Apostila_Física_III_Eletromagnetismo

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35353535
FÍSICA III 
ELETROMAGNETISMO 
 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
ESTRUTURA ATÔMICA DA MATÉRIA 
{{{{















ElétronsaEletrosfer
Nêutrons
Prótons
Núcleo
Átomo 
 
 
 
 
Massa e carga elétrica são propriedades indissociáveis da matéria. 
 
 
PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DA MATÉRIA 
Grandeza Unidade (SI) 
Massa 1 kg (quilograma) 
Carga elétrica 1 C (coulomb) 
 
 
 
CARGA ELÉTRICA FUNDAMENTAL (QUANTUM DE CARGA) 
A carga elétrica fundamental (e) é a menor quantidade de carga encontrada na natureza. 
 
C106,1e 19−−−−××××≅≅≅≅
 
Eletrosfera
Núcleo
 
 
36363636
 
PROPRIEDADES DAS PARTÍCULAS SUBATÔMICAS 
Partícula Massa (kg) Carga elétrica 
Próton -27101,67 ××××≅≅≅≅ e++++ 
Nêutron 271067,1 −−−−××××≅≅≅≅ 0 
Elétron 311011,9 −−−−××××≅≅≅≅ e−−−− 
 
 
NÍVEIS ELETRÔNICOS 
Os elétrons, na eletrosfera, encontram-se dispostos em 7 níveis de energia (níveis ou camadas 
eletrônicas), representados por letras maiúsculas: K, L, M, N, O, P e Q. 
 
 
 
CAMADA DE VALÊNCIA 
A camada de valência é a última camada do átomo ou o último nível de uma distribuição 
eletrônica. Normalmente os elétrons pertencentes à camada de valência, são os tomam parte 
nos fenômenos elétricos ordinários. 
 
CORPO ELETRIZADO 
Corpo eletrizado é todo corpo que possui excesso ou falta de elétrons nas camadas de valência 
de seus átomos. 
 
Corpo eletrizado positivamente 0Q >>>> falta de elétrons nas camadas de valência 
Corpo eletrizado negativamente 0Q <<<< excesso de elétrons nas camadas de valência 
 
 
 
37373737
PRINCÍPIO DA QUANTIZAÇÃO DAS CARGAS ELÉTRICAS 
O módulo da carga elétrica Q, adquirida por um corpo eletrizado, é um múltiplo inteiro da carga 
fundamental e: 
enQ ⋅⋅⋅⋅==== , onde INn ∈∈∈∈ 
 
 
PRINCÍPIO DA ATRAÇÃO E REPULSÃO 
Entre corpos eletrizados com cargas elétricas de mesmos sinais é gerado um par de forças de 
repulsão; entre corpos eletrizados com cargas elétricas de sinais opostos é gerado um par de 
forças de atração. 
 
CARGAS DE MESMOS SINAIS: REPULSÃO CARGAS DE SINAIS OPOSTOS: ATRAÇÃO 
+ +
d
F1,2F2,1
 
-
d
F1,2F2,1
-
 
+
d
F1,2F2,1
-
 
2,11,2 FF
rr
−−−−====
 
 
 
 
38383838
LEI DE COULOMB 
 
x
y
z
qi
qj
ri
rj
rij
rij
^
i^ j^
k^
 
• ir
r
: vetor posição da carga iq em relação ao centro do sistema de coordenadas 
• jr
r
: vetor posição da carga jq em relação ao centro do sistema de coordenadas 
• ijr
r
: vetor posição da carga jq em relação à carga iq 
• ijr : distância entre as cargas iq e jq 
• ijrˆ : versor associado ao vetor ijr
r
 
 
• kˆzjˆyiˆxr iiii ++++++++====
r
 
• kˆzjˆyiˆxr jjjj ++++++++====
r
 
• kˆ)yy(jˆ)yy(iˆ)xx(r ijijijij −−−−++++−−−−++++−−−−====
r
 
• 
2
ij2ij2ijij )yy()yy()xx(r −−−−++++−−−−++++−−−−==== 
• 
ij
ij
ij r
r
rˆ
r
==== 
 
A força de interação eletrostática entre duas cargas puntiformes atua na direção da reta que 
contém os centros das cargas, e seu módulo é diretamente proporcional ao produto dos valores 
absolutos (módulos) das duas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância 
entre as cargas. 
 
ij2
ij
ji
E rˆ
r
qq
kF
j,i
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅====
r
 
onde, 
• 
j,iEF
r
: força eletrostática aplicada pela carga iq sobre a carga jq . 
• k : constante eletrostática do meio 
 
 
39393939
UNIDADE DE k 
• 
ji
2
ijE
2
ij
ji
E qq
rF
k
r
qq
kF j,i
j,i
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====⇒⇒⇒⇒
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅==== 
• logo, )q(u)q(u
)r(u)F(u
)k(u
ji
2
ijE j,i
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
==== , 
• ou seja, 2
2
C
mN1)k(u ⋅⋅⋅⋅==== . 
 
