Unidade 6 aplicações do estudo das derivadas

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 Unidade 6 
 Aplicações do estudo das derivadas 
 
Máximos e mínimos de uma função 
 
 
Definição 6.1. Dada a função :f I → � , um ponto Ix ∈0 é chamado de 
)(i ponto de máximo relativo (ou local) da função quando 
0( ) ( )f x f x≥ para todo x I∈ ; 
)(ii ponto de mínimo relativo (ou local) da função quando 
0( ) ( )f x f x≤ para todo x I∈ . 
 
O valor 0( )f x é chamado de máximo ou mínimo relativo (ou local) de f e 
( )0 0, ( )x f x são as coordenadas do ponto de máximo ou mínimo relativo (ou local) de 
f . 
 
Os máximos e mínimos de uma função são também chamados de extremos relativos. 
 
Definição 6.2. Dada a função ( )f x , um ponto 0x onde f é derivável em 0x e 
0'( ) 0f x = ou f não é derivável em 0x é chamado de ponto crítico da função f . 
 
Exemplo 6.1. Seja a função 3 2( ) 3f x x x= − , x∈� . Determinar os pontos críticos de 
f . 
 
Resolução: Sabemos que 3 2( ) 3f x x x= − é uma função polinomial derivável em todo 
x∈� . 
 
Calculando '( )f x temos ( )2'( ) 3 6 3 2f x x x x x= − = − 
 
Agora '( ) 0f x = implica em 23 6 0x x− = , ou seja, 0x = e 2x = são os pontos críticos 
da função 3 2( ) 3f x x x= − . 
Exemplo 6.2. Determinar o ponto crítico da função 
2
3( ) ( 1)f x x= − , x∈� . 
 
Resolução: Calculando '( )f x , temos 
 
( ) ( )
( )
2 1
1
3 3
1
3
2 2 2 1
'( ) 1 1
3 3 3
1
f x x x
x
− −
= − = − = ⋅
−
, 
ou, 
 2 
( )
1
3
2 1
'( )
3
1
f x
x
= ⋅
−
. 
 
A função dada não derivável em 1x = , isto é, não existe '(1)f . Nesse caso, 1x = é o 
único ponto crítico de f . 
 
Exemplo 6.3. Calcular os pontos críticos da função 3 2( ) 1f x x x x= + − + no intervalo 
1
2
[ 2, ]− . 
 
Resolução: Inicialmente temos se 3 2( ) 1f x x x x= + − + então 2'( ) 3 2 1f x x x= + − . 
 
Fazendo (´ ) 0f x = , vem 23 2 1 0x x+ − = . 
Resolvendo a equação pela fórmula de Bháskara encontramos as raízes 1x = − e 
1
3
x = . 
Portanto, 1x = − e 
1
3
x = são os pontos críticos de 3 2( ) 1f x x x x= + − + em 1
2
[ 2, ]− . 
 
Definição 6.3. Seja f uma função derivável em 0x . Se f tem um máximo ou mínimo 
relativo (ou local) em 0x , então 0(´ ) 0f x = . 
 
Por exemplo, a função 2( )f x x= , para ( 1, 1)x∈ − , tem derivada '( ) 2f x x= . Em 
0x = , a função tem um mínimo relativo e '(0) 0f = . 
 
Vimos no Capítulo 3, seção 3.6 que dada uma função :f I → � , f é crescente no 
intervalo I quando dados Ixx ∈21 , , quaisquer, com 1 2x x< , tem-se 1 2( ) ( )f x f x< 
e f é decrescente no intervalo I quando dados 1 2, x x I∈ , quaisquer, com 1 2x x< , 
tem-se 1 2( ) ( )f x f x> . 
 
O teorema a seguir estabelece um critério para determinar onde uma função f é 
crescente ou decrescente. 
 
Teorema 6.1. Seja ( )f x uma função derivável no intervalo ( , )a b , então 
(a) Se '( ) 0f x = em ( , )a b , então )(xf é constante em ( , )a b ; 
(b) Se '( ) 0f x > em ( , )a b , então )(xf é crescente em ( , )a b ; 
(c) Se '( ) 0f x < em ( , )a b , então )(xf é decrescente em ( , )a b . 
 
