Metodologia do ensino da matematica aplicada a educação infantil e anos iniciais

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Metodologia 
do Ensino da 
Matemática 
Aplicada a Educação 
Infantil e Anos 
Iniciais
Metodologia do Ensino 
da Matemática Aplicada 
a Educação Infantil e 
Anos Iniciais
Organizado por Universidade Luterana do Brasil
Universidade Luterana do Brasil – ULBRA
Canoas, RS
2015
Conselho Editorial EAD
Andréa de Azevedo Eick
Astomiro Romais,
Claudiane Ramos Furtado
Dóris Cristina Gedrat
Kauana Rodrigues Amaral
Luiz Carlos Specht Filho
Mara Lúcia Salazar Machado
Maria Cleidia Klein Oliveira
Thomas Heimann
Obra organizada pela Universidade Luterana do Brasil. 
Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores 
a emissão de conceitos.
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida 
por qualquer meio ou forma sem prévia autorização da 
ULBRA.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei 
nº 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal.
Dados técnicos do livro
Diagramação: Marcelo Ferreira
Revisão: Ane Sefrin Arduim
A disciplina Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada à Educa-ção Infantil e Anos Iniciais quer contribuir para a formação Matemáti-
ca do pedagogo ao enfocar os princípios teóricos e metodológicos do en-
sino e da aprendizagem de Matemática com e para crianças da Educação 
Infantil e Anos Iniciais do Ensino Fundamental.
A disciplina vai discutir ações pedagógicas para a construção, pelas 
crianças, dos conceitos matemáticos relativos a números naturais e racio-
nais, operações, geometria e educação estatística com ênfase no trabalho, 
no planejamento e no desenvolvimento de práticas interdisciplinares favo-
recedoras da autonomia e da cidadania.
As reflexões oportunizadas sobre a construção Matemática inicial estão 
contextualizadas na vida cotidiana e são problematizadas através de jogos 
e resolução de problemas, pensadas como produções estratégicas e cons-
trutivas para a aprendizagem Matemática da criança.
O livro está estruturado em 10 capítulos. No primeiro capítulo, Jutta 
Justo traz uma reflexão sobre o ensino e a aprendizagem da Matemática e 
seus possíveis descompassos.
O segundo capítulo, de autoria de Jamille Mineo, discute o jogo e a 
resolução de problemas no contexto da aprendizagem Matemática.
No terceiro capítulo, Tania Seibert trata do ensino e da aprendizagem 
dos números naturais.
O quarto e o quinto capítulos são de autoria de Margarete Borga. A 
autora apresenta os princípios metodológicos do ensino e da aprendiza-
gem das operações fundamentais com números naturais. O quarto capítu-
Apresentação
Apresentação v
lo trata-se do campo aditivo: adição e subtração. O quinto capítulo é sobre 
o campo multiplicativo: multiplicação e divisão.
Alexandre Monteiro é o autor do sexto capítulo que trata dos números 
racionais nas suas formas fracionária e decimal.
Na sequência, o capítulo sete, de autoria de Ana Brunet, tem como 
tema a aprendizagem da Geometria e das relações espaciais da criança 
desde bebê.
A professora Neura Giusti, no oitavo capítulo, apresenta uma discus-
são sobre a Educação Estatística com crianças pequenas.
O nono capítulo, apresentado por Tania Seibert, proporciona discus-
sões sobre princípios metodológicos do ensino e da aprendizagem Mate-
mática a partir de projetos e da literatura infantil.
Por fim, no décimo capítulo, Magda Leyser apresenta recursos didáticos 
e tecnologias da informação e comunicação que contribuem para o ensino 
e a aprendizagem de Matemática.
Desejamos que este livro seja muito produtivo para seus estudos.
Jutta C. Reuwsaat Justo e Ana Brunet
Professoras Organizadoras
1 Possíveis Descompassos entre o Aprender e o Ensinar 
Matemática ..........................................................................1
2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino e a 
Aprendizagem da Matemática ............................................26
3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais .....................49
4 Operações Fundamentais com Números Naturais: Os 
Algoritmos e os Problemas Matemáticos Aditivos .................85
5 Operações Fundamentais com Números Naturais: Os 
Algoritmos e os Problemas Matemáticos Multiplicativos .....114
6 Ensino e Aprendizagem de Números 
Racionais na Forma Fracionária e Decimal ........................144
7 Geometria e Relações Espaciais ........................................178
8 Educação Estatística ..........................................................196
9 Ensino da Matemática a partir de Projetos de 
Trabalho com Literatura Infantil ........................................224
 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias da Informação e 
Comunicação na Aprendizagem da Matemática ................250
Sumário
Capítulo 1
Possíveis Descompassos 
entre o Aprender e o 
Ensinar Matemática
1 Doutora em Educação. Professora Adjunta do Programa de Pós-Graduação em 
Ensino de Ciências e Matemática e do Curso de Pedagogia da Universidade Lute-
rana do Brasil, Canoas/RS.
Jutta Cornelia Reuwsaat Justo1
2 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Introdução
Em qualquer sala de aula, existem alunos que, por dife-
rentes motivos, não acompanham seus pares, indepen-
dente do nível de complexidade dos conteúdos ou da 
metodologia utilizada naquele contexto específico.
Clarissa Golbert e Sonia Moojen, Dificuldades na Apren-
dizagem Escolar, 1996.
Neste texto trazemos uma reflexão sobre aprender e ensinar 
Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental. O artigo 
inicia com uma discussão sobre a importância de se conside-
rar as ideias prévias dos alunos para compreender como eles 
estão construindo as suas aprendizagens e, assim, planejar-
mos as estratégias de ensino. Na continuidade, discute-se a 
avaliação na perspectiva da mediação como um processo per-
tinente ao ensinar e aprender Matemática. A partir de então, 
reflete-se sobre as dificuldades enfrentadas por professores e 
alunos ao ensinar e aprender Matemática.
