04 12 2T NOCOES ATUARIAIS

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TCE/PI - Escola de Contas 
MiniCurso 
Noções Atuariais 
Dezembro de 2012 Cesar Oliveira 
Cesar Oliveira 
A ciência Atuarial 
• é a ciência dedicada aos cálculos feitos pelas companhias 
de seguro de vida, estabelecendo as bases de suas 
operações e verificando os resultados, ou seja, é calculado 
o risco protegido e os recursos para sua cobertura, 
vislumbrando as possibilidades em variadas situações, no 
caso do sistema previdenciário, especialmente dentro das 
expectativas futuras em relação ao envelhecimento da 
população e às tendências da natalidade populacional. 
O Cálculo Atuarial 
Cesar Oliveira 
O Cálculo Atuarial 
• Através das análises atuárias, os administradores públicos 
do regime previdenciário podem elaborar medidas para a 
correção de desvios, de maneira que através das 
correções, o sistema continue protegido, mantendo 
sempre seu equilíbrio financeiro, evitando sua falência e a 
ausência de cobertura para os cidadãos. 
• Neste tipo de equilíbrio, cabe à entidade, ao desenvolver o 
plano de benefício adotado, trabalhar com uma gama de 
variáveis existentes, como o 
• número de segurados existentes, número de segurados que 
futuramente irão existir, etc. 
Cesar Oliveira 
O Cálculo Atuarial 
• O equilíbrio financeiro, reflete a existência de reservas 
monetárias ou de investimentos, numerário ou aplicações 
suficientes para ao adimplemento dos compromissos 
atuais e futuros previstos. 
• Não se vislumbra apenas os direitos atuais, mas também 
os que futuramente irão se materializar, isto é, a razoável 
certeza do adimplemento dos benefícios que irão surgir. 
Cesar Oliveira 
O Cálculo Atuarial 
• Fornece meios para a apuração de prêmios de seguros ligados à vida e a 
custos previdenciais; 
• Utiliza as tábuas de mortalidade para avaliar a esperança de vida para uma 
certa idade (função sobrevivência) 
• Utiliza, conjuntamente, os conceitos dos regimes de capitalização 
financeiros e a teoria da Probabilidade 
O Cálculo Atuarial 
𝑶 𝒑𝒂𝒑𝒆𝒍 𝒆 𝒂 𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒖𝒎 𝒂𝒕𝒖á𝒓𝒊𝒐 𝒆𝒏𝒗𝒐𝒍𝒗𝒆 ∶ 
• projeto; 
• adaptação; 
• resolução de problemas; 
• estimativa do risco; 
• inovação e conhecimento técnico 
no campo contínuamente mutável dos sistemas de seguridade financeira. 
Cesar Oliveira 
Existe um padrão geralmente 
observado no que se refere à 
mortalidade entre as vidas dos seres 
humanos. 
Se x é a variável aleatória que 
representa a idade de um ser 
humano e que pode variar no 
intervalo [0,w] 
A Função sobrevivência [ s(x) ] é 
uma função probabilística definida 
pelo valor da probabilidade de que 
um ser humano de idade (0) chegue 
a atingir a idade (x) 
s(x) é contínua e decrescente com 
relação à (x) 
 
A Função Sobrevivência 
Cesar Oliveira 
𝒔 𝒙 = 𝟏 −
𝒙
𝟏𝟑𝟎
 
𝒔 𝟏𝟎 = 𝟏 −
𝟏𝟎
𝟏𝟑𝟎
= 𝟗𝟐, 𝟑𝟎𝟕𝟕% = 𝑷𝑹𝑶𝑩𝑨𝑩𝑰𝑳𝑰𝑫𝑨𝑫𝑬 𝑫𝑬 𝟎 𝑺𝑶𝑩𝑹𝑬𝑽𝑰𝑽𝑬𝑹 𝑨𝑻É 𝟏𝟎 𝑨𝑵𝑶𝑺 
 
Probabilidade de (0) falecer entre 10 e 18 anos: s(10)- s(18) 
Probabilidade de (10) sobreviver até a idade de 50 anos: 
𝒔(𝟓𝟎)
𝒔(𝟏𝟎)
 
Probabilidade de (10) morrer até 50 anos: 𝟏 −
𝒔(𝟓𝟎)
𝒔(𝟏𝟎)
 
𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝟑𝟐 𝒎𝒐𝒓𝒓𝒆𝒓 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝟓𝟑 𝒂𝒏𝒐𝒔: 
𝒔 𝟑𝟐 −𝒔(𝟓𝟑)
𝒔(𝟑𝟐)
 
 
𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝟑𝟐 𝒎𝒐𝒓𝒓𝒆𝒓 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒐𝒔 𝟒𝟑 𝒆 𝒐𝒔 𝟓𝟑 𝒂𝒏𝒐𝒔: 
𝒔 𝟒𝟑 − 𝒔(𝟓𝟑)
𝒔(𝟑𝟐)
 
