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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da Questa˜o 2 da AD 2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2 Questa˜o 2 (2,5 pontos) Uma empresa procura o melhor prec¸o P > 0, em euros, para um produto que pretende lanc¸ar no mercado mundial. Estudos indicam que, com o prec¸o P , esta empresa con- seguira´ exportar (40− P ) milhares de unidades. Como exemplo, se o prec¸o P for fixado em 10 euros, sera˜o exportadas (40 − 10) = 30 milhares de unidades, ou seja, (40 − 10) · 1000 = 30.000 unidades. Como consequeˆncia, esta venda gerara´ um faturamento de 10 · 30.000 = 300.000 euros. [Observac¸a˜o: mais a` frente nesta disciplina, na Semana 13, veremos que ”(40 − P ) milhares de unidades”e´ a demanda do produto.] (a) Determine o faturamento gerado pela venda do produto quando o prec¸o e´ de 20 euros. Soluc¸a˜o: Com o prec¸o P = 20 euros, sera˜o vendidas (40 − 20) · 1000 = 20.000 unidades do produto, gerando, portanto, uma receita de 20 · 20.000 = 400.000 euros. (b) Determine a expressa˜o do faturamento quando o prec¸o e´ P . Soluc¸a˜o: Com o prec¸o P , sera˜o vendidas (40−P )·1000 unidades do produto, gerando, portanto, uma receita de P · (40− P ) · 1000 euros. (c) Para que valor(es) de P o faturamento e´ de 375.000,00 euros? Soluc¸a˜o: Queremos determinar P para que o faturamento, dado por P · (40− P ) · 1000, seja igual a 375.000, isto e´, P ·(40−P )·1000 = 375.000⇔ P ·(40−P ) = 375⇔ −P 2+40P−375 = 0⇔ P = 15 ou P = 25. (Para resolver a equac¸a˜o do segundo grau acima, utilizamos a “fo´rmula de Bhaskara”). Assim, o faturamento e´ de 375.000,00 euros com o prec¸o de 15 euros ou 25 euros. (d) Para que valor de P o faturamento e´ de 400.000,00 euros? Soluc¸a˜o: Queremos determinar P para que o faturamento, dado por P · (40− P ) · 1000, seja igual a 400.000, isto e´, P · (40− P ) · 1000 = 400.000⇔ P · (40− P ) = 400⇔ −P 2 + 40P − 400 = 0⇔ P = 20. Assim, o faturamento e´ de 375.000,00 euros com o prec¸o de 20 euros. No item (d) voceˆ deve ter encontrado um u´nico valor de P . Mais a` frente na disciplina (na Semana 12), veremos que isto indica que este prec¸o determina um faturamento ma´ximo. Este fato tambe´m pode ser justificado a partir de uma inequac¸a˜o, como nos itens a seguir: Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 2 da AD 2 – 2017-2 2 (e) Determine os valores de P para os quais o faturamento e´ menor ou igual a 400.000,00? A partir dos valores encontrados, diga qual e´ o faturamento ma´ximo poss´ıvel, justificando com o maior cuidado poss´ıvel! Soluc¸a˜o: Queremos determinar P para que o faturamento, dado por P · (40− P ) · 1000, seja menor ou igual a 400.000, isto e´, P · (40− P ) · 1000 6 400.000⇔ P · (40− P ) 6 400⇔ −P 2 + 40P − 400 6 0. Como 20 e´ a u´nica raiz da equac¸a˜o −P 2 + 40P − 400 = 0, podemos escrever −P 2 + 40P − 400 6 0⇔ −(P − 20)2 6 0⇔ (P − 20)2 > 0. Como o quadrado sera´ sempre maior ou igual a 0, a desigualdade sera´ satisfeita para todo valor de P . E´ importante destacar que o prec¸o na˜o pode ser negativo ou zero, Portanto, devemos fazer a restric¸a˜o P > 0. Assim, a resposta mais correta devera´ ser que a “desigualdade sera´ satisfeita para todo valor de P > 0”. Por razo˜es que veremos em aulas vindouras, quando sera´ discutido conceito de demanda, vere- mos que e´ necessa´rio termos P < 40. Mas, por agora, na˜o vamos nos prender a esta questa˜o. Com isso, constatamos que o faturamento sera´ sempre menor ou igual a 400.000,00 euros, atin- gindo este valor apenas quando P = 20 (pelo que vimos no item anterior). Logo, o faturamento ma´ximo poss´ıvel e´ de 400.00,00 euros. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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