 
CONSTANTE ELETROSTÁTICA DO VÁCUO 
• para o vácuo: 2
2
9
0 C
mN109k ⋅⋅⋅⋅××××====
 
 
 
 
 
 
40404040
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGAS 
 
DISTRIBUIÇÕES LINEARES DE CARGAS 
• Densidade linear de carga: 
ld
dq
====λλλλ
 
• Carga contida numa distribuição linear de cargas: ∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅λλλλ====
f
i
L
L
dq l
 
UNIDADE DE λλλλ 
(((( ))))SI
m
C1)(u
)q(u)(u ========λλλλ
l
 (coulomb por metro) 
 
 
DISTRIBUIÇÕES SUPERFICIAIS DE CARGAS 
• Densidade superficial de carga: dS
dq
====σσσσ
 
• Carga contida numa distribuição superficial de cargas: ∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅σσσσ====
S
dSq
 
UNIDADE DE σσσσ 
(((( ))))SI
m
C1)S(u
)q(u)(u 2========σσσσ (coulomb por metro quadrado) 
 
 
DISTRIBUIÇÕES VOLUMÉTRICAS DE CARGAS 
• Densidade volumétrica de carga: dV
dq
====ρρρρ
 
• Carga contida numa distribuição volumétrica de cargas: ∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅ρρρρ====
V
dVq
 
UNIDADE DE ρρρρ 
(((( ))))SI
m
C1)V(u
)q(u)(u 3========ρρρρ (coulomb por metro cúbico) 
 
 
41414141
 
 
ELEMENTOS DIFERENCIAIS - LINEARES, SUPERFICIAIS E VOLUMÉTRICOS 
LINEAR 
dℓ = dx 
dℓ = dy retilínea 
dℓ = dz 
curvilínea dℓ = r dϕϕϕϕ 
SUPERFICIAL 
dS = dx dy 
dS = dy dz plana retangular 
dS = dx dz 
plana circular dS = r dr dϕϕϕϕ 
superficial lateral cilíndrica dS = R dϕϕϕϕ dz 
superficial esférica dS = R2 senθθθθ dθθθθ dϕϕϕϕ 
VOLUMÉTRICA 
volumétrica retangular dV = dx dy dz 
volumétrica cilíndrica dV = r dr dϕϕϕϕ dz 
volumétrica esférica dV = r2 senθθθθ dr dθθθθ dϕϕϕϕ 
 
 
42424242
CAMPO ELÉTRICO 
 
DEFINIÇÃO DE CAMPO ELÉTRICO 
• 
0
E
q
FE
r
r
====
 
• onde 0q é uma pequena carga positiva denominada CARGA DE PROVA. 
 
UNIDADE DE E
r
 
)SI(
C
N1)q(u
)F(u)E(u
0
E
========
r
r
 (newton por coulomb) 
 
 
CAMPO ELÉTRICO GERADO POR UMA CARGA PUNTIFORME 
 
Consideremos a interação eletrostática entre Q e uma carga de prova 0q . 
 
x
y
z
Q
q0
r
FE
 
 
De acordo com a lei de Coulomb, para uma carga Q localizada no centro de coordenadas : 
• rˆ
r
qQkF 2
0
0E
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅====
r
, 
• onde: 
• r
r
: vetor posição da carga de prova 0q ; 
• rˆ : versor associado ao vetor r
r
. 
 
• Dada, então, a definição de campo elétrico: 
0
E
q
FE
r
r
==== , 
 
 
43434343
• obtemos que 
0
2
0
0
q
rˆ
r
qQk
E
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====
r
, 
• ou seja, 
 
 
rˆ
r
QkE 20 ⋅⋅⋅⋅====
r
 
(CAMPO ELÉTRICO GERADO POR UMA CARGA PUNTIFORME) 
 
ORIENTAÇÃO DO CAMPO ELÉTRICO GERADO POR UMA CARGA PUNTIFORME 
 
PARA Q > 0 
(FONTE DE CAMPO ELÉTRICO) 
+
E
linhas de campo
Q
E
r
 DIVERGENTE 
(DIVERGÊNCIA POSITIVA) 
 
PARA Q < 0 
(SORVEDOURO DE CAMPO ELÉTRICO) 
-
E
linhas de campo
Q
 
E
r
 CONVERGENTE 
(DIVERGÊNCIA NEGATIVA) 
 