A Função Sobrevivência 
Cesar Oliveira 
• Efeito da mortalidade em 𝟏𝟎𝟔 pessoas recem nascidas (0): 
• O valor esperado do número de sobreviventes até 1 ano de idade será: 
• 𝑬 𝒙𝟏 = 𝟏𝟎
𝟔𝒔 𝟏 = 𝒍𝟏 
• O valor esperado do nº de mortes entre (0) e (1) será: 
• 𝟏𝟎𝟔(𝟏 − 𝒔 𝟏 )=𝒅𝟏 
• Utilizando o mesmo procedimento para os pares (𝒍𝟐, 𝒅𝟐); ..., teremos a tábua de 
mortalidade onde: 
• 𝒍𝒙 = 𝒌. 𝒔 𝒙 ; 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒐 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆𝒗𝒊𝒗𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 à 𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒙 
• 𝒅𝒙 = 𝒍𝒙 − 𝒍𝒙+𝟏 ; representa o número de óbitos entre as idades (x) e (x+1) 
 
 
Tábua de Mortalidade 
Cesar Oliveira 
 
• A probabilidade de (x) sobreviver pelo menos mais 1 ano é: 
• 𝒑𝒙 =
𝒍𝒙+𝟏
𝒍𝒙
 
• A probabilidade de (x) falecer em menos de 1 ano (antes de atingir (x+1)) é: 
• 𝒒𝒙 =
𝒍𝒙−𝒍𝒙+𝟏
𝒍𝒙
 = 
𝒅𝒙
𝒍𝒙
 
• A probabilidade de (x) viver até atingir (x+n) é: 
• 𝒏𝑷𝒙 =
𝒍𝒙
𝒍𝒙+𝒏
 
• A probabilidade de (x) falecer antes de chegar a (x+n) é: 
• /nqx = 1 - nPx = [ l(x) / l(x+n) ] 
• A probabilidade de (x) viver até (x+n) e falecer antes de completar (x+n+1) é: 
• n/qx = d(x+n) / l(x) 
 
Tábua de Mortalidade - Probabilidades 
Cesar Oliveira 
 
 
• Normalmente são construídas a partir dos dados dos estudos de mortalidade: 
1. Define-se a raiz da tábua (normalmente uma potência de 10 maior ou igual a 5) 
2. Atribui-se o valor valor da raiz, para o valor inicial de l(x) [ l(0) ] 
3. Faz-se d(0) = l(0) . q(0) 
4. Faz-se l(1) = l(0) – d(0); d(1) = l(1) . q(1); l(2) = l(1) – d(1) ... 
5. d(x) = l(x).q(x) ; l(x+1) = l(x) . d (x) ... 
• l(x) = l(0) . s(x) 
 
Tábua de Mortalidade - Construção 
Cesar Oliveira 
Tábua de Mortalidade - Construção 
 
• Se admitirmos que s(x) e, portanto, l(x) varia linarmente ao longo de 1 ano, 
podemos conceber uma função L(x) que representaria o número de sobreviventes 
até(x) mas que ainda nã atingiram (x+1) 
• L(x) = l(x+1/2) = ½ (lx+lx+1) 
• L(x) representa a média de sobreviventes entre (x) e (x+1) 
• q(x)=d(x)/l(x)  taxa anual de mortalidade 
• M(x)=d(x)/L(x)  taxa central de mortalidade = 𝟐 (
𝟏−𝑷𝒙
𝟏+𝑷𝒙
) = 
𝟐𝒒𝒙
𝟐−𝒒𝒙
 
• Taxa instantânea (anual) ou “força” da mortalidade: 𝑴𝒙 = − 
𝒔′(𝒙)
𝒔(𝒙)
 = − 
 𝒍′(𝒙)
𝒍(𝒙)
 
• (log(u))’ = u’/u  M(x) = log( l(x) )’ 
 
Cesar Oliveira 
Quantidade de Existência 
Considere uma função [ T(x) ] 
que represente a área sob a curva l(x) entre 𝟎 𝒆 (w) 
 
Como L(x) representa o número médio de sobreviventes entre as idades x+t 
e x+t+1 e como 
 Lx+t = ½ (lx+t + lx+t+1) 
Podemos definir T(x) como: 
Tx = Lx + Lx+1 + Lx+2 + ... = 
𝑙𝑥
2
+ 𝑙𝑥+𝑗
𝑗=𝑤
𝑗=1 
A função T(x) [ quantidade de existência] representa a quantidade (em anos) que 
viverão todos os componentes do grupo (população), desde a idade x até que o 
grupo se extinga. 
Cesar Oliveira 
Vida Média 
Vida Média Completa 
 𝑒𝑥
0 =
𝑇𝑥
𝑙𝑥
  expectativa de vida das pessoas à idade (x) 
Vida média abreviada – admitindo que as mortes ocorrem 
no início do ano 
 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥
0 - (1/2) 
 𝑃𝑥 =
𝑒𝑥
1+𝑒𝑥+1
 
Cesar Oliveira 
Vida Média 
Quando começamos a contar os anos apenas 
apartir de uma idade (x+n) vamos calcular a Vida 
Média Diferida que será dada por: 
T(x+n) / l(x) = 
𝑙𝑥+𝑛
2
+ (𝑙𝑥+𝑛+𝑗)
𝑗=𝑤−𝑥−𝑛−1
𝑗=1 
A Vida Média Temporária por n anos será a 
diferença entre a vida média completa e a vida 
média diferida (contada a partir de n anos) 
Cesar Oliveira 
As forças da mortalidade e dos juros 
Todas as vezes que um capital aplicado durante um certo período, 
seja pago apenas caso a pessoa que aplicou esteja viva, teremos as 
taxas de mortalidade e de juros atuando conjuntamente: 
 
