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Apostila de F´ısica
Mecaˆnica Newtoniana
Versa˜o 0.0
1a Formulac¸a˜o
Eder Terceiro
13 de marc¸o de 2013
2
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 9
1.1 Mecaˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Sistema Internacional de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Sistema de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Exemplo: Transformac¸a˜o de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Sistema cartesiano 15
2.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Componentes de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Composic¸a˜o de vetores 25
3.1 Me´todo da Poligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1 Ca´lculo das componentes dos vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3
4 SUMA´RIO
3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 A´lgebra Vetorial 35
4.1 Vetores EM Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Operac¸a˜o com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.1 Adic¸a˜o de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.2 Multiplicac¸a˜o por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.1 Propriedades Do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.3 Significado geome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4 Vetor Unita´rio numa direc¸a˜o dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.6 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.6.1 Propriedades do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.6.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.6.3 Significado geome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Esta´tica 55
5.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6 Movimento unidimensional de ponto material 69
6.1 Sistema De Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2 Definic¸o˜es Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3 Deslocamento, velocidade me´dia e acelerac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
SUMA´RIO 5
6.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7 Cinema´tica 77
7.1 Movimento Retil´ıneo Uniforme MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8 Movimento Retil´ıneo Uniformemente Variado 83
8.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9 Exerc´ıcios de Cinema´tica 91
10 Introduc¸a˜o a dinaˆmica 99
10.1 As leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.1.1 Primeira Lei de Newton - Lei de Ine´rcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.1.2 Segunda Lei de Newton - A resultante das forc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.1.3 Terceira Lei de Newton Princ´ıpio de Ac¸a˜o e Reac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . 102
10.1.4 Discussa˜o das treˆs leis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.2 Noc¸o˜es de forc¸a, peso e queda livre. As Leis de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.3 Casos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.3.1 Forc¸a Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.3.2 Forc¸a de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
10.4 Sistemas de Mu´ltiplos Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10.5 Plano Inclinado sem atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10.6 Plano Inclinado com atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6 SUMA´RIO
11 Lista de Dinaˆmica 129
11.0.1 Dinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
12 Energia 145
12.1 Trabalho de uma forc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
12.1.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
12.2 Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
12.3 Gra´fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
12.4 Me´todo de Ana´lise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.5 Aplicac¸a˜o 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.6 Aplicac¸a˜o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.7 Casos t´ıpicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
12.7.1 Forc¸a Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
12.7.2 Forc¸a da mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
12.7.3 Forc¸a de atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
12.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
12.9 Energia Cine´tica de um ponto material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
12.9.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
12.9.2 Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
12.9.3 Princ´ıpio do trabalho e energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
12.10Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
12.11Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.11.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.11.2 Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
12.12Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
A F´ısica estuda as relac¸o˜es fundamentais entre os constituintes da mate´ria.
Na Mecaˆnica, o objetivo e´ determinar as relac¸o˜es do movimento com suas causas e efeitos. A f´ısica
busca as propriedades ou grandezas associadas aos corpos pertinentes ao fenoˆmeno.
Aplica se o me´todo cient´ıfico que e´ composto basicamente das etapas
1. (a) observac¸a˜o
(b) abstrac¸a˜o
(c) experimentac¸a˜o
7
8 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
1.1 Mecaˆnica
Toda grandeza f´ısica e´ uma caracter´ıstica que pode ser definida e medida para obter as relac¸o˜es das
varia´veis de interesse no problema tratado.
Medir significa comparar com um padra˜o previamente estabelecido. Va´riossistemas foram estabele-
cidos durante a histo´ria. Imposic¸o˜es te´cnicas e histo´ricas obrigam nos dias atuais a utilizac¸a˜o de um
sistema originado junto com a Revoluc¸a˜o Francesa e baseado nos mu´ltiplos e submu´ltiplos decimais
das unidades originais.
1.2 Sistema Internacional de Unidades
O Sistema Internacional de Unidades estabelece sete unidades ba´sicas correspondentes as magnitudes
das seguintes grandezas: massa, tempo, corrente ele´trica, temperatura, quantidade de mate´ria e
intensidade luminosa. Suas unidades sa˜o conhecidas, respectivamente, por: metro, o kilograma, o
segundo, o ampe`re, o kelvin, o mol e candela.
Para as unidades de base adotadas pela Conferencia General de Pesos e Medidas, sa˜o estabelecidas
as seguintes definic¸o˜es:
Unidade de comprimento
O metro e´ o comprimento da distaˆncia percorrida pela luz no va´cuo, durante um intervalo de 1/299
792 458 do segundo.
Unidade de massa
O quilograma e´ igual a` massa do proto´tipo internacional do quilograma.
Unidade de tempo
1.2. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 9
O segundo e´ a durac¸a˜o de 9 192 631 770 per´ıodos da radiac¸a˜o correspondente a` transic¸a˜o entre os
dois n´ıveis hiperfinos do estado fundamental do a´tomo de ce´sio 133.
A tabela indica algumas unidades fundamentais e respectivos s´ımbolos:
Grandeza Unidade
Nome S´ımbolo
Comprimento metro m
Massa kilogramo kg
Tempo segundo s
1.2.1 Sistema de Unidades
A partir das unidades ba´sicas e suplementares pode-se derivar outras; algumas de estas tem nome
pro´prio, como se mostra na tabela seguinte:
Unidades derivadas que na˜o tem nome pro´prio
Grandeza s´ımbolo unidades
Velocidade v ms-1
Acelerac¸a˜o a ms-2
Vaza˜o m3s-1
Unidades derivadas que tem nome pro´prio
10 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
Grandeza Sistema Interna-
cional
s´ımbolo unidades
Forc¸a Newton N kg ms−2
Energia Joule J kg
m2s−2
Poteˆncia Watt W kg
m2s−3
Muitas medidas exigem subunidades que normalmente sa˜o indicadas por prefixos relativos a frac¸a˜o
da unidade principal:
frac¸a˜o 10−6 10−3 Unidade Funda-
mental
103 106
s´ımbolo µ m k M
nome Micro mili Kilo Mega
1.3 Exemplo: Transformac¸a˜o de unidades
Um carro de F1 tem velocidade me´dia de 180 km/h. ou
180
1
km
h
=
180
1
103m
3600s
=
180 · 1000
1 · 3600
m
s
= 50
m
s
. Ou seja a cada segundo o carro anda 50m.
1.4. EXERCI´CIOS 11
1.4 Exerc´ıcios
1. Fac¸a as seguintes transformac¸o˜es
(a) 50 km para cm
(b) 5 cm para m
(c) 50 cm para km
2. Fac¸a as seguintes transformac¸o˜es
(a) 72 km/h para m/s
(b) 25 m/s para km/h
(c) 300.000km/s para km/h
3. Fac¸a as seguintes transformac¸o˜es
(a) 100 kg para g
(b) 25 Tonelada para kg
(c) 250 g para kg
12 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O
Cap´ıtulo 2
Sistema cartesiano
A necessidade de localizar objetos para a descric¸a˜o de certa situac¸a˜o impo˜e o surgimento de va´rios
tipos de sistema. O mais conhecido e´ o Sistema Cartesiano. E´ um procedimento matema´tico simples
e´ para um ponto gene´rico P = (x, y, z)
O sistema tridimensional e´ o conjunto de todos os ternos ordenados (x,y,z), com esta ordem
devendo ser obedecida para na˜o haver confusa˜o, fig. 1. Reduc¸o˜es para sistema bidimensionais e
unidimensionais sa˜o o´bvias, com a simples retirada da coordenada desconsiderada.
com x indicando o deslocamento na direc¸a˜o do eixo OX
y indicando o deslocamento na direc¸a˜o do eixo OY
z indicando o deslocamento na direc¸a˜o do eixo OZ
13
14 CAPI´TULO 2. SISTEMA CARTESIANO
Figura 2.1: Sistema cartesiano iˆ, jˆ, kˆ
2.1 Vetores
Uma grandeza f´ısica e´ vetorial quando necessitarmos de 3 informac¸o˜es para caracteriza´-la: mo´dulo
ou intensidade, direc¸a˜o e sentido.
A representac¸a˜o gra´fica de um vetor e´ dada por, fig. 1b :
Uma grandeza vetorial t´ıpica e´ o deslocamento, pois e´ necessa´rio determina quanto deslocou-se
para que direc¸a˜o e em que sentido (indo ou vindo)
Assim o problema inicial de vetores e´ como obter sua combinac¸a˜o ou adic¸a˜o para visualizar o
valor resultante de cada um dos componentes. Va´rios casos podem ficar relacionados em grupos bem
definidos. E algumas das caracter´ısticas dos vetores devem ser melhor exploradas para o completo
entendimento.
2.2. COMPONENTES DE UM VETOR 15
Figura 2.2: Representac¸a˜o gra´fica de um vetor
2.2 Componentes de um vetor
Notac¸a˜o vetorial
~X, ~Y dois vetores quaisquer∣∣∣ ~X∣∣∣ intensidade ou mo´dulo do vetor
Caso 1 Vetores na mesma direc¸a˜o
A adic¸a˜o de vetores que tenham mesma direc¸a˜o pode ser realizada facilmente, fig. 2, pois:
1. Vetores tem mesmo sentido
~Z = ~X + ~Y = X + Y , os mo´dulos sa˜o somados.
16 CAPI´TULO 2. SISTEMA CARTESIANO
Figura 2.3: Vetores alinhados
2. os vetores tem sentido contra´rio
~Z = ~X + ~Y = X − Y , os mo´dulos sa˜o subtraidos.
Caso 2 Vetores em direc¸a˜o distinta
Considere a situac¸a˜o da figura 12.3. Obviamente na˜o podemos fazer a composic¸a˜o dos dois vetores,
pois apresentam-se em direc¸o˜es distintas.
A ide´ia e´ realizar transformac¸o˜es para obter componentes na mesma situac¸a˜o. Para isso considere
a situac¸a˜o com apenas um vetor como indicado na figura 3.
Considerando o sistema cartesiano, poder´ıamos representar a parte do vetor projetada no eixo X
e a outra projec¸a˜o no eixo Y, fig. 3. Atrave´s das definic¸o˜es trigonome´tricas podemos estabelecer.
As componentes verticais e horizontais do vetor v sa˜o dadas por:
vx = v cos θ na horizontal
vy = vsinθ na vertical
2.2. COMPONENTES DE UM VETOR 17
Figura 2.4: Vetores na˜o alinhados
E realizando este processo para cada um dos vetores, obter´ıamos vetores em duas direc¸o˜es pref-
erenciais: a horizontal e vertical. Com esses vetores parciais poder´ıamos realizar a soma de vetores
como no caso de vetores de mesma direc¸a˜o.
Exemplo
Representar graficamente os vetores:
1. v1: mo´dulo 9 cm; direc¸a˜o de 45◦ em relac¸a˜o a horizontal
2. v2: mo´dulo 5 cm ; direc¸a˜o de 90◦ em relac¸a˜o a horizontal
18 CAPI´TULO 2. SISTEMA CARTESIANO
Figura 2.5: Componentes de um vetor
3. v3: mo´dulo 2 cm; direc¸a˜o de 0◦ em relac¸a˜o a horizontal.
O sentido fica determinado pois todos os vetores tem comec¸o na origem do sistema cartesiano.
