Sistema Lineares

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Cole´gio Militar de SM – Profs Augusto e Anchieta
Lista de Sistemas Lineares – 2o ano
Aluno(a):
9 de agosto de 2011
1.) Lu´ıs tem hoje o dobro da idade que Alexandre tinha
quando Lu´ıs tinha a idade que Alexandre tem. Quando
Alexandre tiver a idade que Lu´ıs tem, a soma das idades
de ambos sera´ 63 anos. Qual e´ a idade de cada um?
Resoluc¸a˜o:
Devemos encontrar no problema algum valor constante.
Observando que a diferenc¸a de idades de Lu´ıs e Alexandre
na˜o muda em qualquer tempo, definimos a constante:
p = (idade de Lu´ıs) - (idade de Alexandre)
Definindo k anos a idade atual de Luis, teremos a idade de
Alexandre como k − p, ou seja:
Lu´ıs: k anos;
Alexandre: k − p anos.
Analisando a frase: Luis tem hoje o dobro da idade que
Alexandre tinha quando Luis tinha a idade que Alexandre
tem.
Na e´poca em que Lu´ıs tinha a idade de Alexandre:
Luis: (k − p) anos
Alex: (k − 2p) anos.
dobro da idade que
Lu´ıs tem hoje Alexandre tinha quando
Lu´ıs tinha (k − p) anos
k = 2(k − 2p)
k = 2(k − 2p); k = 2k − 4p⇒ k = 4p (1)
Daqui a p anos Alexandre vai ter a idade de Luis, (k), e
Luis vai ter (k + p).
k + (k + p) = 63⇒ 2k + p = 63 (2)
(2) em (1) : 8p+ p = 63⇒ p = 7.
Luis: k = 4.7 = 28
Alexandre: k − p = 28− 7 = 21
2.) Uma companhia obte´m um lucro de 31900 reais antes de
pagar os impostos. Essa companhia concordou em fazer
uma doac¸a˜o para o Hospital da Crianc¸a com Diabetes de
Porto Alegre com 10% de seu lucro, descontados os impos-
tos. A companhia deve pagar impostos estaduais de 5% de
seu lucro (descontada a doac¸a˜o) e impostos federais de 40%
de seu lucro (descontada a doac¸a˜o e depois do pagamento
dos tributos estaduais). Determine:
a.) A quantia paga em impostos estaduais.
b.) A quantia paga em impostos federais.
c.) A contribuic¸a˜o ao hospital.
d.) A quantia que permanece nos cofres da empresa.
3.) No campeonato brasileiro de futebol, cada vito´ria vale 3
pontos, cada empate, 1 ponto e cada derrota, 0 ponto. Ao
fim do campeonato, os times A e B terminaram com o mes-
mo total de pontos. Se o time A nunca perdeu um jogo
e se B tem mais 3 vito´rias que A, calcule quantas vezes B
perdeu.
Resoluc¸a˜o:
Vito´ria Empate Derrota
Time A x y zero
Time B x+ 3 z w
No de jogos: x+ y = x+ 3 + z + w
No de pontos: 3x+ y = 3(x+ 3) + z
As equac¸o˜es tornam-se:{
y = 3 + z + w (1)
y = 9 + z (2)
(1) = (2) : 3 + z + w = 9 + z ⇒ w=6
4.) (PUC - SP) Para dar R$1,80 de troco a um cliente, o caixa
de um supermercado pretende usar exatamente 20 moedas.
Se ele dispo˜e de moedas de 5 centavos, 10 centavos e 25
centavos, determine de quantos modos distintos ele pode
compor tal quantia.
5.) (UNI-RIO) Num escrito´rio de advocacia trabalham apenas
dois advogados e uma secreta´ria. Como o Dr. Andre´ e o Dr.
Carlos sempre advogam em causas diferentes, a secreta´ria,
Cla´udia, coloca 1 grampo em cada processo do Dr. Andre´ e
2 grampos em cada processo do Dr. Carlos, para diferencia´-
los facilmente no arquivo. Sabendo-se que, ao todo, sa˜o 78
processos nos quais foram usados 110 grampos, podemos
concluir que o nu´mero de processos do Dr. Carlos e´ igual
a:
A( ) 64 B( ) 46 C( ) 40
D( ) 32 E( ) 28
Resoluc¸a˜o:
Grampos: A+ 2C = 110
Processos: A+ C = 78
Escrevendo:
A+ C + C = 110⇒ 78 + C = 110.
C = 32⇒ A = 46.
6.) (UERJ) Um feirante separou um nu´mero inteiro de du´zias
de tangerinas (t), de mac¸a˜s (m) e de peˆras (p). Observou
que, para cada mac¸a˜ arrumada, havia 2 tangerinas. Com
90 du´zias, ele fez lotes com 6 tangerinas, lotes com 6 mac¸a˜s
e lotes com 4 peˆras. Colocou em cada lote, indistintamente,
o prec¸o de R$ 0,50. Arrecadou R$ 105,00 na venda de todos
eles. Calcule p.
A( ) 40 B( ) 20 C( ) 30
D( ) 50 E( ) 35
Resoluc¸a˜o:
Lembrando que:
(t) ↪→ du´zias detangerinas;
(m) ↪→ du´zias de mac¸a˜s;
(p) ↪→ du´zias de peˆras
Para cada mac¸a˜, 2 tangerinas: t = 2m (1)
Ao todo 90 du´zias: t+m+ p = 90 (2)
As frutas sa˜o vendidadas em lotes de $0,50. Cada du´zia
de tangerina ou mac¸a˜ produz 2 lotes e cada du´zia de peˆra
produz 3 lotes. Assim o total de lotes e´ dado por :
2t+3m+3p.
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Como cada lote e´ vendido por $0,50; teremos que o total da
venda e´ dada por:
0, 50(2t+ 3m+ 3p).
Assim conclu´ımos que o faturamento do feirante sera´ dado
pela equac¸a˜o:
0, 50(2t + 3m + 3p) = 105, o que gera: 2t + 3m + 3p =
210 (3).
Temos a montagem do sistema: t+m+ p = 90t− 2m = 02t+ 2m+ 3p = 210
que resolvido gera p=30.
7.) (PUC) Esta˜o distribu´ıdos em 3 caixas 72 palitos.
Transferem-se da 1a para a 2a caixa tantos palitos quan-
tos existem na 2a caixa. Transferem-se, enta˜o, da 2a caixa
para a 3a caixa tantos palitos quantos existem na 3a. Final-
mente, transferem-se da 3a para a 1a caixa tantos palitos
quantos existem na 1a. Depois disto verifica-se que existe
um nu´mero igual de palitos em cada caixa. O nu´mero de
palitos que havia inicial mente na 1a caixa era:
A( ) 11 B( ) 22 C( ) 33
D( ) 44 E( ) 66
Resoluc¸a˜o:
A
8.) (PUC – MG) M e´ uma matriz real de ordem 3, e seu de-
terminante e´ igual a 2. Determine o valor de
det(M) + det(2M) + det(3M)
A( ) 12 B( ) 15 C( ) 36 D( ) 54
E( ) 72
9.) (UERJ) Em uma campanha de doac¸a˜o de alimentos,
dois amigos decidiram contribuir com o mesmo valor em
cruzeiros reais. O primeiro fez a sua doac¸a˜o em sacos de
arroz com 5kg, cada um, e o outro com sacos de feija˜o con-
tendo 3kg, cada um. O prec¸o do quilograma de arroz era
de 46 cruzeiros reais e o do feija˜o 88 cruzeiros reais. O valor
mı´nimo da contribuic¸a˜o de cada um em cruzeiros reais, foi:
A( ) CR$ 30.360,-00
B( ) CR$ 20.240,00
C( ) CR$ 26.400,00
D( ) CR$ 4.940,00
E( ) CR$ 2.300,00
10.) (EsPCEx – 2006) Uma tropa realizou um exerc´ıcio em
que soldados, sargentos e oficiais executaram mo´dulos
padronizados de tiro, consumindo, individualmente, o
nu´mero de munic¸a˜o estabelecido conforme seu n´ıvel hiera´r-
quico. No primeiro dia atiraram 16 soldados, 8 sargentos e
4 oficiais, totalizando 96 munic¸o˜es; no segundo dia, 5 sol-
dados, 4 sargentos e 3 oficiais, totalizando 38 munic¸o˜es; no
terceiro dia, 16 soldados, 4 sargentos e 1 oficial, totalizan-
do 78 munic¸o˜es. Quantas munic¸o˜es foram usadas no quarto
dia, quando atiraram 14 soldados, 8 sargentos e 2 oficiais?
A( ) 78 B( ) 80 C( ) 82 D( ) 84 E( ) 86
11.) (UGF - RJ) O sistema
 3x+ 2y + z = m4x+ 5y + z = 1
x+ 3y = 2
sera´
poss´ıvel para:
A( ) m = −1
B( ) m = 1
C( ) m 6= 3
D( ) m 6= 0
E( ) qualquer que seja m
Resoluc¸a˜o:
Inicialmente podemos verificar que ∆ = 0, isto e´:∣∣∣∣∣∣
3 2 1
4 5 1
1 3 0
∣∣∣∣∣∣ = 0, o que descarta a opc¸a˜o ( E ).
Para dar prosseguimento a` resoluc¸a˜o deve-se escalonar o
sistema:
 3 2 1 : m4 5 1 : 1
1 3 0 : 2
. Para facilitar os procedi-
mentos, verificando que ha´ um coeficiente de x igual a 1,
fazemos L1 ↔ L3:
 1 3 0 : 24 5 1 : 1
3 2 1 : m
. Prosseguindo o
escalonamento:
L3 → L3 − 3L2
L3 → L3 − 3L2
 1 3 0 : 20 −7 1 : −7
0 −7 1 : m− 8
 ∴
L3 → L3 + L2
 1 3 0 : 20 −7 1 : −7
0 0 0 : m− 1