As ideias prévias
As ideias prévias que possuímos sobre as coisas são reelabo-
radas ou reconstruídas por meio do ensino, caracterizando-se 
como aprendizagem. Segundo Duhalde e Cuberes (1998), as 
ideias prévias são o conjunto de significados ou perspectivas 
que as crianças e os adultos dispõem para interpretar a infor-
mação escolar ou os conteúdos acadêmicos.
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 3
Para as crianças que encontram dificuldades com a apren-
dizagem Matemática, é muito importante levar em conta as 
ideias prévias delas sobre os conteúdos, assim como as ideias 
que elas têm do significado de suas dificuldades, do significa-
do que o professor dá para essas dificuldades, sobre o papel 
do professor frente a elas e, ainda, sobre o valor de aprender 
esses conteúdos matemáticos e outras tantas.
Duhalde e Cuberes (1998) afirmam que se aprende:
 Â A partir dos conhecimentos prévios.
 Â Em um contexto no qual os sujeitos interajam com os 
outros, que frequentemente atuam como “mediadores”.
 Â Quando se identificam e se analisam os próprios erros e 
se renuncia a eles.
 Â Quando se repetem as situações com o objetivo de in-
crementar sua compreensão.
 Â Quando leva um tempo e um esforço, porque ninguém 
aprende de uma vez por todas.
 Â Em situações moldadas por um contrato didático nego-
ciável.
Da mesma forma, as pesquisadoras afirmam que o papel 
do professor é de observar e analisar as soluções que os alu-
nos utilizam, levando em conta o saber prévio, as interações e 
os diálogos dos alunos; planejar situações didáticas ricas e va-
riadas, selecionando atividades, materiais e experiências que 
sejam significativas; auxiliar os alunos quanto aos aspectos 
fundamentais da situação, guiando e estimulando os alunos 
4 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
para que se organizem,instruindo e orientando até a execu-
ção da tarefa; criar oportunidades para que os alunos tornem 
a encontrar situações já aprendidas; ressaltar o que os alunos 
aprenderam, nomeando os conteúdos e ajudando para que 
sejam identificados (DUHALDE; CUBERES, 1998).
Na Matemática, esses princípios de ensino se concretizam 
na construção do sentido dos conhecimentos e isto se con-
segue mediante a resolução de problemas do cotidiano e a 
reflexão sobre os mesmos. Assim, por exemplo, como conse-
guir cadeiras para todos, jogar dominó ou contar os dias que 
faltam para um evento são situações-problema que antecedem 
o esforço para estudar conceitos matemáticos, como número, 
espaço e medida.
A Matemática precisa servir como instrumento para resolver 
problemas. Resolver problemas exige muito mais habilidades 
do que fazer cálculos e a Matemática não se resume somente 
a essa habilidade. Identificar variáveis de vida, estabelecer cri-
térios e metas, articular informações, desenvolver processos de 
pensamento, ou seja, é muito mais “do que ensinar conceitos, 
habilidades e algoritmos matemáticos” (DANTE, 1989, p.30).
É então que a escola deve cumprir seu papel: oferecer ati-
vidades para que se exercitem essas ações, acreditando nas 
potencialidades de cada aluno, valorizando seus saberes, 
proporcionando a construção de conceitos matemáticos que 
instrumentalizem os alunos para o encontro de soluções para 
problemas.
As atividades matemáticas devem ser desenvolvidas de ma-
neira que as crianças realizem as operações, interagindo com 
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 5
seu conhecimento anterior, assim como com outras crianças, 
para que haja apropriação de conceitos. Não deve haver Ma-
temática sem compreensão. A Matemática deve ser trabalha-
da de maneira que a criança saiba explicar o que faz. Kamii 
(1992) defende que
O ambiente social e a situação que o professor cria são 
cruciais no desenvolvimento do conhecimento lógico-
-matemático. Uma vez que este conhecimento é constru-
ído pela criança, através da abstração reflexiva, é impor-
tante que o ambiente social incentive a criança a usá-la 
(KAMII, 1992, p.63).
Quando propomos problemas “da vida real” esperamos 
que os alunos façam relações e apliquem sua aprendizagem. 
Nesse momento, a intervenção pedagógica do professor é fun-
damental como aquele que desafia, que questiona. O profes-
sor deve fazer boas perguntas. O professor deve, aos poucos, 
ir dificultando as situações-problema que sejam significativas, 
observando o nível geral da turma para que todos se sintam 
capazes.
Avaliação mediadora
Vasconcellos (1995), em seu livro sobre avaliação, faz uma 
reflexão sobre a prática do professor e do processo de ava-
liação escolar. Coloca que a avaliação remete ao interior do 
próprio processo de ensino-aprendizagem e que “a principal 
finalidade da avaliação no processo escolar é ajudar a garan-
6 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
tir a construção do conhecimento, a aprendizagem por parte 
dos alunos” (p.46).
A postura do professor frente às respostas que os alunos 
dão deve ser de investigação e reflexão, entendendo que a 
aprendizagem é um processo e, como tal, é uma evolução 
sucessiva de relações construídas na medida em que nos de-
paramos com novas situações e desafios e formulamos e refor-
mulamos nossas hipóteses.
Segundo Hoffmann (1993), a avaliação numa perspectiva 
mediadora considera a correção das atividades realizadas pe-
los alunos como um método de investigação, de interpretação 
das soluções apresentadas por estes; privilegia tarefas inter-
mediárias e sucessivas, desenvolvidas durante todo o período 
letivo; compromete o educador com o acompanhamento do 
processo de construção do conhecimento do educando numa 
postura epistemológica que privilegia o entendimento, e não 
a memorização.