Soluc¸a˜o:
Primeiro estabelece-se o sistema cartesiano
2.3 Exerc´ıcios
1. Representar graficamente os vetores:
(a) v1: mo´dulo 5 cm; direc¸a˜o de 60◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio)
2.3. EXERCI´CIOS 19
Figura 2.6: Representac¸a˜o cartesiana
20 CAPI´TULO 2. SISTEMA CARTESIANO
(b) v2: mo´dulo 9 cm ; direc¸a˜o de 45◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio)
(c) v3: mo´dulo 3 cm; direc¸a˜o de 30◦ em relac¸a˜o a horizontal. (em sentido anti hora´rio)
2. Representar graficamente os vetores
(a) v1: mo´dulo 3 cm; direc¸a˜o de 120◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio)
(b) v2: mo´dulo 5 cm ; direc¸a˜o de 90◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio)
(c) v3: mo´dulo 3 cm; direc¸a˜o de 30◦ em relac¸a˜o a horizontal. (em sentido anti hora´rio)
3. Representar graficamente os vetores
(a) v1: mo´dulo 2 cm; direc¸a˜o de 250◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio)
(b) v2: mo´dulo 4 cm ; direc¸a˜o de 120◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio)
(c) v3: mo´dulo 6 cm; direc¸a˜o de 60◦ em relac¸a˜o a horizontal. (em sentido anti hora´rio)
4. Representar graficamente os vetores
(a) v1: mo´dulo 6 cm; direc¸a˜o de 330◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio)
(b) v2: mo´dulo 4 cm ; direc¸a˜o de 270◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio)
(c) v3: mo´dulo 2 cm; direc¸a˜o de 170◦ em relac¸a˜o a horizontal. (em sentido anti hora´rio)
Cap´ıtulo 3
Composic¸a˜o de vetores
Significa que a partir de uma se´rie de vetores queremosobter um vetor que fac¸a a representac¸a˜o de
todos os vetores envolvidos. Pense como va´rias pessoas puxando um objeto para distintas direc¸o˜es.
Queremos determinar que forc¸a (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) uma u´nica pessoa deveria realizar para
substituir todas as pessoas iniciais. Para entender o processo uma ana´lise gra´fica e´ u´til:
3.1 Me´todo da Poligonal
Quando houver mais de dois vetores, podemos determinar graficamente a resultante atrave´s do
seguinte me´todo:
Escolhemos um vetor qualquer.
Deslocamos os outros vetores de tal modo que o in´ıcio do vetor se encaixara´ no final do u´ltimo
21
22 CAPI´TULO 3. COMPOSIC¸A˜O DE VETORES
vetor deslocado. Veja a ilustrac¸a˜o 1:
3.1.1 Ca´lculo das componentes dos vetores
Para obter a resultante dois vetores quaisquer faremos uma combinac¸a˜o das duas ide´ias: a obtenc¸a˜o
das componentes horizontal e vertical e a adic¸a˜o de vetores de mesma direc¸a˜o.
Como exemplo considere a situac¸a˜o abaixo, figura 1b:
Componentes horizontais.
v1x = v1 cos θ
v2x = v2 cos β
Componentes verticais.
v1y = v1sinθ
v2y = v2sinβ
Adicionamos vetorialmente as componentes encontradas, encontrando as resultantes horizontais
e verticais.
vx = v1x + v2x = v1 cos θ + v2 cos β, pois tem o mesmo sentido.
vy = v1y − v2y = v1sinθ − v2sinβ, pois tem sentido contra´rio.
Determinac¸a˜o do vetor resultante
3.1. ME´TODO DA POLIGONAL 23
Figura 3.1: Me´todo da Poligonal
24 CAPI´TULO 3. COMPOSIC¸A˜O DE VETORES
Figura 3.2: Ca´lculo das componentes dos vetores
3.2. EXERCI´CIOS 25
Figura 3.3: Determinac¸a˜o do vetor resultante
Usamos as relac¸o˜es me´tricas (Pita´goras) e trigonome´tricas (tangente) para determinar o finalmente
o vetor resultante, figura 2.
vr =
√
v2x + v
2
y
θ = arctan
(
vy
vx
)
Obs.:O aˆngulo e´ determinado a partir da horizontal e no sentido contra´rio ao movimento dos ponteiros
de um relo´gio. Assim o sentido sera´ implicitamente indicado.
3.2 Exerc´ıcios
1. Calcule graficamente a resultante dos vetores:
(a) Figura 12.3
26 CAPI´TULO 3. COMPOSIC¸A˜O DE VETORES
Figura 3.4: Exerc´ıcio 12.3
3.2. EXERCI´CIOS 27
(b) Figura 3
Figura 3.5: Exerc´ıcio 3
2. As projec¸o˜es de um vetor sobre os eixos 0x e 0y valem respectivamente 3cm e 4cm. Achar o
mo´dulo desse vetor e sua direc¸a˜o, determinando o aˆngulo que forma com Ox.
3. Qual o mo´dulo de um vetor cujas projec¸o˜es sobre 0x e 0y valem 6 e 15 respectivamente?
28 CAPI´TULO 3. COMPOSIC¸A˜O DE VETORES
4. Dados os vetores abaixo, caracterizados pelo mo´dulo e pelo aˆngulo que formam com Ox, de-
terminar a resultante dos vetores. Verificar graficamente a soluc¸a˜o, fig. 4.
(a) v1: mo´dulo 5 cm; direc¸a˜o de 60◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio)
(b) v2: mo´dulo 9 cm ; direc¸a˜o de 45◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio)
(c) v3: mo´dulo 3 cm; direc¸a˜o de 30◦ em relac¸a˜o a horizontal. (em sentido anti hora´rio)
Figura 3.6: Exerc´ıcio 4
3.2. EXERCI´CIOS 29
5. Dados os vetores abaixo, caracterizados pelo mo´dulo e pelo aˆngulo que formam com Ox, de-
terminar a resultante dos vetores. Verificar graficamente a soluc¸a˜o. Representar graficamente
os vetores, fig. 5
(a) v1: mo´dulo 3 cm; direc¸a˜o de 120◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio)
(b) v2: mo´dulo 5 cm ; direc¸a˜o de 90◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio)
(c) v3: mo´dulo 3 cm; direc¸a˜o de 30◦ em relac¸a˜o a horizontal. (em sentido anti hora´rio)
30 CAPI´TULO 3. COMPOSIC¸A˜O DE VETORES
Figura 3.7: Exerc´ıcio 5
Cap´ıtulo 4
A´lgebra Vetorial
4.1 Vetores EM Rn
Ha´ uma extensa˜o natural dos conceitos, notac¸o˜es e operac¸o˜es definidas para o espac¸o Rn.
4.2 Operac¸a˜o com Vetores
31
32 CAPI´TULO 4. A´LGEBRA VETORIAL
4.2.1 Adic¸a˜o de Vetores
Dados u = (u1, u2, u3, · · · , un) e ~v = (v1, v2, v3, · · · , vn), de Rn, a soma s = u+ v, tal que
s = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, · · · , un + vn)
A adic¸a˜o de vetores goza das seguintes propriedades:
1. ~u+ ~v = ~v + ~u
2. (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)
3. ~0 = (0, 0, 0, · · · , 0), tal que ~0 + ~v = ~v +~0 = ~v.
4. ~v +−~v = −~v + ~v = ~0.
4.2.2 Multiplicac¸a˜o por escalar
Dados ~v = (v1, v2, v3, · · · , vn) ∈ Rn e o escalar r ∈ R . O produto do escalar r pelo vetor v, e´ o
resultado
r~v = (rv1, rv2, rv3, · · · , rvn)
A multiplicac¸a˜o de um escalar por um vetor goza das propriedades:
1. r~v = ~vr
2. r(~u+ ~v) = r~u+ r~v
3. (r + s)~v = r~v + s~v .
4.3. PRODUTO ESCALAR 33
4. (rs)~v = r(s~v)
5. 0~v = ~0
6. −1~v = −~v
7. r~v e´ paralelo a ~v
4.3 Produto Escalar
Dados ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) dois vetores, com um aˆngulo θ entre si.
Figura 4.1: Produto Escalar
O produto escalar de ~u por ~v, simbolizado por ~u · ~v, e´ definido por:
~u · ~v = |~u| · |~v|.cosθ
34 CAPI´TULO 4. A´LGEBRA VETORIAL
Na forma de coordenadas
~u · ~v = x1 · x2 + y1 · y2 + z1 · z2
E´ usado em muitas situac¸o˜es f´ısicas, como por exemplo o trabalho, definido como o produto da
forc¸a pelo deslocamento. Forc¸a e deslocamento sa˜o duas grandezas vetoriais e levam a noc¸a˜o de
trabalho, uma grandeza escalar.
Exemplo
Calcule o produto escalar para
1. ~u = (2, 3, 4) ~v = (−1, 3, 5)
2. ~u = (2,−1, 1) e ~v = (5, 2,−1)
4.3. PRODUTO ESCALAR 35
4.3.1 Propriedades Do Produto Escalar
Para o produto escalar valem as propriedades:
1. ~u · ~v = ~v · ~u
2. ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w
3. ~u · ~v = 0⇔ ~u⊥~v
4. s(~u · ~v) = (s~u) · ~u
4.3.2 Exerc´ıcios
1. Dado os vetores ~u = 3ˆi− 2jˆ + 5kˆ , ~v = −5ˆi+ 6jˆ − 3kˆ e ~w = −1ˆi+ 2jˆ − 3kˆ, calcule:
(a) ~u · ~v
(b) ~w · ~u
(c) 3~u · 2~w
(d) (2~u− 1~v) · (5~w)
(e) (~u+ ~v) · (~w + 5~u)
(f) ~u · (~v − (~u · ~v )~w)
36 CAPI´TULO 4. A´LGEBRA VETORIAL
Figura 4.2: Interpretac¸a˜o do Produto Escalar
4.3.3 Significado geome´trico
Pode ser dada uma interpretac¸a˜o geome´trica para o produto escalar, ~u ·~v| , atrave´s da figura.
Os vetores ~u,~v manteˆm entre si um aˆngulo θ indicada pela pro´pria definic¸a˜o de produto escalar
~u · ~v = |~u||~v| cos(θ)
A interpretac¸a˜o fica claro quando observa-se:
~u · ~u = |~u| |~u| cos(θ)︸ ︷︷ ︸
~u · ~v = |~v|proj~v~u
Assim o produto escalar determina o tamanho da projec¸a˜o de um vetor sobre outro.
4.4. VETOR UNITA´RIO NUMA DIREC¸A˜O DADA 37
4.4 Vetor Unita´rio numa direc¸a˜o dada
Um vetor unita´rio e´ dado por ~w = |w|.wˆ, ou seja,
wˆ =
~w
|w|
Exemplo: Para ~w = (3, 4,−12) , calcular wˆ
Vetores unita´rios coincidem suas direc¸o˜es com as direc¸o˜es positivas dos eixos cartesianos para
formar uma base.
4.5 Exerc´ıcios
1. Escreva o vetor unita´rio na direc¸a˜o de:
(a) (3, 4, 5)
(b) (-8, 6, 0)
(c) (1, 2, 3)
(d) (-3, 2, -4)
2. Determine o vetor ~w e seu correspondente unita´rio tal que ~w = ~3u+ ~2v, se ~u = 3ˆi− 2jˆ + 5kˆ e
~v = −5ˆi+ 6jˆ − 3kˆ
3. Calcule o mo´dulo de ~u+ ~v , se:
38 CAPI´TULO 4. A´LGEBRA VETORIAL
(a) se ~u = 3ˆi− 2jˆ + 5kˆ e ~v = −5ˆi+ 6jˆ − 3kˆ
(b) se ~u = 1ˆi− 4jˆ + 3kˆ e ~v = −3ˆi+ 2jˆ − kˆ
(c) se ~u = 1ˆi− 1jˆ + kˆ e ~v = −3ˆi+ 2jˆ − kˆ
4. Calcule o vetor unita´rio do exerc´ıcio anterior.
4.6 Produto Vetorial
Produto vetorial e´ a multiplicac¸a˜o de dois vetores, com um vetor como resultado. O produto vetorial
de u por v e´ indicado por ~u× ~v
Figura 4.3: Produto Vetorial
4.6. PRODUTO VETORIAL 39
O produto vetorial e´ definido por:
~u× ~v = |u|.|v|.senθ
Matricialmente pode ser calculado pelo por:
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣∣
iˆ jˆ kˆ
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣
Desenvolvendo
~u× ~v = (y1 · z2 − y2 · z1)ˆi− (x1 · z2 − y2 · z1)jˆ + (x1 · y2 − y2 · z1)kˆ
Assim o resultado do produto vetorial e´ caracterizado por:
