Matemática Exercícios Resolvidos Geometria Áreas II

Prévia do material em texto

Geometria Plana: Exercícios resolvidos de áreas de regiões circulares 
 
R[x]=raiz quadrada de x>0, pi=3,1415926535..., u.a.=unidade de área, 
m(AB)=medida do segmento AB e m (ABC)=medida do ângulo ABC. 
1. Qual é o comprimento da circunferência de raio igual a: 
a.r=5cm b.r=3,5cm c.r=3kcm d.r=a/2cm 
Solução 
a. raio= 5 cm, comprimento = 10 pi cm 
b. raio= 7/2 cm, comprimento = 7 pi cm 
c. raio= 3k cm, comprimento = 6k pi cm 
d. raio= a/2 cm, comprimento = a pi cm 
2. Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrerá uma pessoa 
na roda gigante em 6 voltas? 
Resposta: 96 pi metros 
 
3. Calcular o raio de uma roda gigante que em 6 voltas percorre uma 
distância de 66 metros. 
Resposta: r = 5,5 pi metros 
4. Dado um quadrado de perímetro 4L, obter: (a) O raio da circunferência 
inscrita neste quadrado. e (b) O raio da circunferência circunscrita ao 
quadrado. 
 
 
 
Solução: (a) O lado do quadado mede L e o raio da 
circunferência inscrita é a metade do lado, isto é r=L/2. 
(b) O raio da circunferência circunscrita é a metade da diagonal 
do quadrado de lado L; 
r²=2(L/2)²=L²/2 
r=L R[2]/2 
 
5. No R², uma circunferência tem centro no ponto (2,1) e passa pelo ponto 
(5,-3). Qual é o comprimento da circunferência? 
 
 
Solução:O raio da circunferência é a distância entre o centro 
(2,1) e o ponto (5,-3). Pelo teorema de Pitágoras temos: 
r²=(5-2)²+(-3-1)²=9+16=25 
r=5 
O comprimento da circunferência é 2×5×pi=10 pi unidades 
6. Calcular a área do círculo conhecendo-se o raio r ou o diâmetro d. 
a.r=3cm b.d=3kR[2]cm c.r=2R[3]cm d.d=9cm 
Solução 
a. r=3 cm, A=9 pi cm² 
b. d=3k R[2] cm, A=½×9×k² pi cm² 
c. r=2R[3] cm, A=12 pi cm² 
d. d=a/2 cm, A=81/4 pi cm² 
7. Calcular a área da região limitada por duas circunferências 
concêntricas, uma com raio 10 cm e a outra com raio 6 cm. 
 
 
Na figura a região está pintada de verde e sua área é a área do 
círculo maior menos a área do círculo menor. 
Área=pi(R²-r²)=pi(100-36)=64 pi cm² 
 
8. Se os perímetros de dois círculos são proporcionais à razão 2:3, qual é 
a razão entre as áreas desses círculos? 
Resposta: a razão é 4:9 
 
9. Qual é a área do círculo circunscrito em um triângulo equilátero cujo 
lado mede 18 cm? 
 
 
Na figura ao lado, seja a o apótema, r o raio e h a altura do 
triângulo então, h=a+r. 
18²=h²+9² 
h=R[324-81]=R[243]=9 R[3] 
Por outro lado, r²=9²+(h-r)²=81+h²-2hr+r² 
81+243-2×9 R[3]×r=0 
r=18/R[3] 
Área do círculo = pi×r²=108 pi cm² 
10. Se a razão entre as áreas de dois círculos é 3:1, qual é a área do 
círculo menor se a área do círculo maior é 27pi cm²? 
Resposta: Área = 3 cm² 
11. Um jardim de formato circular com 6 metros de raio tem a metade de 
sua área removida para reduzir as despesas. Para isto foi cortada uma 
borda de largura uniforme em toda a sua volta. Qual é a largura desta 
borda? 
Resposta: Largura = (6-3 R [2]) metros 
 
 
 
 
 
12. Um triângulo equilátero de perímetro igual a 18 cm está inscrito em 
uma circunferência. Calcular a área da região externa ao triângulo que 
está dentro da circunferência. 
 