A avaliação como processo não pode estar desvinculada 
do aprender. Nesse sentido é que essa reflexão precisa fazer 
parte da investigação para a compreensão das dificuldades de 
aprendizagem matemática das crianças.
Dificuldades de Aprendizagem na 
Matemática
Na perspectiva de duas psicopedagogas brasileiras, Golbert 
e Moojen,
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 7
Grande parte das crianças com dificuldades de apren-
dizagem apresentam impulsividade, desajeitamento, 
desatenção, falhas na integração perceptiva, na memó-
ria, no pensamento e na linguagem, que, sem dúvida, 
perturbam as aquisições escolares. Tais comportamentos 
podem tanto ser causa como consequência de dificulda-
des na aprendizagem (GOLBERT; MOOJEN, 1996, p. 
79-80).
Elas ainda destacam que existem fatores que determinam 
o sucesso ou o fracasso escolar que não aparecem isolada-
mente no desempenho da criança. São os fatores biológicos, 
familiares, características da escola, características individu-
ais e características da tarefa. Afirmam que existe uma inter-
-relação entre estes fatores e, “em se tratando de dificuldades 
de aprendizagem, não se pode atribuir relação linear de cau-
sa e efeito, do tipo “Se A, então X”” (GOLBERT; MOOJEN, 
1996, p. 94).
Para avaliar uma dificuldade de aprendizagem em Mate-
mática, requer-se que o professor possua conhecimentos ma-
temáticos e pedagógicos. A importância de conhecimento do 
professor sobre o conteúdo que ele ensina tem sido foco de 
pesquisa ao longo de alguns anos. Mesmo concordando que 
o conhecimento didático dos professores sobre o objeto de 
ensino é fundamental, também acreditamos que esse não é o 
único conhecimento necessário aos professores, assim como 
são vários os saberes docentes que se concretizam em seu fa-
zer pedagógico (FIORENTINI; SOUZA JR.; MELO, 2003; TAR-
DIF, 2004). Entendemos que, sem o conhecimento didático do 
8 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
professor sobre o conteúdo a ser ensinado, a aprendizagem 
não se efetiva de forma plena.
Bransford, Brown e Cocking (2007) fazem referência a vá-
rias pesquisas que defendem que “aquilo que os professores 
sabem e acreditam sobre Matemática está ligado intimamente 
a suas decisões e ações instrucionais” (p. 213). Concordamos 
com esses autores, reconhecendo que, ao analisarmos “o en-
sino da Matemática, precisamos prestar atenção ao conheci-
mento do assunto por parte dos professores, ao seu conheci-
mento pedagógico (geral e específico do conteúdo) e ao seu 
conhecimento das crianças como aprendizes de Matemática” 
(p. 214).
O conhecimento matemático do professor inclui conhecer 
fatos aritméticos, conceitos, procedimentos e a relação exis-
tente entre eles; conhecer as formas como as ideias matemá-
ticas podem ser representadas; conhecer a Matemática como 
uma área de ensino, em particular, como o conhecimento é 
produzido e a natureza do discurso em Matemática (JUSTO, 
2009).
Curi (2004, 2008) defende que o conhecimento matemáti-
co do professor dos anos iniciais do Ensino Fundamental deve 
ser relacionado a conceitos, a procedimentos e a atitudes em 
relação à Matemática. É necessário que o professor desenvol-
va ou aprimore suas capacidades de resolver problemas, ar-
gumentar, raciocinar e se comunicar matematicamente. Além 
disso, ele precisa estimular uma atitude positiva frente à Ma-
temática, para que possa ter confiança em sua capacidade 
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 9
de ensinar e aprender, influenciando, dessa forma, também a 
aprendizagem de seus alunos.
O professor, ao ensinar Matemática, precisa levar em con-
ta que em toda e qualquer atividade da criança existe uma es-
truturação mental que obedece a uma lógica de significados já 
construídos por ela. A compreensão disso é muito importante 
para auxiliá-la na aprendizagem.
Oliveira (1996) sugere que uma avaliação das dificulda-
des da criança deveincluir atividades livres para que se possa 
observar se há autonomia e espontaneidade na forma dela 
se organizar, sem que haja alguém que lhe diga o que, como 
e quando fazê-lo. Observar qual conotação tem o aprender 
para ela: se algo vivo, interessante e criativo, ou algo penoso e 
imposto, restrito ao meio escolar. Observar as situações e con-
textos nos quais ela demonstra melhor se estruturar, lembrando 
que as representações simbólicas interagem sempre entre si e 
se resgatam continuamente.
Saiz (1996) coloca que “as dificuldades dos alunos [...] de-
veriam obrigar os professores a “enfrentá-las” na aula, anali-
sá-las e corrigi-las” (p. 183). Assim, é importante conhecer a 
natureza das atividades propostas para poder objetivar com 
maior sucesso o desencadeamento da aprendizagem.
As queixas dos professores com relação a dificuldades em 
Matemática geralmente apontam para problemas na resolu-
ção de cálculos e de interpretação de histórias matemáticas. 
Quanto a estas dificuldades, Golbert e Moojen (1996, p.105) 
afirmaram que
10 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
a maior parte dos insucessos no desempenho matemá-
tico parece ser decorrente de problemas metodológicos, 
associados a particularidades cognitivas e/ou emocio-
nais. [...] o descompasso entre as tarefas propostas e 
as capacidades e os estilos cognitivos dos alunos são 
responsáveis por grande parte do mau desempenho do 
aluno” (GOLBERT; MOOJEN, 1996, p. 105).
Assim, trazemos uma reflexão sobre uma prática em aulas 
de recuperação que discute o descompasso entre o ensinar e 
o aprender Matemática.