1. MO´DULO: |u|.|v|.senθ, onde θ e´ o aˆngulo formado pelos dois vetores.
2. DIREC¸A˜O:- perpendicularao plano formado por u e v.
3. SENTIDO:- determinado pela regra da ma˜o direita, formando um plano, aponta-se o primeiro
vetor com o polegar. Os demais dedos apontam o segundo vetor. A palma da ma˜o indicara´ o
sentido do produto. conforme figura:
40 CAPI´TULO 4. A´LGEBRA VETORIAL
Figura 4.4: Regra da Ma˜o Direita
4.6.1 Propriedades do Produto Vetorial
Para o produto vetorial valem as propriedades:
1. ~u× ~v = −~v × ~u
2. ~u× ~v = 0⇔ ~u = r~v ⇔ ~u ‖ ~v
3. s(~u× ~v) = (s~u)× ~u
4. (~u× ~v)× ~w = −~u× (~v × ~w)
4.6.2 Exerc´ıcios
1. Prove com um exemplo que o produto vetorial na˜o e´ comutativo e nem associativo
4.6. PRODUTO VETORIAL 41
2. Dado os vetores ~u = 3ˆi− 2jˆ + 5kˆ , ~v = −5ˆi+ 6jˆ − 3kˆ e ~w = −1ˆi+ 2jˆ − 3kˆ, calcule:
(a) ~u× ~w
(b) ~w × ~v
(c) ~u× (~v + ~w)
(d) (~u× ~v). ~w
(e) (2~u+ ~v)× 3~w
(f) (~u+ 2~w) × (~u− 4~v)
(g) ~u× (~w × ~v)
(h) (~u× ~v)× ~w
(i) (~w × ~u)× ~v
3. Determine um vetor que seja perpendicular ao plano formado pelos vetores:
(a) ~u× ~w e (~w × ~u)× ~v
(b) ~w × ~v e (~u+ 2~w) × (~u− 4~v)
(c) ~u× (~v + ~w) e (~u× ~v)× ~w
(d) (~u× ~v). ~w e ~w × ~v
(e) (2~u+ ~v)× 3~w e ~u× ~w
42 CAPI´TULO 4. A´LGEBRA VETORIAL
4.6.3 Significado geome´trico
Pode ser dada uma interpretac¸a˜o geome´trica para o comprimento do produto vetorial, |~a×~b|, atrave´s
da figura.
Figura 4.5: Interpretac¸a˜o do produto vetorial
Como
|~u× ~v| = |~u||~v|senθ
|~u× ~v| = |~u|h
Assim o mo´dulo do produto vetorial da´ a a´rea do paralelogramo definido pelos vetores ~u e ~v.
Exerc´ıcios Extras
1. Prove que ~u · ~v = ~v · ~u e (~u · ~v) · ~w = ~u · (~v · ~w)
2. Prove, mediante um exemplo que o produto vetorial na˜o e´ comutativo e nem associativo
4.6. PRODUTO VETORIAL 43
3. Sejam ~u = (1, 2, 3), ~v = (−4, 2,−1)e ~w = (1,−2,−1). Calcule:
(a) ~u · ~v
(b) ~u× ~w
(c) (~u · ~v) · ~w
(d) ~u× (~v · ~w)
(e) (~u× ~v) · ~w
(f) 2~u× 3~w
(g) ~u · 2w + 3~u · 4~v
(h) ~u× (~w × ~v)
(i) (~u× ~w)× ~v
(j) 2~u · 3~w
(k) ~u · (~v · ~w)
(l) ~u× (~v · ~w)
4. Determine um vetor que seja perpendicular ao plano formado pelos vetores ~v = (3,−4,−6) e
~w = (8, 5, 0)
5. Calcule o mo´dulo de (3,−4,−6)× (8, 5, 0)
6. Sabe-se que o vetor (3, 6, -7) e´ paralelo ao vetor (3x, y + 2, 21). Calcule os valores de x e y
44 CAPI´TULO 4. A´LGEBRA VETORIAL
VETORES
7. Determine x para que se tenha A¯ ~B = C¯ ~D, sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e D(2x,x+6).
8. Escreva o vetor (7,-1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,-1) e outro paralelo
ao vetor (1,1).
9. Dados A(-1,-1) e B(3,5), determinar C, tal que
(a) ~AC = 1
2
~AB
(b) ~AC = 2
3
~AB.
10. Dados os vetores ~a = (2,−1) e ~b = (1, 3) , determinar um vetor ~c, tal que:
(a) 2
3
~c+ 1
2
[
2(~c+ ~a)−~b
]
= ~a+~c
2
(b) 4~a− 2~c = 1
3
~b− ~c+~a
2
11. Dados os vetores ~a = (−1, 1, 2) e ~b = (2, 0, 4), determine ~v, tal que:
(a) 2~v
3
−
[
2 (~v + ~a)−~b
]
= ~a−~v
2
(b) 2
3
~v −
[
2 (~v + ~a)−~b
]
=
~b
4
− ~v−~a
2
12. Sejam os pontos M(1,−2,−2) e P (0,−1, 2) , determine um vetor ~v colinear a` ~PM e tal que
|~v| = √3.
4.6. PRODUTO VETORIAL 45
13. Achar um vetor ~x de mo´dulo igual a 8 e de mesmo sentido que o vetor ~v = 6ˆi− 2jˆ + kˆ.
14. Dados ~a = iˆ+ 2jˆ − 3kˆ e ~b = 2ˆi+ jˆ − kˆ. Determine um versor dos vetores abaixo:
(a) ~a+~b
(b) 2~a− 3~b
(c) 5~a+ 4~b
PRODUTO ESCALAR
15. Sendo ~u = (2, 3, 1) e ~v = (1, 4, 5) . Calcular:
(a) ~u · ~v
(b) (~u− ~v)
(c) (~u+ ~v)2
(d) (3~u− 2~v)2
(e) (2~u− 3~v) · (~u+ 2~v)
16. Sendo ~a = (2,−1, 1) , ~b = (1, 2,−2) e ~c = (1,−1, 1). Calcular um vetor ~v = (x, y, z) , tal que
~v· ~a= 4, ~v· ~b= –9 e ~v· ~c= 5.
17. Sejam os vetores ~a=(2,–m,–3),~b=(m+3,4–m,1)e ~c=(m,–2,7).Determinar m para que ~a·~b=(~a+~b)·~c.
18. Determinar o valor de x para que os vetores ~v1= x~i–2~j+3~k e ~v2=2~i–~j+2~k, sejam ortogonais.
46 CAPI´TULO 4. A´LGEBRA VETORIAL
19. Determine um vetor unita´rio ortogonal aos vetores ~a=(2,6,–1) e ~b=(0,–2,1).
20. O vetor −→v = (−1,−1,−2) forma um aˆngulo de 600 com o vetor A¯ ~B, onde A (0,3,4) e B(m,
−1,2). Calcular o valor de m.
21. Decomponha o vetor ~v=(–1,2,–3) em dois vetores ~ae ~b, tais que ~a//~w e ~b⊥~w, com ~w=(2,1,–1).
PRODUTO VETORIAL
22. Dados os vetores ~u=( –1,3,2),~v=(1,5,–2) e ~w=(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores:
(a) ~u× ~v
(b) ~v × ~w
(c) ~v × (~u× ~w)
(d) (~v × ~u)× ~w
(e) (~u+ ~v)× (vecu+ ~w)
(f) (~u− ~w)× ~w
23. Determinar o vetor ~v, sabendo que ele e´ ortogonal ao vetor −→a =(2,−3,1) e ao vetor −→b =(1,−2,3)
e que satisfaz a seguinte condic¸a˜o; −→v • (−→i + 2−→j − 7−→k ) = 10.
24. Determine um vetor unita´rio ortogonal aos vetores ~v1=(–1,–1,0) e~v2=(0,–1–1).
25. Ache ~u tal que ||~u||=3√3e ~u e´ ortogonal a ~v=(2,3,−1) e a ~w=(2,−4,6). Dos ~u encontrados,
qual forma aˆngulo agudo com o vetor (1,0,0).
4.6. PRODUTO VETORIAL 47
26. Sendo ~v1=(–2,1,–1) e ~v2=(0,y,z), calcule y e z de modo que ||~v1×~v2||= 4
√
3 e que o vetor
~v=~v1×~v2 fac¸a aˆngulos congruentes com os eixos OX e OY.
27. Dados os vetores ~u=(1,−1,1) e ~v=(2,−3,4), calcular:
(a) A a´rea do paralelogramo de determinado por ~u e ~v;
(b) a altura do paralelogramo relativa a` base definida pelo vetor ~u
28. Dados os vetores ~u=(2,1,−1) e ~v=(1,−1,α), calcular o valor de α para que a a´rea do paralelo-
gramo determinado por ~u e ~v seja igual a
√
62
48 CAPI´TULO 4. A´LGEBRA VETORIAL
Cap´ıtulo 5
Esta´tica
Um ponto material esta´ em equil´ıbrio, quando for nula a resultante do sistema de forc¸as a ele aplicado.
Isso significa geometricamente que os vetores devem fechar um pol´ıgono
Desse modo, para o estudo do equil´ıbrio do ponto material, e´ necessa´rio:
1. Reconhecimento das forc¸as atuantes
2. estabelecer um sistema cartesiano ortogonal, com origem no ponto material
3. Decomposic¸a˜o dos vetores representativos da forc¸a
4. Impor a condic¸a˜o de equilibrio: ∑
Fx = 0∑
Fy = 0
49
50 CAPI´TULO 5. ESTA´TICA
Figura 5.1: Condic¸a˜o de equilibrio
51
Figura 5.2: Condic¸a˜o de equilibrio
52 CAPI´TULO 5. ESTA´TICA
∑
Fz = 0
Para o caso da figura 5.1, adotando como referencial um sistema cartesiano
∑
Fx = F1cos(θ)− F3 = 0∑
Fy = F1sen(θ)− F2 = 0
Portanto
F1sen(θ) = F2
F1cos(θ) = F3
Dividindo uma equac¸a˜o pela outra:
tan(θ) =
F2
F3
ou
Usando Pita´goras:
F1
2 = F2
2 + F3
2
5.1. EXERCI´CIOS 53
5.1 Exerc´ıcios
1. Determine a resultante das forc¸as:
(a) Figura 1
Figura 5.3: 1
(b) Figura 1b
(c) Figura 2
(d) Figura 12.3
2. Uma forc¸a F de intensidade de 500N e´ decomposta em componentes cartesianas. Se sua com-
ponente horizontal vale 285N. Calcule a componente vertical e o aˆngulo de inclinac¸a˜o da forc¸a
dada.
54 CAPI´TULO 5. ESTA´TICA
Figura 5.4: 1b
Figura 5.5: 2
5.1. EXERCI´CIOS 55
Figura 5.6: 12.3
3. Uma estaca e´ arrancada do solo, figura 3:
(a) Para α = 30o e P = 60N, calcule a resultante, fig. 3.
(b) Para α = 30o calcule P para que a resultante horizontal seja nula
4. Calcule a resultante :
5. Calcule as trac¸o˜es das treˆs cordas na situac¸a˜o para um P de 150 N.
6. O esquema representa um sistema em equil´ıbrio, fig. 19. Dado um peso de 30N para o corpo
A, calcule o peso do corpo B.
7. No sistema em equil´ıbrio, fig. 7 , o peso de A e´ 55 N. Calcule
56 CAPI´TULO 5. ESTA´TICA
Figura 5.7: Problema 3
Figura 5.8: Problema 4
5.1. EXERCI´CIOS 57
Figura 5.9: Problema 5
Figura 5.10: Problema 19
58 CAPI´TULO 5. ESTA´TICA
(a) peso de B
(b) A intensidade da forc¸a de trac¸a˜o no trecho 1
Figura 5.11: Problema 7
8. A esfera de raio R e peso 80N esta´ pendurada na parede em equil´ıbrio, 12.10. Determinar
(a) A intensidade da trac¸a˜o na corda.
