1 + sgn(x)
)
(A.12)
Graficamente, o degrau unitário pode ser representado como na
Figura 7.
x
u(x)
0
1
2
1
Figura 7 – Função degrau unitário (ou função de Heaviside).
A função degrau unitário apresenta uma relação bastante útil
com a função impulso unitário, definida por
u(x) =
∫ x
−∞
δ(y) dy (A.13)
ou, alternativamente
du(x)
dx = δ(x) (A.14)
Complementarmente, a integral da função degrau unitário é a
função rampa unitária
r(x) =
∫ x
−∞
u(y) dy = xu(x) (A.15)
A.3. Função Impulso Unitário 79
A.2.1 Discrepância entre as Transformadas de Laplace e de Fou-
rier da Função Degrau Unitário
O par transformado de Fourier e de Laplace de u(x) apresenta uma
diferença importante, digna de atenção especial.
A transformada de Laplace de u(x), pela definição, é dada por∫ ∞
−∞
u(x)e−sx dx =
∫ ∞
0
e−sx dx = 1
s
para <{s} > 0 (A.16)
ou seja, a transformada é definida (i.e. a integral converge) desde
que a parte real de s seja positiva e não-nula.
A transformada de Fourier pode ser definida como a transfor-
mada de Laplace avaliada para <{s} = 0, ou seja s = jω, o que, a
princípio, resultaria em∫ ∞
−∞
u(x)e−sx dx
∣∣∣∣∣
s=jω
=
1
s
∣∣∣∣∣
s=jω
=
1
jω
(A.17)
Porém, este resultado não faz sentido, pois a substituição s = jω
não respeita a região de convergência da transformada de Laplace
<{s} > 0. Assim, para obter este resultado, deve-se abordar u(x)
como uma distribuição matemática de forma que sua transformada
de Fourier seja∫ ∞
−∞
u(x)e−jωx dx =
∫ ∞
−∞
1
2
(
1 + sgn(x)
)
e−jωx dx
=
1
jω
+ piδ(ω)
(A.18)
que é o resultado encontrado nas tabelas de pares transformados.
A.3 Função Impulso Unitário
A função impulso unitário δ(x) não é, rigorosamente, uma função
matemático, mas sim uma função generalizada, cujo tratamento for-
80 APÊNDICE A. Funções “exóticas” comuns em Engenharia
mal exige aplicação da Teoria de Medidas ou da Teoria das Distribui-
ções. O impulso unitário tem valor nulo para qualquer argumento,
exceto quando o argumento é nulo, onde ele apresenta uma singula-
ridade (i.e. tende ao infinito).
A função impulso unitário foi criada pelo físico Paul Dirac3 para
lidar com problemas físicos como cargas elétricas ou massas pontu-
ais, sendo também comumente conhecida como delta de Dirac.
O nome impulso unitário vem da sua propriedade que a área do
impulso é igual a unidade.
A função impulso unitário pode ser entendida como o limite da
função gaussiana
δ(x) = lim
a→0
1
a
√
pi
e−
x2
a2 (A.19)
ou seja, como uma variável aleatória onde há virtualmente certeza
que seu valor é zero.
De uma forma mais informal (porém mais clara), pode-se definir
o impulso unitário como
δ(x) =
∞ se x = 0,0 se x 6= 0 (A.20)
com a restrição adicional∫ ∞
−∞
δ(x) dx = 1 (A.21)
Uma das formas mais úteis de compreender a função impulso
unitário é como uma medida∫ ∞
−∞
f(x)δ(x) dx = f(0) (A.22)
ou de forma mais genérica∫ ∞
−∞
f(x)δ(x− x0) dx = f(x0) (A.23)
3 Paul Adrien Maurice Dirac (1902 – 1984), físico teórico inglês.
A.3. Função Impulso Unitário 81
A função impulso unitário possui representação gráfica como na
Figura 8. Observa-se que a representação do impulso é por sua área,
e não por sua amplitude (que tende ao infinito).
x
δ(x)
0
1
Figura 8 – Função impulso unitário (ou função de delta de Dirac).
A função impulso unitário apresenta algumas propriedades como
escalabilidade
δ(ax) =
δ(x)
|a| (A.24)
e paridade par
δ(x) = δ(−x) (A.25)
A função impulso unitário pode ser indefinidamente diferenciada,
resultando em derivadas de alta ordem do impulso. A Eq. A.26
mostra a forma comum de indicar a derivada de primeira ordem do
impulso unitário.
δ′(x) =
dδ(x)
dx (A.26)
Por fim, a função impulso unitário apresenta uma relação bas-
tante útil com a função degrau unitário, definida por
du(x)
dx = δ(x) (A.27)
ou, alternativamente
u(x) =
∫ x
−∞
δ(y) dy (A.28)
82 APÊNDICE A. Funções “exóticas” comuns em Engenharia
A.4 Função Retangular
A função retangular, também chamada de função pulso unitário
(devido ao valor de sua área) é definida por
Π(x) =

0 se |x| > 12 ,
1
2 se |x| = 12 ,
1 se |x| < 12
(A.29)
ou, alternativamente
Π(x) = u
(
x+
1
2
)
− u
(
x− 1
2
)
(A.30)
cuja representação gráfica é apresentada na Figura 9.
x
Π(x)
1
2
− 12 0 12
1
Figura 9 – Função retangular.
A.5 Função Triangular
A função triangular (ou função triângulo) pode ser definida como o
resultado da convolução de duas funções retangulares Λ(x) = Π(x)∗
Π(x), resultando em
Λ(x) =
0 se |x| > 1,1− |x| se |x| ≤ 1 (A.31)
ou alternativamente
Λ(x) = Π(x)(1− |x|) (A.32)
A.6. Função Gama 83
A Figura 10 apresenta a representação gráfica da função trian-
gular.
x
Λ(x)
−1 0 1
1
Figura 10 – Função triangular.
A.6 Função Gama
A função gama é uma extensão da função fatorial (cujo domínio é
apenas o conjunto de números naturais N) para qualquer número
real ou complexo. Sua relação com a função fatorial é dada