Recuperação de dificuldades em 
matemática
Discutiu-se com duas professoras regentes de turmas de 5º 
ano do Ensino Fundamental sobre as dificuldades na Matemá-
tica percebidas por elas em seus alunos. As professoras disse-
ram que seus alunos apresentavam dificuldades com a com-
preensão do significado da operação Matemática de divisão e 
do seu algoritmo tradicional (cálculo armado), a interpretação 
de problemas matemáticos e sua resolução, além da revisão 
dos algoritmos tradicionais da adição e da subtração. A partir 
disso, foram planejados os encontros com os alunos convi-
dados pelas professoras para os momentos da recuperação. 
Relatam-se aqui alguns momentos dos encontros considerados 
importantes para serem analisados, agrupados pelas dificul-
dades trabalhadas e não pelo número de encontros ou pela 
divisão de turmas.
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 11
O primeiro relato trata dos encontros em que a dificuldade 
com o algoritmo da divisão foi trabalhada:
Questionei os alunos se eles achavam difícil fazer a divisão 
e por quê. Os alunos relataram que o que eles achavam difícil 
era quando os números eram grandes, pois então eles se con-
fundiam. Dois alunos disseram não se lembrar como se dividia 
e um menino disse não ter aprendido, pois faltou muitas aulas 
no ano anterior em virtude de um tratamento de saúde.
Começamos as atividades usando o Material Doura-
do. Solicitei que eles resolvessem com o material a opera-
ção 347:3. Enquanto eles resolviam, eu ia questionando-os 
para que fossem explicando a sua forma de resolver. Todas 
as crianças, sem exceção, davam o significado de repartir à 
divisão, quando usavam o Material Dourado. Ou seja, elas 
distribuíam o material entre três grupos e verificavam quanto 
ficou em cada um.
Pedi, então, que elas fizessem a mesma operação usando o 
algoritmo tradicional da divisão e fossem falando como faziam 
o cálculo. Assim, pude perceber que elas usavam o significado 
de medir. Ou seja, “quantas vezes o 3 cabe no 3?” Então, con-
cluí que elas não estavam conseguindo relacionar o que faziam 
no concreto e o que faziam com o algoritmo.
Portanto, havia uma diferença na forma de pensar a divisão 
usando o material concreto e ao fazer o algoritmo. Em virtu-
de disso, resolvi não insistir no uso do Material Dourado, pois 
eu poderia confundi-los ainda mais neste momento. Como as 
professoras haviam solicitado que se trabalhasse o algoritmo, 
resolvi trabalhar sem o Material Dourado a partir de então.
12 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
As crianças fizeram cálculos no quadro e prontamente 
questionavam as suas dúvidas. Depois disso, resolveram al-
guns cálculos em uma folha, já com mais segurança. No 
final, questionei-os sobre o que ainda estava difícil e o que 
eles achavam que precisava melhorar. Disseram que agora 
ficou mais fácil e que precisavam estudar mais a tabuada. O 
menino que não sabia dividir com o algoritmo estava bas-
tante satisfeito por ter compreendido agora. Uma menina 
disse estar compreendendo melhor, mas me pareceu ainda 
com dúvidas, pois ela pensava na divisão usando o processo 
breve de resolução (sem fazer a subtração explicitamente no 
cálculo) e o algoritmo ensinado pela professora usava o pro-
cesso longo (com a subtração explícita). Parecia que ela não 
conseguia associar esta subtração com a forma dela de pen-
sar. Por exemplo, ela disse: “20 dividido por 3 dá 6 e resta 
2”. Perguntei: “Como tu sabes que resta 2?” Ela respondeu: 
“Porque o 20 tem dois 10. O 3 cabe 3 vezes no 10 e resta 1. 
Então 2 vezes 3 dá 6 e os dois 1 dá 2.” Falei: “É isso mesmo. 
Eu não tinha pensado assim. Então como nós podemos mos-
trar que restam 2?” E ela, prontamente, escreveu: 20-18=2. 
Ou seja, a forma dela pensar já dava logo o resto e ela não 
usava a multiplicação e a subtração explicada no processo 
longo para chegar ao resto. Por isso, a possível confusão e 
dúvida dela.
O próximo relato apresenta um dos encontros em que foi 
trabalhada a revisão dos algoritmos tradicionais da adição e 
da subtração. A proposta para este encontro foi a seguinte:
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 13
1) Inventar um problema matemático para cada cálculo:
154 + 249 = 626 – 438 =
* Discutir sobre as situações criadas.
2) Resolver os cálculos com Material Dourado.
* Verificar como eles resolvem.
3) Resolver usando o algoritmo tradicional:
724 + 637 = 123 + 58 + 1029 = 531 – 274 = 8023 – 932 
=
Iniciei a atividade, pedindo que eles inventassem os proble-
mas para as duas operações colocadas no quadro.
Quando terminaram, solicitei que eles me explicassem si-
tuações em que a operação de adição precisava ser usada. 
Um aluno disse que se usava quando “a gente tinha uma cer-
ta quantidade de coisas e ganha mais uma quantidade dessa 
coisa”. Outro aluno disse que também se usa quando “a gente 
vende uma coisa e ganha certa quantia de dinheiro e depois 
vende mais outra coisa e ganha mais dinheiro. Daí a gente 
faz de mais”. Pedi que cada criança lesse o seu problema e 
comentamos sobre como os dados da operação foram trata-
dos em cada situação. Por exemplo: “No problema da Tatiane 
o número 154 eram maçãs e o número 249 eram peras. O 
que representa o resultado da operação neste problema?” As 
crianças respondiam perguntando: “Maçãs?” “Peras?” “Ma-
çãs e peras?” “Frutas?” Eu devolvia-lhes o questionamento, 
14 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
fazendo-os pensar novamente na situação apresentada até 
que chegávamos num consenso. E assim fizemos com todos os 
problemas inventados, fazia-os refletirem sobre cada situação 
e a sua relação com os dados.
