CÁLCULO II AV2 97 questões

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CÁLCULO II AVALIANDO APRENDIZADO 
 
 1a Questão 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k 
 
 i - j + k 
 k 
 
j 
 
j - k 
 
j + k 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 3t2 i + 2t j 
 
- 3t2 i + 2t j 
 0 
 
t2 i + 2 j 
 
 2t j 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. 
 
 6ti+j 
 
6ti -2j 
 
ti+2j 
 6ti+2j 
 
6i+2j 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
 
 2sent i - cost j + t2 k + C 
 
2senti + cost j - t2 k + C 
 
πsenti - cost j + t2 k + C 
 
sent i - t2 k + C 
 -cost j + t
2 k + C 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta. 
 
 
(0, 1,-2) 
 
(0,-1,-1) 
 (0,-1,2) 
 
(0,0,0) 
 
(0,0,2) 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t 
 
 
 
 
Romanos 3:23 
 Porque todos pecaram e destituídos estão da glória de 
Deus; 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
Calcule o limite de: 
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
 
 
12 
 11 
 
-12 
 
5 
 - 11 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt, 
qual a resposta correta? 
 
 
(cost)i + 3tj 
 (cost)i - sentj + 3tk 
 (sent)i + t³j 
 
(cost)i - 3tj 
 
-(sent)i -3tj 
 
 
 9a Questão 
 
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j 
 
 v(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 v(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j 
 v(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j 
 v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 v(t)=sen(2t)i+cos(2t)j 
 
 
Romanos 5:12 
 Portanto, como por um homem entrou o pecado no 
mundo, e pelo pecado a morte, assim também a morte 
passou a todos os homens por isso que todos pecaram. 
 
 
 
 
 
 10a Questão 
 
Calcule a integral da função vetorial: 
[∫01dt1-t2]i+[∫01dt1+t2]j+[∫01dt]k 
 
 
 3π2 +1 
 3π4+1 
 π2+1 
 π 
 π4+1 
 
 
 11a Questão 
 
Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt, 
qual a resposta correta? 
 
 (cost)i-(sent)j+3tk 
 
-(sent)i-3tj 
 (sent)i + t4j 
 
(cost)i+3tj 
 (cost)i-3tj 
 
 12a Questão 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + te-tj + (sentt)k 
 
 
 i + k 
 
i + j + k 
 
i + j 
 
i + j - k 
 j + k 
 
 
 13a Questão 
 
Sendo f(x,y,z)=exyz encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a cada 
variável no ponto P(1,0,1). 
 
 
 
0 
 
e 
 
3e 
 1 
 2e 
 
 14a Questão 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única resposta correta. 
 
 (sent,-cost,2t) 
 (sect,-cost,1) 
 (sent,-cost,1) 
 (-sent, cost,1) 
 (sent,-cost,0) 
 
 
 15a Questão 
 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre 
 (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z) 
 
 
(1x)+(1y)+(1z) 
 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 
 
 1x+1y+1z +3cos(y+2z) 
 
 
 1x+1y+1z +1cos(y+2z) 
 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 
 
 
 
 
 
 16a Questão 
 
Encontre o vetor aceleração da partícula de posição: 
r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)k no instante t=ln3. 
 
 a(t)=3i +89j-6k 
 a(t)=e3i +2e3j-4e3k 
 a(t)=(e3)i+29(e3)j-2(e3)k 
 a(t)=3i+8j-6k 
 a(t)=e3i +29e3j-2e3k 
 
 
 
 17a Questão 
 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 (cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 (cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 
 
 18a Questão 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta. 
 
