lista3

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Cálculo 1 
 
 
1)1)1)1) Calcule a derivada das funçõeCalcule a derivada das funçõeCalcule a derivada das funçõeCalcule a derivada das funçõe
 
(a) �(�) � �� � 2� 
 (b) �(�) � 
� 
�
� 
2)2)2)2) Calcule a derivada das funções abaixo usando as propriedadesCalcule a derivada das funções abaixo usando as propriedadesCalcule a derivada das funções abaixo usando as propriedadesCalcule a derivada das funções abaixo usando as propriedades
 
a) �(�) � 16� � 4�� "
b) �(�) � �5�³ " 21�² �
c) �(�) � 5 
d) & � 7�( � 2� " 8�
e) �(*) � 2* � 1 
f) & � 8 
g) �(�) � �, 
h) & � 2� " 1 
 
3)3)3)3) Calcule a derivada das funções abaixo usando a regra do quocientCalcule a derivada das funções abaixo usando a regra do quocientCalcule a derivada das funções abaixo usando a regra do quocientCalcule a derivada das funções abaixo usando a regra do quocient
se necessáriose necessáriose necessáriose necessário 
 
a) 2(*) �
345�
�456
 
b) 7(*) � 
 45� 
348� 
 
c) �(�) �
 
9
" 2√� �
�
(√9
d) �(;) �
(
<=
"
3
<>
 
e) �(�) � (2�� � 1). (1 �
f) & � (�� � 3�(). (�3 �
g) �(�) �
 98(
�95�
 
h) 7(�) �
345�
�8484=
 
i) �(�) � (�� " 3� " 3).
 
 
4)4)4)4) Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando as regras de Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando as regras de Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando as regras de Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando as regras de 
derivaçãoderivaçãoderivaçãoderivação 
 
a) �(�) � tan � �
CDE 9
FGC 9
 
b) 7(*) � sec * �
�
FGC 4
 
c) 7(*) � sec * �
�
FGC 4
 
d) �(�) � √�. (2 sin � "
e) H(I) � 
J
�
 2KL I � MN2I
 
 
Cálculo 1 
APS 04 - Coletânea de exercícios referente ao tópico: 
Derivadas de Funções Reais de uma Variável 
pelos professores: Dra. Dayse Batistus, Msc. Ana Munaretto, 
Msc. Cristiane Pendeza e Msc. Adriano Delfino.
Organização e digitação: Bruno Brito. 
Calcule a derivada das funçõeCalcule a derivada das funçõeCalcule a derivada das funçõeCalcule a derivada das funções dadas dadas dadas dadassss usando a definiçãousando a definiçãousando a definiçãousando a definição 
 
 
(c) �(�) � �3� " 67 
 
Calcule a derivada das funções abaixo usando as propriedadesCalcule a derivada das funções abaixo usando as propriedadesCalcule a derivada das funções abaixo usando as propriedadesCalcule a derivada das funções abaixo usando as propriedades adequadas adequadas adequadas adequadas 
" 3 
� 3� " 4 
" 2 
i) �(*) � �2*� " 3*
j) 7(�) � �� " 4� 
k) �(�) � � � 3�� "
l) & � √��
[
� √� 
\
" 
m) & � �
\
[ � �
]
^ 
n) �(�) � 10�``
�```
 
 
Calcule a derivada das funções abaixo usando a regra do quocientCalcule a derivada das funções abaixo usando a regra do quocientCalcule a derivada das funções abaixo usando a regra do quocientCalcule a derivada das funções abaixo usando a regra do quocient
9
 
( � 2�) 
( � 1) 
). (� " 3) 
j) �(�) �
�9>
(98�
 
k) & �
9=5 98� 
9=598�
 
l) & � ( � " 2)(�3 � 
m) �(�) � ]
ab
 
n) 7(�) � 
9=5 (
98`.3
 
o) ; � 2(
�
√c
" √I) 
p) �(�) �
�
(9=5 �)(9=8 98
q) d � (1 � *)(1 " *�)5
r) & � √� " 
�
√9\
> 
Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando as regras de Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando as regras de Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando as regras de Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando as regras de 
��) 
MN2I 
f) & � � � 
�
�
cos � 
g) & � 
3
(�9)>
" 22KL� 
h) & � 
 