O valor esperado do montante do investimento após n períodos 
será: 
𝑭𝑽 = 𝑷𝑽(𝟏 + 𝒊)𝒏. 𝑷𝒙 = 𝑷𝑽(𝟏 + 𝒊)
𝒏. (𝟏 − 𝒒𝒙) 
 
𝜹 = log𝒆(𝟏 + 𝒊) = força dos juros 𝒆
𝜹 = (𝟏 + 𝒊) 
 
Cesar Oliveira 
Cálculo de Anuidades 
Vamos considerar a operação de seguro que consiste no capital 
diferido, comprado através de prêmio único, a ser pago numprazo de n anos caso a pessoa esteja viva nesta altura 
3 fatores contribuem para o cálculo de prêmio: 
O Capital segurado diferido (FV) 
O fator de desconto financeiro 
A probabilidade (Px) de que a pessoa esteja viva dentro de n anos 
O valor presente do prêmio a ser pago é dado por: 
nEx = 
𝑭𝑽.𝑷𝒙
(𝟏+𝒊)𝒏
 = 
𝑭𝑽.𝒍𝒙+𝒏
(𝟏+𝒊)𝒏.𝒍𝒙
  valor atuarial 
 𝒍𝒙+𝒏
(𝟏+𝒊)𝒏.𝒍𝒙
. = 𝒗𝒏 (fator desconto atuarial) 
 
 
Cesar Oliveira 
Tábuas de Comutação 
nEx = 
𝑭𝑽.𝑷𝒙
(𝟏+𝒊)𝒏
 = 
𝑭𝑽.𝒍𝒙+𝒏
(𝟏+𝒊)𝒏.𝒍𝒙
  valor atuarial 
 𝒍𝒙+𝒏
(𝟏+𝒊)𝒏.𝒍𝒙
. = (fator desconto atuarial) ; 
𝒗𝒏= 
𝟏
(𝟏+𝒊)𝒏
= fator de desconto financeiro 
 
 
 
 
nEx = 
vn . lx+n
lx
 = 
vx
vx
 . 
vn . lx+n
lx
 =
 
 
 
 
vx+n . lx+n
vx . lx
 = 
Dx+n
Dx
 
 
onde: 
Dx = v
x lx e Dx+n = v
x+n . lx+n ou seja, Dx+t = v
x+t . lx+t. ,
 
 
nEx = 
vn . lx+n
lx
 = 
vx
vx
 . 
vn . lx+n
lx
 =
 
 
 
 
vx+n . lx+n
vx . lx
 = 
Dx+n
Dx
 
 
onde: 
Dx = v
x lx e Dx+n = v
x+n . lx+n ou seja, Dx+t = v
x+t . lx+t. ,
 
 
nEx = 
vn . lx+n
lx
 = 
vx
vx
 . 
vn . lx+n
lx
 =
 
 
 
 
vx+n . lx+n
vx . lx
 = 
Dx+n
Dx
 
 
onde: 
Dx = v
x lx e Dx+n = v
x+n . lx+n ou seja, Dx+t = v
x+t . lx+t. ,
 
 
A primeira coluna da Tábua de Comutação é formada por todos 
os produtos D desde x = 0 até x = w 
(sendo w a primeira idade onde não há mais sobreviventes). 
Cesar Oliveira 
Cálculo de Anuidades 
Anuidade de sobrevivência com pagamentos iguais 
- Anuidade vitalícia de valor unitário, pagável a uma pessoa a 
partir de um determinado ano da sua vida desde que ela esteja 
viva na altura. 
- 𝒂𝒙 = 𝒋𝑬𝒙
𝒘−𝒙−𝟏
𝒋=𝟏 
 
 
 
 
ax Px = v
t
t=1
w-x-1
 . t = 
t=1
w-x-1
 
Dx+t
Dx
 
 
 
Definindo uma nova comutação: 
 
Nx = 
t=0
w-x-1
 Dx+t
 
 
a fórmula de a
x
 torna-se: 
 
a
x
= 
Nx
Dx
1
 
𝒂𝒙 é o valor presente 
da série de 
pagamentos ou a 
renda unitária 
vitalícia postecipada 
Cesar Oliveira 
Cálculo de Anuidades 
Anuidade de sobrevivência com pagamentos iguais 
- Anuidade de valor unitário, paga a uma pessoa a partir de um 
determinado ano da sua vida, por um período de tempo 
limitado desde que ela esteja viva na altura. 
 
 
 
é a renda unitária de 
sobrevivência 
postecipada 
 
a
x n: 
 = 
 = 
D
Dt=1
n
x+t
xt
n
t xE

 
1
 
 
Visto que 
t
n


1
 Dx+t = Nx+1 - Nx+n+1
, temos que: 
 
a
x n: 
 = 
Nx+1 Nx+n+1
Dx

 
 
 
a
x n: 
 = 
 = 
D
Dt=1
n
x+t
xt
n
t xE

 
1
 
 
Visto que 
t
n


1
 Dx+t = Nx+1 - Nx+n+1
, temos que: 
 
a
x n: 
 = 
Nx+1 Nx+n+1
Dx

 
 
Cesar Oliveira 
Cálculo de Anuidades 
Anuidade de sobrevivência com pagamentos iguais 
Anuidade vitalícia, de valor unitário, que provê (x) pagamentos a 
uma pessoa a partir de um determinado ano da sua vida (x+n+1). 
 