 (1 +cost,sent,0) 
 (1-cost,sent,0) 
 (1-sent,sent,0) 
 (1-cost,0,0) 
 (1-cost,sent,1) 
 
 
 
 19a Questão 
 
Marque dentre as opções abaixo a que representa uma equação polar do círculo x2 + (y - 3)2 = 
9 
 
 r = sen Θ 
 
r = 2 sen Θ 
 r = sen Θ + cos Θ 
 
r = 2 cos Θ 
 
 
 20a Questão 
 
Seja r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de 
uma curva lisa no plano. 
Considere as afirmações. Assinale (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas: 
1) ( ) Quando uma partícula se move durante um intervalo de tempo I, as 
coordenadas da partícula são x(t),y(t),z(t). Os pontosP(x(t),y(t),z(t)) formam uma curva 
que é a trajetória da partícula. 
 2) ( ) A velocidade é a derivada da posição,isto é: 
 v(t) =r'(t) = dr(t)dt 
3) ( ) O módulo da velocidade ou a magnitude da velocidade é igual a 
 |v(t)|= (dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2. 
4) ( ) A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja 
a(t) = v'(t)= dv(t)dt 
5) ( ) O vetor unitário ou versor v(t)|v(t)| é a direção do movimento no instante t. 
6) ( ) r(t)é lisa se for contínua e nunca 0. 
 
 
 
1) (V) 2)(F) 3) (F) 4)(V) 5) (F) 
 6) (V) 
 1) (V) 2)(V) 3) (V) 4)(V) 5) (V) 6) 
(F) 
 
1) (V) 2)(V) 3) (F) 4)) (V) 
5)(V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (V) 4) (V) 5) 
(V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (V) 4)(V) 5) 
(V) 6) (V) 
 
 
 
 
 
Como está escrito: Não há um justo, nem um sequer. 
Não há ninguém que entenda; Não há ninguém que busque a Deus. 
Romanos 3:10,11 
 
 
 
 21a Questão 
 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 z=-8x+12y-18 
 z=8x - 10y -30 
 z=-8x+10y-10 
 z=-8x+12y -14 
 z=8x-12y+18 
 
 22a Questão 
 
Determine a equação do plano tangente à esfera x²+y²+z²=50 no ponto P(3,4,5). 
 
 3x-4y+5z=18 
 6x+8y+10z=100 
 
 3x+4y+5z=0 
 3x+4y -5z=0 
 6x+8y-5z=0 
 
 
 23a Questão 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação 
polar r=42cosΘ-senΘ 
 
 
y = x - 4 
 
y = x + 1 
 y = 2x - 4 
 
y = x 
 y = x + 6 
 
 
 
 
 
 24a Questão 
 
Calcule a velocidade de uma partícula com vetor de posição r(t) = (t2, et, tet). Indique a única 
resposta correta. 
 
 (2t,et,(1 - t)et) 
 (t,et,(1+t)et) 
 (t,et,(2+t)et) 
 (2,et,(1+t)et)(2t,et,(1+t)et) 
 
 25a Questão 
 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = ti + (ln cos t)j para -π2<t<π2 
 
 
sen t 
 cos t 
 sen t + cos t 
 
tg t 
 
tg t - sen t 
 
 
 26a Questão 
 
Encontre a curvatura para r(t)=(lnsect)i+tj para -π2<t<π2 
 
 cos t 
 
ln t 
 tg t 
 
sen t 
 
ln t + sen t 
 
 
 27a Questão 
 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k 
 
 (-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j + k 
 (-sen t)i + (cos t)j 
 
 
 
 
 
 28a Questão 
 
 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais 
contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e x,ye z são funções de outra 
variável t 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz - se que dwdt é a derivada total de w com relação a t e representa a taxa de 
variação de w à medida que t varia. 
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et, y=e-t, z= e2t, calcule dwdt sendo t=0 
 
 
12 
 
8 
 
10 
 18 
 
20 
 
 
 29a Questão 
 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 
0 
 
 
1/t + sen t 
 1/t 
 
sen t 
 
cos t 
 1/t + sen t + cos t 
 
 
 30a Questão 
 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z) encontre 2∂f∂x+2∂f∂y-∂f∂z 
 
 cos(y+2z)-sen(x+2z) 
 
cos(y+2z)+(1x)+(1y)+(1z)-sen(x+2z) 
 
 (1x+1y+1z) 
 2(xz+yz-xy)xyz 
 
 
 31a Questão 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é: 
 
 2i - j + π24k 
 i - j - π24k 
 2i + j + π24k 
 2i + j + (π2)k 
 i+j- π2 k 
 
 32a Questão 
Dada a curva plana r(t)=(lnt)i+tj+(et-1)k encontre a soma e o produto do vetor tangente 
unitário T pelo versor normal N, considerando t=1. 
 
