Primeira_Lista_de_Clculo_II

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Lista de Exercícios 
Cálculo II
Integrais Definidas
e
suas Aplicações
Exercícios retirados do livro adotado.
James Stewart
1.1 Definição e Interpretação Geométrica
1.2 Integral de Riemann
Use o site 
WolframAlpha para 
desenhar o gráfico 
função do integrando 
no intervalo da 
integral.
1.3 Teorema Fundamental do Cálculo
1.4 Técnicas de resolução (Substituição)
 2. Aplicações da Integral: Área entre Curvas2.Aplicações da integral: Área entre curvas
2.1 Volumes por Fatiamento e Rotação em Torno de um Eixo
1.4 Técnicas de Resolução (Integração por Partes)
2.2 Volumes por Cascas Finitas
1.4 Técnicas de Resolução (Relações Trigonométricas)
1.4 Técnicas de Resolução 
(Substituição Trigonométrica)
1.4 Técnicas de Resolução (Frações Parciais)
1.5 Integrais Impróprias
2.3 Comprimento de Curvas Planas
2.4 Áreas de Superfícies de Revolução
APÊNDICES A81
gráfico. Para , f tem assíntotas verticais. Para , f
é contínua em . À medida que C cresce, f move-se para cima e
suas oscilações tornam-se menos pronunciadas.
49. (a) 0 (b) CC em 53.
55. cm de D 57. 59. $11,50
61. 1,297383 63. 1,16718557
65.
67.
69.
71.
73.
75. (b) 
(c) 
77. Não
79. (b) Cerca de 25,44 cm por 5,96 cm (c) , 
83. (a) 
(b) , onde k é a constante de proporcio-
nalidade. 
PROBLEMAS QUENTES
3. MaxAbs f (�5) � e45, sem abs min 7. 24
9. (�2, 4), (2, �4) 13. (m/2, m2/4) 15.
19. (a) , , 
(c)
23.
CAPÍTULO 5
EXERCÍCIOS 5.1
1. (a) L4 � 33, R4 � 41
(b) 
3. (a) 0,7908, subestimativa (b) 1,1835, superestimativa
5. (a) 8, 6,875 (b) 5, 5,375
(c) 5,75, 5,9375
(d) M6
7. n � 2; superior � 3p , inferior � 2p
n � 4; superior � ,
inferior �
n � 8; superior , inferior
9. 0,2533, 0,2170, 0,2101, 0,2050; 0,2
11. (a) Esquerda: 0,8100, 0,7937, 0,7904; 
direita: 0,7600, 0,7770, 0,7804
13. 10,55 m, 13,65 m 15. 63,2 L, 70 L 17. 39 m
19.
21. 
23. A região sob o gráfico de de 0 a 
25. (a) Ln � A � Rn
27. (a) (b) (c) 
29. sen b, 1
�1 � C 
 1 C � 1
2
2
4
6
4 6 8
y
0 x
lim
nl�
64
n 6
�
n
i�1
i 5
n 2�n � 1�2�2n 2 � 2n � 1�
12
32
3
y � tg x ��4
lim
nl�
�
n
i�1
ssen(pi�n) �
p
n
lim
nl�
�
n
i�1
2(1 � 2i�n)
(1 � 2i�n�2 � 1
�
2
n
x
y
1
2
3
ππ
4
π
2
3π
4
0
� 8,65 � 7,86
x
y
1
2
3
ππ
4
π
2
3π
4
0
(8 � s2)(p�4) � 7,39
(10 � s2)(p�4) � 8,96
x
y
1
2
3
ππ
2
0
� 9,42 � 6,28
y
x0 1
2
y
x0 1
2
y
x0 1
2
y
x0 1
2
y
x0 1
2
y
x0 1
2
y
0 x
1
π
2
3π
8
π
4
π
8
ƒ=cos x
y
0 x
1
π
2
3π
8
π
4
π
8
ƒ=cos x
L4 � 35,2, R4 � 39,2
2
2
4
6
4 6 8
y
0 x
3�(s3 2 � 1) � 1112 h
c1 � 3,85 km�s, c2 � 7,66 km�s, h � 0,42 km
T3 � s4h2 � D 2�c1
T1 � D�c1 T2 � �2h sec u��c1 � �D � 2h tg u��c2
a 
 e 1�e
dI
dt
�
�60k(h � 1)
[(h � 1)2 � 400]5/2
10s2 � 14 m
2s300 cm 2s600 cm
5
4
_1
_4
F
0,1e x � cos x � 0,9
s�t� � t 2 � tg�1t � 1
f (x� � 12 x 2 � x 3 � 4x 4 � 2x � 1
f �t� � t 2 � 3 cos t � 2
f �x� � 25 x 5�2 �
3
5 x
5�3 � C
f �x� � sen x � sen�1x � C
4�s3 L � C
� 3s3r 2
�
A82 CÁLCULO
EXERCÍCIOS 5.2
1. �6
A soma de Riemann representa a
soma das áreas dos dois retângulos
acima do eixo x menos a soma das
áreas dos três retângulos abaixo do
eixo x; isto é, a área líquida dos re-
tângulos com relação ao eixo x.
3. 2,322986
A soma de Riemann representa a
soma das áreas dos três retângulos
acima do eixo x menos a área do
retângulo abaixo do eixo x.
5. (a) 6 (b) 4 (c) 2
7. �475, �85
9. 6,1820 11. 0,9071 13. 0,9029, 0,9018
15. 
Os valores de Rn parecem estar
se aproximando de 2.
17. 19.
21. 42 23. 25.
29.
31.
33. (a) 4 (b) 10 (c) �3 (d) 2
35. 37. 39. 41. 0 43. 3
45. 47. 49. 122
51. B � E � A � D � C 53. 15
59. 61.
63. 71. 73.
EXERCÍCIOS 5.3
1. Um processo desfaz o que o outro faz. Veja o Teorema Funda-
mental do Cálculo
3. (a) 0, 2, 5, 7, 3 (d) 
(b) (0, 3)
(c) x � 3
5. (a), (b) 
7. 9. 