 
 
 
renda unitária, vitalícia, postecipada diferida por n anos 
n ax Ex/ = 
t=n+1
w-x-1
 t = 
1
Dx
 . 
t=n+1
w-x-1
 Dx+t = 
Nx+n+1
Dx
 
 
 
ou 
 
n ax/ = ax - ax:n 
 = 
Nx+1
Dx
 - 
Nx+1 - Nx+n+1
Dx
 = 
Nx+n+1
Dx
 
 
ou 
 
n ax Ex/ = n . ax+n = 
Dx+n
Dx
 . 
Nx+n+1
Dx+n
 = 
Nx+n+1
Dx
 
Cesar Oliveira 
Cálculo de Anuidades 
De um modo Geral: 
Modelo Antecipado-prestações (p) pagas ao início de cada período 
Financeiro 
𝒔 𝒙𝒏| = 𝒑.
(𝟏 + 𝒊)𝒏−(𝟏 + 𝒊)
𝒊
 
Atuarial 
𝒂 𝒙 = 𝒌𝑬𝒙
𝒘−𝒙−𝟏
𝒌=𝟎  Renda Vitalícia Antecipada 
𝒂 𝒙𝒏| = 𝒌𝑬𝒙
𝒏
𝒌=𝟎  Renda Temporária Antecipada 
𝒔 𝒙𝒏| = 𝒑.
𝑵𝒙 −𝑵𝒙+𝒏
𝑫𝒙+𝒏
= 𝒑. 𝒂 𝒙𝒏|.
𝟏
𝒏𝑬𝒙
 
 
 
 
 
 
 
Cesar Oliveira 
Cálculo de Anuidades 
De um modo Geral: 
Modelo Postecipado-prestações (p) pagas ao final de cada período 
Financeiro 
𝒔𝒏| = 𝒑.
(𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏
𝒊
 
Atuarial 
𝒂𝒙:𝒏| = 𝒌𝑬𝒙
𝒏
𝒌=𝟎  Renda Temporária Postecipada 
𝒂𝒙 = 𝒌𝑬𝒙
𝒘−𝒙
𝒌=𝟏  Renda Vitalícia Postecipada 
 
𝒔𝒙:𝒏| = 𝒑.
𝑵𝒙+𝟏 −𝑵𝒙+𝒏+𝟏
𝑫𝒙+𝒏
= 𝒑. 𝒂𝒙:𝒏|.
𝟏
𝒏𝑬𝒙
 
 
 
 
 
 
 
Cesar Oliveira 
Cálculo Atuarial e Financeiro 
Exemplo 
Operação Financeira 
Cálculo do valor presente de 32.071,35 aplicados com i= 6%aa durante 20anos  
𝑪𝟎=10.000,00 
 
Operação Atuarial 
Cálculo do valor presente de uma operação previdencial que estabeleça o montante 
necessário ao pagamento de rendas, considerando x = 20 e n = 20: 
𝝅𝟎 = 𝒔𝒙(𝟏 + 𝒊)
𝒏𝒏𝑬𝒙. 𝒂𝒙+𝒏
(𝒎)
=32.071,35.nEx=𝟑𝟐. 𝟎𝟕𝟏, 𝟑𝟓(𝟏, 𝟎𝟔)−𝟐𝟎.
𝒍𝟒𝟎
𝒍𝟐𝟎
=9414,98 
𝝅𝟎=Custo da operação no seu início 
Sx = salário do participante na idade x 
Is = incremento real dos salários 
N = nº de períodos da operação 
𝒂𝒙+𝒏
(𝒎)
=renda atuarial postecipada considerando apenas o decremento morte para um 
participante de idade x+n 
 
 
 
 
𝑪𝟎 ≠ 𝝅𝟎 
𝐶𝑛. (𝑛𝑃𝑥)
(1 + 𝑖𝐴)
𝑛 =
𝐶𝑛
(1 + 𝑖𝑓)
𝑛 
Cesar Oliveira 
Cálculo Atuarial e Financeiro 
Os valores de capitalização de prestações atuariais levam à formação de montantes mais 
elevados que os obtidos através do regime puramente financeiro. 
A partir da comparação entre os valores obtidos nos dois modelos, mede-se o nível de 
esforço adicional necessário (P) à formação de reserva matemática por contribuição 
definida por meio da prestação acumulada. 
Deste modo, para valores distintos das prestações (financeira e atuarial), tem-se o valor 
da reserva matemática, igualando as expressões obtidas para o valor futuro nos dois 
modelos . 
𝒔𝒙:𝒏| = 𝒔𝒏| 
𝒑𝒇.
(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏
𝒊
=𝒑𝒂.
𝑵𝒙+𝟏−𝑵𝒙+𝒏+𝟏
𝑫𝒙+𝒏
 
 
 