Exemplo 6.4. Seja 2( )f x x= . Determinar os intervalos onde f é crescente e 
decrescente. 
 
Resolução: Temos 2( )f x x= e '( ) 2f x x= . 
 
 3 
Agora, '( ) 2 0f x x= ≤ se e somente se 0x ≤ então ( ) 0f x′ ≤ , logo, f é decrescente 
em ( ,0]−∞ e '( ) 2 0f x x= ≥ se e somente se 0x ≥ então ( ) 0f x′ ≥ , logo, f é 
crescente em ( ,0]−∞ . 
Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim: 
 
x ( )f x Conclusão 
0x < − ( )f x decrescente em ( ,0]−∞ 
0x > + ( )f x crescente em [0, )−∞ 
 
Veja a figura abaixo: 
 
Figura 6.1 
 
Exemplo 6.5. Determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente onde 
3( )f x x= . 
Resolução: De 3( )f x x= temos 2( ) 3f x x′ = . Agora, 23 0x ≥ então ( ) 0f x′ ≥ , para 
todo x∈� e f é crescente em � . 
 
Exemplo 6.6. Seja 3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + + definida para todo x real. Determinar os 
intervalos onde f é crescente e decrescente. 
 
Resolução: Temos 3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + + então 2( ) 3 12 9f x x x′ = − + . Agora, 
fazendo ( ) 0f x′ = , vem 23 12 9 0x x− + = . Resolvendo esta equação pela regra de 
Bhaskara, temos as raízes 3x = e 1x = . Logo, ( ) 3( 1)( 3)f x x x′ = − − . 
Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim, 
 
x ( )f x′ Conclusão 
1 0 ponto crítico de f 
1x < + f é crescente 
1 3x< < − f é decrescente 
3x = 0 ponto crítico de f 
3x > + f é crescente 
 4 
 
Portanto, ( )f x é crescente em ( ,1]−∞ e [3,∞ ) e decrescente em [1,3]. Também 3x = 
e 1x = são extremos da função (pontos críticos). 
 
� Teste da segunda derivada para extremos relativos 
 
Este teste é empregado para pesquisar o(s) ponto(s) de máximo(s) e mínimo(s) 
relativo de uma dada função e para isto temos a seguinte definição. 
 
Definição 6.4. Seja 0x um ponto crítico de uma função na qual 0( ) 0f x′ = e f ′ existe 
para todos os valores de x em algum intervalo aberto que contenha o ponto 0x . Então 
0( )f x′′ existe e 
(i) se 0''( ) 0f x < então f tem um valor máximo relativo em 0x ; 
(ii) se 0''( ) 0f x > então f tem um valor mínimo relativo em 0x . 
 
Exemplo 6.7. Pesquisar máximos e mínimos relativos da função 4 3 2
4
( ) 4
3
f x x x x= + − 
pelo critério ou teste da segunda derivada. 
 
Resolução: Temos 4 3 2
4
( ) 4
3
f x x x x= + − então 3 2( ) 4 4 8f x x x x′ = + − . 
 
Agora, ( ) 0f x′ = vem 3 24 4 8 0x x x+ − = . Fatorando a expressão 3 24 4 8 0x x x+ − = 
vem 
 
24 ( 2) 4 ( 2)( 1) 0x x x x x x+ − = + − = . 
 
A partir desta fatoração fica claro que '( )f x será igual a zero se, e somente, 
 
0x = , 2x = − e 1x = . 
 
Logo, 0x = , 2x = − e 1x = são pontos críticos da função f . 
 
Vamos analisar agora, os pontos críticos obtidos separadamente. Calculando ''( )f x 
temos 
2( ) 12 8 8f x x x′′ = + − . 
 
Analisando para 0x = , vem 2(0) 12 0 8 0 8 8 0f ′′ = ⋅ + ⋅ − = − < , assim 0x = é um ponto 
de máximo relativo da função f e seu valor no ponto 0x = é 
4 3 24(0) 0 0 4 0 0
3
f = + ⋅ − ⋅ = ou (0) 0f = . 
 