Depois eles fizeram os cálculos representando com o Ma-
terial Dourado. Todos tiveram facilidade em realizar as trocas 
com o material. Após, realizaram os cálculos pelo algoritmo 
tradicional sem maiores dificuldades.
O último relato trata de um dos momentos em que foi tra-
balhada a interpretação de problemas matemáticos:
Para esta aula propus que as crianças resolvessem as ativi-
dades em uma folha individualmente e eu faria o acompanha-
mento dessa resolução também individualmente.
A leitura das atividadesfoi feita silenciosamente por cada 
criança e acompanhei cada uma fazendo questionamentos a 
partir de como eles estavam resolvendo. Pedia que eles expli-
cassem como pensavam, e, quando a criança tinha alguma dú-
vida, auxiliava-a a organizar o seu pensamento, criando uma 
estrutura dos dados do problema para que ela conseguisse 
chegar a uma solução.
Uma das crianças que, segundo sua professora, não rea-
lizava as atividades em sala de aula sem que ela tivesse que 
ficar lhe dando um atendimento individualizado, conseguiu re-
solver quase todos os problemas sozinha, e pediu ajuda em 
apenas duas situações.
Outra criança precisava que a auxiliasse várias vezes, pois 
não conseguia estruturar uma sequência na elaboração da re-
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 15
solução, pulando algumas etapas. Isto fazia com que, apesar 
de ter uma linha de raciocínio correta, não conseguisse chegar 
ao resultado, pois lhe faltava coletar alguns dados do proble-
ma.
Outra criança solicitava sempre que lhe dissesse se estava 
correto o seu raciocínio. Fui questionando-a para que ela per-
cebe se que estava conseguindo pensar de forma correta e, 
assim, tivesse mais confiança em si mesma.
Uma das crianças reclamava bastante das atividades. Ao 
ser questionada, geralmente não conseguia acertar logo. Pare-
cia ansiosa e não conseguia prestar atenção na pergunta que 
lhe era feita, sendo que esta tinha que ser sempre repetida. 
Sempre que errava, a primeira ação era a de desistir. Preci-
sava trabalhar sempre com o concreto e com o meu auxílio, 
questionando-a sobre cada ação.
A partir dos relatos, fizemos algumas ponderações.
Percebeu-se que as crianças tinham muita tranquilidade em 
participar das aulas de recuperação. As professoras convida-
vam as crianças que elas percebiam ter necessidade e também 
aquelas crianças que tinham vontade de vir. As crianças não 
se constrangiam em perguntar as suas dúvidas e sentiam-se 
satisfeitas no final das aulas.
No encontro em que a dificuldade com o algoritmo da divi-
são foi trabalhada, percebi que as crianças não estavam apre-
sentando dificuldades reais, mas eram dúvidas. Estas dúvidas 
foram facilmente sanadas, pois elas tinham origem na dife-
rença de linguagem, de raciocínio e no método utilizado pelo 
16 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
professor. Havia um descompasso entre a forma de ensinar 
e a lógica das crianças de aprender. A dificuldade estava em 
adequar a linguagem do professor – a sua forma de ensinar – 
com a forma como o aluno compreende.
Esta situação vivenciada permitiu uma avaliação do proces-
so de ensino-aprendizagem, remetendo a uma reformulação 
da situação de ensino proposta para adequá-la à construção 
de conhecimento dos alunos, sendo, portanto, compreendida 
como uma avaliação mediadora do processo de aprendiza-
gem. Esta situação confirmou a importância do ajustamento 
entre o ensino e a aprendizagem para possibilitar o sucesso 
escolar.
Quando foi trabalhada a revisão dos algoritmos tradicio-
nais da adição e da subtração, buscou-se verificar como as 
crianças estavam significando a adição e a subtração. Nos 
exemplos relatados, as crianças apresentaram duas situações 
para a adição: uma de mudança de uma situação inicial (ti-
nha... ganhei... agora tenho) e a outra de combinação (juntan-
do duas quantidades). Já para a subtração, elas apresentaram 
apenas uma situação: a de mudança de uma situação inicial 
(tinha... perdi, quebrou, devolvi... fiquei com) (JUSTO, 2004; 
2009). Problematizaram-se as situações matemáticas criadas 
pelas crianças, procurando dar significado aos dados dos pro-
blemas e seus resultados.
Na aula relatada sobre a interpretação de problemas ma-
temáticos, as crianças resolveram sozinhas os primeiros pro-
blemas para conhecermos a sua forma de pensar. Pedia-se 
que explicassem como resolveram e, desta forma, se algo não 
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 17
estava bem, ou as crianças mesmas percebiam ao explicar ou 
eram questionadas para que percebessem e pudessem refa-
zer. Percebeu-se que muitas crianças têm dificuldade em in-
terpretar o problema e encontrar os dados necessários para 
elaborar uma estratégia de solução. Acabam procurando ou 
se detendo em uma palavra que parece ser a “chave da des-
coberta”, querendo logo saber “qual a conta” (JUSTO, 2009). 
Pedia que representassem por desenho o que o problema dizia 
e isso auxiliava na sua interpretação e na organização de uma 
estrutura do problema. Algumas crianças tiveram dificuldade 
em expressar oralmente o que pensaram, outras responderam 
com certa ansiedade e uma criança teve o impulso de desistir 
frente ao primeiro obstáculo.