(b) A intensidade da forc¸a aplicada a parede.9. Calcule a trac¸a˜o em cada trecho da corda,fig. 9:
10. O sistema esta´ em equil´ıbrio, 10. Calcule a relac¸a˜o entre as massas.
5.1. EXERCI´CIOS 59
Figura 5.12: Problema 12.10
Figura 5.13: Problema 9
60 CAPI´TULO 5. ESTA´TICA
Figura 5.14: Problema 10
Cap´ıtulo 6
Movimento unidimensional de ponto
material
A cinema´tica trata do movimento unidimensional de uma part´ıcula ou ponto material. A proposic¸a˜o
e´ uma simplificac¸a˜o eficiente de va´rias situac¸o˜es cotidianas. Como part´ıcula ou ponto material,
na˜o se pretende reduzir o tamanho dos corpos para diminutas dimenso˜es. Neste caso na˜o estamos
interessados na extensa˜o do corpo nem em poss´ıveis rotac¸o˜es. Pode-se considerar um carro como um
ponto material se deslocando...
A condic¸a˜o de movimento unidimensional e´ apenas uma facilidade para a interpretac¸a˜o de conceitos
que sera˜o desenvolvidos e generalizados para um movimento no espac¸o. Grandezas como desloca-
mento, velocidade e acelerac¸a˜o sa˜o grandezas vetoriais que descrevem os problemas tratados.
61
62 CAPI´TULO 6. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE PONTO MATERIAL
6.1 Sistema De Coordenadas
Para o estudo do movimento de um corpo e´ necessa´rio o estabelecimento de um sistema de coorde-
nadas no qual e´ poss´ıvel obter medidas das grandezas envolvidas.
E´ comum adotar um sistema cartesiano. Arbitra-se um ponto como origem e qualquer outro ponto
indica a medida da distaˆncia em relac¸a˜o a essa origem.
6.2 Definic¸o˜es Elementares
Considere a situac¸a˜o abaixo onde a bolinha desloca se pela linha. Para cada instante dado e´ poss´ıvel
determinar a posic¸a˜o da bolinha em relac¸a˜o a uma referencia inicial.
Figura 6.1: Trajeto´ria de um objeto
E´ poss´ıvel estabelecer a seguinte relac¸a˜o:
6.2. DEFINIC¸O˜ES ELEMENTARES 63
Instante Posic¸a˜o Descric¸a˜o
t = 0 origem Posic¸a˜o da bola no instante inicial
da observac¸a˜o
t = tA dA Posic¸a˜o, dA, da bola no instante,
tA.
t = tB dB Posic¸a˜o, dB, da bola no instante
tB,.
t = tC dC Posic¸a˜o, dC, da bola no instante,
tC.
t = tD dD Posic¸a˜o, dD, da bola no instante,
tD.
Como e´ bastante comum tambe´m pode ser usada a seguinte notac¸a˜o
Instante Posic¸a˜o
t0 = 0 d = x0
t1 =
tA
dA =
x1
t2= tB dB =
x2
t3 =
tC
dC =
x3
t4 =tD dD =
x4
64 CAPI´TULO 6. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE PONTO MATERIAL
6.3 Deslocamento, velocidade me´dia e acelerac¸a˜o
Para discutir os conceitos, consideremos a situac¸a˜o do corpo em que foi determinada sua posic¸a˜o em
va´rios instantes.
Deslocamento
E´ a diferenc¸a entre as posic¸o˜es respectivas entre os instantes ou em relac¸a˜o ao instante inicial.
Genericamente
∆x = x2 − x1
ou
∆x = x2 − x0
A unidade no SI: metro. Mu´ltiplos mais comuns: cent´ımetro, quilometro.
Velocidade me´dia
E´ a raza˜o do deslocamento efetuado pelo intervalo de tempo requerido, ou seja:
vm =
∆x
∆t
=
x2 − x1
t2 − t1
A unidade no SI: metro/segundo (m/s). Mu´ltiplos mais comuns: km/h, km/s.
6.3. DESLOCAMENTO, VELOCIDADE ME´DIA E ACELERAC¸A˜O 65
Acelerac¸a˜o
Mede a variac¸a˜o da velocidade no tempo observado:
a =
∆v
∆t
=
v2 − v1
t2 − t1
A unidade no SI: metro/segundo2 (m/s2). Mu´ltiplos mais comuns: cm/s2.
Exemplo:
Numa corrida de fo´rmula 1, a volta mais ra´pida foi feita em 1min e 20 s, a uma velocidade me´dia de
180 km/h. Qual o comprimento da pista?
Soluc¸a˜o:
Dados do problema
Intervalo de tempo: 1min e 20 s = 60s+20s = 80s
velocidade me´dia:
180
km
h
= 180
1000 m
3600s
=
180 · 1000
1 · 3600
m
s
= 50
m
s
A conversa˜o foi necessa´ria para manter a consisteˆncia das unidades.
Como
vm =
∆x
∆t
⇒ ∆x = vm∆t = 50m
s
· 80s = 4000m = 4km
Assim a pista tem 4km de extensa˜o.
66 CAPI´TULO 6. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE PONTO MATERIAL
6.4 Exerc´ıcios
1. As 15h00min um caminha˜o inicia uma viagem no marco 120 km de uma estrada. As 16h15min
o caminha˜o passa pelo marco 250 km. Determine:
(a) O deslocamento do caminha˜o
(b) O tempo percorrido
(c) A velocidade me´dia
2. Um nadador percorre a extensa˜o de uma piscina de 50m em 25s. Determine a velocidade me´dia
do nadador.
3. Um passageiro observou que o oˆnibus percorreu 10 km nos dez primeiros minutos e mais 9 km
nos 10 minutos seguintes. Qual a velocidade me´dia do oˆnibus?
4. Uma part´ıcula parte do repouso, e em 10 s, sua velocidade aumenta para 15m/s. Qual a
acelerac¸a˜o me´dia da part´ıcula?
5. Um motorista aumenta a velocidade de um oˆnibus de 60 km/h para 78 km/h em 10 s. qual e´
a acelerac¸a˜o me´dia do oˆnibus?
Cap´ıtulo 7
Cinema´tica
Estudo das trajeto´rias dos objetos do sistema. O objetivo e´ responder a basicamente duas questo˜es:
Qual a posic¸a˜o de uma part´ıcula em um instante qualquer?
Qual a velocidade respectiva neste instante?
Escrever as equac¸o˜es hora´rias do movimento e´ responder estas duas questo˜es de forma plena.
O movimento pode ser caracterizado de diversas formas. Em cinema´tica, caracterizar a velocidade
e´ suficiente, lembrando que v = ∆s/∆te´ poss´ıvel determinar a posic¸a˜o da part´ıcula com uma simples
transposic¸a˜o.
A grandeza que mede a variac¸a˜o da velocidade e´ a acelerac¸a˜o a = ∆v/∆t. Assim e´ a partir da
observac¸a˜o da acelerac¸a˜o que pode-se definir o tipo de movimento.
O resultado sa˜o equac¸o˜es que envolve a posic¸a˜o, a velocidade e a acelerac¸a˜o da part´ıcula em instantes
particulares.
Os tipos mais comuns de movimento sa˜o:
67
68 CAPI´TULO 7. CINEMA´TICA
1. O movimento retil´ıneo uniforme, quando a acelerac¸a˜o do movimento e´ nula
2. O movimento retil´ıneo uniformemente variado, quando a acelerac¸a˜o do movimento e´ constante
Todas as definic¸o˜es dadas se referem ao movimento em apenas uma dimensa˜o, quando as carac-
ter´ısticas vetoriais das grandezas envolvidas na˜o se apresentam.
7.1 Movimento Retil´ıneo Uniforme MRU
Neste tipo de movimento, a acelerac¸a˜o e´ nula. Pela definic¸a˜o, tem-se:
∆v
∆t
= 0 = a⇒ ∆v = 0
ou seja a velocidade na˜o varia, portanto v = v0
que e´ a velocidade inicial da part´ıcula.
Ainda pela definic¸a˜o
v = ∆s/∆t
∆s = v∆t
s− s0 = v (t− t0)
s = s0 + vt
pois normalmente o instante inicial e´ dado como zero.
Assim as equac¸o˜es hora´rias do Movimento Retil´ıneo Uniforme sa˜o:
7.1. MOVIMENTO RETILI´NEO UNIFORME MRU 69
a = 0 (7.1)
v = v0
s = s0 + vt
Exemplo
1. Dois pedestres partem de diferentes pontos. Percorrem a mesma trajeto´ria, obedecendo as
seguintes func¸o˜es, no SI: s1(t) = 10 + 4t e s2(t)= 20 +2t.
(a) Determine a posic¸a˜o dos dois ciclistas em t = 4s.
(b) Determine o instante de encontro.
(c) Determine a posic¸a˜o de encontro.
Soluc¸a˜o
Da func¸o˜es hora´rias dadas, basta obter a posic¸a˜o para t = 4s.
s1(t) = 10 + 4t
s1(t= 4s) = 10 + 4*4=10 + 16 = 26 m. A posic¸a˜o do primeiro ciclista.
s2(t)= 20 +2t
s2 (t= 4s) = 20 + 2*4=10 + 8 = 28 m. A posic¸a˜o do primeiro ciclista.
O instante de encontro e´ dado quando:
70 CAPI´TULO 7. CINEMA´TICA
s1(t) = s2(t)
10 + 4t = 20 +2t
4t-2t = 20 – 10
2t = 10
t = 5s
que e´ o instante de encontro dos dois ciclistas.
A posic¸a˜o de encontro e´ obtida aplicando a uma das duas equac¸o˜es dadas o instante t = 5s. Assim
s1(t) = 10 + 4t
s1(5) = 10 + 4*5
s1(5) = 30 m
So´ confirmando s2(t)= 20 +2t
s2(5)= 20 +2*5
s2(5)= 30 m
7.2 Exerc´ıcios
1. Dois pedestres partem de diferentes pontos. Percorrem a mesma trajeto´ria, obedecendo as
seguintes func¸o˜es, no SI: s1(t) = 20 + 4t e s2(t)= 100 +2t.
(a) Determine a posic¸a˜o dos dois pedestres em t = 5s
(b) Determine o instante de encontro
(c) Determine a posic¸a˜o de encontro.
(d) Determine a distaˆncia inicial entre os dois
7.2. EXERCI´CIOS 71
2. Durante um nevoeiro, um navegador recebe dois sinais transmitidos simultaneamente por um
posto na costa: um atrave´s do ar eoutro atrave´s da a´gua. Entre as recepc¸o˜es decorre um
intervalo de tempo t = 5s. Nas condic¸o˜es da experieˆncia, a velocidade do som e´ de 340 m/s no
ar e de 1504 m/s na a´gua.
(a) Escreva a equac¸a˜o hora´ria para os dois movimentos
(b) Determine a distaˆncia entre o barco e o posto emissor
3. Num dado instante, dois ciclistas esta˜o distanciados 60m. Eles percorrem a mesma trajeto´ria,
obedecendo as seguintes func¸o˜es: s1 = 20 + 2t e s2 = -40 +3t.
(a) Determine o instante de encontro.
(b) Determine a posic¸a˜o de encontro em relac¸a˜o a` origem
(c) Determine o instante em que o mais ra´pido estara´ 60m a frente
4. Uma part´ıcula esta´ em x = 5m, quando t = 0s; em x = -7m quando t = 6s, e em x = 2m,
quando t = 10s. Determinar a velocidade me´dia nos intervalos
(a) De 0s a 6s
(b) De 6s a 10s
(c) De 0s a 10s
5. Um automo´vel roda em linha reta com a velocidade me´dia de 96,5 km/h durante duas horas e
meia, e depois com a velocidade me´dia de 49,3 km/h durante uma hora e meia.
72 CAPI´TULO 7. CINEMA´TICA
(a) Qual o deslocamento total durante as quatro horas.
(b) Qual a velocidade me´dia durante toda a viagem.
Cap´ıtulo 8
Movimento Retil´ıneo Uniformemente
Variado
Outro tipo de movimento bem caracterizado e´ o movimento retil´ıneo uniformemente variado MRUV.
Neste caso a part´ıcula observa uma variac¸a˜o de velocidade constante, o que quer dizer uma acelerac¸a˜o
constante.
Da mesma forma que no MRU, o objetivo e´ determinar a posic¸a˜o e velocidade da part´ıcula em
qualquer instante, especificando a sua equac¸a˜o hora´ria.