Analisando para 1x = , vem 2(1) 12 1 8 1 8 12 0f ′′ = ⋅ + ⋅ − = > , assim 1x = é um ponto de 
mínimo relativo da função f e seu valor no ponto é 
 5 
4 3 24 4 8(1) 1 1 4 1 1 4
3 3 3
f = + ⋅ − ⋅ = + − = − ou 
8
(1)
3
f = − . 
 
Finalmente analisando para 2x = − , vem 
 
2( 2) 12 ( 2) 8 ( 2) 8f ′′ − = ⋅ − + ⋅ − − 12 4 16 8 24 0= ⋅ − − = > . 
 
Assim 2x = − é um ponto de mínimo relativo da função f e seu valor no ponto é 
4 3 24 4 32( 2) ( 2) ( 2) 4 ( 2) 16 ( 8) 4 4
3 3 3
f − = − + ⋅ − − ⋅ − = + ⋅ − − ⋅ = − , 
ou seja, 
32
( 2)
3
f − = − . 
 
Portanto, 0x = é um ponto de máximo relativo da função f , 1x = é um ponto de 
mínimo relativo da função f e 2x = − é um ponto de mínimo relativo da função f . 
Veja a figura abaixo 
 
 
Figura 6.2 
 
Exemplo 6.8. Encontrar os extremos relativos da função 3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + + 
usando o critério da segunda derivada. 
 
Resolução: Temos, 3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + + então 2( ) 3 12 9f x x x′ = − + e 
( ) 6 12f x x′′ = − . 
 
Agora, para calcular os pontos críticos de f é só igualar '( )f x a zero, ou seja, 
( ) 0f x′ = , isto é, 23 12 9 0x x− + = fatorando vem 3( 3)( 1) 0x x− − = . 
 
A partir desta fatoração fica claro que '( )f x será zero se, e somente 1x = e 3x = . 
 
Logo, 1x = e 3x = são pontos críticos de f . 
 
Vamos determinar agora os extremos relativos de f . 
 
 6 
Para 1x = , temos (1) 6 1 12 6 0f ′′ = ⋅ − = − < , logo 1x = é um ponto de máximo relativo 
da função f . 
 
Para 3x = , temos (3) 6 3 12 6 0f ′′ = ⋅ − = > , logo 3x =é um ponto de mínimo relativo 
da função f . 
 
Portanto, 0x = é um ponto de máximo relativo da função f e 3x = é um ponto de 
mínimo relativo da função f . 
 
Veja a figura abaixo: 
 
 
 Figura 6.3 
 
� Exemplos práticos 
 
Exemplo 6.9. A função custo mensal de fabricação de um produto é dada por 
3
2( ) 2 10 1
3
x
C x x x= − + + e a função de demanda mensal ( )p do mesmo produto é dada 
por ( ) 10p x x= − . Qual o preço x que deve ser cobrado para maximizar o lucro? 
 
Resolução: O lucro total é dado por ( ) Re ( ) ( )Lucro L ceita R Custo C= − e a receita será 
Receita p x= ⋅ , assim ( ) 210 10R p x x x x x= ⋅ = − ⋅ = − . Logo, 
3
2 210 2 10 1
3
x
L R C x x x x
 
= − = − − − + + 
 
3
2 210 2 10 1
3
x
x x x x= − − + − − , 
ou ainda, 
3
2( ) 1
3
x
L x x= − + − . 
Calculando a derivada primeira da função lucro, em relação a x , temos 
 
2'( ) 2L x x x= − + e ''( ) 2 1L x x= − + . 
 
Agora, para calcular os pontos críticos de L é só igualar '( )L x a zero, ou seja, 
'( ) 0L x = e vem 2 2 0x x− + = . Resolvendo esta equação pela fórmula de Bháskara, 
temos as raízes 0x = e 2x = . Logo, 0x = e 2x = são os pontos críticos de L . 
 7 
 
Vamos determinar agora os extremos relativos de L . 
 
Para 0x = , temos ''(0) 2 0 1 1 0L = − ⋅ + = > , logo, é um ponto de mínimo relativo de L . 
 