 
44444444
TRABALHO ELÉTRICO 
 
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
v = cte
FE
Fext
+
q0
E
xref
xf
x
 
• Consideremos uma carga de prova ( 0q0 >>>> ), colocada no espaço entre duas placas planas e 
paralelas eletrizadas com cargas de sinais opostos; 
• esta pequena carga será repelida pela placa positiva e atraída pela placa negativa, estando 
sujeita a uma força elétrica resultante EF
r ; 
• é possível aplicar uma força externa extF
r , de modo a contrabalançar os efeitos de EF
r , 
fazendo com que a carga 0q realize um M.R.U (ou seja, 0ctev
rr
≠≠≠≠==== ); 
• A força extF
r , ao movimentar a carga de prova 0q em sentido contrário ao campo E
r
, 
realizará um TRABALHO ELÉTRICO: 
• ∫∫∫∫ ••••====
f
ref
xx
extE xdFW
rr
, 
• onde a posição da placa negativa, refx , é tomada como referência. 
• Por outro lado, dada a lei da Inércia (1ª. lei de Newton): 0FF0R0ctev Eext ====++++⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒≠≠≠≠====
rrrrr , 
• ou seja, Eext FF
rr
−−−−==== . 
 
 
45454545
• Concluindo, ∫∫∫∫ ••••−−−−====
f
ref
x
x
EE xdFW
rr
. 
• Consideremos, agora, a definição de campo elétrico: 
0
E
q
FE
r
r
==== ; 
• segue-se, então, que EqF 0E
rr
⋅⋅⋅⋅==== . 
• Podemos então, expressar a equação do TRABALHO ELÉTRICO em função do campo elétrico: 
 
∫∫∫∫ ••••⋅⋅⋅⋅−−−−====
f
ref
x
x
0E xdEqW
rr
. 
(TRABALHO ELÉTRICO) 
 
DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO (D.D.P.) 
Denomina-se variação ou diferença de potencial elétricovariação ou diferença de potencial elétricovariação ou diferença de potencial elétricovariação ou diferença de potencial elétrico ( V∆∆∆∆ ) ao trabalho elétrico realizado por 
unidade de carga elétrica: 
0
E
q
WV ====∆∆∆∆ . 
 
UNIDADE DE V∆∆∆∆ 
(((( ))))SIV1
C
J1)q(u
)W(u)V(u
0
E
============∆∆∆∆
 (volt) 
 
OBS. 
• d.d.p.: Diferença De Potencial 
 
 
46464646
EEEEXPRESSÃO DA DXPRESSÃO DA DXPRESSÃO DA DXPRESSÃO DA D....DDDD....PPPP.... (((( V∆∆∆∆ )))) EM FUNÇÃO DO CAMPO EM FUNÇÃO DO CAMPO EM FUNÇÃO DO CAMPO EM FUNÇÃO DO CAMPO ELÉTRICO ELÉTRICO ELÉTRICO ELÉTRICO ((((E
r
) 
• Dado o trabalho elétrico: ∫∫∫∫ ••••⋅⋅⋅⋅−−−−====
f
ref
x
x
0E xdEqW
rr
, 
• obtemos: 
0
x
x
0
q
xdEq
V
f
ref
∫∫∫∫ ••••⋅⋅⋅⋅−−−−
====∆∆∆∆
rr
; 
• ou seja, 
∫∫∫∫ ••••−−−−====∆∆∆∆
f
ref
x
x
xdEV
rr
. 
(EEEEXPRESSÃO DE XPRESSÃO DE XPRESSÃO DE XPRESSÃO DE V∆∆∆∆ EM FUNÇÃO DE EM FUNÇÃO DE EM FUNÇÃO DE EM FUNÇÃO DE E
r
) 
 
POTENCIAL ELÉTRICO GERADO POR UMA CARGA PUNTIFORME 
x
y
z
Q
r
V
 
• Dado o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme: rˆ
r
QkE 20 ⋅⋅⋅⋅====
r
, 
• e considerando: rˆdrrd ====
r , 
• obtemos que dr
r
QkrdE 20 ⋅⋅⋅⋅====••••
rr , 
• ou seja, que a diferença de potencial gerada entre um ponto qualquer do espaço e um ponto 
de referência devida à presença da carga puntiforme Q é dada por: 
 
 
47474747
• ∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅−−−−====••••−−−−====∆∆∆∆
r
r
20
r
r refref
dr
r
QkrdEV
rr , 
• isto é: 
r
r
0
r
r
20
refref
r
Qkdr
r
QkV 