9
" 52KL(�) 
i) & � 
ef4g (9)
�8ef4g (9)
 
Cálculo 1 1 
de exercícios referente ao tópico: 
ariável Real, elaborada 
Ana Munaretto, 
. 
 
 
adequadas adequadas adequadas adequadas 
� 6 
" 4�� 
 �( 
 
Calcule a derivada das funções abaixo usando a regra do quocientCalcule a derivada das funções abaixo usando a regra do quocientCalcule a derivada das funções abaixo usando a regra do quocientCalcule a derivada das funções abaixo usando a regra do quociente e do produtoe e do produtoe e do produtoe e do produto, , , , 
 6�) 
8�)
 
5� 
Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando as regras de Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando as regras de Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando as regras de Calcule a derivada das funções trigonométricas abaixo usando as regras de 
 
Cálculo 1 2 
 
5)5)5)5) Calcule a derivada das funções exponenciais e logarítmicas abaixo usando as Calcule a derivada das funções exponenciais e logarítmicas abaixo usando as Calcule a derivada das funções exponenciais e logarítmicas abaixo usando as Calcule a derivada das funções exponenciais e logarítmicas abaixo usando as 
regras de derivação regras de derivação regras de derivação regras de derivação 
 
a) ���) = iaFGC 9 b) & = K9. sin � 
c) ���) = ��. ln � 
d) ���) = ��� + 1). K9 
e) & = ia�ia8� 
f) & = �K9 − K9 
g) & = ��K9 − �K9 
h) & = 2K9 
i) & = K –4�*� − 2* + 2) 
 
 
6)Usando a definição �de derivadas)6)Usando a definição �de derivadas)6)Usando a definição �de derivadas)6)Usando a definição �de derivadas) 
px
pfxf
x
xfxxf
xf
x
−
−
∆
−∆+
=
→∆
)()()(p ' fou )()(lim)(' 
0
, calcule a derivada das seguintes , calcule a derivada das seguintes , calcule a derivada das seguintes , calcule a derivada das seguintes 
funções nos pontos dados:funções nos pontos dados:funções nos pontos dados:funções nos pontos dados: 
 
a) ���) = 2�� − 3� + 4 ; mN = �2,6) 
b) ���) = 9= ; mN = �1,3) c) ��*) = √*> ; mN = �8,2) 
d) 7��) = cos � ; mN = �J� , 0) 
e) ���) = 3 sin � ; mN = �2n, 0) 
f) d = √4 − 2√*; * = 4 g) ���) = 5� − ��, �o�−3), �o�0) 
h) ���) = � + p9 , � = −3 
 
7) Usando a regra do quociente e do produto, ache7) Usando a regra do quociente e do produto, ache7) Usando a regra do quociente e do produto, ache7) Usando a regra do quociente e do produto, ache qrqs no ponto no ponto no ponto no ponto s = t. 
a) & = �95�98 
b) & = (98�9=5 3 
c) & = u 98�9 v . ��53 + 1) 
d) & = �2�w − �,6w). �98�95�) 
8) 8) 8) 8) Resolva e determine se é verdadeiro ou falso, sResolva e determine se é verdadeiro ou falso, sResolva e determine se é verdadeiro ou falso, sResolva e determine se é verdadeiro ou falso, se e e e 7��) = �3, entãoentãoentãoentão 
lim9→� g�9)5 g��)95� = 80. 
 