 s=((13)-(12))i+((13)+(12))j+((13)+(12))k e p=0. 
 
 s=((13)-(12))i+(13)j+((13)+(12))k e p=1. 
 s=1e p=0. 
 s=((12)-(13))i+(13)j+((12)+(13))k e p=0. 
 
 s=((13)-(12))i+(13)j+((13)+(12))k e p=0. 
 33a Questão 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 i + j + k 
 i + j - k 
 
j - k 
 
i - j - k 
 
- i + j - k 
 
 
Romanos 5:8 
 Mas Deus prova o seu amor para conosco, em que Cristo morreu 
por nós, sendo nós ainda pecadores. 
 
 
 
 34a Questão 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
 
 35a Questão 
Os simétricos de P = (3,-7,-4) em relação aos planos yz e xz são, respectivamente: 
 
 (3,-7,4) e (3,7,-4) 
 (3,-7,-4) e (3,-7,-4) 
 (3,-7,4) e (3,-7,-4) 
 (-3,-7,-4) e (3,-7,-4) 
 (-3,-7,-4) e (3,7,-4) 
 
 36a Questão 
 
 
0 
 12 
 1 
 
3 
 
6 
 
 
 37a Questão 
Encontrar (r,θ), supondo r < 0 e 0 <= θ < 2Pi para o ponto P, cujas coordenadas 
cartesianas são (sqrt3,-1). Dado: tg (pi/3) = Sqrt(3) 
 
 
θ = 7Pi/6 
 
θ = Pi/6 
 θ = 11Pi/6 
 
θ = 3Pi/2 
 θ = 5Pi/6 
 
Disse-lhe Jesus: Eu sou o caminho, e a verdade e a vida; ninguém 
vem ao Pai, senão por mim. 
João 14:6 
 
 
 38a Questão 
Encontre o vetor aceleração da partícula de posição: 
r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)k no instante t=ln3. 
 
 a(t)=e3i +2e3j-4e3k 
 a(t)=3i +89j-6k 
 a(t)=(e3)i+29(e3)j-2(e3)k 
 a(t)=e3i +29e3j-2e3k 
 a(t)=3i+8j-6k 
 
 39a Questão 
Encontre ∂f∂x e ∂f∂y para a função f(x,y)=x+yxy-1 
 
 ∂f∂x=-y2+1(xy-1) e ∂f∂y=-x2-1(xy+1) 
 ∂f∂x=-y2-1(xy-1)2 e ∂f∂y=-x2-1(xy-1)2 
 ∂f∂x=-y2-1(xy-1) e ∂f∂y=-x2-1(xy-1) 
 ∂f∂x=-y-1(xy-1)2 e ∂f∂y=-x-1(xy-1)2 
 ∂f∂x=-y3(xy-1)2 e ∂f∂y=-x3(xy-1)2 
 
 
 40a Questão 
Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, a≤t≤b é 
dada pela fórmula 
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt , 
encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -(6t3)k , 1≤t≤2. 
 
 
7u.c. 
 
14u.c. 
 
 49u.c. 
 
 21u.c. 
 
 28u.c. 
 
 
 
 41a Questão 
A equação de Laplace tridimensional é : 
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. 
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² 
 Identifique as funções harmônicas: 
 
 
1,2,5 
 
1,2,4 
 1,3,4 
 
1,3,5 
 
1,2,3 
 
 42a Questão 
Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx 
 
 
10 
 
20 
 
16 
 
1 
 
2 
 
 
 
 43a Questão 
Calcule ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy 
 
 
π 
 π2 
 
1 
 2π 
 
2 
 
 
 
 44a Questão 
Calcule ∫14∫0x32eyxdydx 
 
 
e-1 
 
7 
 
e7 
 7e 
 7e-7 
 
 
 
 45a Questão 
Integre f(x, y, z) = x - 3. y2 + z sobre C1 ⋃ C2, sendo que o caminho C1 vai de (0,0,0) 
até (1,1,0) e o caminho C2 vai de (1,1,0) até (1,1,1). 
Dados: C1: r(t) = ti + tj, 0 ≤ t ≤ 1 e C2: r(t) = i + j + tk, 0 ≤ t ≤ 1. 
 
