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Lista 1 – Vetores no Plano (R2) 1) Dados os vetores jeeitttu tt ˆ)(ˆ))2(()( 23/22 e jeitttv t ˆ4ˆ)2ln()( 2 , calcule as derivadas abaixo: (a) )(' tu (b) )(' tv (c) )1('u (d) )0('v (e) )0(')1(' vu (f) )0(')1(' vu 2) O vetor posição de uma partícula que se move num plano é jsentittr ˆ)3(ˆ)cos2()( . (a) Calcule os vetores velocidade )(tv e aceleração )(ta da partícula. (b) Calcule o módulo |)(| tv da velocidade da partícula e o versor do movimento (vetor unitário da velocidade) )(ˆ tv , ambos no instante 2/t . Lembre-se: |(| )( )(ˆ tv tv tv . 3) O vetor posição de uma partícula que se move num plano é jsentittr ˆ)2(ˆ)2cos2()( . (a) Calcule os vetores velocidade )(tv e aceleração )(ta da partícula. (b) Calcule o módulo |)(| tv da velocidade da partícula e o versor do movimento (vetor unitário da velocidade) )(ˆ tv , ambos no instante 0t . 4) O vetor posição de uma partícula que se move num plano é jtittr ˆˆ)1ln(2)( 2 . (a) Calcule os vetores velocidade )(tv e aceleração )(ta da partícula. (b) Calcule o módulo |)(| tv da velocidade da partícula e o versor do movimento (vetor unitário da velocidade) )(ˆ tv , ambos no instante 1t . 5) O vetor posição de uma partícula que se move num plano é jsentittr ˆ)(ˆ)cos2()( . Calcule o ângulo entre os vetores velocidade )(tv e aceleração )(ta da partícula, no instante 4/t . 6) O vetor posição de uma partícula que se move num plano é jsentittr ˆ)(ˆ)cos()( 2 . Calcule o ângulo entre os vetores velocidade )(tv e aceleração )(ta da partícula, no instante 2/t . 7) Calcule )(lim 3 tr t , para o vetor j tt t ittr ˆ 3 9ˆ)( 2 2 . 8) Calcule as integrais abaixo: (a) 2 1 ]ˆ3ˆ)66[( dtjtit (b) 4/ 4/ ]ˆ)cos1(ˆ)[( dtjtisent (c) dtj t i t ˆ 5 1ˆ1 9) Resolva o problema de valor inicial abaixo, para determinar o vetor )(tr : jeit dt rd t ˆˆ 2 3 2/1 , 0)0( r . 10) Resolva o problema de valor inicial abaixo, para determinar o vetor )(tr : jtitt dt rd ˆˆ)( 2 , jir ˆˆ2)0( . 11) Resolva o problema de valor inicial abaixo, para determinar o vetor )(tr : j dt rd ˆ32 2 2 , ir ˆ100)0( , ji dt rd t ˆ8ˆ8 0 . Lembre-se: dt vd ta dt rd )( 2 2 e dt rd v . Respostas 1) (a) jeeitttu tt ˆ)2(ˆ 3 2 )2(2)(' 23/1 (b) jei tt t tv t ˆ4ˆ 2 12 )(' 2 (c) jeeiu ˆ)2(ˆ 3 4 )1(' 2 (d) jiv ˆ4ˆ 2 1 )0(' (e) 284 3 2 )0(')1(' eevu (f) jeeivu ˆ)42(ˆ 6 11 )0(')1(' 2 2) (a) jtisenttv ˆ)cos3(ˆ)2()( jsentitta ˆ)3(ˆ)cos2()( (b) 2|)2/(| v iv ˆ)2/(ˆ 3) (a) jtitsentv ˆ)cos2(ˆ)24()( jsentitta ˆ)2(ˆ)2cos8()( (b) 2|)0(| v jv ˆ)0(ˆ 4) (a) jti t tv ˆ)2(ˆ 1 2 )( ji t ta ˆ2ˆ )1( 2 )( 2 (b) 5|)1(| v jiv ˆ 5 2ˆ 5 1 )1(ˆ 5) 1,53)5/3arccos( 6) 90)0arccos( 7) itr t ˆ3)(lim 3 8) (a) ji ˆ)122(2ˆ3 (b) jˆ2 2 (c) jtit ˆ|5|lnˆ||ln 9) jeittr t ˆ)1(ˆ)( 2/3 10) j t i tt tr ˆ1 2 ˆ2 23 )( 223 11) jttittr ˆ)168(ˆ)8100()( 2
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