9) Resolva e determine se é verdadeiro ou falso:9) Resolva e determine se é verdadeiro ou falso:9) Resolva e determine se é verdadeiro ou falso:9) Resolva e determine se é verdadeiro ou falso: 
 
a) {{9 �109) = �1095� 
b) {{9 �ln 10) = ��` 
c) {{9 �*|L� �) = {{9 � 2KM��) 
d) {{9 |�� + �| = |2� + 1| 
 
10) Derive utilizando a regra da cadeia 10) Derive utilizando a regra da cadeia 10) Derive utilizando a regra da cadeia 10) Derive utilizando a regra da cadeia 
 
a) & = 2~L 4� 
b) & = MN2 5� 
c) & = K 9 
d) ���) = MN2 8� 
e) & = 2~L * 
f) 7�*) = L �2* + 1) 
g) � =K€‚4 
h) ���) = cos�K9) 
i) & = �2~L � + MN2 �) 
Cálculo 1 3 
 
j) & = ƒ�3� + 1) 
k) & = „u95�98�v
> 
l) & = K539 
m) � = L �*� + 3* + 9) 
n) ���) = K4…‚ 9 
o) & = 2~L�MN2�) 
p) 7�*) = �*� + 3)( 
q) ���) = MN2��� + 3) 
r) & = ƒ�� + K9) 
s) & = *|L 3� 
t) & = sec 3� 
u) & = �. K 9 
v) & = K9. cos 2� 
w) & = K59. sin � 
x) & = K5�4. sin 3* 
y) ���) = K59= + ln�2� + 1) 
z) 7�*) = i‡5iˆ‡i‡8iˆ‡ 
aa) & = FGC 3‰CDE �‰ 
bb) ���) = ŠK59 + K9=‹ 
cc) & = * . K5 4 
dd) & = �2~L 3� + MN2 2�) 
ee) & = √�� + K59 
ff) & = �. L �2� + 1) 
gg) & = ŒL ��� + 1) 
hh) & = L �2KM � + *7 �) 
ii) ���) = L ��� + 8� + 1) 
jj) ���) = √6� + 2 
kk) ���) = �(. K 9 
ll) ���) = sin( � 
mm) ���) = 5 *|L 2� 
nn) ���) = Š2� – 3�‹. Š5 – ��‹ 
oo) ���) = − √ 953 
pp) & = K9=898� 
qq) & = 2~L 2� . MN2 � 
rr) & = �2�� − 4� + 1 )w 
ss) Ž = √2; − ;� 
tt) 2 = 2KL u J4� v + cos� J4� ) uu) ℎ ��) = �*|L Š2√�‹ + 7 
vv) ; = 2~L � I�) cos� 2I) 
ww) & = � 4� + 3)(�� + 1)5 
xx) & = K5 9/� 
yy) & = K√9 
zz) & = �J 
aaa) & = iaiˆa8 � bbb) & = ��( − 3�� + 5) 
ccc) & = cos�*|L �) 
ddd) & = 95�√�98� 
eee) & = 2�√�� + 1 
fff) & = ia�8 9= ggg) & = K €‚ �c 
hhh) & = K9 cos L� 
iii) & = √� cos √� 
jjj) & = i]/a9= 
kkk) & = �€‚�95€‚ �9)) lll) & = ln� MN22KM 5�) 
mmm) & = C‘F �c�84g�c nnn) & = Ke9 � M 2~L � − cos �) 
ooo) & = ln���K9) 
ppp) & = sec� 1 + ��) 
qqq) & = � 1 − �5�)5� 
rrr) & = �
„�98√9)>
 
sss) & = ƒ2~L √� 
ttt) & = ln�2~L �) − �� 2~L�� 
uuu) & = Š9=8 �‹\��98�)>� 95�)[ vvv) & = �*75��4�) 
www) & = KFGC 9 + cos� K9) 
xxx) & = ln|sec 5� + *7 5�| 
yyy) & = MN*7 � 3�� + 5) 
zzz) & = ƒ*. ln�*() 
aaaa) & = 2~L � *7 ƒ1 + � ) 
bbbb) & = *7��2~L I) 
cccc) & = √98� ��59)[�98 )b 
dddd) & = �98 λ)\9\8λ\ 
eeee) & = €‚ 99 
ffff) & = L ’9=5 (�983’ 
gggg) & = cos �Kƒ4g 9) 
hhhh) & = 2~L��cos √2~L n�) 
 
 
 
Cálculo 1 4 
 
11) Dados 11) Dados 11) Dados 11) Dados r = “�”) e e e e ” = •�s), determine , determine , determine , determine qrqs = “oŠ•�s)‹•o�s).... 
a)& = 6– − 9, – = u��v �( b) & = 2~L �–), – = 3� + 1 
 