 
- 4,207 
 - 3,207 
 - 2,207 
 
- 1,207 
 
- 5,207 
 
 
 
 46a Questão 
Calcule a integral dupla a seguir: ∫12 ∫y3y (x + y)dxdy 
 
 
13 
 
15 
 14 
 
16 
 12 
 
Eu sou a porta; se alguém entrar por mim, salvar-se-á, e entrará, e 
sairá, e achará pastagens. 
O ladrão não vem senão a roubar, a matar, e a destruir; eu vim para 
que tenham vida, e a tenham com abundância. 
Eu sou o bom Pastor; o bom Pastor dá a sua vida pelas ovelhas. 
João 10:9-11 
 
 
 
 47a Questão 
Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo C o triângulo 
limitado por x=0; y=0 e y=1-x. 
 
 13 
 0 
 14 
 12 
 15 
 
48a Questão 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r2 = 
4r cosΘ 
 
 
(x - 4)2 + y2 = 2 
 (x - 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 2)2 + y2 = 10 
 
(x + 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 2)2 + (y + 4)2 = 4 
 
49a Questão 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z) 
 1x+1y+1z +1cos(y+2z) 
 (1x)+(1y)+(1z) 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 1x+1y+1z +3cos(y+2z) 
 
50a Questão 
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = ∫ ∫ (xy + x2)dxdy, onde R = [0.1] x [0,1]. 
 
14(u.v.) 
 7/12 (u.v.) 
 
36(u.v.) 
 
23(u.v.) 
 5(u.v.) 
 
51a Questão 
1) Verdadeiro ou falso? 
 A = (-2,3,5) e B = (2,3,5) são simétricos em relação ao plano xy. 
 A = (-1,-2,-3) e B = (-1,3,3) são simétricos em relação ao plano xy 
 A = (-1,3,5) e B = (-1,3,-5) são simétricos em relação ao plano xy. 
 A = (-1,-2,-3) e B = (-1,2,-3) são simétricos em relação ao plano xy 
 A = (-1,-5,5) e B = (-1,5,5) são simétricos em relação ao plano xy. 
 
 
 52a Questão 
Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela 
equação f(x,y) = e(x+2y) dxdy, para os intervalos 
R= [0,1]x[0,3]. 
 
 
1/2(e-1) 
 
1/2(e6-1) 
 
-1/2(e-1)(e6-1) 
 
(e-1)(e6-1) 
 1/2(e-1)(e6-1) 
 
 53a Questão 
Os simétricos de P = (3,-7,-4) em relação aos planos yz e xz são, respectivamente: 
 
 
(-3,-7,-4) e (3,-7,-4) 
 (3,-7,-4) e (3,-7,-4) 
 (-3,-7,-4)e (3,7,-4) 
 
(3,-7,4) e (3,7,-4) 
 
(3,-7,4) e (3,-7,-4) 
 
 54a Questão 
Considere as seguintes afirmações: 
1)O cálculo de uma integral tripla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de seis 
maneiras diferentes. 
2)O cálculo de uma integral dupla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de quatro 
maneiras diferentes. 
 3)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo se duas ( ou três ) 
integrais simples, de diferentes maneiras, segundo o sistema de coordenadas considerado. 
 4)A ordem de integração de integrais duplas ou triplas é arbitrário. 
 5)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo de duas ( ou três ) 
integrais simples, sempre da mesma forma. 
 As seguintes afirmações são verdadeiras: 
 
 
 1,3,4 
 
2,3,4 
 
2,4,5 
 1,2,3 
 
 55a Questão 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular 
constante w tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta 
correta que determina a acelaração em um tempo t qualquer. Observação: a > 0. 
 
 aw2coswt i + aw2senwtj 
 aw2coswt i - aw2senwtj 
 -aw2coswt i - awsenwtj 
 -w2coswt i - w2senwtj 
 -aw2coswt i - aw2senwt j 
 
 56a Questão 
Encontre o divergente de F(x, y) = (x2 - y)i + (x.y - y2)j. 
 