11. 13.
15.
17. 19. 21. 63 23.
25. 27. 29. 31. 1 33.
35. ln 2 � 7 37. 39. 4p/3
41. e2 � 1 43. 0
45. A função não é contínua no intervalo [�2, 1], de
modo que o TFC2 não pode ser aplicado.
47. A função não é contínua no intervalo
, de modo que o TFC2 não pode ser aplicado.
49. 51. 2
53. 3,75 
55.
57.
59. y� � sen x ln(1 � 2 cos x) � cos x ln(1 � 2 sen x)
61. (�4, 0) 63. 29
65. (a) , n um inteiro 
(b) (0, 1), e ,
n um inteiro (c) 0,74
67. (a) Max. loc em 1 e 5;
Min. loc em 3 e 7
(b) 
(c) 
(d) Veja o gráfico à direita.
69. 77.
79. (b) Gasto médio sobre [0, t]; minimiza o gasto médio
EXERCÍCIOS 5.4
5. 7.
9. 11.
13. 15.
17.
19.
20
10
_5
05
_6
10_10
� 0
� 0
sen x � 14 x
2 � C
tg a � C
�cos x � cosh x � C 12u
2 � cossecu � C
2
3u
3 �
9
2u
2 � 4u � C 13 x
3 � 4sx � C
1
3 x
3 � �1�x� � C 15x5 �
1
8x
4 �
1
8x
2 � 2x � C
1
4 f �x� � x 3�2, a � 9
( 12 , 2), �4, 6�, �8, 9�
x � 9
x
8642
1
0
_1
y
_2
(�s4n � 1, �s4n � 3 ) (s4n � 1, s4n � 1 )
�2sn, s4n � 2
F�(x) � 2xex
4
� ex
2
t��x� �
�2�4x 2 � 1�
4x 2 � 1
�
3�9x 2 � 1�
9x 2 � 1
x
y
0 2
�1
y=˛
243
4
���3, ��
f �u� � secu tgu
f �x� � x �4
1
e � 1
� e � 1
7
8
156
7
40
3
49
3
y� �
3�1 � 3x�3
1 � �1 � 3x�2
3
4
5
9
y� � stg x � stg x sec2x
F��x� � �s1 � sec x h��x� � xex
t��x� � 1��x 3 � 1� t��s� � �s � s2�8
0 1
y
tx
y=t@
x 2
y
0 x
1
1
g
0 
 y2
0
xe�x dx 
 2�e x10 x 4 dx
1
2
3 
 x41 sx dx 
 6
p
12
 y
p�3
p�4
tg x dx 
p
12
s3
e 5 � e 3 x5
�1 f �x� dx
3
2 3 �
9
4�
5
2
lim
nl�
�
n
i�1
�sen 5pi
n
� p
n
�
2
5
lim
nl�
�
n
i�1
2 � 4i�n
1 � �2 � 4i�n�5
�
4
n
2
3 �
3
4
x62 x ln�1 � x 2� dx x72 �5x3 � 4x� dx
y
0 x
2
3
4
5
6
1
_1 1 2
f(x)=ex-2
y
0 x
2
3
1
2 4 6
ƒ=3- x12
8 10 12 14
n
5 1,933766
10 1,983524
50 1,999342
100 1,999836
Rn
APÊNDICES A83
21. 18 23. 25. �2 27. 5ep � 1 29. 36
31. 33. 35. 37.
39. 41. p/3 43. p/6 45. �3,5
47. 49.
51. O aumento no peso da criança (em quilogramas) entre 5 e 10
anos.
53. Número de litros de óleo vazado nas primeiras 2 horas
55. Aumento na receita quando a produção aumenta de 1 000 para
5 000 unidades
57. Newton-metros 59. (a) (b) 
61. (a) (b) 
63. 65. 1,4 milhas 67. $58.000
69. 5 443 bactérias 71. 4,75 � 105 megawatt-horas
EXERCÍCIOS 5.5
1. 3. 5.
7. 9.
11. 13.
15. 17.
19. 21. 23.
25. 27.
29. 31. etg x � C 33.
35. 37.
39. 41.
43. 45.
47.
49. 51. �ecos x � C
53. 2/p 55. 57. 4 59. 61. 0
63. 3 65. 67. 69. 2
71. 73. 75. 77. 6p
79. Todas as três áreas são iguais. 81.
83. 85. 5 91.
CAPÍTULO 5 REVISÃO
Teste Verdadeiro-Falso
1. Verdadeiro 3. Verdadeiro 5. Falso 7. Verdadeiro 
9. Verdadeiro 11. Falso 13. Verdadeiro 15. Falso 
17. Falso
Exercícios
1. (a) 8 (b) 5,7
3. 5. 3 7.
9. 37 11. 13. 15. 17. Não existe
19. 21. 0 23.
25. 27.
29. 31.
33. 35. 37.
39. 41. 43.
45. 47.
49. 55. 0,280981
57. Número de barris de óleo consumidos de 1o janeiro de 2000 a
1o de janeiro de 2008
59. 72 400 61. 3 63.
65. 71.
PROBLEMAS QUENTES
1. 3. 2k 5. 7. 9.
11. (a) 
(b) 
17.
CAPÍTULO 6
EXERCÍCIOS 6.1
1. 3. 5. 7.
9. 11. 13. 72 15. e � 2 17.
19. 21. 23. 25. 27. ln 2
29. 31. 33. 0, 0,90; 0,04
35. �1,11, 1,25, 2,86; 8,38 37. 2,80123 39. 0,25142
41. 43. 36 m 45. 4 232 cm2
47. (a) Carro A (b) A distância em que A está a frente de B
após 1 minuto (c) Carro A (d) 
49. 51. 53.
55. ; 
EXERCÍCIOS 6.2
1.