Da definic¸a˜o de acelerac¸a˜o
73
74 CAPI´TULO 8. MOVIMENTO RETILI´NEO UNIFORMEMENTE VARIADO
a = ∆v
∆t
∆v = a∆t
v − v0 = a (t− t0)
v = v0 + at
Esta e´ a equac¸a˜o hora´ria para a velocidade, com a considerac¸a˜o que t0 = 0, o instante inicial de
observac¸a˜o.
A obtenc¸a˜o da equac¸a˜o da posic¸a˜o na part´ıcula envolve uma manipulac¸a˜o alge´brica que na˜o sera´
mostrada. A fo´rmula resultante e´:
s = s0 + v0t+
at2
2
Assim a equac¸a˜o hora´ria para o MRUV e´ dada pelas seguintes fo´rmulas:
a = constante
v = v0 + at
s = s0 + v0t+
at2
2
com
s0 posic¸a˜o inicial
v0 velocidade inicial
a acelerac¸a˜o do sistema
t tempo
Para completar essas equac¸o˜es, uma fo´rmula bastante usada e´ a equac¸a˜o de Torricelli, que rela-
ciona as grandezas: posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o entre si desconsiderando o tempo:
75
v2 = v20 + 2a∆s
Exemplo
1. Um objeto realiza um MUV com equac¸a˜o hora´ria s = 18− 9t+ t2.
(a) Qual o espac¸o inicial, a velocidade inicial e a acelerac¸a˜o do movimento?
(b) Qual a equac¸a˜o hora´ria da velocidade?
(c) Qual o instante em que o mo´vel muda de sentido?
(d) O mo´vel passa pela origem da trajeto´ria?
(e) Construa o gra´fico sxt e vxt
Soluc¸a˜o
1. (a) Espac¸o inicial, a velocidade inicial e a acelerac¸a˜o do movimento
Da equac¸a˜o hora´ria dada, tem-se:
s = s0 + v0t+
at2
2
s = 18− 9t+ 1t2
s = 18− 9t+ 2t2
2
Assim s0 = 18m
v0 = −9m/s
a = 2m/s2
76 CAPI´TULO 8. MOVIMENTO RETILI´NEO UNIFORMEMENTE VARIADO
(b) A equac¸a˜o hora´ria da velocidade e´ v = v0 + at
Assim v = −9 + 2t e´ a equac¸a˜o hora´ria da velocidade
(c) Para mo´vel mudar de sentido ele deve parar e retornar pela mesma trajeto´ria. Parar
significa ter velocidade zero. Usando assim a equac¸a˜o da velocidade
v = −9 + 2t
0 = −9 + 2t
2t = 9
E este t = 9
2
= 4, 5s e´ o instante que o mo´vel comec¸a o retorno.
(d) O mo´vel passa pela origem da trajeto´ria quando s = 0. usando a equac¸a˜o de posic¸a˜o,
tem-se:
s = 18− 9t+ 1t2
0 = 18− 9t+ 1t2
Usando a fo´rmula de Baskara para resolver esta equac¸a˜o, tem-se:
Logo t = 3s ou t = 6s sa˜o os instantes em que a part´ıcula passa pela origem.
(e) Os gra´ficos
8.1. EXERCI´CIOS 77
8.1 Exerc´ıcios
1. Um objeto realiza um MUV com equac¸a˜o hora´ria s = 20− 10t+ 2t2.
(a) Qual o espac¸o inicial, a velocidade inicial e a acelerac¸a˜o do movimento?
(b) Qual a equac¸a˜o hora´ria da velocidade?
(c) Qual o instante em que o mo´vel muda de sentido?
(d) O mo´vel passa pela origem da trajeto´ria?
(e) Construa o gra´fico sxt e vxt
2. Um automo´vel partindo do repouso acelera a 3 m/s2 constantemente.
(a) Escreva a equac¸a˜o da posic¸a˜o do automo´vel
(b) Escreva a equac¸a˜o da velocidade do automo´vel
(c) Determine o instante em que a velocidade do automo´vel e´ de 72 km/h
(d) O mo´vel passa pela origem da trajeto´ria?
(e) Construa o gra´fico sxt e vxt
3. Um automo´vel esta´ parado num sinal luminoso. Quando o sinal abre, ele comec¸a a se movimen-
tar com acelerac¸a˜o constante de 4 m/s2. No mesmo instante passa por ele outro com velocidade
constante de 10m/s. Determine:
(a) Em quanto tempo, apo´s a abertura do sinal, o primeiro carro alcanc¸a o segundo.
78 CAPI´TULO 8. MOVIMENTO RETILI´NEO UNIFORMEMENTE VARIADO
(b) Qual a distaˆncia percorrida ate´ o encontro.
(c) A velocidade do primeiro carro no instante do encontro.
4. Um automo´vel desloca-se com a velocidade de 20 m/s. A partir do instante t = 0, seu motorista
aplica os freios ate´ o carro parar. Admitindo que a acelerac¸a˜o tenha mo´dulo igual a 4 m/s2
e e´ constante, determine a distaˆncia percorrida pelo carro desde a aplicac¸a˜o dos freios ate´ sua
parada.
Cap´ıtulo 9
Exerc´ıcios de Cinema´tica
1. Um corpo, caindo da nas proximidades da Terra, fica sujeito a uma acelerac¸a˜o de 10 m/s2. A
cada segundo acontece que:
(a) A velocidade do corpo aumenta 36 km/h
(b) O corpo percorre 100m
(c) A velocidade do corpo aumentou em 10m/s
(d) O corpo cai com a mesma velocidade
(e) A velocidade do corpo diminui 5m/s
2. Um automo´vel de competic¸a˜o e´ acelerado de forma tal que sua velocidade em func¸a˜o do tempo
(t) e´ dada pela tabela.
79
80 CAPI´TULO 9. EXERCI´CIOS DE CINEMA´TICA
t(s) 5 10 15
v(m/s) 20 50 60
(a) Calcule a acelerac¸a˜o me´dia no intervalo de 5 a 10 s
(b) Calcule a acelerac¸a˜o me´dia no intervalo de 10 a 15 s
(c) Calcule a acelerac¸a˜o me´dia no intervalo de 5 a 15 s
3. Escreva a func¸a˜o hora´ria da velocidade do MUV e esboce o gra´fico de velocidade por tempo,
de um mo´vel com tabela hora´ria dada por:
v(m/s) -5 -3 -1 1 3 5 7
t(s) 0 1 2 3 4 5 6
4. Um carro acelera, a partir do repouso, a 8m/s2.
(a) Qual a sua velocidade no instante t = 10s?
(b) Que distaˆncia percorreu depois de 10s?
(c) Qual a velocidade me´dia nesse intervalo de tempo?
5. Uma part´ıcula esta´ em x = 5m, quando t = 0s; em x = -7m quando t = 6s, e em x = 2m,
quando t = 10s. Determinar a velocidade me´dia nos intervalos
(a) De 0s a 6s
(b) De 6s a 10s
(c) De 0s a 10s
81
6. Um automo´vel roda em linha reta com a velocidade me´dia de 100 km/h durante treˆs horas, e
depois com a velocidade me´dia de 50 km/h durante uma hora e meia.
(a) Qual o deslocamento total durante as quatro horas.
(b) Qual a velocidade me´dia durante toda a viagem.
7. A partir dado instante, dois ciclistas percorrem a mesma trajeto´ria, obedecendo as seguintes
func¸o˜es: s1 = 40 + 4t e s2 = −40 + 5t
(a) Determine o instante de encontro.
(b) Determine a posic¸a˜o de encontro em relac¸a˜o a` origem.
(c) Calcule a velocidade me´dia de ambos do instante inicial ate´ o instante de encontro.
(d) Esboce o gra´fico da distaˆncia entre os dois do instante inicial ate´ o instante de encontro.
8. Um automo´vel esta´ a 30 km/h no instante t = 0 s. Ele e´ acelerado a raza˜o de 180 km/h.s
(a) Qual a velocidade em t = 1 s?
(b) Qual a velocidade em t = 2 s?
(c) Qual a velocidade,em m/s, num instante qualquer?
9. A velocidade de uma part´ıcula e´ dada na tabela abaixo:
t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
v(m/s)0 5 10 15 45 65 70 60 -30 -50 -55 -55
(a) Fac¸a o gra´fico de velocidade por tempo ligando os pontos com uma linha suave
82 CAPI´TULO 9. EXERCI´CIOSDE CINEMA´TICA
(b) Indique os instantes em que a velocidade e´ ma´xima
(c) Indique os instantes em que a velocidade e´ mı´nima
(d) Indique os instantes em que a velocidade e´ nula
(e) Indique os instantes em que a velocidade e´ constante
(f) Indique os instantes em que a acelerac¸a˜o e´ positiva
(g) Indique os instantes em que a acelerac¸a˜o e´ negativa.
10. Um carro, partindo do repouso, num movimento com acelerac¸a˜o constante de 1m/s2, durante
5 segundos. Desliga-se enta˜o o motor e, devido ao atrito, o carro volta ao repouso com retar-
damento constante de 0,5 m/s2. Calcule:
(a) o percurso total do movimento
(b) o tempo total do movimento
11. Um objeto realiza um MUV com equac¸a˜o hora´ria s = 18− 9t+ t2
(a) Qual o espac¸o inicial, a velocidade inicial e a acelerac¸a˜o do movimento?
(b) Qual a equac¸a˜o hora´ria da velocidade?
(c) Qual o instante em que o mo´vel muda de sentido?
(d) O mo´vel passa pela origem da trajeto´ria?
(e) Esboce o gra´fico de espac¸o e velocidade.
83
12. Um mo´vel realiza um movimento uniformemente variado cuja func¸a˜o hora´ria e´ dada por: s =
3− 4t+ 2t2
(a) Qual a velocidade e a acelerac¸a˜o me´dia no instante t = 2s
(b) Qual o deslocamento no instante t = 2s.
(c) Qual a equac¸a˜o hora´ria da velocidade?
(d) Quando o mo´vel passa pela origem?
(e) Qual o instante em que o mo´vel muda de sentido?
(f) Esboce o gra´fico de espac¸o e velocidade.
13. Um automo´vel esta´ parado num sinal luminoso. Quando o sinal abre, ele comec¸a a se movimen-
tar com acelerac¸a˜o constante de 5 m/s2. No mesmo instante passa por ele outro com velocidade
constante de 15m/s.Determine:
(a) Em quanto tempo, apo´s a abertura do sinal, o primeiro carro alcanc¸a o segundo.
(b) Qual a distaˆncia percorrida ate´ o encontro.
(c) A velocidade do primeiro carro no instante do encontro.
(d) A velocidade me´dia de ambos, da abertura do sinal ate´ o encontro.
14. Um mo´vel parte do repouso com acelerac¸a˜o de 2 m/s2 no mesmo sentido de outro mo´vel de
velocidade constante de 6 m/s e distante do primeiro 8 m do primeiro. Determine:
(a) Qual tempo gasto ate´ o encontro.
84 CAPI´TULO 9. EXERCI´CIOS DE CINEMA´TICA
(b) Qual a distaˆncia percorrida ate´ o encontro.
(c) A velocidade do primeiro mo´vel no instante do encontro.
(d) A velocidade me´dia de ambos ate´ o encontro.
15. Um trem de 150 m de comprimento atinge a boca de um tu´nel e depois de 40 s o atravessa
completamente. Sabendo que a velocidade do trem e´ de 72 km/h, calcule a extensa˜o do tu´nel.
16. Dois pontos A e B, esta˜o numa mesma reta e separados por uma distaˆncia d. Dois mo´veis
passam pelo ponto A, rumo a B, com velocidades constantes de 3m/s e 7m/s. O mo´vel mais
ra´pido leva dois segundos a menos que o mais lento para percorrer a distancia AB. Determine
a distaˆncia d.
17. Um trem sai da estac¸a˜o com velocidade constante de 50 km/h num percurso ret´ılineo. Quanto
tempo depois de sua partida devera´ sair, outro trem na mesma estac¸a˜o, com velocidade de 75
km/h para alcanc¸a´-lo a 120 km da estac¸a˜o?