 
12) 12) 12) 12) Encontre as funções na forma Encontre as funções na forma Encontre as funções na forma Encontre as funções na forma r = “�”) e e e e ” = •�s). Em segu. Em segu. Em segu. Em seguida, determine ida, determine ida, determine ida, determine qrqs em função de xem função de xem função de xem função de x
 
a) & = �4 − 3�)p 
b) & = sec �*7 ��)) 
 
 
 
13) 13) 13) 13) Derive utilizando a derivada implícita Derive utilizando a derivada implícita Derive utilizando a derivada implícita Derive utilizando a derivada implícita 
 
a) �&( + ��& = � + 3& 
b) �� cos & + 2~L 2& = �& 
 
 
c) 2~L ��&) = �� − & 
d) & = �K˜ − & − 1 
14)14)14)14) Encontre a dEncontre a dEncontre a dEncontre a derivada das seguintes funções:erivada das seguintes funções:erivada das seguintes funções:erivada das seguintes funções: 
 
a) & = 89 
b) & = 3ef€€ie�9) 
c) & = ��9=8�) 
d) & = 79=8�9 
e) & = 39 ™E 9 
f) & = log3�1 + 2�) 
g) & = �cos �)9 
h) & = �2~Lℎ �� 
i) & = ln�cosh 3�) 
j) & = MN2ℎ5� �2~Lℎ �) 
k) & = 104g Jc 
l) & = �. *7ℎ5� √� 
 
 
11115555) Derive utilizando a derivada ) Derive utilizando a derivada ) Derive utilizando a derivada ) Derive utilizando a derivada inversainversainversainversa 
 
 
a) & = � |;M2~L 2�)� 
b) & = |;M*7 � |;M2~L √�) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo 1 5 
 
Respostas 
 
1) 
a) ) �o��) = 2�� − 1) b) �o��) = �� c) �o��) = −3 
2) 
a) �o��) = 48�� − 8� 
b) �o��) = −15x² + 42x − 3 
c) �o��) = 0 
d) &o = 28� − 6�� + 8 
e) �o�*) = 2 
f) &o = 0 
g) �o��) = 6�3 
 
 
 
h) &o = 2 
i) �o�*) = −4* + 3 
j) 7o��) = 12�� + 2� 
k) �o��) = 3�2 + 2� 
l)&o = �3 ƒ9> [ −
 
( √9\ + 4� 
m) �o��) = (3 √9[ −
�
, ƒ9[^ n) a) �o��) = 0 
 
3) 
a) 2o�*) = 5 ��4=5 6)= 
b) 7′�*) = � �348�)= 
c) �o��) = − 9= + �√9 +
�
w9√9 
d) �o�;) = 5w<5�3<\ e) �o��) = −6�� + 2� + 1 
f) &o = ��−27�6 + 7�3 + 12�� − 2) 
g) �o��) = 5����95�)= 
h) 7o�*) = 6534=8(4��8484)= i) �o��) = �� + 4� + 4 
j) �o��) = 9=�(98 )��98�)= 
 
k) &o = ��9=5�)�9=598�)= l) &o = 3�3 + 5�( − 6� − 6 
m) &o = − 69› 
n) 7o��) = 9=898(�98`.3)= 
o) ;o = �√c − �c√c 
p) ���) = 5(9>5 9=8� Š�9=5�)�9=898�)‹= 
q) do = 4=5�45���84=)= 
r) &o = ��√9 −
(
 9= √9> 
 
 
 
 
4) 
a) �o��) = sec� � 
b) 7o�*) = tan * + sec * 
c) ℎo�*) = −MN22KM� * 
d)�o��) = � CDE 989= �√9 + 2�√� cos � + �) 
e)h’�I) = J� cos I + sin I 
f) &o = 3�� + �� sin � 
g) &o = − �3w9\ + 2 cos � 
h) &o = 5 cos � − 9= 
i) &o = − ��.CDE 9.FGC 98� 
 