Concluindo
Faz-se importante uma aproximação com as crianças que, de 
alguma forma, não acompanham o ritmo de desenvolvimento 
de sua turma na escola: ouvir e observar as suas dúvidas e di-
ficuldades e tentar auxiliá-las para que possam superá-las. As 
crianças têm dificuldades distintas, apesar de serem agrupadas 
como iguais por seus professores. Essas diferenças se dão em 
função de características individuais, familiares e biológicas de 
cada criança, que fazem com que cada uma aprenda de uma 
maneira diferente – o que acontece independentemente de seu 
sucesso ou fracasso escolar. Cada criança tem a sua maneira 
de construir o seu conhecimento, mesmo que elas façam as 
mesmas tarefas escolares.
18 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Na aula de recuperação é possível dar um atendimento 
mais individualizado para o aluno e questioná-lo para poder 
compreender como ele está construindo o seu conhecimento 
e, assim, poder fazer as intervenções necessárias para que ele 
supere as suas dificuldades ou dúvidas. A compreensão de 
como o aluno está construindo o seu conhecimento e conhe-
cer as suas ideias prévias é muito importante para adequar o 
ensino à aprendizagem, vencendo os descompassos entre o 
aprender e o ensinar.
No entanto, os momentos da aula de recuperação não são 
suficientes para sanar as dificuldades enfrentadas pelas crian-
ças. Por isso, a importância da discussão, das trocas de ideias 
e de informações entre o professor que acompanha as aulas de 
recuperação e o professor regente de classe. Da mesma forma, 
é muito importante que ambos os professores tenham um bom 
conhecimento dos conceitos matemáticos para que possam in-
tervir fazendo bons questionamentos, cumprindo, assim, a im-
portante tarefa de ensinar para que o aluno aprenda.
Para isso, os professores devem ter uma boa fundamenta-
ção na didática e nos conceitos matemáticos para verificar se 
as crianças comprovam os seus procedimentos, os seus pró-
prios resultados, e para que elas avancem e elaborem outras 
soluções, reconhecendo os seus erros através de uma atitude 
reflexiva e comprometida com a procura de soluções para as 
situações apresentadas.
Outra questão que tem muita relevância quando se trata 
de crianças com dificuldades de aprendizagem é fazer com 
que elas adquiram mais confiança em si mesmas, na sua ca-
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 19
pacidade de aprender. Por mais tranquilas que elas possam 
parecer, sempre fica uma certa dose de insegurança e sensa-
ção de fracasso. É preciso tratar as dificuldades das crianças 
como estados passageiros, como um momento particular de 
seu processo de aprendizagem, evitando rótulos apressados 
e ansiedades adicionais. Evitar preconceitos e rótulos, evitar 
exigências que estão fora do seu alcance no momento, assim 
como evitar a gozação de seus colegas ou seu isolamento e 
afastamento das atividades sociocognitivas escolares são cui-
dados que o professor deve ter.
A questão das dificuldades de aprendizagem influencia 
várias situações do dia a dia escolar: as relaçõessociais en-
tre as crianças, as relações sociocognitivas, as inter-relações 
cognitivas, a relação professor-aluno, a avaliação, a relação 
família-escola... Enfim, a dimensão dessa abordagem é muito 
abrangente e necessita muita reflexão.
Recapitulando
Entende-se que compreender as dificuldades dos alunos na 
aprendizagem de Matemática é importante para se elaborar 
estratégias para superá-las. Para que isto possa se concretizar, 
precisamos colocar em prática algumas ações como professo-
res-pesquisadores:
a) Verificar qual a concepção que o aluno tem sobre a 
sua aprendizagem em Matemática, observando como 
20 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
ele lida com a aprendizagem de situações matemáti-
cas;
b) Identificar as dificuldades dos alunos em Matemática;
c) Trabalhar atividades de recuperação, possibilitando a 
construção de conhecimento;
d) Planejar, elaborar e implementar estratégias para a su-
peração das dificuldades.
Referências
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Atividades
 1) Assinalar a assertiva incorreta.
 Levar em consideração as ideias prévias das crianças so-
bre os conteúdos a serem trabalhados torna-se muito im-
22 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
portante para o processo de ensino e aprendizagem da 
Matemática, pois as ideias prévias representam:
(a) O conjunto de significados ou perspectivas que as 
crianças dispõem para interpretar as informações.
(b) O que as crianças já entendem do conteúdo em ques-
tão.
(c) A informação que o professor não precisa ressignificar.
(d) A concepção anteriormente existente à aprendizagem 
de um novo conteúdo.
(e) O diagnóstico inicial para o planejamento de situa-
ções didáticas ricas e variadas.
 2) Assinalar (V) para as assertivas Verdadeiras e (F) para as 
Falsas:
 Duhalde e Cuberes (1998) afirmam que se aprende:
(a) A partir dos conhecimentos prévios;
(b) Em um contexto no qual os sujeitos interajam com os 
outros, que frequentemente atuam como “mediado-
res”;
(c) Quando se identificam e se analisam os próprios erros 
e se renuncia a eles;
(d) Quando não se repetem as situações com o objetivo 
de incrementar sua compreensão;
(e) Quando leva um tempo e um esforço, porque nin-
guém aprende de uma vez por todas;
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 23
(f) Em situações moldadas por um contrato didático ne-
gociável.
 3) Assinalar as assertivas verdadeiras:
 Quando propomos problemas “da vida real” esperamos 
que os alunos façam relações e apliquem sua aprendi-
zagem. Nesse momento, a intervenção pedagógica do 
professor é fundamental como aquele que desafia, que 
questiona. O professor deve:
(a) Fazer boas perguntas.
(b) Aos poucos, ir dificultando as situações-problema que 
sejam significativas, observando o nível geral da turma 
para que todos se sintam capazes.
(c) Oferecer aos alunos situações-problema que exijam 
somente habilidades de fazer cálculos.