3. ��2
19��12 y
1
0 x21 y=0
x=1
x=2
y
0 x
y=2- 12 x
0 � m � 1 m � ln m � 1
24
5 s3 42�3 �6
t � 2,2 min
12s6 � 9
5
2
3
2s3 � 1
2�p � 23 2 � 2 ln 2
1
2
59
12
ln 2 � 12
8
3
32
3
32
3 e � �1�e� �
10
3 e � �1�e� �
4
3
1
6
2(s2 � 1)
1
2 �b��2b � �b� � 1� �
1
2 �a��2a � �a� � 1�
1
2�n � 1�n
��2 �1 e�2 ��1, 2�
e2x�1 � 2x���1 � e�x� 23
c � 1,62
4 
 x31 sx 2 � 3 dx 
 4s3
t��x� � 4x 3cos�x 8� y� � (2e x � esx )��2x�
2s1 � sen x � C 645 F�(x) � x2��1 � x3�
1
4 ln�1 � x 4 � � C ln � 1 � sec � � � C 233
2esx � C � 12 �ln�cos x��2 � C
sx2 � 4x � C
1
2p
ssen2pt � C
1
3 sen 1 ��1�x� � 2 ln � x � � x � C
9
10 �76
21
4
1
2 � ��4 f é c, f � é b, xx0 f �t� dt é a
2 x
2
0
y=ƒ
6
y
6
2 x
2
0
y=ƒ
y
5
4� �1 � cos 2�t5 � L � 2�4
� 4 512 L
ln�e � 1� 16s3 �
1
3
1
3 (2s2 � 1)a 3 1615
45
28 e � se
1
_1
2_2
F
f
2
_3
2π0
f
F
1
8�x 2 � 1�4 � C
1
40 �2x � 5�10 �
5
36 �2x � 5�9 � C
ln �sen�1 x � � C tg�1x � 12 ln�1 � x 2 � � C
�ln�1 � cos2 x� � C ln �sen x � � C
�
2
3 �cotg x�3�2 � C
1
3 senh
3x � C
�
1
ln 5
cos(5t) � C �
1
sen x
� C
2
3 �1 � e x �3�2 � C
1
15 �x3 � 3x �5 � C
2
3s3ax � bx 3 � C
1
3�ln x�3 � C
1
4 tg
4
u � C
�(1��� cos � t � C
1
1 � eu
� C
1
3�2x � x 2�3�2 � C �
1
3 ln� 5 � 3x � � C
�
1
2 cos�x 2� � C
1
63 �3x � 2�21 � C
1
3 sen 3x � C
2
9 �x 3 � 1�3�2 � C �
1
4 cos
4
u � C
46 23 kg
v�t� � 12 t 2 � 4t � 5 m�s 416
2
3 m
�
3
2 m
41
6 m
21
5
�1,36 43
256
5
55
63
3
4 � 2 ln 2
1
11
�
9
ln 10
1 � ��4
5.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19. 21. 23.
25. 27. 29.
31. (a) 
(b) 
33. (a) 
(b) 
35. �1,288, 0,884; 23,780 37. 
39. Sólido obtido pela rotação da região ,
em torno do eixo x
41. Sólido obtido pela rotação da região acima do eixo x delimitada
por em torno do eixo y
43. 1 110 cm3 45. (a) 196 (b) 838
47. 49. 51.
53. 10 cm3 55. 24 57. 59.
61. (a) (b) 
63. (b) 65. 67.
EXERCÍCIOS 6.3
1. Circunferência , altura ; 
3. 5. 7. 9. 11.
13. 15. 17. 19.
21. (a) (b) 4,06300
23. (a) 4p (b) 46,50942
25. (a) (b) 36,57476
27. 3,68
29. Sólido obtido pela rotação da região 0 � y � x4, 0 � x � 3 em
torno do eixo y
31. Sólido obtido pela rotação da região delimitada por (i) x � 1 �
y2, x � 0 e y � 0, ou (ii) x � y2, x � 1 e y � 0 em torno da reta y � 3
33. 0,13 35. 37. 39. 41. 4p/3
43. 117p/5 45. 47.
EXERCÍCIOS 6.4
1. (a) 7 200 pés-lb (b) 7 200 pés-lb
3. 9 pés-lb 5. 180 J 7.
9. (a) (b) 10,8 cm 11.
13. (a) 625 pés-lb (b) 15. 650 000 pés-lb
17. 3 857 J 19. 2 450 J 21.
23. 25. 2,0 m
29. (a) (b) 
EXERCÍCIOS 6.5
1. 3. 5. 7. 2/(5p)83
45
28
1
10�1 � e�25 �
Gm1m2�1
a
�
1
b
� � 8,50 � 109 J
�1,04 � 105 pés-lb
�1,06 � 106 J
1.875
4 pés-lb
25
24 � 1,04 J W2 � 3W1
15
4 pés-lb
4
3 �r
3 1
3 �r
2h
1
32 �
3 8� 4s3p
xp0 2p �4 � y�ssen y dy
xp�2
�p�2 (p � x)cos4x dx
2px 20 x2e�x dx
16p�3 7p�15 8p�3 5p�14
2p � �1 � 1�e� 8p 4p 768p�7
� 2px � x �x � 1�2 ��15
�r 2h 512 �r
3 8 xr0 sR 2 � y 2sr 2 � y 2 dy
8�R xr0 sr 2 � y 2 dy 2� 2r 2R
1
3
8
15
1
3pr
2h �h2(r � 13h) 23 b 2h
x � y 2 e x � y4
0 
 y 
 ssen x
0 
 x 
 p
11
8 �
2
2p x20 8s4 � 4y2 dy � 78,95684
2p x20 8s1 � x2�4 dx � 78,95684
2p x10 �e�2x
2
� 2x�x
2
)dx � 13,14312
2p x10 e�2x
2
dx � 3,75825
13p�45 p�3 17p�45
p/3 p�3 p�3
(1, 1)
x0
y
x=¥
y=≈
_1 x0
y
x=_1
29��30
16��15
x0
y
x=1
(1, 1)
x0
y
x=¥
x=1
(1, _1)
y
0 x
y=1 y=1
y=3
y=1+sec x
y
0 x
” , 3’π3”_ , 3’
π
3
2� ( 43� � s3 )
11p�30
x
y
0 1
y=1
y=x2
x=y2
x
y
0 1
2
y=1
64��15
x0
y
(4, 2)
x0
y
x=2y
¥=x
4��21 y
0 x
(1, 1)
y=˛
y=x
y
0 x
162� y
0 x
(6, 9)
x=2œ„y
y=9
x=0
y
0 x
A84 CÁLCULO
APÊNDICES A85
9. (a) 1 (b) 2, 4 (c) 
11. (a) (b) 
(c) 
15. 17. 19. 6 kg/m
21. Cerca de 4 056 milhões (ou 4 bilhões) de pessoas
23.