𝒑𝑭 = 𝒑𝑨
𝒊(𝑵𝒙 −𝑵𝒙+𝒏)
𝟏 + 𝒊 𝒏+𝟏 − (𝟏 + 𝒊) . 𝑫𝒙+𝒏
 
Cesar Oliveira 
Tábua de 
Mortalidade 
Cesar Oliveira 
• Arranjos institucionais para a proteção de 
idosos, inválidos e dependentes que 
perderam a sua fonte de sustento em razão 
do falecimento de seus provedores 
• Previstos em lei  contribuições e benefícios 
• A solvência e a capacidade de pagar 
benefícios futuros é garantida pelo governo 
• Podem ser complementados por sistemas 
privados de aposentadoria 
 
 
Os Sistemas Previdenciários 
Cesar Oliveira 
Sistemas de Previdência Social 
• Benefícios Fixos 
• A fórmula de benefício é especificada e o 
modelo financeiro (contribuições) é 
estruturado de modo a financiar 
adequadamente os benefícios 
• Contribuições Fixas 
• As contribuições são definidas a priori e os 
benefícios são resultantes do investimento das 
contribuições 
Cesar Oliveira 
Sistemas de Previdência Social 
Benefícios Definidos 
• Fontes de financiamento 
• Contribuições (valor uniforme ou relacionadas à renda) 
• Pagas pelas pessoas cobertas pelo sistema 
• Pagas pelos empregadores em favor dos empregados 
cobertos pelo sistema 
• Subsídios 
• Outras receitas governamentais 
Cesar Oliveira 
Sistemas de Previdência Social 
Benefícios Definidos 
• Fórmula da aposentadoria 
• Valor uniforme 
• Valor relacionado ao rendimento 
• A base de cálculo pode ser 
• O salário final segurado 
• A média final dos salários segurados 
• A média final dos salários segurados da carreirado 
indivíduo 
Cesar Oliveira 
Sistemas de Previdência Social 
Contribuições Definidas 
• Fundos nacionais de previdência 
• São abertas contas individuais para cada segurado e as 
contribuições são registradas nessas contas 
• Os juros são adicionados periodicamente às contas 
• O saldo acumulado pode ser pago como 
• Um pecúlio na aposentadoria 
• Invalidez 
• Morte antes da aposentadoria 
• Saques parciais para outros propósitos (habitação, 
saúde, educação) 
Cesar Oliveira 
Segurança Social 
Financiamento 
• Modelo que permitirá a existência de um fluxo de recursos 
capaz de suprir as despesas (benefícios e administração) na 
medida em que estas ocorram; 
• mecanismo que determina o valor e a periodicidade das 
contribuições adequadas ao sistema previdenciário; 
 
Cesar Oliveira 
Segurança Social 
Financiamento 
• Parâmetros demográficos e econômicos 
• A força da taxa de juros ( 𝜹 ) 
• A força do crescimento de novos entrantes ( 𝝆 ) 
• A força do crescimento dos salários ( 𝜸 ) 
• Taxa instantânea de mudança do nível geral dos 
salários  responsável pela escala dos salários 
(progressão dos salários em função da idade) 
• A força da indexação das aposentadorias (𝜷) 
• A força da mortalidade, invalidez, etc... 𝝁𝒙
𝒅 
• A força da inflação ( 𝜽 ) 
 
Cesar Oliveira 
Segurança Social 
Financiamento 
• Parâmetros demográficos e econômicos 
• Pressupostos : 
• A taxa de crescimento dos salários ( salvo durante 
grandes transformações econômicas) deve superar a taxa 
de inflação pelos ganhos de produtividade 
• A indexação das aposentadorias deve manter o poder de 
compra dos indivíduos cobertos pelo sistema (indexação 
de preços) e manter o padrão de vida dos aposentados 
semelhante ao dos ativos (𝜸 ≥ 𝜷 ≥ 𝜽) 
• 𝜹 > 𝝆 + 𝜸  a taxa de juros (no longo prazo) deve 
superar a soma da taxa de crescimento do números de 
segurados com a taxa de crescimento da escala salarial 
 