 
3x + 2y 
 3x - 2y 
 2x - 3y 
 
- 3x + 2y 
 
- 3x - 2y 
 
 57a Questão 
Resolva a integral ∫01∫y1x2exydxdy invertando a ordem de integração 
 
 
2e+24 
 e-22 
 
2e-22 
 
e-24 
 2e+22 
 
58a Questão 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r2 = 
4r cosΘ 
 
 
(x - 4)2 + y2 = 2 
 (x - 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 2)2 + y2 = 10 
 
(x + 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 2)2 + (y + 4)2 = 4 
 
59a
 Questão 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z) 
 1x+1y+1z +1cos(y+2z) 
 (1x)+(1y)+(1z) 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 1x+1y+1z +3cos(y+2z) 
 
 
 
60a Questão 
A derivada direcional permite calcular a taxa de variação de uma 
função fem um ponto P na direção de um versor u; é igual ao produto 
escalar do vetor gradiente de f (∇f) e o versor u. 
Encontre a derivada direcional da 
função f(x,y,z)=cos(xy)+eyz+lnxzem P(1,0,12) na direção do 
vetor v=i+2j+2k. 
 
 2 
 
 
 
61a Questão 
 
Encontre a derivada direcional de f(x,y) = x.e^y + cos(xy) no ponto 
(2,0) na direção de v = 3i 4j usando o gradiente. 
 
 1 
 
 
62a Questão 
Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt. 
 
 0,25i+7j-1,5k 
 
 
63a Questão 
 
Encontre a derivada de f(x,y,z) = x3 x. 
y2 z em Po = (1,1,0) na direção de v = 2i 3j + 6 k. 
 
 4/7 
 
64a Questão 
 
Considere as afirmações. Assinale (V) ou (F), conforme sejam 
verdadeiras ou falsas: 
a) ( ) Se u é uma função vetorial derivável de t e f é uma função 
escalar derivável de t, então d(f.u)dt=u.dfdt+f.dudt 
b) ( ) Se r(t) é o vetor posição de uma partícula que se move a longo 
de uma curva então,em qualquer instante t , v(t)=drdt é o vetor 
velocidade da partícula. 
c) ( ) Aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao 
tempo. 
d) ( ) O versor do movimento é um vetor unitário. 
e) ( ) O vetor r(t)=(cos2t)i+(sen2t)j dá a posição de uma partícula no 
instante t que se move no sentido antihorário 
sobre o círculo de raio 
= a 2 ,centrado na origem. 
f) ( ) A norma de um vetor v= xi + yj + zk no espaço é dada por 
(x² + y² + z² ) . 
g) ( ) A derivada do produto escalar de funções vetoriais é zero. 
h) ( ) As regras para derivação de funções vetoriais não têm a mesma 
forma que as regras para a derivação de funções escalares. 
i) ( ) O gráfico da trajetória da partícula onde o vetor posição é dado 
por r(t)=costi+sentj é um círculo de raio igual a 1. 
j) ( ) O produto escalar de dois vetores ortogonais é igual a 
1. 
 
 a) (V) b) (V) c) (F) d) (V) e) (F) f) (F) g) (V) h) (F) i) (V) j) (F) 
 
 
 65a Questão (Ref.: 201308234620) 
 
 
Calcule o limite da seguinte função vetorial: 
 
limt→∞[(1+3t)t i+(lntt) j+(5t3+t2t3-1) k] 
 
 e3 i + 5k 
 3i+j+5k 
 3i+5k 
 e3 i+j 
 e3i+j+5k 
 
 66a Questão (Ref.: 201308234584) 
 
 
Sendo f(x,y,z)=exyz encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a cada variável 
no pontoP(1,0,1). 
 
 
 2e 
 e 
 1 
 0 
 3e 
 
 
 
 67a Questão (Ref.: 201308238342) Pontos: 0,1 / 0,1 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i 
+ (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 
4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
 
 
1 
 
9 
 
14 
 
2 
 3 
 
 
 68a Questão (Ref.: 201308233608) 
 
Calcule a integral: 
A=12∫0πr²dr e indique a única resposta correta. 
 