CAPÍTULO 6 REVISÃO
Exercícios
1. 3. 5. 7. 9.
11. 13.
15. (a) (b) (c) 
17. (a) 0,38 (b) 0,87
19. Sólido obtido pela rotação da região ,
em torno do eixo y
21. Sólido obtido pela rotação da região ,
em torno do eixo x
23. 36 25. 27. 3,2 J
29. (a) (b) 2,1 pés
31.
PROBLEMAS QUENTES
1. (a) (b) 3.
5. (b) 0,2261 (c) 0,6736 m
(d) (i) (ii) 
9.
11. (a) (c) 
Vantagem: as marcações no recipiente estão igualmente espaçadas.
13. 15.
CAPÍTULO 7
EXERCÍCIOS 7.1
1. 3.
5.
7. (x2 � 2x) sen x � (2x � 2) cos x � 2 sen x � C
9. 11.
13.
15.
17.
19. z3ez � 3z2ez � 6zez � 6ez � C
21. 23.
25. 27. 29.
31. 33.
35.
37. 39.
41.
43.
45.
47. (b) 
49. (b) 55.
57. 59. �1,75119; 1,17210; 3,99926
61. 63. 65. 1 � (2/p) ln 2
67. 69. 2
EXERCÍCIOS 7.2
1. 3.
5.
7. 9. 11.
13.
15.
17. 19.
21. 23.
25. 27.
29.
31.
33. 35.
37. 39.
41. 43.
45. 47.
49.
51.
53.
55. 0 57. 1 59. 0 61. 63.
65. s � �1 � cos3�t���3��
� 2�4 � (2s2 � 52)
1
6 sen 3x �
1
18 sen 9x � C
ƒ
1
�1
_2 2
F
1
4 x
2 �
1
4 sen�x 2� cos�x 2� � C π
_π
π_π
F
f
x tg x � ln � sec x � � 12x2 � C
1
2s2
1
2 sen 2x � C
�
1
6 cos 3x �
1
26 cos 13x � C
1
8 sen 4u �
1
12 sen 6u � C
22
105s2 �
8
105 ln � cossec x � cotg x � � C
x sec x � ln � sec x � tg x � � C s3 � 13�
1
4 sec
4x � tg2x � ln � sec x � � C
1
3 sec
3x � sec x � C
1
9 tg
9x �
2
7 tg
7x �
1
5 tg
5 x � C
117
8
1
3 sec
3x � C tg x � x � C
1
2 cos
2x � ln � cos x � � C ln � sen x � � 2 sen x � C
2
45ssen a �45 � 18 sen2a � 5 sen4a� � C
1
4 t
2 �
1
4 sen 2t �
1
8 cos 2t � C
��4 3p�8 p�16
1
3p
sen3�px� �
2
5p
sen5�px� �
1
7p
sen7�px� � C
1
5 cos
5x �
1
3 cos
3x � C
1
120
2 � e�t�t 2 � 2t � 2� m
4 � 8�� 2�e
16
3 ln 2 �
29
9
2
3 ,
8
15 x[�ln x�3 � 3�ln x�2 � 6 ln x � 6] � C
�
1
4 cos x sen
3x �
3
8 x �
3
16 sen 2x � C
4
_4
2_2
F
f
1
3 x
2�1 � x 2�3�2 � 215�1 � x 2�5�2 � C
�
1
2xe
�2x �
1
4e
�2x � C 1
_1
3_1
f
F
1
2�x 2 � 1� ln�1 � x� �
1
4 x
2 �
1
2 x �
3
4 � C
2sx sensx � 2 cossx � C � 12 � ��4
32
5 �ln 2�2 �
64
25 ln 2 �
62
125
1
6 (� � 6 � 3s3 ) sen x �ln sen x � 1� � C
1 � 1�e 814 ln 3 � 5
1
4 �
3
4 e
�2
e2x
4(2x � 1)
� C
p � 2
2p2
1
13 e
2u�2 sen 3u � 3 cos 3u� � C
x �ln x�2 � 2x ln x � 2x � C
1
2 t tg 2t �
1
4 ln �sec 2t � � C
x ln s3 x � 13x � C t arctg 4t �
1
8 ln�1 � 16t 2� � C
2�r � 2�er�2 � C
1
3 x
3 ln x � 19 x
3 � C
1
5 x sen 5x �
1
25 cos 5x � C
b � 2a B � 16A
V � xh0 � � f �y��2 dy f �y� � skA���C� y 1�4
y � 329 x
2
3��119p� � 0,008 cm�s 1 664p�9 s � 9,7 min
f �t� � 3t 2 f �x� � s2x�� 3227
f �x�
8 000p�3 � 8 378 pés-lb
125
3 s3 m3
0 
 y 
 2 � sen x
0 
 x 
 �
0 
 x 
 ��2
0 
 y 
 cos x
2��15 ��6 8��15
4
3 � �2ah � h 2 �3�2 x��3���3 2� (��2 � x)(cos2x �
1
4) dx
8
3
7
12
4
3 � 4�� 64��15 1 656p�5
5��4p� � 0,4 L
9
8 �20 � 12����C � 24�C
4�� �1,24, 2,81
A86 CÁLCULO
EXERCÍCIOS 7.3
1. 3.