−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ∫∫∫∫ , 
• ou: 
ref
00 r
Qk
r
QkV ⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====∆∆∆∆ . 
• Considerando que refVVV −−−−====∆∆∆∆ , 
• concluímos que 
r
QkV 0 ⋅⋅⋅⋅==== ((((POTENCIAL ELÉTRICO POTENCIAL ELÉTRICO POTENCIAL ELÉTRICO POTENCIAL ELÉTRICO DADO DADO DADO DADO EM RELAÇEM RELAÇEM RELAÇEM RELAÇÃOÃOÃOÃO A UM PONTO DE A UM PONTO DE A UM PONTO DE A UM PONTO DE 
REFERÊNCIAREFERÊNCIAREFERÊNCIAREFERÊNCIA)))) 
• e que 
ref
0ref r
QkV ⋅⋅⋅⋅==== ((((POTENCIAL ELÉTRICO DPOTENCIAL ELÉTRICO DPOTENCIAL ELÉTRICO DPOTENCIAL ELÉTRICO DO PONTO DE REFERÊNCIO PONTO DE REFERÊNCIO PONTO DE REFERÊNCIO PONTO DE REFERÊNCIAAAA)))). 
• Uma vez que o ponto de referência é arbitrário, é interessante adotar ∞∞∞∞→→→→refr , pois 
• 0
r
QklimVlim
ref
0
r
ref
r refref
====⋅⋅⋅⋅====
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→
. 
• Finalizando, concluímos: 
r
QkV 0 ⋅⋅⋅⋅==== 
((((POTENCIAL ELÉTRICO GERADO POR UMA CARGA PUNTIFORME)))) 
 
 
48484848
POTENCIAL ELÉTRICO GERADO POR DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGAS 
 
OBS.: d
r
: vetor distância entre um ponto arbitrário P no espaço e a carga infinitesimal dq . 
 
DISTRIBUIÇÕES LINEARES DE CARGAS 
• Diferencial de potencial: d
dk
d
dqkdV 00
l⋅⋅⋅⋅λλλλ
========
 
• Potencial elétrico gerado por uma distribuição linear de cargas: ∫∫∫∫
⋅⋅⋅⋅λλλλ
====
f
i
d
dkV 0
l
l
l
 
 
DISTRIBUIÇÕES SUPERFICIAIS DE CARGAS 
• Diferencial de potencial: 
d
dSk
d
dqkdV 00
⋅⋅⋅⋅σσσσ
========
 
• Potencial elétrico gerado por uma distribuição superficial de cargas: ∫∫∫∫
⋅⋅⋅⋅σσσσ
====
S
0 d
dSkV
 
 
DISTRIBUIÇÕES VOLUMÉTRICAS DE CARGAS 
• Diferencial de potencial: 
d
dVk
d
dqkdV 00
⋅⋅⋅⋅ρρρρ
========
 
• Potencial elétrico gerado por uma distribuição volumétrica de cargas: ∫∫∫∫
⋅⋅⋅⋅ρρρρ
====
V
0 d
dVkV
 
 
 
 
49494949
GRADIENTE DE POTENCIAL ELÉTRICO 
 
GRADIENTE DE POTENCIAL ELÉTRICO 
• Demonstramos que a d.d.p. d.d.p. d.d.p. d.d.p. é dada em termos do campo elétrico E
r
 (integral de linha de E
r
): 
∫∫∫∫ ••••−−−−====∆∆∆∆
f
ref
x
x
xdEV
rr
. 
• Inversamente, é possível demonstrar que o campo elétrico E
r
 em termos da função potencial 
elétrico V (gradiente de V): 
VgradE −−−−====
r
. 
 
• O operador gradiente assume uma expressão particular, de acordo com a simetria da 
distribuição de cargas num dado problema (retangular, cilíndrica ou esférica): 
GRADIENTE 
Em coordenadas retangulares: kˆ
z
Vjˆ
y
Viˆ
x
VVVgrad
∂∂∂∂
∂∂∂∂
++++∂∂∂∂
∂∂∂∂
++++∂∂∂∂
∂∂∂∂
====∇∇∇∇====
r
 
Em coordenadas cilíndricas: kˆ
z
V
ˆ
V
r
1
rˆ
r
VVgrad ∂∂∂∂
∂∂∂∂
++++ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ∂∂∂∂
∂∂∂∂
++++∂∂∂∂
∂∂∂∂
==== 
Em coordenadas esféricas: ϕϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂∂
∂∂∂∂
θθθθ
++++
θθθθ∂∂∂∂
∂∂∂∂
++++∂∂∂∂
∂∂∂∂
==== ˆ
V
senr
1
θ
ˆ
V
r
1
rˆ
r
VVgrad