Assim conclui-se que para o sistema ter soluc¸a˜o e´ necessa´rio
que m − 1 = 0 ⇒ m = 1. E neste caso a soluc¸a˜o sera´
indeterminada.
Soluc¸a˜o ( B ).
12.) (ITA – 89) Considere a equac¸a˜o:
x
 4−16
4
 + y
 51
2
 + z
 70
3
 =
 00
0
, onde x, y e z
sa˜o nu´meros reais. E´ verdade que:
A( ) A equac¸a˜o admite somente uma soluc¸a˜o.
B( ) Em qualquer soluc¸a˜o x2 = y2
C( ) Em qualquer soluc¸a˜o, 16y2 = 9z2
D( ) Em qualquer soluc¸a˜o, 25y2 = 16z2
E( ) Em qualquer soluc¸a˜o, 9y2 = 16z2
Resoluc¸a˜o:
A equac¸a˜o matricial equivale ao sistema linear: 4x+ 5y + 7z = 0−16x+ y + 0z = 04x+ 2y + 3z = 0
Como o sistema e´ homogeˆneo, e´ poss´ıvel. Basta escalona´-lo
para obter a relac¸a˜o entre as inco´gnitas x e y, conforme
pedeo enunciado:
 4 5 7 : 0−16 1 0 : 0
4 2 3 : 0