5) 
a) �o��) = ia�CDE 98FGC 9)FGC= 9 b) �o��) = K9�sin � + cos �) 
c) �o��) = ��2 ln � + 1) 
d) �o��) = K9��� + 2� + 1) 
e) &′ = ia��ia8�)= 
f) &o = K9. � 
g) &o = K9��� + � − 1) 
h) &o = 2K9 
i) &o = Š54=8(45(‹i‡ 
 
6) 
a) �o�2) = 5 
b) �o�1) = −6 
 
 
c)�o�8) = ��� 
d) 7o uJ�v = −1 
Cálculo 1 6 
 
 
e)�o�2n) = 3 
f)d�4) = − ���, 
g)�’�−3) = 11 K �’�0) = 5 
h) �’�−3) = 0 
 
7) 
a) &o�1) = 6, 
b) &o�1) = − � w 
 
c) &o�1) = −29 
d) K2MNL*íL–| Kž � = 1 
 
8) 
Verdadeira 
 
9) 
a) Falsa b) Falsa c) Verdadeira d)Falsa �Verificar) 
 
10) 
a) &o = 4. cos 4� 
b) &’ = −5. 2~L 5� 
c) &’ = 3. K 9 
d) �o��) = −8. sin 8� 
e) &o = 3*� cos * 
f) 7o�*) = ��48� g) �o = K€‚4 cos * 
h) �o��) = −K9 sin K9 
i) &o = 3�sin � + cos �)²�cos � − sin �) 
j) &o = �√ 98� 
k) &o = � �98�)= . „u98�95�v
�>
 
l) &o = −5K539 
m) �o = �48 4=8 48p n) �o��) = K¡¢E 9. sec� � 
o) &o = − sin � cos�cos �) 
p) 7o�*) = 8*�*� + 3) 
q) �o��) = −2�. sin��� + 3) 
r) &o = �8ia�√98ia s) &o = 3 sec� 3� 
t) &o = 3 sec 3� tan 3� 
u) &o = K 9�1 + 3�) 
v) &o = K9�cos 2� − 2. sin 2�) 
w) &o = K59�cos � − sin �) 
x) &o = K5�4�3 cos 3* − 2 sin 3*) 
y) �o��) = ��98� − 2�K59
= 
z) 7’�*) = (.i=‡�i=‡8�)= 
aa) &o = 53 CDE 39 €‚�95� FGC 39 FGC �9 CDE= �9 
bb) �o��) = 3ŠK59 + K9=‹�Š−K59 + 2�K9=‹ 
cc) &o = 3*�K5 4�1 − *) 
dd) &o = 3�sin 3� + cos 2�)². �3 cos 3� −
 2 sin 2�) 
ee) &o = �95iˆa�ƒ9=8iˆa 
ff) &o = ln�2� + 1) + �9��98�) 
gg) &o = ,9£™EŠ9=8�‹¤=9=8� hh) &o = sec � 
ii) &o = �98w9=8w98� 
jj) �o��) = √,98� kk) �o��) = K 9� �4 + 3�) 
ll) �o��) = 4 sin �MN2 � 
mm) �o��) = 10 sec� 2� 
nn) �o��) = �5 − ��)�. Œ�6�� − 3). �5 − ��) −
 6�. �2� − 3�) 
oo) �o��) = p�.ƒ� 953)> 
¥¥) &o = K9=898�. �2� + 1) 
qq) &’ = 2. cos2x. cosx − sin 2�. sin � 
rr) &o = 32�2�� − 4� + 1)6�� − 1) 
ss) Žo = �5<ƒ�<5<=tt) 2o = ¦� cos u ¦‰� v − ¦� sin� ¦‰� ) uu) ℎo��) = tanŠ2√�‹ + √�. 2KM�Š2√�‹ 
vv) ;o = 2I. cos I� cos 2I − 2. sin I� sin 2I 
ww) &o = �(98 )>�(986)�98�)\ 
xx) &o = − �.ƒi>a 
yy) &o = i√a�√9 
zz) &o = 9§J9 
aaa) &o = ��.i=a8i>a)�ia8�)= bbb) &o = 6�. ��( − 3�� + 5)�. �2�� − 3) 
ccc) &o = −sin �tan �) sec� � 
ddd) &o = 983√�98�.��98�) 
eee) &o = �.��9=8�)ƒ9=8� 
fff) &o = iaŠ�89=5�9‹��89=)= 
ggg) &o = 2. K€‚�c cos 2I 
hhh) &o = K9�ž cos L� − L sin L�) 
iii) &o = ��√9 �cos √� − √�. sin √�) 
jjj) &o = − i
]a��8�9)
9\ 
kkk) &o = FGC 95FGC�95CDE 9)CDE�95€‚9)= lll) &o = −5 MN*7 5� 
mmm) &o = � C‘F �c�¡¢E �c5�)��8¡¢E �c)= 
Cálculo 1 7 
 
