Quadro Resumo de Distribuições de Probabilidade

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QUADRO RESUMO DAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS (v.a.d.) 
1) 
Distribuição 
Variável aleatória (v.a.) 
Definida no espaço de probabilidade ( ),, PAΩ , por 
AxXxXRX
Xx
∈≤Ω∈=≤⇔→Ω
=
})(/{][:
)(
ωω
ωω a
 
 
Definição de v.a. discreta: 
AxXxXRX iiii
xxxXx niii
∈≤Ω∈=≤⇔→Ω
∈=
})(/{][ :
 ,...},...,,{ )( 21
ωω
ωω a
 
 
Notação Parâmetros 
Esperança 
(v.a.d.) 
 
∑=
x
xpxXE )(.)(
onde p(x)=P(X=x) 
Variância 
 
22 )]([)()( XEXEXV −=
onde, para v.a.d., 
∑=
x
xpxXE )(.)( 22 
Uniforme X: cada um dos n valores equiprováveis de 1 a n. 
 
X ~ Ud(1,n) n E(X) = 2
1+n
 V(X) = 
12
12 −n
 
Bernoulli 
 
X: nº de sucessos em uma única tentativa de um experimento 
aleatório. 
 
X ~ Be(p) p E(X) = p V(X) = p(1 - p) = p.q 
Binomial 
 
X: nº de sucessos em n ensaios de Bernoulli 
 
X ~ b(n,p) n, p E(X) = n.p V(X) = n.p(1 - p) =n.p.q 
Hipergeométrica 
 
X: nº de sucessos em uma amostra de tamanho n retirada de 
uma população de tamanho N, dos quais K têm a característica 
em estudo 
 
X ~ H(N,K,n) N, K, n 
 
E(X) = 
N
K
n. 
V(X) = 
=
1
...
−
−−
N
nN
N
KN
N
K
n 
Poisson 
 
X: nº de sucessos num determinado intervalo contínuo 
 
X ~ P(λ ) λ E(X) = λ V(X) = λ 
Geométrica 
 
X: nº de ensaios de Bernoulli necessários para obter o primeiro 
sucesso 
 
X ~ G(p) p E(X) = 
p
1
 
V(X) = 2
1
p
p−
=
2p
q
 
Pascal ou 
binomial negativa 
 
X: nº de ensaios de Bernoulli necessários para se obter o 
k-ésimo sucesso 
X ~ Pa(k, p) ou 
X ~ BN(k, p) k, p E(X) = pk
1
. 
V(X) = 2
1
.
p
pk − =
2
.
p
qk 
Multinomial 
(um modelo para 
distribuição 
conjunta de v.a.’s 
discretas) 
Esse modelo é 
uma extensão 
multivariável da 
distrib. binomial. 
Xi: nº de sucessos do tipo i em n tentativas independentes do 
mesmo experimento aleatório. 
X = [X1, X2, ..... ,Xk] ~ 
~Mk(n, p1, p2, ... , pk), 
onde ),(~ ii pnbX 
n, p1, p2, ... , pk E(Xi) = n.pi 
V(Xi) = n.pi..(1-pi) = 
=n.pi..qi 
e
 
Cov(Xi, Xj) = -n.pi..pj 
Notas: 1) No espaço de probabilidade ( ),, PAΩ , A é a sigma-álgebra dos eventos aleatórios de Ω . 2) Ensaios de Bernoulli = tentativas sucessivas e independentes de um experimento aleatório, 
e cada tentativa admite como resultado apenas sucesso (com probabilidade p) ou fracasso (com probabilidade q=1 – p). 3) X = [X1, X2, ..... ,Xk] é um vetor aleatório, isto é, um vetor cujas 
componentes são v.a.’s. 
2) 
Distribuição 
Função de probabilidade (f.p.) 
 
Definição: 
 
 
)()(
21 ]1,0[ ,...},...,,{:
xXPxpx
nX RxxxP
==
→⊂
a
, 
 
com 1)( =∑
x
xp 
Função distribuição (f.d.) 
 
Definição p/ v.a.d.: 
 
∑
→
≤
=≤=
xix
iX xpxXPxFx
X RRF )()()( 
:
a
 
Função geradora de 
momentos (f.g.m.) 
 