L3 → L3 − L1
L2 → L2 + 4L1
 4 5 7 : 00 21 28 : 0
0 −3 −4 : 0

L2 → L27
 4 5 7 : 00 3 4 : 0
0 −3 −4 : 0

Cole´gio Militar de SM – profs Augusto e Anchieta — Lista de Sistemas Lineares – 2o ano 3
L3 → L2 + L3
 4 5 7 : 00 3 4 : 0
0 0 0 : 0
.
Encontramos enta˜o 3y = −4z. Usando outras escolhas
de combinac¸o˜es lineares entre as equac¸o˜es, poder´ıamos
ter encontrado 3y = −4z. Em qualquer caso a opc¸a˜o (
E ) satisfaz, bastando para isso elevar os dois lados da
igualdade encontrada ao quadrado.
13.) (FGV) Discuta o sistema linear, nas inco´gnitas x e y, em
func¸a˜o do paraˆmetro real m: x− 2y = 72x+ y = m3x− y = 6
Resoluc¸a˜o:
Excluindo temporariamente a segunda equac¸a˜o do sistema
temos
{
x− 2y = 7
3x− y = 6 que possui a soluc¸a˜o (1, 3). Para
o sistema ser poss´ıvel e determinado devemos substituir a
soluc¸a˜o na segunda equac¸a˜o: 2 − 3 = m ⇒ m = −1. O
sistema sera´ imposs´ıvel para qualquer outro valor de m e
nunca sera´ indeterminado.
14.) (ITA – 90) Dizemos que dois sistemas de equac¸o˜es linear-
es sa˜o equivalentes se, e somente se, toda soluc¸a˜o de um
qualquer dos sistemas for tambe´m uma soluc¸a˜o do outro.
Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
I - Dois sistemas de equac¸o˜es lineares 3x3, ambos ho-
mogeˆneos, sa˜o equivalentes.
II - Dois sistemas de equac¸o˜es lineares, 3x3, ambos inde-
terminados, na˜o sa˜o equivalentes.
III - Os dois sistemas de equac¸o˜es lineares dados a seguir
sa˜o equivalentes:
 x+ y = 5y + z = 8
x+ y + z = 10
e
 x+ 2y − z = 3x− y + z = 44x− y + 2z = 14
De acordo com a definic¸a˜o dada podemos dizer que:
A( ) As treˆs afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras
B( ) Apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ verdadeira;
C( ) Apenas as afirmac¸o˜es (I) e (II) sa˜o verdadeiras
D( ) Apenas as afirmac¸o˜es (I) e (III) sa˜o verdadeiras;
E( ) As treˆs afirmac¸o˜es sa˜o falsas.
Resoluc¸a˜o:
I - ( F ). Dois sistemas homogeˆneos sera˜o equivalentes se
ambos forem determinados, pois tera˜o a soluc¸a˜o trivial sat-
isfeita. Dois sistemas homogeˆneos indeterminados na˜o nec-
essariamente possuem a mesma soluc¸a˜o.
II - ( F ) Conforme o primeiro item, se forem indetermina-
dos podem ou na˜o possuir a mesma soluc¸a˜o.
III - ( F ) No primeiro sistema ∆ = 1, logo e´ poss´ıvel e
determinado. No segundo sistema ∆ = 0, o que o torna
imposs´ıvel ou poss´ıvel e indeterminado, portanto na˜o po-
dem ser equivalentes.
15.) (ITA – 2008) Seja A ∈ M2x2 uma matriz real, sime´trica e
na˜o nula, cujos elementos sa˜o tais que a11, a12 e a22 for-
mam, nesta ordem, uma progressa˜o geome´trica de raza˜o
q > 1 e tr A = 5a11. Sabendo-se que o sistema AX = X
admite soluc¸a˜o real na˜o nula X ∈ M2x1, pode-se afirmar
que a211 + q
2 e´ igual a:
A( )
101
25
B( )
121
25
C( ) 5 D( )
49
9
E( )
49
4