5. 7.
9. 11.
13.
15. 17.
19. 21.
23.
25.
27.
29.
33. 37.
41. 43.
EXERCÍCIOS 7.4
1. (a) (b) 
3. (a) 
(b) 
5. (a) 
(b) 
7.
9. 11.
13. 15.
17.
19.
21.
23.
25. �2 ln | x � 1 | � ln(x2 � 1) � 2 tg�1x � C
27.
29.
31.
33. 35.
37.
39.
41.
43.
45.
47.
49.
51. x � ln(ex � 1) � C
53.
55.
57. 61.
63. 65.
67. , onde 
69. (a) 
(b) 
O SCA omite os sinais do valor absoluto e a constante de integração.
73. 
EXERCÍCIOS 7.5 
1. 
3. sen x � ln | cossec x � cotg x | � C
5. 7.
9. 11.
13.
15.
17. 19. 21.
23. 25.
27.
29.
31.
33.
35. 37. 
39.
41. 43.
45.
47.
49. 51.
53.
55.
57.
59.
61. cossec u� cotg u� C ou tg(u/2) � C
63. e√–x � C
65. 67.
69.
71.
73.
75.
77.
79.
81. 83.2s1 � sen x � C xe x
2
� C
1
3 x sen
3x �
1
3 cos x �
1
9 cos
3x � C
2�x � 2�s1 � e x � 2 ln
s1 � e x � 1
s1 � e x � 1
� C
1
8 ln � x � 2 � � 116 ln�x 2 � 4� � 18 tg�1�x�2� � C
�s1 � x 2 � 12 �arcsen x�2 � C
e x � ln�1 � e x � � C
s2 � 2�s3 � ln (2 � s3 ) � ln (1 � s2 )
�tg�1�cos2x� � C 23 ��x � 1�3�2 � x 3�2 � � C
2(x � 2sx � 2)
sen�sen x� � 13 sen3�sen x� � C
3
7 �x � c�7�3 �
3
4 c�x � c�4�3 � C
2 ln sx � 2 ln(1 � sx ) � C
1
m
x 2 cosh�mx� �
2
m2
x senh�mx� �
2
m3
cosh�mx� � C
ln � s4x � 1 � 1s4x � 1 � 1 � � C �ln � s4x 2 � 1 � 12x � � C
ln � x � 1 � � 3�x � 1��1 � 32 �x � 1��2 � 13 �x � 1��3 � C
�
1
3 �x 3 � 1�e�x
3
� C
u tg u � 12u
2 � ln � sec u � � C 23 tg�1�x3�2� � C
ln � sec � � 1 � � ln � sec � � � C
1
8 sen 4x �
1
16 sen 8x � C
1
4
2 sen�1� x � 12 � � x � 12 s3 � 2x � x 2 � C
sen�1x � s1 � x 2 � C
x ln �x � sx2 � 1� � sx2 � 1 � C
x � ln �1 � e x� � C
4 097
45 3x �
23
3 ln � x � 4 � � 53 ln � x � 2 � � C
1
4p
2 ee
x
� C �x � 1� arctg sx � sx � C
x�s1 � x 2 � C
�
1
5 cos
5t �
2
7 cos
7t �
1
9 cos
9t � C
243
5 ln 3 �
242
25
1
2 ln�x 2 � 4x � 5� � tg�1�x � 2� � C
4 � ln 9 e��4 � e���4
sen x � 13 sen
3x � C
1
an(x � a)
�
1
anx
�
1
an�1x2
� . . . �
1
axn
11 049
260 015
ln�x 2 � x � 5� �
75 772
260 015s19
tg�1
2x � 1
s19
� C
4 822
4 879
ln� 5x � 2 � � 334323 ln� 2x � 1 � �
3 146
80 155
ln� 3x � 7 � �
1
260 015
22 098x � 48 935
x 2 � x � 5
24 110
4 879
1
5x � 2
�
668
323
1
2x � 1
�9 438
80 155
1
3x � 7
�
t � �ln P � 19 ln�0,9P � 900� � C C � 10,23
4 ln 23 � 2 �1 �
11
3 ln 2
1
2 ln � x � 2
x
� � C 15 ln � 2 tg�x�2� � 1tg�x�2� � 2 � � C
�
1
2 ln 3 � �0,55
(x � 12) ln�x 2 � x � 2� � 2x � s7 tan�1�2x � 1s7 � � C
ln � tg t � 1� � ln � tg t � 2 � � C
ln
�e x � 2�2
e x � 1
� C
2sx � 3s3 x � 6s6 x � 6 ln �s6 x � 1 � � C
3
10 �x 2 � 1�5�3 �
3
4 �x 2 � 1�2�3 � C
�2 lnsx �
2
sx
� 2 ln�sx � 1� � C
2sx � 1 � ln(sx � 1 � 1) � ln�sx � 1 � 1� � C
7
8s2 tg�1� x � 2s2 � � 3x � 84�x 2 � 4x � 6� � C
1
4 ln
8
3
1
16 ln � x � � 132 ln�x 2 � 4� � 18(x2 � 4) � C
1
3 ln � x � 1 � � 16 ln�x 2 � x � 1� � 1s3 tg
�1 2x � 1
s3
� C
1
2 ln�x 2 � 2x � 5� �
3
2 tg
�1� x � 12 � � C
1
2 ln�x 2 � 1� � (1�s2 ) tg�1(x�s2 ) � C
ln � x � 1 � � 12 ln�x 2 � 9� � 13 tg�1�x�3� � C
1
2 x
2 � 2 ln�x 2 � 4� � 2 tg�1�x�2� � C
10 ln � x � 3 � � 9 ln � x � 2 � � 5x � 2 � C
27
5 ln 2 �
9
5 ln 3 (ou 95 ln 83)
a ln � x � b � � C 76 � ln 23
2 ln � x � 5 � � ln � x � 2 � � C 2 ln 32
x � 6 ln � x � 6 � � C
Ax � B
x 2 � x � 1
�
Cx � D
x 2 � 2
�
Ex � F
�x 2 � 2�2
x4 � 4x2 � 16 �
A
x � 2
�
B
x � 2
A
x � 3
�
B
(x � 3)2
�
C
x � 3
�
D
(x � 3)2
A
x
�
B
x2
�
C
x3
�
Dx � E
x2 � 4
A
4x � 3
�
B
2x � 5
A
x
�
B
x2
�
C
5 � 2x
2� 2Rr 2 rsR 2 � r 2 � pr 2�2 � R 2 arcsen�r�R�
1
6 (s48 � sec�1 7) 38p2 � 34p
1
4 sen
�1�x 2� � 14 x 2s1 � x 4 � C
1
2�x � 1�sx 2 � 2x �
1
2 ln �x � 1 � sx 2 � 2x � � C