 0 
 π²3 
 π³6 
 -π 
 2π 
 
 
 
 69a Questão (Ref.: 201308771989) 
Calcule a derivada parcial de segunda ordem da função: f(x,y) = 2.x2 + y2. 
 
 
fxx= 0, fxy = 0, fyx = 4, fyy = 2 
 
fxx = 0, fxy = 0, fyx = 2, fyy = 4 
 
fxx = 2, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 4 
 fxx = 4, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 2 
 
fxx = 2, fxy = 4, fyx = 0, fyy = 0 
 
 
 
 70a Questão (Ref.: 201308238859) 
Seja a função w = ln (2x + 3y), encontre ∂2w∂y∂x 
 
 -6x-y(2x+3y)2 
 -62x+3y 
 (2x+3y)2 
 -6(2x+3y)3 
 -6(2x+3y)2 
 
 
 71a Questão (Ref.: 201308238908) 
Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2 
 
 
1/2 
 
3 
 
1 
 9/2 
 
5/6 
 
 72a Questão (Ref.: 201308235099) 
 Encontre o comprimento da curva dada pela função vetorial r(t)=6t3i-2t3j-3t3k, 
considerando 1≤t≤2. 
 
 49 
 
14 
 
7 
 21 
 
28 
 
 
73a Questão (Ref.: 201308771949) 
Encontre dwdt se: w = x.y + z, 
x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da derivada em t = 0? 
 
 
-1 
 
0 
 
2 
 
-2 
 
1 
 
 
 
74a Questão 
Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do 
sólido gerado pela expressão ∫ ∫(x2 + y2) dxdy para os 
intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 
 15(u.v.) 
 21(u.v.) 
 8(u.v.) 
 17(u.v.) 
 2(u.v.) 
 
Eu sou o bom Pastor, e conheço as minhas ovelhas, e das minhas sou 
conhecido. 
Assim como o Pai me conhece a mim, também eu conheço o Pai, e dou 
a minha vida pelas ovelhas. João 10:14,15 
 
75a Questão 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única resposta correta. 
Considere a resposta em t=π4 
 
 (-22,- 22,-π4) 
 (22,22,π4) 
 (22,22,π2) 
 (-2,2,π4) 
 (-22,22,π2) 
 
 
 76a Questão (Ref.: 201308267548) Pontos: 0,1 / 0,1 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t 
 x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
 
 77a Questão (Ref.: 201308336385) Pontos: 0,0 / 0,1 
Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais 
contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e x, y e z são funções de outra variável t. 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz-se que dwdt é a derivada total de w com relação a t e representa a taxa de variação 
de w à medida que t varia. 
Supondo w=x2+y2+z2 onde x=etsent, y=etcost, z= 2e2t, calculedwdt para t=0, 
encontre dwdt. 
 
 dwdt=16 
 dwdt=20 
 dwdt=18 
 dwdt=0 
 dwdt=12 
 78a Questão 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua posiçào é dada 
pelo vetorr(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 
i/2 + j/2 
 
2i + 2j 
 
2i 
 
2i + j 
 2j 
 
 
 
 79a Questão (Ref.: 201308323783) 
 
 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
(e) 
 
(a) 
 
(b) 
 
(d) 
 (c) 
 
 
 80a Questão (Ref.: 201308345549) 
Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
 
 ∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 ∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 ∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 ∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 ∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
 
 81
a
 Questão (Ref.: 201308267966) 
 
 
 
Calcule a aceleração de uma partícula com vetor de posição r(t) = (t2,et,tet). Indique a 
única resposta correta. 
 
 (2,et,(2+t)et) 
 (1,et,(2+t)et) 
 (5,et,(8+t)et) 
 (2,et, tet) 
 (2,0,(2+t)et) 
 
 
 
 82
a
 Questão (Ref.: 201308156244) 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen
2
(x - 3y). Encontre ∂f∂y 
 
 -6sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 -6sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 -6sen(x - 3y) 
 
 
 83
a
 Questão (Ref.: 201308156243) 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen
2
(x - 3y). Encontre ∂f∂x 
 
 2sen(x - 3y) 
 2sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 2sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 2cos(x - 3y) 
 
 
 
 
84
a
 Questão 
 
 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x? 
 
 w2 
 cos2(wt) 
 -wsen(wt) 
 0 
 w2sen(wt)cos(wt) 
 
85
a
 Questão 
Encontre a derivada direcional da função f(x,y,z)=lnxyz em P(1,2,2) na direção do 
vetor v=i+j -k. 
 