 4) Assinalar a assertiva incorreta:
 Segundo Justo (2009), o conhecimento matemático do 
professor inclui conhecer fatos aritméticos, conceitos, pro-
cedimentos e a relação existente entre eles; conhecer as 
formas como as ideias matemáticas podem ser represen-
tadas; conhecer a Matemática como uma área de ensino 
– em particular, como o conhecimento é produzido e a 
natureza do discurso em Matemática. Sendo assim, torna-
-se necessário que o professor:
(a) Desenvolva ou aprimore suas capacidades de resol-
ver problemas, argumentar, raciocinar e comunicar-se 
matematicamente.
24 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
(b) Estabeleça uma atitude positiva frente à Matemática, 
para que possa ter confiança em sua capacidade de 
ensinar e aprender, influenciando, dessa forma, tam-
bém a aprendizagem de seus alunos.
(c) Compreenda que, ao ensinar Matemática, precisa le-
var em conta só os conhecimentos que envolvam Ma-
temática.
 5) Nas assertivas abaixo, escrever certo (c) ou errado (e).
(a) A maior parte dos insucessos no desempenho mate-
mático dos alunos parece ser decorrente de problemas 
metodológicos, associados a particularidades cogniti-
vas e/ou emocionais. Assim, é importante conhecer a 
natureza das atividades propostas para poder objetivar 
com maior sucesso o desencadeamento da aprendiza-
gem.
(b) É preciso tratar as dificuldades das crianças como es-
tados permanentes de cognição.
(c) Cada criança tem a sua maneira de construir o seu co-
nhecimento, mesmo que elas façam as mesmas tarefas 
escolares.
(d) As crianças têm dificuldades distintas, apesar de serem 
agrupadas como iguais por seus professores. Essas 
diferenças se dão em função de características indi-
viduais, familiares e biológicas de cada criança, que 
fazem com que cada uma aprenda de uma maneira 
diferente – o que acontece independentemente de seu 
sucesso ou fracasso escolar. Cada criança tem a sua 
Capítulo 1 Possíveis Descompassos entre o Aprender... 25
maneira de construir o seu conhecimento, mesmo que 
elas façam as mesmas tarefas escolares.
Gabarito
 1) c
 2) a) V; b) V; c) V; d) F; e) V e f) V
 3) a e b
 4) c
 5) a) c; b) e; c) c e d) C
Jamille Mineo Carvalho de Magalhães1
Capítulo 2
Jogos: um Recurso 
Didático para o Ensino 
e a Aprendizagem da 
Matemática
1 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática (PPGECIM/Ulbra).
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 27
Introdução
Os jogos matemáticos têm potencial para promover momentos 
de ensino e aprendizagem e, para que isso ocorra com toda a 
sua potencialidade, é necessário que o professor conheça os 
jogos, estudos e pesquisas que discutam a sua eficácia e como 
usar esse recurso didático.
Ao iniciar o estudo do presente capítulo, gostaria de pro-
por ao leitor alguns questionamentos para inspirar a reflexão 
no decorrer da leitura e, ao final, construir suas respostas a 
respeito dos questionamentos: como um jogo pode ser usado 
para promover momentos de ensino e aprendizagem em uma 
aula de Matemática? Qual a importância do planejamento 
quando utilizamos um jogo em nossas aulas? Por que utilizar 
atividades de sistematização de conteúdo quandotrabalhar-
mos com jogos matemáticos?
A seguir, são apresentados alguns autores que pesquisam 
sobre o uso de jogos em sala de aula com o intuito de respon-
der estes questionamentos apresentados e despertar o interes-
se pela pesquisa sobre jogos matemáticos.
O professor dos Anos Iniciais e a 
Matemática
A partir dos questionamentos propostos, vamos refletir sobre a 
sua responsabilidade com sua formação inicial e o ensino da 
Matemática nos Anos Iniciais, já que:
28 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
[...] os professores da Educação Infantil e dos Anos Ini-
ciais são as primeiras pessoas que oficialmente ensina-
rão às crianças as primeiras noções de Matemática, é 
fundamental que estes sejam profissionais qualificados 
e tenham uma relação positiva com este componente 
curricular para que possam auxiliar numa constituição 
forte de uma aproximação satisfatória das crianças com 
a Matemática e para o desenvolvimento dos conceitos 
matemáticos de seus alunos. (JUSTO, 2009, p. 56).
Como já sabemos que os professores dos Anos Iniciais têm 
a responsabilidade de ensinar a Matemática de maneira for-
mal a primeira vez as crianças, entende-se que esses profes-
sores devem ter uma relação positiva com a disciplina para 
assim poderem promover em suas aulas momentos de Ensino 
e Aprendizagem com a Matemática. E sobre a relação dos 
professores dos Anos Iniciais com a Matemática a pesquisa de 
Justo (2009) traz algumas das dificuldades apresentadas por 
licenciandos em Pedagogia:
Como docente de Matemática Aplicada para a Educa-
ção Infantil e Anos Iniciais do Curso de Pedagogia, há 
vários semestres temos nos deparado com a insegurança 
e o medo de alunos desse curso em relação à Matemá-
tica. Em torno de 60% dos alunos matriculados nessa 
disciplina sentem alguma aversão, medo ou insegurança 
relacionada ao ensino e à aprendizagem da Matemática. 
(JUSTO, 2009, p. 54).
Verificamos, também, nos estudos de Nacarato, Passos e 
Carvalho (2004) a mesma preocupação com as dificuldades 
dos licenciados em Pedagogia.