sx 2 � x � 1 � 12 ln(sx 2 � x � 1 � x � 12) � C
9
2 sen
�1��x � 2��3� � 12�x � 2�s5 � 4x � x 2 � C
ln � (s1 � x 2 � 1)�x � � s1 � x 2 � C 9500�
1
16�a
4 sx 2 � 7 � C
1
6 sec
�1�x�3� � sx 2 � 9��2x 2� � C
ln(sx 2 � 16 � x) � C 14 sen�1�2x� � 12 xs1 � 4x 2 � C
p
24
�
s3
8
�
1
4
1
s2a2
sx 2 � 9��9x� � C 13 �x 2 � 18�sx 2 � 9 � C
APÊNDICES A87
EXERCÍCIOS 7.6
1. 3.
5. 7.
9. 11.
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
31. 31.
37.
39.
41.
43.
45. (a) ; 
ambos têm domínio 
EXERCÍCIOS 7.7
1. (a)
(b) L2 é uma subestimativa, R2 e M2 são superestimativas.
(c) (d) 
3. (a) (subestimativa)
(b) (superestimativa)
5. (a) 
(b) 
7. (a) 1,506361 (b) 1,518362 (c) 1,511519
9. (a) 2,660833 (b) 2,664377 (c) 2,663244
11. (a) 2,591334 (b) 2,681046 (c) 2,631976
13. (a) 4,513618 (b) 4,748256 (c) 4,675111
15. (a) �0,495333 (b) �0,543321 (c) �0,526123
17. (a) 8,363853 (b) 8,163298 (c) 8,235114
19. (a) 
(b) , 
(c) para , para 
21. (a) , ;
, ; 
, 
(b) , 
(c) para , para , para 
23. (a) 2,8 (b) 7,954926518 (c) 0,2894
(d) 7,954926521 (e) O erro real é muito menor.
(f) 10,9 (g) 7,953789422 (h) 0,0593
(i) O erro real é menor. (j) 
25.
As observações são as mesmas que as que seguem o Exemplo 1.
27.
As observações são as mesmas que as que seguem o Exemplo 1.
29. (a) 19,8 (b) 20,6 (c) 
31. (a) 14,4 (b) 
33. 64,4 °F 35. 18,8 m/s 37. megawatt-horas
39. (a) 190 (b) 828
41. 6,0 43. 59,4
45.
EXERCÍCIOS 7.8
Abreviações: C, convergente; D, divergente
1. (a), (d) Descontinuidade infinita (b), (c) Intervalo infinito
3. ; 0,495, 0,49995, 0,4999995; 0,5
5. 2 7. D 9. 11. D 13. 0 15. D
17. D 19. 21. D 23. 25. 27. D
29. 31. D 33. 35. D 37.
39.
41. 1/e 43. ln 2
45. Área infinita
20
0
π
2
y=sec@ x
x
y
0 1
x=1
y=e_x
2
0 3
y= 1x3+x
1
2
8
3 ln 2 �
8
9
32
3
9
2 �2�e
�
1
4 ��9
1
2
1
5e
�10
1
2 � 1��2t 2 �
0 x
y
1
1 20,5 1,5
1,0337 � 105
1
2
20,53
n � 50
n � 509 Tn n � 360 Mn n � 22 Sn
� ET � 
 0,025839, � EM � 
 0,012919 � ES � 
 0,000170
S10 � 2,000110 ES � �0,000110
M10 � 2,008248 EM � �0,008248
T10 � 1,983524 ET � 0,016476
n � 71 Tn n � 50 Mn
� ET � 
 0,0078 � EM � 
 0,0039
T8 � 0,902333, M8 � 0,905620
5,869247, E S � 0,000357
5,932957, EM � �0,063353
T4 � I � M4
M4 � 0,908907
T4 � 0,895759
T2 � 9 � I Ln � Tn � I � Mn � Rn
L2 � 6, R2 � 12, M2 � 9,6
��1, 0� � �0, 1�
�ln � 1 � s1 � x 2
x
� � C
1
4 tg
4x �
1
2 tg
2x � ln �cos x � � C
1
4 cos
3x sen x � 38 x �
3
8 sen x cos x � C
1
4x�x2 � 2�sx2 � 4 � 2 ln�sx2 � 4 � x� � C
1
3 tg x sec
2x �
2
3 tg x � C
1
5 ln � x 5 � sx 10 � 2 � � C 38p 2
se 2x � 1 � cos�1�e�x � � C
�
1
2x
�2 cos�1(x�2) � 12s1 � x�4 � C
1
2�ln x�s4 � �ln x�2 � 2 ln[ln x � s4 � �ln x�2] � C
1
4 tg x sec
3x �
3
8 tg x sec x �
3
8 ln � sec x � tg x � � C
1
2s3
ln � e x � s3
e x � s3 � � C
1
9 sen
3x �3 ln�sen x� � 1� � C
�
1
12 �6 � 4y � 4y 2�3�2 � C
2y � 1
8
s6 � 4y � 4y 2 �
7
8
sen�1� 2y � 1s7 �
1
2 �e2x � 1� arctg�e x� �
1
2 e
x � C
�
1
2 tg
2�1�z� � ln �cos�1�z� � � C
�s4x2 � 9�(9x) � C e � 2
p�4 16 ln � sen x � 3sen x � 3 � � C
�
5
21 s13 �
3
4 ln(4 � s13) �
1
2 �
3
4 ln 3
n
5 0,742943 1,286599 1,014771 0,992621
10 0,867782 1,139610 1,003696 0,998152
20 0,932967 1,068881 1,000924 0,999538
MnTnRnLn
n
5 0,257057 �0,286599 �0,014771 0,007379
10 0,132218 �0,139610 �0,003696 0,001848
20 0,067033 �0,068881 �0,000924 0,000462
EMETEREL
n
6 6,695473 6,252572 6,403292
12 6,474023 6,363008 6,400206
SnMnTn
n
6 �0,295473 0,147428 �0,003292
12 �0,074023 0,036992 �0,000206
ESEMET
47. (a) Parece que a integral é
convergente.