18. Um ve´ıculo entra num tu´nel com velocidade de 54 km/h, deslocando num movimento uniforme-
mente variado. Passados 10 s, o ve´ıculo sai com velocidade de 72 km/h. Qual o tamanho do
tu´nel?
19. Um trem de 100 m de comprimento, atravessa um tu´nel de 200m de comprimento, com MUV.
O trem entra com velocidade escalar de 14 m/s e sai completamente dele com velocidade escalar
de 26m/s. Qual o tempo de travessia do tu´nel?
Cap´ıtulo 10
Introduc¸a˜o a dinaˆmica
O estudo das causas do movimento e´ feito atrave´s das Leis de Newton. Tais leis relacionam as
grandezas deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o para a descric¸a˜o da trajeto´ria de uma part´ıcula.
10.1 As leis de Newton
Estabelecida em treˆs leis, com a primeira determinando um referencial em que sa˜o aplica´veis as
consequentes.
10.1.1 Primeira Lei de Newton - Lei de Ine´rcia
Uma particula livre da ac¸a˜o de forc¸as se move com velocidade constante
85
86 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA
Figura 10.1: Galileo e seus alunos, cientista foi um dos precursores da Cieˆncia e discutiu muitas das
ide´ias aristote´licas
Figura 10.2: Ilustrac¸a˜o da Primeira Lei.
10.1. AS LEIS DE NEWTON 87
Exemplo - Um peˆndulo no oˆnibus
Figura 10.3: Efeitos da inercia.
10.1.2 Segunda Lei de Newton - A resultante das forc¸as
Uma particula sobre a ac¸a˜o de diversas forc¸as se movimenta regida pela expressa˜o
~R =
∑
~Fi = m~a
Relaciona as forc¸as envolvidas e o resultado l´ıquido para o movimento da part´ıcula.
A resultante das forc¸as sobre uma part´ıcula e´ igual a massa da part´ıcula multiplicada pela acel-
erac¸a˜o proveniente do sistema de forc¸as.
88 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA
Figura 10.4: Ilustrac¸a˜o da Segunda Lei
10.1.3 Terceira Lei de Newton Princ´ıpio de Ac¸a˜o e Reac¸a˜o
A toda ac¸a˜o corresponde uma reac¸a˜o de mesma intensidade e direc¸a˜o, mas de sen-
tido contra´rio
Figura 10.5: Ilustrac¸a˜o da Terceira Lei
10.1. AS LEIS DE NEWTON 89
10.1.4 Discussa˜o das treˆs leis
Para aplicar tais leis, cada um dos sistemas deve ser isolado e tratado separadamente.
A forc¸a F e´ aplicada sobre os dois blocos, na˜o ha´ atrito com o plano horizontal. Calcule a
acelerac¸a˜o para o sistema
Figura 10.6: Sistema sob ac¸a˜o de um aforc¸a externa
Isolando o sistema, implementac¸a˜o do diagrama de corpo livre
Devido a forc¸a F o corpo 2 devera´ se deslocar para a esquerda. Isso so´ e´ poss´ıvel se o corpo 1
tambe´m se deslocar, assim o corpo 2 aplica uma ac¸a˜o F21 sobre o bloco 1. Pelo princ´ıpio de ine´rcia,
o corpo 1 oferece uma reac¸a˜o ao corpo 2, F12.
Considerando a orientac¸a˜o positiva como no desenho, quando forc¸as que concordam com a
direc¸a˜o indicada tem sinal positiva e forc¸as que discordam tem sinal negativa. Pode se
estabelecer as seguintes equac¸o˜es:
Para o corpo 1 F21 = m1a
Para o corpo 2 F − F12 = m2a
O pro´ximo passo e´ somar as duas igualdades, obtendo:
F21 + F − F12 = m2a+m1a
90 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA
Figura 10.7: Diagrama de corpo livre
F + F21 − F12 = (m1 +m2) a
Como F21 e F12 formam um par ac¸a˜o e reac¸a˜o, isso significa que tem intensidades iguais e podem
ser cancelados. Assim:
F = (m1 +m2) a
E a acelerac¸a˜o do sistema esta´ estabelecida.
a =
F
(m1 +m2)
10.2. NOC¸O˜ES DE FORC¸A, PESO E QUEDA LIVRE. AS LEIS DE NEWTON. 91
10.2 Noc¸o˜es de forc¸a, peso e queda livre. As Leis de New-
ton.
Quando levantamos ou movimentamos alguma objeto dizemos que estamos fazendo forc¸a sobre uma
objeto. Essa ide´ia sobre a ac¸a˜o que fazemos ou sofremos sobre os objetos que esta˜o a nossa volta
tambe´m esta´ presente no estudo de dinaˆmica que pretende estabelecer a relac¸a˜o de causa e efeito entre
os objetos de um sistema f´ısico. Adiante os objetivos da cinema´tica que pretende apenas estabelecer
a trajeto´ria de um objeto em movimento, a dinaˆmica quer determinar a causa desse movimento para
permitir prever a trajeto´ria em func¸a˜o dessa relac¸a˜o de causa e efeito.
E´ ate´ parte do folclore a histo´ria da mac¸a caindo na cabec¸a de Isaac Newton. Reza a lenda que
Newton descansava embaixo de um macieira pensando em como determinar as leis que governavam
o movimento no universo, quando uma pequena mac¸a caiu sobre sua cabec¸a. Acordado dos seus
sonhos Newton percebeu que a mac¸a caia porque a Terra atraia a mac¸a˜ para o seu centro e mais
ainda a mac¸a˜ tambe´m atraia a Terra na mesma intensidade.
Estava descoberta a forc¸a de atrac¸a˜o entre os objetos, mais conhecida como forc¸a de gravidade.
Deve ficar claro que essa forc¸a e´ em particular a atrac¸a˜o da Terra sobre todos os objetos ao seu redor,
e e´ apenas uma situac¸a˜o bastante familiar pois vivemos aqui. Mas essa forc¸a tambe´m aparece entre
o Sol e a Terra, com o Sol mantendoo seu domı´nio sobre a o´rbita da Terra devido ao seu imenso
tamanho. Assim a Terra esta´ para a mac¸a˜ que cai, assim como o Sol esta´ para a Terra.
Ha´ uma clara distinc¸a˜o entre a massa que o corpo possui, pois esta´ lhe e´ inerente. E a atrac¸a˜o
gravitacional existente entre dois objetos. Essa atrac¸a˜o e´ uma forc¸a e no caso da Terra, para todos
os corpos ao seu redor, dizemos que e´ seu peso que e´ definido como: P = mg com m a massa do
objeto e g a acelerac¸a˜o da gravidade. O valor de g, para as situac¸o˜es tratadas nos problemas iniciais,
pode ser considerado constante e igual a 10 m/s2.
92 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA
Assim uma pessoa com 100 kg na Terra tera´ os mesmo 100 kg. No entanto seu peso sera´ bem
diferente pois na Terra sera´ de 1000N enquanto na Lua sera´ de aproximadamente um sexto deste
valor. Por isso que nas imagens da Lua os astronautas conseguem pular e saltar com tanta facilidade.
A Lua exerce sobre uma atrac¸a˜o muito menor.
10.3 Casos especiais
10.3.1 Forc¸a Peso
Simplesmente e´ a atrac¸ao gravitacional que a Terra exerce sobre todos os corpos. Verifica se em-
piricamente que a acelerac¸a˜o da gravidade e´ uma constante, para a maioria das aplicac¸o˜es. Assim a
forc¸a peso e´ vertical, no sentido para baixo e com mo´dulo dado por:
~P = m~g
10.3.2 Forc¸a de Atrito
Aparece do contato entre duas superf´ıcies quaisquer, microscopicamente e´ explicada pelas irregular-
idades na superf´ıcie. E´ definida como uma frac¸a˜o da reac¸a˜o sobre o corpo.
fat ≡ µN
10.3. CASOS ESPECIAIS 93
Exemplo
1. O esquema representa um conjunto de dois blocos A e B de massas mA=1 kg, mB =2 kg; no
plano horizontal ha´ atrito com µ = 0, 3. A forc¸a F = 15 N,fig 10.3.2. Determine:
(a) A intensidade da forc¸a peso de cada bloco
(b) A intensidade da forc¸a de atrito
(c) A acelerac¸a˜ do sistema
(d) A intensidade da forc¸a que A aplica em B
(e) A intensidade da forc¸a que B aplica em A
Figura 10.8: Sistema com dois corpos
1. Soluc¸a˜o
(a) A intensidade da forc¸a peso de cada bloco
Para cada bloco vale P = mg, portanto
PA= mA g =1 10 = 10 N
PB= mB g =2 10 = 20 N
94 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA
2. A intensidade da forc¸a de atrito
FatA= mmA g =0,3 1 10 = 3 N
FatB= mmB g =0,3 2 10 = 6 N
3. A acelerac¸a˜ do sistema
Considere o diagrama de corpo livre
Figura 10.9: Diagrama de corpo livre
Aplicando a segunda lei de Newton.
Corpo A
Na vertical PA −NA = 0 1
Na horizontal F − fat − PA − TBA = mAa 2
Corpo B
Na vertical PB −NB = 0 3
10.3. CASOS ESPECIAIS 95
Na horizontal TAB − fatB = mBa 4
Somando as equac¸o˜es 2 e 4 obte´m-se:
F − fatPA + (TAB − TBA)− fatB = mAa+mBa
F − fatPA − fatB = (mA +mB) a
F − µNA − µNB = (mA +mB) a
F − µmAg − µmBg = (mA +mB) aF − µ (mA −mB) g = (mA +mB) a
Substituindo os valores
15− 0, 3 (1 + 2) 10 = (1 + 2) a
6 = 3a
a = 2m/s2
96 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA
4. A intensidade da forc¸a que A aplica em B
Como TAB = TBA, pois este e´ o par ac¸a˜o e reac¸a˜o e assim podemos fazer TAB = TBA = T
5. A intensidade da forc¸a que A aplica em B
Usando a equac¸a˜o 4
TAB = mBa+ fatB
TAB = mBa+ µNB
TAB = 2 · 2 + 0.3 · 2 · 10
TAB = 10N
6. A intensidade da forc¸a que B aplica em A
Como TAB = TBA enta˜o TBA = 10 N , mas em sentido contra´rio
10.4. SISTEMAS DE MU´LTIPLOS CORPOS 97
10.4 Sistemas de Mu´ltiplos Corpos
A vantagem da aplicac¸a˜o da Lei de Newton em sistemas de mu´ltiplos corpos esta´ na construc¸a˜o do
diagrama do corpo livre. Assim mesmo um sistema contendo inu´meros corpos pode ser resolvido, pro-
duzindo um nu´mero de equac¸o˜es concernentes a cada corpo considerando um sistema de coordenadas
em duas dimenso˜es. Considere a situac¸a˜o dada:
Para os treˆs corpos A, B e C com massas 7 kg e 1 kg e 3 kg respectivamente. Considerando o
fio ideal, adotando g = 10 m/s2 e admitindo um coeficiente de atrito e´ 0,5 para o corpo C e o plano
horizontal.
Figura 10.10: Sistema Inicial
Determine:
1. (a) A acelerac¸a˜o do sistema
(b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios
(c) A intensidade das forc¸as nos blocos
98 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA
1. Soluc¸a˜o
Considere o diagrama de corpo livre
Figura 10.11: diagrama de corpo livre
Aplicando a segunda lei de Newton.
