Cálculo IV Aula 07 exercícios

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Cálculo IV
Aula 07 – Exercícios
	
	
	
		1.
		Calcule a integral dupla da função f(x,y) = exp ( (y-x) / (y+x) ) sobre a região D delimitada pelas retas x + y = 1, x + y = 2 ,  x = 0 e y = 0.
	
	
	
	
	
	e - 1/e
	
	
	3 e - 1/e
	
	
	(3/4) ( e - 1/e)
	
	
	-1/e
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
		2.
		Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 metros quadrados. A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 metros na frente, 20 metros atrás e 12 metros em cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão.
	
	
	
	
	
	a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (97,33) e (145,62)
	
	
	n.r.a
	
	
	a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (104,33) e (195,62)
	
	
	a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (147,33) e (105,62)
	
	
	a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (17,33) e (95,62)
	
	
		3.
		Em uma indústria existe uma reservatório para armazenamento de um certo produto químico por algum período de tempo. O volume deste reservatório é definido pelo interior da esfera x2 + y2 + z2 = z e o cone z2 = 3 (x2 + y2). Determine o volume do reservatório.
	
	
	
	
	
	7/96
	
	
	7 pi /96
	
	
	pi/96
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	7pi
	
	
		4.
		Seja f(x)=(1+x)/(1-x) . A derivada calculada para x=1/3 corresponde a?
	
	
	
	
	
	1/3
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	9/2
	
	
	2/3
	
	
		5.
		Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1]
	
	
	
	
	
	2 * (14)^(1/2)
	
	
	4 * (14)^(1/2)
	
	
	14 * (2)^(1/2)
	
	
	4 * (2)^(1/2)
	
	
	4
	
	
		6.
		O valor da integral de cos x para x = pi/2 é:
	
	
	
	
	
	não existe em R
	
	
	1
	
	
	-1
	
	
	0
	
	
	0,5
	
	
		7.
		Dado o ponto (1,1,1), em coordenadas cartesianas, a representação deste ponto em coordenadas cilíndricas é apresentada em:
	
	
	
	
	
	(sqrt(3);pi/4 ; 1)
	
	
	(sqrt(2);2pi/4 ; 1)
	
	
	(sqrt(2);pi/4 ; 2)
	
	
	(sqrt(2);pi/4 ; 1)
	
	
	(sqrt(2);pi/4 ; -1)
	
	
		8.
		Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t),
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z).
	
	
	
	
	
	2π3
	
	
	π2
	
	
	2π
	
	
	2π2
	
	
	3π2
Sejam x e y as dimensões do galpão. 
Devemos ter: xy = 12100 (pois a área do galpão TEM que ser de 12100 m²) 
Por outro lado, as dimensões do lote serão: 
(12+12+x) e (25+20+y) 
Ou seja: (24+x) e (45+y) 
Queremos minimizar a área do lote. Ou seja, queremos minimizar o seguinte produto: 
(24+x) * (45+y) 
sujeito à restrição de que: xy = 12100 
A restrição pode ser reescrita como: y = 12100 / x 
Substituinto y = 12100 / x na expressão da área do lote, vamos obter a área do lote em função de x: 
área do lote = (24+x) * (45 + 12100 / x) 
área do lote = (24*45) + (24*12100/x) + 45x + 12100 
área do lote = 1080 + 290400/x + 45x + 12100 
área do lote = 290400/x + 45x + 13180 
Agora só precisamos determinar o valor de x que minimiza a expressão acima. 
Derivando em relação a x e igualando a zero, vem: 
(-1)*290400*x^(-2) + 45 + 0 = 0 
-290400/x² = -45 
+290400/x² = +45 
290400 = 45x² 
x² = 290400 / 45 
x² = 6453,3 (aproximadamente) 
x = 80,33 (aproximadamente) 
Lembrando que xy = 12100, obtemos: 
y = 12100 / x 
y = 150,62 
Portanto as dimensões do lote serão: 
24 + x = 24 + 80,33 = 104,33 (aproximadamente) 
e 45 + y = 45 + 150,62 = 195,62 (aproximadamente) 
RESPOSTA: 104,33 cm e 195,62 cm (resultados aproximados)