(c)
49. C 51. D 53. D 55. 57.
59. 65.
67. (a)
(b) A taxa em que a fração F(t) cresce à medida que t cresce
(c) 1; todas as lâmpadas eventualmente queimam
69. 1 000
71. (a) (b) 
(c)
77. 79. Não
CAPÍTULO 7 REVISÃO
Teste Verdadeiro-Falso
1. Falso 3. Falso 5. Falso 7. Falso
9. (a) Verdadeiro (b) Falso 11. Falso 13. Falso
Exercícios
1. 3. e � 1 5. ln | 2t � 1 | � ln | t � 1 | � C
7. 9. 11.
13. 3e
3√–x
15.
17. x sec x � ln | sec x � tg x | � C
19.
21.
23.
25.
27. 29. 0 31.
33.
35. 37.
39. 41. 43. D
45. 47. 49.
51.
53. 0
55.
57.
61. Não
63. (a) 1,925444 (b) 1,920915 (c) 1,922470
65. (a) 0,01348, (b) 0,00674, 
67. 13,7 km
69. (a) 3,8 (b) 1,7867, 0,000646 (c)
71. (a) D (b) C
73. 2 75.
PROBLEMAS QUENTES
1. Cerca de 1,85 polegada do centro 3. 0
7. 11. 13.
15.
CAPÍTULO 8
EXERCÍCIOS 8.1
1. 3. 3,8202 5. 3,6095
7. 9. 11.
13. 15. 17.
19. 21. 10,0556
23. 15,374568 25. 7,118819
27. (a), (b) ,
,
(c) (d) 7,7988
29.
31. 6 
33. 35.
37. 209,1 m 39. 62,55 cm 41. 12,4
EXERCÍCIOS 8.2
1. (a) (i) (ii)
(b) (i) 10,5017 (ii) 7,9353
3. (a) (i) 
(ii) (b) (i) 11,0753 (ii) 3,9603
5. 7.
9. 11.
13. 15.
17. 9,023754 19. 24,144251
21.
23.
27. (a) (b) 
29. (a) 
(b) 2p�a2 � ab 2 sen�1(sb 2 � a 2�b)sb 2 � a 2 �
2p�b 2 � a 2b sen�1(sa 2 � b 2�a)sa 2 � b 2 �
1
3�a
2 56
45�s3a 2
1
6p [ln(s10 � 3) � 3s10 ]
1
4p [4 ln(s17 � 4) � 4 ln(s2 � 1) � s17 � 4s2 ]
1
27p (145s145 � 10s10 ) �a 2
2s1 � p2 � (2�p) ln(p � s1 � p2) 212 �
1
27� (145s145 � 1) 983 �
x10 2pxs1 � 4x2e�2x
2
dx
x1
�1 2pe
�x2s1 � 4x2e�2x
2
dx
xp/30 2ptg xs1 � sec4x dx xp/30 2pxs1 � sec4x dx
s�x� � 227 [�1 � 9x�3�2 � 10s10 ] 2s2 (s1 � x � 1)
s5 � ln(12 (1 � s5 )) � s2 � ln(1 � s2 )
x40 s1 � �4�3 � x���3�4 � x�2�3 ��2 dx
L4 � 7,50
L2 � 6,43
L1 � 4
s2 � ln (1 � s2)
ln(s2 � 1) 34 � 12 ln 2 ln 3 � 12
2
243 (82s82 � 1) 1.261240 323
4s5
2 � sen�1(2�s5 )
f ��� � ���2 �b ba�a �1��b�a�e�1 18p �
1
12
3
16�
2
n � 30
n � 368 n � 260
1
2 sen xs4 � sen2x � 2 ln(sen x � s4 � sen2x ) � C
ln � 2x � 1 � s4x 2 � 4x � 3 � � C
1
4�2x � 1�s4x 2 � 4x � 3 �
�x � 1� ln�x 2 � 2x � 2� � 2 arctg�x � 1� � 2x � C
4 ln 4 � 8 �43 ��4
1
8 e �
1
4
1
36
4s1 � sx � C
1
2 sen 2x �
1
8 cos 4x � C
x
s4 � x 2
� sen�1� x2� � C
2
5 6 �
3
2�
3
2 ln�x 2 � 1� � 3 tg�1x � s2 tg�1(x�s2 ) � C
ln � sx 2 � 1 � 1
x
� � C
ln � x � 2 � sx 2 � 4x � � C
1
18 ln�9x 2 � 6x � 5� �
1
9 tg
�1[ 12 (3x � 1)] � C
�
1
2 ln � x � � 32 ln � x � 2 � � C
(x2/3 � 2x1/3 � 2) � C
2
15 �cos�ln t� � C s3 �
1
3�
7
2 � ln 2
C � 1; ln 2
F�s� � 1�s 2, s � 0
F�s� � 1�s, s � 0 F�s� � 1��s � 1�, s � 1
1
700 t0
(em horas)
y
y=F(t)
p � �1, �1��p � 1�2 s2GM�R
� p � 1, 1��1 � p�
1
�0,1
1 10
©=sen@ x≈
ƒ= 1≈
A88 CÁLCULO
t
2 0,447453
5 0,577101
10 0,621306
100 0,668479
1 000 0,672957
10 000 0,673407
yt
1
��sen2x��x 2 � dx
APÊNDICES A89
31. 33.