Corpo A
Na vertical PA − T = mAa 1
Corpo B
Na vertical PB −NB = 0 2
Na horizontal T − T ′ = mBa 3
Corpo C
10.4. SISTEMAS DE MU´LTIPLOS CORPOS 99
Na vertical PC −NC = 0 4
Na horizontal T ′ − fat = mCa 5
Somando as equac¸o˜es 1, 3 e 5 obte´m-se:
PA − T + T − T ′ + T ′ − fat = mAa+mBa+mCa
Cancelando os pares de ac¸a˜o e reac¸a˜o:
PA − fat = (mA +mB +mC) a
PA − µNC = (mA +mB +mC) a
(a) Obtendo finalmente para a acelerac¸a˜o do sistema
a =
mAg − µmCg
(mA +mB +mC)
Substituindo os valores
a =
7 · 10− 0, 5 · 3 · 10
(7 + 1 + 3)
=
55
11
= 5m/s2
a = 5m/s2
100 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA
(b) A intensidade da forc¸a que A aplica em B
Usando a equac¸a˜o 1
T = mAa+ PA
T = 7 · 5 + 7 · 10
T = 105N
(c) A intensidade da forc¸a que B aplica em C, usando 3
T ′ = T +mBa
T ′ = 105 + 1 · 5
T ′ = 110N
(d) A intensidade nos blocos, basta usar o lado direito de 1, 3 e 5.
FA = mAa = 7 · 5 = 35N
FB = mBa = 1 · 5 = 5N
FC = mCa = 3 · 5 = 15N
10.5. PLANO INCLINADO SEM ATRITO 101
10.5 Plano Inclinado sem atrito
Para os corpos A e B com massas mA = 3 kg e mB = 7 kg. Considerando o fio ideal, adotando g =
10 m/s2 e aˆngulo de inclinac¸a˜o de 30o . Determine:
Figura 10.12: Sistema Inicial
1. (a) A acelerac¸a˜o do sistema
(b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios
(c) A intensidade das forc¸as nos blocos
Soluc¸a˜o
Considere o diagrama de corpo livre
Aplicando a segunda lei de Newton.
Corpo A
102 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA
Figura 10.13: diagrama de corpo livre
Na vertical PA −NA = 0 1
Na horizontal T = mAa 2
Corpo B
Perceba que o peso de B foi decomposto em duas componentes:
Paralela ao plano inclinado e´ Px
Perpendicular ao plano inclinado e´ Py
De considerac¸o˜es geome´tricas:
Px = Psenα
Py = P cosα
Assim
Em Px Px − T = mBa 3
10.5. PLANO INCLINADO SEM ATRITO 103
Em Py Py −NB = 0 4
Somando as equac¸o˜es 2 e 3 obte´m-se:
Px − T + T = mAa+mBa
Cancelando os pares de ac¸a˜o e reac¸a˜o:
Psenα = (mA +mB) a
Obtendo finalmente
a =
Psenα
(mA +mB)
=
mbsenα
(mA +mB)
g
Substituindo os valores
a =
7sen30
(3 + 7)
10 = 3, 5m/s2
104 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA
10.6 Plano Inclinado com atrito
Para os corpos A e B e C com massas mA = 3 kg e mB = 7 kg. Considerando o fio ideal, coeficiente
de atrito de m =0,5, g = 10 m/s2 e aˆngulo de inclinac¸a˜o de 30o . Determine a acelerac¸a˜o do sistema
Figura 10.14: Sistema Inicial
Soluc¸a˜o
Considere o diagrama de corpo livre
Aplicando a segunda lei de Newton.
Corpo A
Na vertical PA −NA = 0 1
Na horizontal T = mAa 2
Corpo B
Perceba que o peso de B foi decomposto em duas componentes:
Paralela ao plano inclinado e´ Px
Perpendicular ao plano inclinado e´ Py
10.6. PLANO INCLINADO COM ATRITO 105
Figura 10.15: diagrama de corpo livre
De considerac¸o˜es geome´tricas:
Px = Psenα
Py = P cosα
Assim
Em Px Px − T − fat = mBa 3
Em Py Py −NB = 0 4
Somando as equac¸o˜es 2 e 3 obte´m-se:
Cancelando os pares de ac¸a˜o e reac¸a˜o:
Psenα = (mA +mB) a
Comofat = µNB = µP cosα, valor obtido pela equac¸a˜o 4, pode se escrever:
106 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA
Psenα− µP cosα = (mA +mB) a
P (senα− µ cosα) = (mA +mB) a
a =
P (senα− µ cosα)
(mA +mB)
Obtendo finalmente
a =
mbg (senα− µ cosα)
(mA +mB)
Substituindo os valores
a =
mbg (senα− µ cosα)
(mA +mB)
=
7 · 10 (sen30− 0, 5 · cos 30)
(3 + 7)
= 0, 46m/s210.6. PLANO INCLINADO COM ATRITO 107
Exerc´ıcios
1. O esquema representa um conjunto de dois blocos A e B de massas mA=1 kg, mB =2 kg; num
plano horizontal sem atrito. O sistema tem acelerac¸a˜o de 3m/s2, fig. 1. Determine:
Figura 10.16: Problema 1
(a) A intensidade da forc¸a F
(b) A intensidade da forc¸a que A aplica em B
(c) A intensidade da forc¸a que B aplica em A
2. O esquema representa um conjunto de dois blocos A e B de massas mA= 2 kg, mB = 4 kg;
num plano horizontal sem atrito. A forc¸a F = 25N, fig. 2. Determine:
Figura 10.17: Problema 2
(a) O valor da acelerac¸a˜o
108 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA
(b) A intensidade da forc¸a que A aplica em B
(c) A intensidade da forc¸a que B aplica em A
3. Um bloco de 80 kg repousa num plano horizontal, sobre ele e´ aplicado sobre ele uma forc¸a
F na horizontal e para a esquerda. Considerando que o coeficiente de atrito e´ 0,25 e o bloco
acelerado com acelerac¸a˜o de 2,5 m/s2. Qual a intensidade de F? Qual a intensidade da forc¸a
de atrito.
4. Para os treˆs corpos A, B e C com massas 2 kg , 3 kg e 1 kg respectivamente. Desprezando
todos os atritos, considerando o fio ideal e adotando g = 10 m/s2. Determine:
Figura 10.18: 4
(a) A acelerac¸a˜o do sistema
(b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios
10.6. PLANO INCLINADO COM ATRITO 109
(c) A intesidade das forc¸as nos blocos
5. Para o sistema sem atrito, determine:
Figura 10.19: 5
(a) A acelerac¸a˜o dos corpos
(b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios
(c) A inteNsidade das forc¸as nos blocos
Dados: mA=3 kg, mB = 5 kg, mC= 12 kg e F = 150N.
6. Repita o exerc´ıcio anterior considerando agora uma atrito de 0,5 entre cada bloco e o plano
horizontal
7. Para os corpos A e B e C com massas mA = 5 kg e mB = 7 kg. Considerando o fio ideal,
adotando g = 10 m/s2 e aˆngulo de inclinac¸a˜o de 45o . Determine:
(a) A acelerac¸a˜o do sistema
(b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios
110 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA
Figura 10.20: 7
8. Para os corpos A e B e C com massas mA = 4 kg e mB = 4 kg. Considerando o fio ideal,
adotando g = 10 m/s2 e aˆngulo de inclinac¸a˜o de 60o . Determine:
(a) A acelerac¸a˜o do sistema
(b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios
10.6. PLANO INCLINADO COM ATRITO 111
Figura 10.21: 8
112 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA
Cap´ıtulo 11
Lista de Dinaˆmica
11.0.1 Dinaˆmica
Blocos e Fios em superf´ıcie sem atrito
1. O esquema representa um conjunto de dois blocos A e B de massas mA=1 kg, mB =2 kg; num
plano horizontal sem atrito. O sistema tem acelerac¸a˜o de 3m/s2. Determine:
(a) A intensidade da forc¸a F
(b) A intensidade da forc¸a que A aplica em B
(c) A intensidade da forc¸a que B aplica em A
113
114 CAPI´TULO 11. LISTA DE DINAˆMICA
Figura 11.1: Problema 1
2. O esquema representa um conjunto de treˆs blocos A, B e C de massas mA=1 kg, mB =2 kg,
mC=3 kg; num plano horizontal sem atrito. Em A e´ aplicada uma forc¸a de intensidade 12N.
Determine:
Figura 11.2: Problema 2
(a) A acelerac¸a˜o do sistema
(b) A intensidade da forc¸a que A aplica em B
(c) A intensidade da forc¸a que C aplica em B
3. O conjunto de dois blocos A e B de massas mA=2 kg, mB =4 kg; esta˜o ligados por um fio ideal
e apoiados num plano horizontal sem atrito. O sistema e´ submetido a uma forc¸a de intensidade
de 12N Determine:
(a) A acelerac¸a˜o do sistema
115
Figura 11.3: Problema 3
(b) A intensidade da forc¸a nos blocos
(c) A intensidade da forc¸a no fio
4. Para o sistema, dados: mA=3 kg, mB = 5 kg, mC= 12 kg e F = 10N, determine:
Figura 11.4: Problema 4
(a) A acelerac¸a˜o dos corpos
(b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios
(c) A intesidade das forc¸as nos blocos
5. Para os dois corpos A e B com massas 3 kg e 7 kg respectivamente. Desprezando todos os
atritos, considerando o fio ideal e adotando g = 10 m/s2. Determine:
(a) A acelerac¸a˜o do sistema
116 CAPI´TULO 11. LISTA DE DINAˆMICA
Figura 11.5: Problema 5
(b) A intensidade da forc¸a de trac¸a˜o no fio
(c) A intesidade das forc¸as nos blocos
6. No exerc´ıcio anterior inverta os valores de massa de A e B e recalcule os itens pedidos. Aparecem
diferenc¸as? Justifique.
7. Para o sistema, dados: mA=2 kg, mB = 3 kg, mC= 5 kg e g = 10m/s2., determine:
(a) A acelerac¸a˜o dos corpos
(b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios
(c) A intensidade das forc¸as nos blocos
8. Para os treˆs corpos A, B e C com massas 2 kg , 3 kg e 1 kg respectivamente. Desprezando
todos os atritos, considerando o fio ideal e adotando g = 10 m/s2. Determine:
117
Figura 11.6: Problema 7
Figura 11.7: Problema 12.10
118 CAPI´TULO 11. LISTA DE DINAˆMICA
(a) A acelerac¸a˜o do sistema
(b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios
(c) A intesidade das forc¸as nos blocos
9. O bloco de 80 kg repousa num plano horizontal, sobre ele e´ aplicado sobre ele uma forc¸a F
como indicado. Considerando que o coeficiente de atrito e´ 0,25 e o bloco esta´ acelerado com
acelerac¸a˜o de 2,5 m/s2. Qual a intensidade de F?
Figura 11.8: Problema 9
10. O esquema representa um conjunto de dois blocos A e B de massas mA = 5 kg, mB = 5 kg. O
coeficiente de atrito entre os blocos e a superf´ıcie e´ 0,20. E´ aplicada uma forc¸a F de intensidade
40 N. Determine:
Figura 11.9: Problema 10
119
(a) A acelerac¸a˜o do sistema
(b) A intensidade da forc¸a que A aplica em B
(c) A intensidade da forc¸a que B aplica em A
(d) O valor da forc¸a de atrito em cada bloco
Figura 11.10: Problema 10
11. Dois corpos A e B de massas 3,0 kg e 6,0 kg, respectivamente, esta˜o ligados por um fio ideal
que passa por uma polia, sem atrito. Entre o corpo A e o apoio o coeficiente de atrito e´ de 0,5.
Determine:
(a) A acelerac¸a˜o dos corpos
(b) A intensidade da forc¸a de trac¸a˜o no fio
(c) A intensidade da resultante em cada bloco
12. Para os dois corpos A e B com massas 3 kg e 7 kg respectivamente. Considerando o fio ideal,
adotando g = 10 m/s2 e admitindo um coeficiente de atrito e´ 0,1. Determine:
(a) A acelerac¸a˜o do sistema
120 CAPI´TULO 11. LISTA DE DINAˆMICA
Figura 11.11: Problema 11
Figura 11.12: Problema 12
121
(b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios
(c) As intesidades das forc¸as nos blocos
13. Um corpo esta´ na imineˆncia de escorregar sobre um plano inclinado de um aˆngulo b com a
horizontal. Mostre, que nessas condic¸o˜es tgb = m, onde m e´ o coeficiente de atrito esta´tico
entre o bloco e o plano inclinado.