 
 
32 
 
3 
 33 
 23 
 
22 
 
 
 86
a
 Questão 
 
 
Supondo que r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a longo de uma curva 
então,em qualquer instante t , pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado por:v(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao tempo. 
 III) O versor v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do módulo de sua 
velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 
I,II e III 
 
II,III e IV 
 I,III e IV 
 I,II e IV 
 
I,II,III e IV 
 
 
 
 
 87
a
 Questão 
 
 
Determine o versor tangente à curva de função vetorial r(t)=(2sent)i+(2cost)j+(tgt)k no ponto t=π4. 
 
(105)i -(105)j+(255)k 
 
(25)i+(25)j+(255)k 
 (12)i -(12)j+(22)k 
 (2)i -(2)j+(2))k 
 
(22)i -(22)j+(22)k 
 
 
 88
a
 Questão 
 
 
 Encontre a curvatura para a curva r(t) = ti + (ln cos t)j para -π2<t<π2 
 
 sen t + cos t 
 sen t 
 cos t 
 tg t - sen t 
 tg t 
 
89
a
 Questão 
 
 Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar equivalente. 
 
 9((rcos(θ))2+16r2=0 
 9((rcos(θ))2+r2=400 
 9((rcos(θ))2+16r2=400 
 9((rcos(θ))2 -16r2=400 
 16((rcos(θ))2+9r2=400 
 
 
90
a
 Questão 
 
Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt. 
 
 0,25i - 7j + 1,5k 
 0,25i + 7j - 1,5k 
 0,25i + 7j + 1,5k 
 -0,25i - 7j - 1,5k 
 -0,25i + 7j + 1,5k 
 
 
91
a
 Questão 
 
Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0y-xF(x, y, z)dzdydx. 
Considerar F(x, y, z) = 1. 
 
 
1/2 
 
2/3 
 
5/6 
 
7/6 
 1/6 
 
 
 
92
a
 Questão 
 
 
Calcular o volume do sólido:∫01 ∫01-z ∫02 dxdydz. 
 
 
2.5 
 
3 
 1 
 
1.5 
 
2 
 
 
 
93
a
 Questão 
 
Use o Teorema de Green para determinar a integral de linha do campo F (x, y) =(x^3 + 
xy^2)i + (yx^2 + y^3 + 3x)j na fronteira da região limitada em x[0,3] e y[0,2PI]. 
 
 
2PI 
 
4PI 
 18PI 
 
10PI 
 
32PI 
 
 
94
a
 Questão 
 
 
Integre f(x, y, z) = x - 3. y2 + z sobre C1 ⋃ C2, sendo que o caminho C1 vai de 
(0,0,0) até (1,1,0) e o caminho C2 vai de (1,1,0) até (1,1,1). 
Dados: C1: r(t) = ti + tj, 0 ≤ t ≤ 1 e C2: r(t) = i + j + tk, 0 ≤ t ≤ 1. 
 
 - 1,207 
 - 2,207 
 - 3,207 
 
 
95
a
 Questão 
 
Considere r(t)=(etsen2t)i+(etcos2t)j+(2et)k o vetor posição de uma 
partícula que se move ao longo de uma curva num instante t. 
 Encontre o cosseno do ângulo entre os vetores aceleração e velocidade 
quando t=0. 
 
 2987 
 15329 
 1/15 
 929 
 -1329 
 
96
a
 Questão 
 
O volume da região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados, 
pelo plano x+y=4 e pelo cilindro y2+4z2=16 (ver figura) é: 
 
 
 14.4 u.v 
 10.4 u.v 
 16.4 u.v 
 8.4 u.v 
 12.4 u.v 
 
 
97
a
 Questão 
 
Encontre a derivada direcional da função f(x,y,z)=cos(xy)+eyz+lnxz em P(1,0,12) na 
direção do vetor v=i+2j+2k. 
 
 1 
 3 
 2