Resolução - Ponto de Inflexão

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Blog Matemática Nua & Crua 
Professor Luiz Francisco 
 
" F e l i z a q u e l e q u e t ra n s f e re o q u e sa b e e a p ren d e o q u e en s in a " . 
C o r a C o r a l i n a ( 1 . 8 8 9 + 9 6 = 1 . 9 8 5 ) 
 
 
 
 
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ág
in
a1
 
Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função: 
 
 ( ) 
 
 
 
 
Solução: 
 
O gráfico de ( )é apresentado na Figura 1: 
 
 
Figura 1: Gráfico da função ( ) para – 15 ≤ x ≤ 15 e – 0,5 ≤ y ≤ 0,5. 
 
Para determinar o ponto de inflexão temos que estudar a variação de sinais na segunda 
derivada. 
 
Determinando a derivada de ( ): 
 
 ( ) 
 1
 
 ( ) 
 
 
(
 1
 
) 
 
 ( ) 
 
 
 
 
Determinando a derivada de ( ): 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
( 
 
 
) 
 
 
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C o r a C o r a l i n a ( 1 . 8 8 9 + 9 6 = 1 . 9 8 5 ) 
 
 
 
 
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 ( ) 
 1 
 
 
 
O gráfico de ( )é apresentado na Figura 3. Determinando as raízes de ( ): 
 
 ( ) 
 1 
 
 
 
 
 
 1 √ 
 
Analisando o estudo dos sinais da função: 
 
 √ √ 
 1 
 
 1 
 
 
 
 
 
Como , então o 0 não é ponto de inflexão (n.d. = não definido). Logo temos pontos 
de inflexão para √ e para √ . 
 
 
Figura 2: Gráfico da função ( ) para – 15 ≤ x ≤ 15 e – ,1 ≤ y ≤ ,1. 
 
 
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Aproveitando a oportunidade podemos determinar os 
pontos de máximo ou de mínimo desta função por meio do 
estudo de ( ). 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
Analisando o estudo dos sinais da função: 
 
 √ √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como para √ , temos uma mudança de ( ) para ( ) temos um ponto 
de mínimo e para √ , temos uma mudança de ( ) para ( ) temos um 
ponto de máximo. Para temos um indefinição (n.d. = não definido), pois a função 
não pode assumir este valor. O gráfico de ( )é apresentado na Figura 3. 
 
 
Figura 3: Gráfico da função ( ) para – 15 ≤ x ≤ 15 e – ,1 ≤ y ≤ , .