Cesar Oliveira 
Segurança Social 
Financiamento 
• Parâmetros demográficos e econômicos 
• Pressupostos : 
• A densidade de contribuições é de 100% 
• O nº de novos entrantes no intervalo (t, t+dt) = 𝒆𝝆𝒕 
• A unidade de salários irá crescer segundo: 𝒆𝜸𝒕 
• A unidade de aposentadoria deverá crescer segundo: 𝒆𝜷𝒕 
• A unidade de tempo (contínuo) é o ano 
Cesar Oliveira 
Segurança Social 
Demografia 
• Função População Ativa  A(t) 
• Função População aposentada  R(t) 
• Pressupostos : 
• Assume-se que as pessoas que já alcançaram a idade da 
aposentadoria no início do funcionamento do sistema de 
previdência, não terão direito a este benefício 
• Assumimos uma idade para os novos entrantes ( b ) 
• Fixamos uma idade para a aposentadoria ( r ) 
Cesar Oliveira 
Segurança Social 
Demografia 
Diagrama de Lexis 
Entrada 
no Sistema 
Aposentad
oria 
Cesar Oliveira 
Segurança Social 
Desenvolvimento Demográfico 
• Função População Ativa  A(t) 
• Função População aposentada  R(t) 
• Características das Funções demográficas: 
• 𝑹′ 𝒕 > 𝟎 
•
𝑹′(𝒕)
𝑹(𝒕)
>
𝑨′(𝒕)
𝑨 (𝒕)
 (𝒕 < 𝒘𝟏) 
•
𝑹′(𝒕)
𝑹(𝒕)
=
𝑨′(𝒕)
𝑨 (𝒕)
= 𝝆 (𝒕 ≥ 𝒘𝟏) 
• 𝒘𝟏 = neste momento o sistema alcançou a sua maturidade 
demográfica 
Cesar Oliveira 
Segurança Social 
Desenvolvimento Financeiro 
• Função Despesa (com benefícios )  B(t) 
• Função Salário Segurado  S(t) 
• Características das Funções demográficas: 
• 𝑩′ 𝒕 > 𝟎 
•
𝑩′(𝒕)
𝑩(𝒕)
>
𝑺′(𝒕)
𝑺 (𝒕)
 (𝒕 < 𝒘𝟐) 
•
𝑹′(𝒕)
𝑹(𝒕)
=
𝑺′(𝒕)
𝑺 (𝒕)
= 𝝆 + 𝜸 (𝒕 ≥ 𝒘𝟐) 
• 𝒘𝟐 = neste momento o sistema alcançou a sua maturidade financeira 
• Taxa de reposição é o valor percentual da aposentadoria inicial em 
relação ao salário que serviu de base para o cálculo 
Cesar Oliveira 
Segurança Social 
Desenvolvimento Financeiro 
Cesar Oliveira 
Segurança Social 
Métodos de Financiamento 
• Qualquer método de financiamento procura estabelecer um equilíbrio 
entre despesas e receitas, sem necessariamente igualar as contribuições 
com as despesas correntes (este é apenas um dos caminhos). 
• Temos de considerar duas funções: 
• C(t)  função taxa de contribuição – caracterizadora do método 
• V(t) função reservas matemáticas – representa o excesso das 
entradas sobre as saídas (acumulada com força de juros 𝜹 ) 
• 𝒅𝑽 𝒕 = 𝑽 𝒕 𝜹 𝒕 + 𝑪 𝒕 𝑺 𝒕 𝒅𝒕 − 𝑩 𝒕 𝒅𝒕 
• 𝑽 𝒎 = 𝒆𝜹𝒎 [𝑩 𝒕 − 𝑪 𝒕 𝑺 𝒕 ]𝒆−𝜹𝒕𝒅𝒕
∞
𝒎
 (expressão prospectiva para a 
função reserva para um sistema de previdência novo) 
Cesar Oliveira 
Segurança Social 
Métodos de Financiamento 
• Repartição Simples (PAY as YOU GO) - PAYG 
• Definido teoricamente como V(t) =0 para todos os 
valores de ( t ) 
 
• 𝑪 𝒕 =
𝑩(𝒕)
𝑺(𝒕)
 
• O Método PAYG alcança seu equilíbrio em um 
determinado (t), com as pessoas ativas arcando com os 
custos dos inativos. 
• A alíquota de contribuição para o ano n+1 é dada por: 
• 𝑷𝑨𝒀𝑮𝒏+𝟏 =
 𝑩(𝒕)𝒆−𝜹𝒕
𝒏+𝟏
𝒏 𝒅𝒕
 𝑺(𝒕)𝒆−𝜹𝒕
𝒏+𝟏
𝒏 𝒅𝒕
 
Deverá ser aplicado para os RPPS em que a massa 
de participantes tenha alcançado um estado 
estacionário, onde as despesas previstas 
apresentem estabilidade, devidamente 
demonstradas nas avaliações atuariais anuais 
Cesar Oliveira 
Segurança Social 
Métodos de Financiamento 
• Prêmio Médio Geral - GAP 
• Definido teoricamente como tendo uma alíquota de 
contribuição constante – C(t) = C – aplicada durante 
todo o tempo de vida do sistema de previdência. 
• 𝑪 𝒕 =
 𝑩(𝒕)𝒆−𝜹𝒕
∞
𝒎 𝒅𝒕−𝑽(𝒎)𝒆
−𝜹𝒎
 𝑺(𝒕)𝒆−𝜹𝒕
∞
𝒎 𝒅𝒕
 
• Se considerarmos a partir do início do sistema (m=0) 
• 𝑪 𝒕 =
 𝑩(𝒕)𝒆−𝜹𝒕
∞
𝟎 𝒅𝒕
 𝑺(𝒕)𝒆−𝜹𝒕
∞
𝟎 𝒅𝒕
 
Cesar Oliveira 
Segurança Social 
Métodos de Financiamento 
• Capitalização Terminal–TFS – Repartição de Capitais de Cobertura-RCC 
• Bastante utilizado em sistemas de seguros e acidentes de trabalho e 
também em sistemas de previdência 
• Cada aposentadoria é capitalizada no momento da exigibilidade do 
prêmio – capitalização prévia total no momento da ocorrência da 
exigibilidade do prêmio. 
• Ka(t)dt = valor capitalizado dos prêmios em (t+dt) 
• O valor presente dos gastos futuros com benefícios é: 
• 𝑩(𝒕)𝒆−𝜹𝒕
∞
𝟎
𝒅𝒕 = 𝑲𝒂(𝒕)𝒆−𝜹𝒕
∞
𝟎
𝒅𝒕 
• 𝑨𝒍í𝒒𝒖𝒐𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒊çã𝒐: 𝑪 𝒕 = 𝑻𝑭𝑺 𝒕 =
𝑲𝒂(𝒕)
𝑺(𝒕)
 