Definição p/ v.a.d.: 
 
)(
:
tMt
X
X
RRM
a
→ , 
)(.)()( xXPeeEtM
x
txtx
X === ∑
 com Rt∈ e se )( txeE existe. 
Função característica (f.c.) 
 
Definição p/ v.a.d.: 
 
)(
:
ww
X
X
CR
ϕ
ϕ
a
→ , 
)()()( iwxXX eEiwtMw ===ϕ = 
= )(. xXPe
x
iwx
=∑ , 
com Rwi ∈−= e 1 
Uniforme 
n
xXP 1)( == , ∀ x = 1, 2, ..., n 
 
tab
ee
tM
atbt
X ).()( −
−
=
 
 
Bernoulli 
xx qpxXP −== 1.)( , x = 0, 1 ; 
0 < p < 1 e q= 1-p 
 
 
qeptM tX += .)( 
 
 
 .)( qepw iwX +=ϕ 
 
Binomial 
xnx
xn qpCxXP
−
== ..)(
,
, x = 0, 1, 2, ...,n, 
e 0 < p < 1 , q= 1-p, *Nn∈ . 
 Obs.: Bernoulli distr.1⇒=n 
 
nt
X qeptM ).()( += 
 
 
( )
 )( niwX qpew +=ϕ 
 
Hipergeométrica 
nN
xnKNxK
C
CC
xXP
,
)(),(, .)( −−== 
N = 1, 2, 3,... 
K = 0, 1, 2, ..., N , 
n = 1, 2, ... N, 
x = máx{0, n+K-N}, ..., min(K,n), Kx ≤ 
 
 
 
 
Não é útil 
 
Poisson !
.)(
x
e
xXP
x λλ −
== , x = 0, 1, 2, 3 ..., λ > 0 
onde λ = n.p e n e p são os parâmetros da 
distribribuição binomial. 
 
)1.()( −= teX etM λ ) 1.(
iw)( −= eX ew λϕ 
Geométrica 
1
.)( −== xqpxXP , x = 1, 2, ... 
e 0 < p < 1, q = 1 - p 
 
 
t
t
X
qe
ep
tM
−
=
1
.)(
 
 
Pascal ou 
binomial 
negativa 
kxk
kx qpCxXP
−
−−
== ..)( )1(),1( , 
x = k, k+1, k+2, ... 
 com kx ≥ ; 0 < p < 1 , q= 1-p e *Nk ∈ 
 
 
k
t
t
X
qe
ep
tM








−
=
1
.)(
 
 
 
Notas: 1) Série de Taylor para a f.g.m.: ...
!
).(...
!3
).(
!2
).().(1)(
3
3
2
2 ++++++=
k
tXEtXEtXEtXEtM
k
K
X ⇒
0
)()(
=
=
t
Xk
k
K tM
dt
dXE . 2) Se Xi são v.a.’s independentes, então 
)().....().()(, é isto ,)()(
2121
1
...
1
tMtMtMtMtMtM
nni
n
i
i
XXXXXX
n
i
XX
==
∑
+++
=
∏
=
. 3) )(.)()( atMetM XbtbaX =+ , com RbRa ∈∈ ,* . 4) A f.c. sempre existe, enquanto a f.g.m. pode 
não existir. 5) A f.c. de uma v.a. contínua X representa a transformada de Fourier da f.d.p. de X. Desta forma, através da transformada inversa de Fourier (ou fórmula da inversão) pode-se determinar a 
f.d.p. de X. Se X for uma v.a.discreta, a função de probabilidade (f.p.) de X pode ser obtida mediante o emprego de séries de Fourier. (Cf. SPIEGEL, M. Probabilidade e estatística. Coleção Schaum, 
1978). 
 
 
 
3) Modelo para distribuição conjunta de v.a.’s discretas: 
 
Distribuição Função mássica de probabilidades conjuntas 
Definição: )...,( 2211,...,, 21 kkXXX xXxXxXP k ===== = p(x1,x2, ... xn) 
Multinomial 
 
 
)...,( 2211,...,, 21 kkXXX xXxXxXP k ===== = p(x1,x2, ... xn) = k
x
k
xx
k
ppp
xxx
n
. ... .
!!...!
!
21
21
21
, 
0 < pi< 1 , com ∑
=
=
k
i
ip
1
1 , xi = 0, 1, 2, ..., n e independentes e ∑
=
=
k
i
i nx
1
 
Obs.: binomial distr.2⇒=k