 
 
 
A área da região é a área do círculo menos a área do triângulo 
(região rosa). Se a é o apótema, r é o raio e h é a altura do 
triângulo, então h=a+r. Assim: 6²=h²+3² 
h=R[36-9]=R[27]=3 R[3] 
r²=3²+(h-r)² 
9+27-2×3×R[3]×r=0 
r=6/R[3] 
Área do círculo = pi r²=12 pi cm² 
Área do triângulo = 6×h/2=6.3 R[3]/2 = 9 R[3] cm² 
Área do círculo - Área do triângulo = (12 pi - 9 R[3]) cm² 
13. Mostre que no hexágono regular o raio e o lado são congruentes, isto 
é, têm a mesma medida. 
Resposta: Divida o hexágono em 6 triângulos com vértices no 
centro e mostre que eles são eqüiláteros. 
 
14. Considere um hexágono regular cuja área é 48R[3]cm². Calcular a 
razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito. 
 
 
O círculo inscrito ao hexágono tem raio igual ao seu apótema 
(a). O círculo circunscrito ao hexágono tem raio igual ao seu raio 
(r). 
Sejam A1 e A2 as áreas dos círculos inscrito e circunscrito 
respectivamente, a razão entre estas áreas é dada por: 
A1/A2=pi a²/pi r²=a²/r². 
A área do hexágono é dada por: A=3×a×L=48 R[3] 
Assim o apótema é dado por a=48R[3]/3L. Mas o apótema do 
hexágono é a altura do triângulo equilátero, deste modo, 
a=½×L×R[3]=48R[3]/3L=½×L×R[3] 
L²=(2/3)48 
L=4 R[2] cm 
No hexágono regular L=r. Logo, a razão entre as áreas é: 
A1/A2=a²/r²=((1/2).r.R[3]/r)²=(R[3]/2)²=3/4 
15. Dado um hexágono regular com área 48k²R[3]cm². Calcular a razão 
entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito. 
Resposta: a razão entre as áreas é 3/4 
 
16. As diagonais de um losango medem 18 cm e 24 cm. Qual é a área do 
círculo inscrito neste losango? 
Resposta: 11,84 pi cm² 
17. Na figura ao lado, calcular a área e o perímetro do setor circular se o 
raio da circunferência mede 12cm e o arco 60 graus. 
 
 
 
Seja A a área e P o perímetro do setor circular, então 
 
A=m(AB)×pi×r²/360=60×pi×12²/360=24 pi cm² 
P=m(AB)×2pi×r/360+2r=60×2pi×12/360+24=(4pi+24)cm 
 
 
 
18. Dada uma circunferência cujo raio mede 6 cm, calcular: (a) A área do 
setor circular cujo arco A subjacente mede 120 graus e (b) A área do 
segmento circular cujo arco A mede 120 graus. 
 
 
 
 
(a) A área do setor circular é dado por 
Área do setor=m(A)×pi×r²/360=120×pi×6²/360=12pi cm² 
(b) A área do segmento é dada pela área do setor menos a área 
do triângulo 
Área do triângulo=6 R[3] 3/2=9 R[3] cm² 
Área do segmento=(12 pi - 9 R[3]) cm² 
19. Seja um triângulo equilátero cujo lado mede 2a. Ao traçar arcos de 
circunferências de raio a, centrados nos três vértices do triângulo, 
obtemos a região colorida como a da figura ao lado. Calcular a área desta 
região. 
 
 
A área desejada é a área do triângulo menos a soma das áreas 
dos três setores circulares. 
Se 2a é a medida do lado do triângulo, então; 
Área do triângulo=(2a)²R[3]/4=a²R[3] u.a. 
Área do setor circular=60.pi.(a)²/360=pi.a²/6 u.a. 
Área desejada=a²R[3] - 3.pi.a²/6=a²(R[3] - pi/2) u.a. 
 
 
 
20. Sobre cada cateto de um triângulo retângulo traçamos uma 
semicircunferência de acordo com a figura ao lado. Mostre que a soma 
das áreas das lúnulas (pintadas de azul e verde) é igual a área do 
triângulo. 
 