• Reserva p/ n períodos: 𝑽 𝒏 = 𝒆𝒏 [𝑲𝒂 𝒕 − 𝑩 𝒕 ]𝒆−𝜹𝒕
𝒏
𝟎
𝒅𝒕 
 
Cesar Oliveira 
Segurança Social 
Métodos de Financiamento 
• PAYG 
• Pouco prático para sistemas de previdência pela necessidade de 
alterar o valor da alíquota de contribuição com frequência, a alíquota 
final é elevada e praticamente não se acumulam reservas 
• GAP 
• Tem uma alíquota constante mas que necessita ser relativamente 
elevada desde o início do sistema. Acumula bastante reserva. 
• TFS 
• tem a característica da reserva ser adequada para cobrir as despesas 
futuras com os benefícios já concedidos. 
• O método de períodos sucessivos de controle fornece um equilíbrio entre 
o PAYG e o GAP permitindo o controle da alíquota de contribuição e da 
acumulação de reservas. 
 
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Métodos de Financiamento 
• Para cada Regime Financeiro de Capitalização 
• Repartição Simples; Rep. de capitais de Cobertura; Capitalização 
Terminal 
• Existem vários métodos de financiamento. Os mais usuais são: 
• UC – Crédito Unitário; 
• PUC – Crédito Unitário Projetado; 
• PNI – Prêmio Nivelado Individual; e, 
• IEN – Idade de Entrada Normal.Cesar Oliveira 
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Métodos de Financiamento 
• UC – Crédito Unitário 
Num RPPS em equilíbrio financeiro e atuarial para um grupo de segurados 
o ativo líquido (AL) representa o valor atual dos benefícios futuros. 
No início do exercício financeiro temos: Ali = VABFi e no final teremos: 
ALf = VABFi + dVABF(t) – B(t) – CA(t) + R(t) + [C(t) * S(t)] 
ALf  ativo líquido do plano no final do exercício financeiro; 
VABFi  valor atual dos benefícios futuros no início do exercício financeiro; 
dVABF(t)  acréscimo a ser considerado no exercício financeiro para o valor atual dos 
benefícios futuros; 
B(t)  montante de benefícios pagos no exercício financeiro; 
CA(t)  custo administrativo no exercício financeiro; 
R(t)  remuneração no exercício financeiro do capital aplicado; 
C(t)  percentual total a incidir (alíquota) mensalmente sobre a folha de contribuição dos 
segurados no exercício financeiro. 
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Métodos de Financiamento 
• UC – Crédito Unitário 
O valor de C(t) é dado por: 
 VABF(t) = 13 * R(t) * ay * Dy / Dx 
 VASF(t) = 13 * R(t) * ax 
 C(t) = VABF(t) * 100 / VASF(t) 
VABF(t) VA do benefício futuro no final do exercício financeiro dos servidores ativos; 
R(t) remuneração de contribuição dos servidores ativos; 
ay anuidade vitalícia postecipada com pagamento sub-anual em 12 parcelas para um servidor com idade y 
y  idade de um servidor na elegibilidade a uma ap. voluntária; 
Dy e Dx representam função atuarial para as idades y e x. 
x  idade do servidor na data do cálculo. 
VASF(t) representa o valor atual dos salários futuros no final do exercício financeiro dos servidores que 
contribuem; 
ax representa uma anuidade postecipada com pagamento sub-anual em 12 parcelas diferida de (n) anos e 
temporária de (s) anos; É diferida do tempo passado que já contribuiu, é temporária porque se considera o 
tempo que falta para atingir a elegibilidade ao benefício (ex: aposentadoria voluntária). 
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Métodos de Financiamento 
• PUC – Crédito Unitário Projetado 
 
 Na data de cálculo se projeta a remuneração para a data da elegibilidade do 
benefício 
By(t) = Rx(t) * (1+i)s 
 
By(t)  valor do benefício na data que o servidor atinge a elegibilidade ao 
benefício (ex: aposentadoria voluntária) 
Rx(t)  remuneração de contribuição do servidor na data do cálculo; 
(1+i)s  fator de capitalização da remuneração com de taxa de juros ( i ) do 
crescimento real dos salários. 
Com a projeção do valor de Rx(t), obtém-se C(t) do mesmo modo que no 
Regime UC 
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Métodos de Financiamento 
• Regime Financeiro de Capitalização  PNI – Prêmio Nivelado Individual 
 
 O valor da alíquota de contribuição é determinada pela seguinte expressão: 
 
C(t) = (VABFx – ALi) * 100 / VASFx 
 
ALi  ativo líquido do plano no início do exercício financeiro; 
VABFx  valor atual dos benefícios futuros calculados na idade x; 
VASFx  valor atual dos salários futuros calculados na idade x 
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Métodos de Financiamento 
• Regime Financeiro de Capitalização  IEN – Idade de Entrada Normal 
 
 Neste método de financiamento o plano de custeio é determinado pela 
seguinte expressão: 
C(t) = VABFm * 100 / VASFm 
 
