Unidade 1 Parte 4

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Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO II 
UNIDADE 1: (Parte 4) 
1.5.3 Integração de Funções Trigonométricas 
 
 Integrais ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒖 e ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒖 𝒅𝒖 
As integrais indefinidas das funções seno e cosseno estão indicadas na tabela das 
integrais imediatas. 
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶 
∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 
Exemplo: 
∫(𝑥 + 1). 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 1)2𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = −
1
2
cos 𝑢 + 𝐶 = −
1
2
cos(𝑥 + 1)2 + 𝐶 
𝑢 = (𝑥 + 1)2 
𝑑𝑢 = 2(𝑥 + 1)𝑑𝑥 ⟹ 
⟹
1
2
𝑑𝑢 = (𝑥 + 1)𝑑𝑥 
 
 Integrais ∫ 𝒕𝒈 𝒖 𝒅𝒖 e ∫ 𝐜𝐨𝐭𝐠 𝒖 𝒅𝒖 
As integrais indefinidas das funções tangente e cotangente são resolvidas pelo 
método da substituição. 
∫ 𝑡𝑔 𝑢 𝑑𝑢 = ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑢
cos 𝑢
𝑑𝑢 = − ∫
𝑑𝑣
𝑣
= −𝑙𝑛|𝑣| + 𝐶 =
= − ln|cos 𝑢| + 𝐶 = ln|(cos 𝑢)−1| + 𝐶 = ln|sec 𝑢| + 𝐶 
𝑣 = cos 𝑢 
𝑑𝑣 = −𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 
Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢 𝑑𝑢 = ∫
𝑐𝑜𝑠 𝑢
sen 𝑢
𝑑𝑢 = ∫
𝑑𝑣
𝑣
= 𝑙𝑛|𝑣| + 𝐶 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛 𝑢| + 𝐶 
𝑣 = sen 𝑢 
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 
Exemplos: 
1) ∫
𝑡𝑔 √𝑥
√𝑥
𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑡𝑔 𝑢 𝑑𝑢 = 2 ln|sec 𝑢| + 𝐶 = 2 ln|sec √𝑥| + 𝐶 
𝑢 = √𝑥 = 𝑥
1
2 
𝑑𝑢 =
1
2
𝑥−
1
2 𝑑𝑥 ⟹ 
⟹ 2𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
√𝑥
 
 
2) ∫
𝑐𝑜𝑡𝑔 (ln 𝑥)
𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sen 𝑢| + 𝐶 = ln|sen( ln 𝑥)| + 𝐶 
 
𝑢 = ln 𝑥 
𝑑𝑢 =
1
𝑥
 𝑑𝑥 
 
 Integrais ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒖 𝒅𝒖 e ∫ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 𝒖 𝒅𝒖 
 
Nestas integrais usa-se um artíficio de cálculo para podermos aplicar o método da 
substituição. 
 
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = ∫
𝑠𝑒𝑐 𝑢. (sec 𝑢 + 𝑡𝑔 𝑢)
sec 𝑢 + 𝑡𝑔 𝑢
𝑑𝑢 = ∫
𝑑𝑣
𝑣
= 𝑙𝑛|𝑣| + 𝐶 =
= 𝑙𝑛|sec 𝑢 + 𝑡𝑔 𝑢| + 𝐶 
 
𝑣 = sec 𝑢 + 𝑡𝑔 𝑢 
𝑑𝑣 = (sec 𝑢. 𝑡𝑔 𝑢 + 𝑠𝑒𝑐2𝑢) 𝑑𝑢 
Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = ∫
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑢. (cosec 𝑢 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢)
cosec 𝑢 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢
𝑑𝑢 = ∫
𝑑𝑣
𝑣
= 𝑙𝑛|𝑣| + 𝐶 =
= 𝑙𝑛|cosec 𝑢 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢| + 𝐶 
 
𝑣 = cosec 𝑢 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢 
𝑑𝑣 = (−cosec 𝑢. 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢 − (−𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑢) 𝑑𝑢 
Exemplos: 
1) ∫ sec(5𝑥 − 𝜋) 𝑑𝑥 =
1
5
∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 =
1
5
. 𝑙𝑛|sec 𝑢 + 𝑡𝑔 𝑢| + 𝐶 = 
= 𝑙𝑛|sec (5𝑥 − 𝜋) + 𝑡𝑔 (5𝑥 − 𝜋)| + 𝐶 
𝑢 = 5𝑥 − 𝜋 
𝑑𝑢 = 5 𝑑𝑥 ⟹ 
⟹
1
5
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
 
2) ∫
𝑑𝜃
𝑠𝑒𝑛 2𝜃
= ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2𝜃 𝑑𝜃 =
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 =
1
2
. 𝑙𝑛|cosec 𝑢 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢| + 𝐶 = 
=
1
2
. 𝑙𝑛|cosec 2𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 2𝜃| + 𝐶 
𝑢 = 2𝜃 
𝑑𝑢 = 2 𝑑𝜃 ⟹ 
⟹
1
2
𝑑𝑢 = 𝑑𝜃