 
 
Sejam a e b os catetos e c a hipotenusa do triângulo. 
Sejam Sa, Sb e Sc os semicírculos de raios a/2, b/2 e c/2 
respectivamente e seja T o triângulo. 
Soma das áreas brancas=área(Sc)-área(T) 
Áreas das lúnulas=área(Sa)+área(Sb)-Soma das áreas brancas. 
Áreas das lúnulas=área(Sa)+área(Sb)-área(Sc)+área(T) 
Área(Sc)=pi.(c/2)²/2=pi(a²+b²)/8 
Área(T)=a.b/2 
Soma das áreas brancas=pi(a²+b²)/8-a.b/2 
Área(Sa)=pi(a/2)²/2=pi.a²/8 
Área(Sb)=pi(b/2)²/2=pi.b²/8 
Áreas das lúnulas = pi(a²+b²)/8-(pi(a²+b²)/8-a.b/2)=a.b/2 
A soma das áreas das lúnulas é igual à área do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
21. Semicircunferências são traçados sobre os lados de um quadrado cujo 
lado mede 10 cm. Calcular a área das quatro pétalas pintadas na figura ao 
lado. 
 
 
 
 
A soma das áreas dos quatro semicírculos é a área do quadrado 
mais a área das quatro pétalas, então a área desejada é a 
diferença entre a soma das áreas dos quatro semicírculos e a 
área do quadrado. 
Área semicírculo=(1/2)pi(10/2)²=12,5.pi cm² 
Área quadrado=(10)²=100 cm² 
A área desejada é a Área do semicírculo menos a Área quadrado, 
assim 
 
Área desejada=(4(12,5 pi)-100=(50pi-100) cm² 
22. Semicircunferências são traçados sobre dois lados de um quadrado 
cujo lado mede 6 cm. Calcular a área da região pintada na figura ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Área = 27 – 4,5 pi cm² 
 
23. Dois círculos cujos raios medem 4 cme 12 cm, estão lado a lado, 
como mostra a figura. Qual é a medida da menor correia de couro que 
contorna os dois círculos? 
 
 
 
 
 
Devemos obter a medida do segmento AB e as medidas dos 
ângulos BED e ADE. Dessa forma: DE=12+4=16cm e CE=12-
4=8cm. Como m(AB)=m(DC) e o triângulo retângulo DCE tem 
ângulo reto em C, temos que: 
(DC)²=(DE)²-(CE)² 
m(OC)=R[256-64]=8 R[3] 
ângulo(BO'O)=arccos(8/16)=arccos(1/2)=60o 
ângulo(BO'O)+ângulo(AOO')=180o 
ângulo(AOO')=180o-60o=120o 
½medida da correia=m(EA)+AB+m(BF) 
m(EA)=½pi(4)²-m(AG)=½pi.16-120pi.4²/360=8pi-8/3.pi 16/3 pi 
m(BF)=½pi.12²-m(BF)=½pi.144-60pi.12²/360=72pi-24pi=48 pi 
Medida da correia=2(16pi/3+8R[3]+48pi)=(128pi+16R[3])cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
24. Duas circunferências de centros O e O' têm raios medindo 3 cm e 2 
cm, respectivamente, e a medida m(OO')=13 cm. Se a reta t é uma 
tangente comum às duas circunferências nos pontos A e B, calcular a 
medida do segmento AB. 
 
 
 
 
 
Seja a reta que passa por CO' paralela a reta tangente t. O 
triângulo OO'C é retângulo, pois o raio da circunferência é 
perpendicular a reta tangente t no ponto de tangência. Pelo 
teorema de Pitágoras, temos 
(CO')² = (OO')² - (OC)² 
(CO')² = (13)² - 5² = 144 
CO' = 12 
Como CO'e AB são congruentes, então AB=12 cm. 
25. Calcular a área da região colorida, sabendo-se que cada semicírculo 
possui o diâmetro igual ao raio do círculo imediatamente maior. 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Área = pi r²/4 unidades quadradas.