nnn) &o = Ke9 . �c�. sin � + sin �) 
ooo) &o = �899 ppp) &o = 2�. 2KM�1 + ��). tan �1 + ��) 
qqq) &o = − ��95�)= 
rrr) &o = − �, . �√98� √9. „Š98√9‹\ > 
sss) &o = FGC √9(ƒ9€‚ √9 
ttt) &o = �MN*7� − sin � cos �) = FGC> 9CDE 9 
uuu) &o = − Š9=8�‹>.�9=83,98p)��98�)\.� 95�)^ vvv) &o = MN*7 4� − 4�. MN22KM 4� 
www) &o = K9 sin K9 − Kef€9 sin � 
xxx) y’ = 5sec 5x 
yyy) &o = −6�. MN22KM��3� + 5) 
zzzz) &o = �™EŠ4\‹8()�ƒ4.¨‚�4\) 
aaaa) &o = 9=.FGC�4…‚ƒ�89>).C‘F= ƒ�89> �ƒ�89> bbbb) &o = 2 tan�2~LI). sec� �sin I). MN2I 
cccc) &o = ���59)[�√98��98 )b −
3√98���59)\
�98 )b − 6√98�
��59)[
�98 )› 
dddd) &o = (�98λ)>Š9\8λ\‹5�98λ)\.(9>Š9\8λ\‹= 
eeee) &o = 9.FGC 95CDE �9)9= 
ffff) &o = �9�9=5() − ���983) 
gggg) &o = − � ¡¢E √ 9 . sin� K√¡¢E 9). K√¡¢E 9 . sec� 3� hhhh) 
&o = 5¦.CDE�FGCŠ√CDE¦.‰‹).CDE�√CDE J9).FGC�FGC √€‚J9).FGC J9√CDE J9 
 
 
11) 
a) {˜{9 = 12� b) {˜{9 = 3 cos�3� + 1) 12) 
a) {˜{9 = −27�4 − 3�)w b) {˜{9 = sec�tan��)) . tan�tan��)) . sec� � 13) 
a) &o = �5˜\5�9˜(9˜>89=5 
b) &o = ˜5�9ef€˜�FGC �˜59= CDE ˜59 
c) &o = ��95©.FGC 9˜)‰.FGC 9˜8� 
d) &o = iª�59.iª 14) 
a) &o = 89 . ln �8) 
b) y’= −3ef€€ie9. ln�3) MN22KM�. MN*7� 
c) &o = ��� + 1). �9= + �9=8�. L�. 2� 
d)&o = 79=8�9 ln 7. �2� + 2) 
e) &o = 39.¨‚9 ln 3 �ln � + 1) 
f) &o = ���8�9) ™E 3 g) &o = cos��)9 �ln�cos��)) − �. tan �) 
h) &o = sinh���) + 2��cosh ���) 
i) &o = CDE« 9FGC« 9 
j) &o = − CDE«�CDE«�9)).FGC« 9FGC«�CDE«�9))= k) &o = n. 10¡¢E J9. sec� n� . ln �10) 
l) &o = � ¡¢E« √95√9€ie¬=√9 �¡¢E«= √9 
 
15) 
a) &o = (…<e€‚��9)√�5(9= b) &o = FGC √9�√9��8CDE= √9)