VABFm  valor atual do benefício futuro calculado na idade (m) que o segurado 
começou a contribuir para Regime (RGPS ou RPPS) considerando o valor do 
benefício na data de elegibilidade (ex: no caso de aposentadoria voluntária) 
VASFm  valor atual dos salários futuros calculado na idade (m) que o segurado 
começou a contribuir para o Regime (RGPS ou RPPS) mas considerando o 
salário na data do cálculo. 
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Segurança Social 
Técnicas de Análise Atuarial 
•Projeção 
•Valor Presente 
 
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Métodos de Financiamento 
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Métodos de Financiamento 
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Reserva Matemática 
• Para que haja equilíbrio, na contratação de um seguro, no 
momento inicial, o valor atual do compromisso do 
segurador, deve ser igual ao valor atual do compromisso 
do segurado. 
• 𝑷 . 𝒂 = A ( O produto do prêmio anual pela renda 
antecipada é igual ao prêmio único) 
• Será que este equilíbrio se manterá ao longo do tempo? 
• Suponha que o contrato fosse feito alguns anos 
depois. Neste caso, a idade do segurado seria (x+t) e, 
como o prêmio único cresce com a idade do segurado, 
teríamos: 𝑷 (𝒕) > 𝑷 ;  A(t) > A  estando rompido o 
equilíbrio inicial pois o compromisso do segurador é, 
agora em (t), maior do que o compromisso do 
segurado. 
Cesar Oliveira 
Reserva Matemática 
• Como o valor do prêmio cresce com a idade do segurado, 
em (t)  𝑷 (𝒕) > 𝑷 
• Para que haja equilíbrio, no instante (t), há que observar 
a diferença (Reserva Matemática) representada por : 
𝑨 𝒕 − 𝑷 . 𝒂 (𝒕) = [𝑷 (𝒕) − 𝑷 ]. 𝒂 (𝒕) = V(t) 
Cesar Oliveira 
Reserva Matemática 
• Exemplo: 
• seguro de vida inteira de (x) a prêmio anual 
antecipado, t anos após o a celebração contrato. 
• Nesta altura (t), 
• o valor atual dos compromissos futuros do 
segurador é Ax+t 
• o valor atual dos prêmios puros futuros a serem 
pagos pelo segurado é: 𝑷 𝒙. 𝒂 𝒙+𝒕. 
• A diferença (Ax+t - 𝑷 𝒙. 𝒂 𝒙+𝒕) é a Reserva Matemática e 
representa a obrigação líquida do segurador. 
• a reserva matemática é, neste caso, o excesso do valor 
atual dos benefícios futuros em relação ao valor atual 
dos prêmios puros futuros 
Cesar Oliveira 
Reserva Matemática – Método Prospectivo 
• Vamos considerar um seguro vida de (x), de valor unitário 
 (t) anos após o contrato: 
• O valor atual dos compromissos do segurador é: 
• Ax+t 
• O valor atual dos compromissos futuros do segurado: 
• 𝑷 𝒙. 𝒂 𝒙+𝒕 
• A Reserva Matemática (prospectiva) do final do ano 
(t) de seguro é o excesso do valor atual dos benefícios 
futuros a serem pagos pelo segurador sobre o valor 
dos prêmios futuros a serem pagos pelo segurado. 
 
Cesar Oliveira 
Reserva Matemática – Exemplos de Cálculo 
Seguro ordinário de vida contratado em (x): 
• tVx = (Ax+t ) - (𝑷 𝒙. 𝒂 𝒙+𝒕) = 
𝑴𝒙+𝒕 −(𝑷 𝒙.𝑵𝒙+𝒕)
𝑫𝒙+𝒕
 
Seguro de vida inteira com pagamento limitado a n prêmios 
anuais  A reserva matemática do final do ano t é: 
 
x
n
tV
tx
nxtxx
..
ntx
|t-n:txx
..
ntx
D
)N - (N P- M
 ä . P- A




 para t<n, 
Cesar Oliveira 
Reservas Matemáticas 
• O equilíbrio financeiro, reflete a existência de reservas 
monetárias ou de investimentos, numerário ou aplicações 
suficientes para ao adimplemento dos compromissos 
atuais e futuros previstos. 
• Não se vislumbra apenas os direitos atuais, mas também 
os que futuramente irão se materializar, isto é, a razoável 
certeza do adimplemento dos benefícios que irão surgir. 
Cesar Oliveira 
• PV = Valor Presente; 
• FV = Valor Futuro 
• J = juro composro; 
• n = tempo de aplicação 
• i=taxa de juros unitária[ i/100 ] 
• PMT = Valor de uma prestação 
• NPV = Valor presente líquido 
do investimento 
• IRR = Taxa interna de retorno 
PB = Payback = Tempo de 
retorno 
 
 
Fluxo de caixa 
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930
Investimento 
Saídas Entradas Flx Líquido Flx Líquido Acum.
Bibliografia 
Março a Maio de2012 Cesar Oliveira 
 
• ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. São Paulo : Atlas, 2003. 
• AYRES JR., Frank. Matemática Financeira. Rio de Janeiro : McGraw-Hill, 1971. 
• PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira - Objetiva e Aplicada. São Paulo : Saraiva, 
2004. 
• Rodrigues, José Angelo. Gestão do Risco Atuarial – Saraiva 2008 
• Iyer, Subramanian. Matemática Atuarial dos Sistemas de Segurança Social – Tradução do MPAS-2002