14. No sistema os corpos A e B tem massa de 4,0 kg e 8,0 kg respectivamente. Considerando o
atrito entre o corpo A e a superf´ıcie igual a 0,15 e a polia e o fio ideias. Calcule:
Figura 11.13: Problema 14
(a) A acelerac¸a˜o do sistema
(b) A intensidade da forc¸a sobre o corpo A
(c) A intensidade da forc¸a sobre o corpo B
122 CAPI´TULO 11. LISTA DE DINAˆMICA
Figura 11.14: Problema 15
15. No sistema a massa do corpo A e´ 5kg o coeficiente de atrito entre o corpo A e a superf´ıcie e´
0,25. Para uma acelerac¸a˜o do sistema igual a 3 m/s2. Determine:
(a) A massa do corpo B
(b) A trac¸a˜o no fio
(c) A reac¸a˜o do plano sobre o corpo A
(d) O valor da forc¸a de atrito
16. Dois corpos A e B de massas 5,0 kg e 10,0 kg, respectivamente, esta˜o ligados por um fio ideal
que passa por uma polia, sem atrito. Entre o corpo A e o apoio o coeficiente de atrito e´ de 0,5.
Determine:
(a) A acelerac¸a˜o dos corpos
(b) A trac¸a˜o no fio
123
Figura 11.15: Problema 16
(c) A reac¸a˜o do plano sobre o corpo A
17. No sistema e´ aplicada uma forc¸a horizontal F, o coeficiente de atrito vale 0,25 e o bloco tem
massa de 2kg. Calcular:
Figura 11.16: Problema 17
(a) O valor de F para o bloco subir com acelerac¸a˜o igual a 1 m/s2.124 CAPI´TULO 11. LISTA DE DINAˆMICA
(b) A reac¸a˜o do plano sobre o bloco
(c) O valor de F para o bloco descer com acelerac¸a˜o igual a 1 m/s2.
(d) A reac¸a˜o do plano sobre o bloco
18. No sistema o coeficiente de atrito vale 0,2 os fios e a polia sa˜o ideais; as massas de A e B sa˜o
7kg e 2 kg. Calcular:
Figura 11.17: Problema 18
(a) O valor de F para o bloco subir com acelerac¸a˜o igual a 1 m/s2.
(b) A reac¸a˜o do plano sobre o bloco
(c) O valor da forc¸a de atrito
(d) O valor de F para o bloco descer com acelerac¸a˜o igual a 1 m/s2.
19. Para os treˆs corpos A, B e C com massas 5 kg , 4 kg e 1 kg respectivamente. Desprezando
todos os atritos, considerando o fio ideal e adotando g = 10 m/s2. Determine:
125
Figura 11.18: Problema 19
(a) A acelerac¸a˜o do sistema
(b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o no fio
(c) A intensidade das forc¸as nos blocos
20. No sistema abaixo, calcular :
(a) O valor da forc¸a de atrito para manter o bloco 1 preso atrave´s do bloco 2
(b) A trac¸a˜o no fio nesta situac¸a˜o o esforc¸o na parede na a´rea de contato
126 CAPI´TULO 11. LISTA DE DINAˆMICA
Figura 11.19: Problema 20
Cap´ıtulo 12
Energia
12.1 Trabalho de uma forc¸a
12.1.1 Definic¸a˜o
O trabalho e´ definido por:
∆U ≡ Fx ·∆s = F ·∆s · cos θ
com
∆U o trabalho realizado
F a forc¸a aplicada
Fx a forc¸a aplicada no sentido do movimento
127
128 CAPI´TULO 12. ENERGIA
Figura 12.1: Trabalho
12.2. UNIDADE 129
∆s o deslocamento do corpo
q aˆngulo entre a forc¸a aplicada e o deslocamento do mo´vel.
A figura expo˜e a situac¸a˜o mais geral, quando uma forc¸a aplicada faz o objeto se movimentar
numa determinada direc¸a˜o.
A situac¸a˜o mais simples ocorre quando a forc¸a aplicada e´ paralela ao deslocamento do corpo.
Assim q = 0 e tem se:
∆U ≡ F ·∆s · cos (0)
∆U = F ·∆s
E´ muito importante estabelecer corretamente o sentido dessas treˆs grandezas: o sentido do deslo-
camento, o sentido da forc¸a, e o aˆngulo entre a forc¸a aplicada e o deslocamento ocorrido.
Uma situac¸a˜o interessante e´ quando a forc¸a e´ aplicada perpendicularmente ao deslocamento, neste
caso q = 90o . Usando a definic¸a˜o:
∆U ≡ F ·∆s · cos (90)
∆U = F ·∆s · 0
∆U = 0J
Assim quando uma forc¸a e´ aplicada perpendicularmente ao deslocamento ela na˜o realiza trabalho,
independente do deslocamento ou do valor da intensidade da forc¸a aplicada.
12.2 Unidade
Como qualquer grandeza f´ısica, o trabalho tambe´m possui unidade. Ela e´ derivada das grandezas
que esta˜o envolvidas na sua definic¸a˜o. Ou seja a unidade de trabalho e´ o produto das unidades de
130 CAPI´TULO 12. ENERGIA
forc¸a e distaˆncia. Lembrar que o aˆngulo tem unidade, mas o cosseno e´ um nu´mero adimensional.
Normalmente escreve se no sistema internacional:
[∆[U ] = [F ].[∆s]
[∆[U ] = N.m
Essa nova unidade Nm foi batizada de Joule, em homenagem a James Prescout Joule.
Trocando em miu´dos, quando algue´m aplica uma forc¸a de 1 Newton, paralalelamente, ao movi-
mento de um corpo que por isso se desloca 1m, essa pessoa realizou um trabalho de 1 Joule.
12.3 Gra´fico
E´ comum o levantamento de um gra´fico de forc¸a por deslocamento, como o indicado:
Neste gra´fico esta´ indicado o que ocorre com a forc¸a aplicada durante o deslocamento de um bloco
que sai da posic¸a˜o original e se desloca por 3 m.
O trabalho aplicado pode ser calculado simplesmente calculando a a´rea abaixo da curva.
12.4 Me´todo de Ana´lise
Etapa 1 Leia o enunciado com atenc¸a˜o
Etapa 2 Entenda a situac¸a˜o exposta
Etapa 3 Identifique:
A forc¸a presente
O deslocamento ocorrido
Etapa 4 Determine o aˆngulo entre a forc¸a presente e o deslocamento ocorrido
12.5. APLICAC¸A˜O 1 131
Etapa 5 Aplique a definic¸a˜o do trabalho
12.5 Aplicac¸a˜o 1
Uma forc¸a F aplicada a uma caixa, com q sendo 60o e intensidade de 100N, desloca a por uma
distaˆncia de 5m. Qual o trabalho realizado?
Figura 12.2: Trabalho
Esse exemplo e´ uma aplicac¸a˜o direta da definic¸a˜o de trabalho. Antes de qualquer coisa e´ necessa´rio
estabelecer as treˆs grandezas envolvidas: as forc¸as aplicadas na caixa, o aˆngulo em relac¸a˜o ao deslo-
camento de cada uma das forc¸as, e a distaˆncia percorrida.
Estabelecendo o diagrama de corpo livre para a situac¸a˜o:
Primeiro a forc¸a aplicada F foi substitu´ıda pelas suas componentes horizontais e verticais, pela
trigonometria temos que:
132 CAPI´TULO 12. ENERGIA
Figura 12.3: Trabalho
Fx = Fcos(60o ) = 100 *.5 = 50 N
Fy= Fsin(60o) = 100 *.86 = 86 N
So´ com ilustrac¸a˜o vamos calcular o trabalho de cada uma dessas componentes :
Trabalho de Fx
A intensidade e´ igual a 50 N, Fx = 50 N
O aˆngulo entre Fx e o deslocamento e´ igual a 0o , pois sa˜o paralelos. q = 0o
O deslocamento e´ igual a 5m. Ds=5m
Aplicando a definic¸a˜o de trabalho:
∆U ≡ Fx ·∆s · cos (0)
∆U = 50 · 5 · 1 = 250J
Ou seja o trabalho realizado na horizontal e´ de 250J.
12.5. APLICAC¸A˜O 1 133
Trabalho de Fy
A intensidade e´ igual a 86 N, Fx = 86N
O aˆngulo entre Fy e o deslocamento e´ igual a 90o , pois sa˜o perpendiculares. q = 90o
O deslocamento e´ igual a 0m, pois a caixa permanece em contato com a base. Ds=0m
Aplicando a definic¸a˜o de trabalho:
∆U ≡ Fy ·∆s · cos (90)
∆U = 86 · 0 · 0 = 0J
Ou seja o trabalho realizado na horizontal e´ de 250J.
Assim o resultado e´ que na situac¸a˜o dada o trabalho realizado e´ de 250J.
Esse resultado poderia ser obtido diretamente, sem a decomposic¸a˜o da forc¸a aplicada, neste caso,
ter´ıamos:
Trabalho de F
A intensidade e´ igual a 100 N, Fx = 100N
O aˆngulo entre Fy e o deslocamento e´ igual a 60o,conforme o esquema. q = 60o
O deslocamento e´ igual a 5m, pois a caixa permanece em contato com a base. Ds=5m
Aplicando a definic¸a˜o de trabalho:
∆U ≡ F ·∆s · cos (60)
∆U = 100 · 5 · 0.5 = 250J
Que, obviamente, e´ o valor obtido anteriormente. Qualquer das duas formas de soluc¸a˜o e´ poss´ıvel.
134 CAPI´TULO 12. ENERGIA
12.6 Aplicac¸a˜o 2
Considere uma caixa de 10 kg e deslocando se sobre a mesa na horizontal, o coeficiente de atrito
entre a mesa e o bloco vale 0,4. Devido a forc¸a F aplicada, a caixa tem uma acelerac¸a˜o de 1m/s2.
Calcule :
Figura 12.4: Trabalho Aplicac¸a˜o 2
1. A intensidade da forc¸a de atrito
2. A intensidade da forc¸a F
3. O trabalho da forc¸a de atrito
4. O trabalho realizado pela forc¸a F
5. O trabalho total
12.6. APLICAC¸A˜O 2 135
Figura 12.5: Trabalho
Da mesma forma que na situac¸a˜o anterior devemos determinar primeiro as treˆs grandezas envolvidas:
as forc¸as aplicadas na caixa, o aˆngulo em relac¸a˜o ao deslocamento de cada uma das forc¸as, e a
distaˆncia
percorrida. Mas para fazer isso primeiro devemos estabelecer escrever as leis de Newton para o
sistema, determinando assim as forc¸as aplicadas.
Estabelecendo o diagrama de corpo livre para a situac¸a˜o:
Aplicando a 2a lei de Newton para as direc¸o˜es vertical e horizontal, obtemos:
Na horizontal Fx − fat = ma
Na vertical Fy +N − P = 0
Cada um dos termos pode ser substitu´ıdo por:
136 CAPI´TULO 12. ENERGIA
Figura 12.6: Trabalho
Fx = F cos (θ)
Fy = Fsen (θ)
fat = µN
P = mg
Assim as equac¸o˜es sa˜o escritas como:
F cos (θ)− µN = ma
Fsen (θ) +N = mg
Determinac¸a˜o da forc¸a de atrito
12.6. APLICAC¸A˜O 2 137
Para determinar a forc¸a de atrito e´ necessa´rio calcular a reac¸a˜o N. As duas equac¸o˜es acima ficam:
F cos (θ) sin (θ)− µNsin (θ) = masin (θ)
Fsen (θ) cos (θ) +N cos (θ) = mg cos (θ)
Subtraindo a primeira equac¸a˜o da segunda, teremos:
F cos (θ) sin (θ)− µNsin (θ) = masin (θ)
N (cos (θ) + µsin (θ)) = m (g cos (θ) + asin (θ))
N =
m (g cos (θ) + asin (θ))
cos (θ) + µsin (θ)
E enta˜o a forc¸a de atrito sera´ dada por:
fat = µN = µ
m (g cos (θ) + asin (θ))
cos (θ) + µsin (θ)
fat = µ
m (g cos (θ) + asin (θ))
cos