Para 2x = , temos ''(2) 2 2 1 3 0L = − ⋅ + = − < , logo, é um ponto de máximo relativo de 
L . 
 
Portanto, o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro é 2x = . 
 
Exemplo 6.10. A empresa “Sempre Alerta” produz um determinado produto com um 
custo mensal dado pela função 3 2
1
( ) 2 10 20
3
C x x x x= − + + . Cada unidade deste 
produto é vendida por R$31,00. Determinar a quantidade que deve ser produzida e 
vendida para dar o máximo lucro mensal. 
 
Resolução: Seja x a quantidade a ser produzida e vendida para dar o máximo lucro 
mensal. 
 
O lucro mensal é dado 
( ) Re ( ) ( )Lucro L ceita R Custo C= − , 
assim 
 
3 2131 2 10 20
3
L R C x x x x
 = − = − − + + 
 
 
 3 2
1
31 2 10 20
3
x x x x= − + − − 
 3 2
1
2 21 20
3
x x x= − + + − 
ou ainda, 
3 21( ) 2 21 20
3
L x x x x= − + + − . 
 
Calculando a derivada primeira da função lucro, em relação a x , temos 
 
2'( ) 4 21L x x x= − + + e ''( ) 2 4L x x= − + . 
 
Agora, para calcular os pontos críticos de L é só igualar '( )L x a zero, ou seja, 
'( ) 0L x = e vem 2 4 21 0x x− + + = . Resolvendo esta equação pela fórmula de Bháskara, 
temos as raízes 3x = − e 7x = . 
 
Logo, 3x = − e 7x = são os pontos críticos de L . 
 
Vamos determinar agora os extremos relativos de L . 
 
Para 3x = − , temos ''( 3) ( 2) ( 3) 4 10 0L − = − ⋅ − + = > , logo, é um ponto de mínimo 
relativo de L . 
 8 
 
Para 7x = , temos ''(7) 2 7 4 10 0L = − ⋅ + = − < , logo, é um ponto de máximo relativo de 
L . 
 
Portanto, a quantidade a ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal é 
7x = . 
 
� Exercícios propostos 
 
32) Seja 3 2( ) 5 5f x x x x= + − − . 
a) Determine os pontos críticos de f . 
b) Determine os intervalos onde f é crescente e decrescente. 
 
33) Seja 3 2
1 1
( ) 6 8
3 2
f x x x x= + − + , determine: 
a) os pontos críticos, 
b) os intervalos onde f é crescente e decrescente, 
c) os valores máximos e mínimos de f . 
 
34) O custo total de produção de x aparelhos de certa TV Plasma por dia é 
21$ 35 25
4
R x x
 + + 
 
 e o preço unitário que elas podem ser vendidas é 
1
$ 50
2
R x
 − 
 
 cada. Qual deve ser a produção diária para que o lucro seja 
máximo? 
 
35) A produção de bicicletas da empresa “Roda Viva” é de x por mês, ao custo 
dado por ( ) 100 3C x x= + . Se a equação de demanda por 25
3
x
p = − , obtenha o 
número de unidades que devem ser produzidas e vendidas para maximizar o 
lucro mensal. 
 
36) A equação de demanda de um produto é 30 5lnp x= − . Determinar: 
a) a função receita ( )R x ; 
b) o valor de x que maximiza a receita. 
 
� Respostas 
 
32) a) 
5
1 e 
3
− . 
b) f é crescente no intervalo 
5
3
x < − ; 
f é decrescente no intervalo 
5
1
3
x− < < ; 
f é crescente no intervalo 1x > . 
 
 9 
33) a) 2 e 3− . 
b) f é crescente no intervalo 3x < − ; 
f é decrescente no intervalo 3 2x− < < ; 
f é crescente no intervalo 2x > . 
c) em 3x = − , f tem ponto de máximo e em 2x = , f tem ponto de 
mínimo. 
 
34) 10 aparelhos de TV Plasma por dia. 
 
35) 33 bicicletas. 
 
36) a) ( ) 30 5 lnR x x x x= − ; 
b) 5x e= .