EXERCÍCIOS 8.3
1. (a) 187,5 lb/pés2 (b) 1.875 lb (c) 562,5 lb
3. 6 000 lb 5. 7.
9. 11. 13.
15. (a) 314 N (b) 353N
17. (a) (b) 
(c) (d) 
19. 4 148 lb 21. 330; 22 23. 25.
27. 29.
31. 33.
35. 37. 41. 45.
EXERCÍCIOS 8.4
1. $ 38.000 3. $ 140.000; $60.000 5. $ 407,25
7. $ 12.000 9. 3.727; $ 37.753
11. 13.
15. 17. 6,60 L/min 19. 5,77 L/min
EXERCÍCIOS 8.5
1. (a) A probabilidade de que um pneu escolhido aleatoriamente
terá uma vida útil entre 30 000 e 40 000 milhas
(b) A probabilidade de que um pneu escolhido aleatoriamente terá
uma vida útil de pelo menos 25 000 milhas
3. (a) para todo x e (b) 
5. (a) (b) 
7. (a) para todo x e (b) 5
11. (a) (b) (c) Se não for
servido em até 10 minutos, você ganha um hambúrguer.
13. 15. (a) 0,0668 (b) 17.
19. (b) 0; (c) 
(d) (e) 
CAPÍTULO 8 REVISÃO
Exercícios
1. 3. (a) (b) 
5. 3,8202 7. 9. 6 533 N 11.
13. 15. 17. $ 7.166,67
19. (a) para todo x e
(b) (c) 5, Sim
21. (a) (b) 
(c) 
PROBLEMAS QUENTES
1.
3. (a) (b) 
(d) 
5. (a) 
(b) 
7. Altura , volume 9. 0,14 m
11. 13. (0, �1)
APÊNDICES
EXERCÍCIOS A
1. 18 3. 5. 7.
9. 11.
13. 15.
17. 19.
21. 23.
25. 27.
29. 31.
33. 35.
37.
39. 41. (a) 
(b) 43. 45.
47. 49. 51.
53. 55.
57. 59.
EXERCÍCIOS B
1. 5 3. 5. 7. 2 9.
17. 19.
21. 23.
25. 27. 29.
31. 33. 35.
37. , 39. , 41. ,
0 x
y
0
_2
x
y
y=_2
0 x
y
_3
b � 0 b � �2 b � �3
m � � 13 m � 0 m �
3
4
y � 5 x � 2y � 11 � 0 5x � 2y � 1 � 0
5x � y � 11 y � 3x � 2 y � 3x � 3
y � 6x � 15 2x � 3y � 19 � 0
0 3 x
y
x=3
0 x
y
xy=0
s74 2s37 � 92
x � �a � b�c��ab� x � �c � b��a
�1,3; 1,7� ��4, �1� � �1, 4�
��3, 3� �3, 5� ���, �7� � ��3, ��
�30 �C 
 T 
 20 �C � 32 2, �
4
3
10 
 C 
 35 T � 20 � 10h, 0 
 h 
 12
0 1
4
���, 0� � ( 14 , �)
0 1 _1 10
���, 1� ��1, 0� � �1, ��
_œ„3 0 œ„3
���, �� (�s3, s3 )
1 2 _1 1
2
���, 1� � �2, �� [�1, 12 ]
0 1 _1 1
2
�0, 1� [�1, 12 )
3 2 6
�3, �� �2, 6�
0_2 0_1
��2, �� ��1, ��
� x � 1 � � �x � 1�x � 1 para x � �1para x � �1 x 2 � 1
� 5 � s5 2 � x
2��, 1��
s2 b ( 2827 s6 � 2)�b 3
�P0 � �0tH���r 2 � � �0tHe L�H xr�r e x�H � 2sr 2 � x 2 dx
P�z� � P0 � t xz0 r�x� dx
� 2,03 � 108 km2
2�r�r � d � � 8,69 � 106 km2
2
3� �
1
2s3
8 ln 2 � 5,55 min
1 � e�3�8 � 0,31 e�5�4 � 0,29
� 0,3455
f �x� � 0 x�
��
f �x� dx � 1
(2, 23 ) 2� 2
124
5 ( 85 , 1)
15
2
21
16
41
10�
1 � 41e�8 � 0,986 32 a0
a0 1x1010
0 4x10–10
�36% �5,21% �0,9545
e�4�2,5 � 0,20 1 � e�2�2,5 � 0,55
f �x� � 0 x�
��
f �x� dx � 1
1�� 12
f �x� � 0 x�
��
f �x� dx � 1 1781
1,19 � 10�4 cm3�s
2
3 (16s2 � 8) � $ 9,75 milhões
�1 � k��b 2�k � a 2�k�
�2 � k��b1�k � a1�k�
60; 160; ( 83, 1) (� 15 , �1235) (0, 112 ) 13 �r 2h
� �s2 � 44 (s2 � 1) , 14 (s2 � 1)� ( 85 , �12)
� 1
e � 1
,
e � 1
4 � ( 920 , 920)
10; 1; ( 121 , 1021) (23 , 23)
�4,2 � 105 N �3,9 � 106 N
4,9 � 104 N �4,4 � 105 N
1,2 � 10 4 lb 23dah
2 5,27 � 105 N
6,7 � 10 4 N 9,8 � 103 N
xb
a
2��c � f �x��s1 � � f ��x��2 dx 4� 2r 2