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 29
Um dos grandes desafios para os formadores de pro-
fessores que ensinam ou ensinarão Matemática – gra-
duandos da Pedagogia – não reside apenas em romper 
barreiras e bloqueios que estes trazem de sua formação 
Matemática da escola básica, mas, principalmente, em 
provocar a tomada de consciência desses fatos, tra-
zendo-os à tona para que possa ser objeto de reflexão, 
superação e (re)significação. [...] Essas questões dizem 
respeito principalmente às dificuldades encontradas fren-
te à Matemática, ao sentimento de impotência para sua 
aprendizagem que, muitas vezes, foi permeada por his-
tórias de fracasso. (NACARATO; PASSOS; CARVALHO, 
2004, p. 10).
Visto que pesquisas apontam a existência de dificuldades 
em relação à Matemática pelos estudantes dos cursos de Li-
cenciatura em Pedagogia, Justo (2009, p. 60) afirma “[...] 
que, sem o conhecimento didático do professor sobre o conte-
údo a ser ensinado, a aprendizagem não alcança todo o seu 
potencial.” Essa dificuldade apresentada por parte dos estu-
dantes deve ser superada em sua formação inicial e os jogos 
matemáticos têm potencial para contribuir com esse momento 
de superação de dificuldades, pois através deste recurso é pos-
sível buscar momentos onde são estabelecidas relações que 
contribuem para o Ensino e Aprendizagem.
Os jogos matemáticos podem contribuir para momentos 
de Ensino e Aprendizagem que são proporcionados a partir 
de relações que o professor faz para que haja a apropriação 
de maneira correta de sua estrutura, regras, objetivos e conte-
údos matemáticos relacionados ao jogo, e essa apropriação 
30 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
demanda ao professor tempo de pesquisa e estudo para o pla-
nejamento de sua aula, buscando assim uma relação positiva 
de seus alunos com a Matemática.
Os jogos matemáticos
Os jogos trazem a diversão e ludicidade para a aula de Ma-
temática favorecendo um relacionamento positivo dos alunos 
com a disciplina. O jogo traz consigo conteúdo, regras, e po-
dem proporcionar momentos de aprendizagem a partir das in-
terações aluno/jogo, aluno/aluno, aluno/professor. Para Silva 
(2010) os jogos:
[...] são os recursos que possuem regras pré-estabele-
cidas e que possuem uma potencialidade lúdica na sua 
utilização. Acreditamos que o jogo possa ser um material 
com potencialidades dentro da sala de aula, pois eles 
podem ser direcionados para o ensino sem perder sua 
característica de jogo. Quando nos referimos ao jogo 
desta maneira, estamos direcionando nossos olhares a 
uma prática educativa que instrui e diverte ao mesmo 
tempo, sem que nenhuma dessas características se per-
ca. (SILVA, 2010, p. 27-28).
Há certo consenso, entre teóricos e especialistas do tema, 
sobre as contribuições cognitivas e sociais, afetivas e culturais 
potencializadas por diferentes tipos de jogos.
Existem vários tipos de jogos e vários conceitos referentes a 
eles ao se levantar a história destes na literatura da área. Atu-
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 31
almente, os jogos são valorizados por professores e pesquisa-
dores, como também por documentos oficiais que orientam o 
ensino no Brasil. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) 
defendem o uso do jogo como recurso didático com grande 
potencial. Neles encontramos que:
Os jogos e brincadeiras são elementos muito valiosos no 
processo de apropriação do conhecimento. Permitem o 
desenvolvimento de competências no âmbito da comu-
nicação, das relações interpessoais, da liderança e do 
trabalho em equipe, utilizando a relação entre coope-
ração e competição em um contexto formativo. O jogo 
oferece o estímulo e o ambiente propícios que favorecem 
o desenvolvimento espontâneo e criativo dos alunos e 
permite ao professor ampliar seu conhecimento de técni-
cas ativas de ensino, desenvolver capacidades pessoais 
e profissionais para estimular nos alunos a capacidade 
de comunicação e expressão, mostrando-lhes uma nova 
maneira, lúdica, prazerosa e participativa, de relacionar-
-se com o conteúdo escolar, levando a uma maior apro-
priação dos conhecimentos envolvidos. (BRASIL, 2002, 
p. 56).
Esse mesmo olhar sobre a potencialidade do uso dos jogos 
como recurso didático atrelado ao conteúdo no Programa Pró-
-Letramento 2, que é uma proposta de formação continuada 
para professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. O 
documento que apresenta o Programa aponta que no ensino 
de Matemática:
32 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
[...] o jogo pode ser desencadeador da aprendizagem 
de novos conceitos. Resolução de problemas e jogo, sob 
esta perspectiva, pode provocar um encontro pedagó-
gico onde professor e aluno interagem de modo a de-
senvolver pensamento, linguagem e afetividade. Aliar 
resolução de problemas ao jogo, no ensino de Mate-
mática, é o objetivo principal desta proposta. (BRASIL, 
2008, p. 209, grifo do autor).
Defendendo ainda o uso dos jogos como recurso para o 
ensino, Marco (2005, p. 4) afirmou que: “[...] os jogos são 
recursos com os quais a criança pode produzir e compreender 
textos, significados e situações escolares e cotidianas, além de 
criar estratégias para resolver a situação-problema enfrentada 
para atingir seu objetivo (ganhar o jogo).” O jogo se apresen-
ta como um recurso didático com potencial para contribuir 
nas aulas de forma positiva, colaborando com professores e 
alunos no processo de ensino e de aprendizagem de maneira 
significativa.
A pesquisadora Kishimoto (2002) acredita na utilização dos 
jogos na Educação e no papel social que eles apresentam. A 
autora aponta três níveis de diferenciação para o jogo:
(1) o resultado de um sistema linguísticoque funciona 
dentro de um contexto social; (2) um sistema de regras; 
e (3) um objeto. No primeiro caso, o sentido do jogo 
depende da linguagem de cada contexto social. [...] o 
essencial não é obedecer à lógica de uma designação 
científica dos fenômenos e, sim, respeitar o uso cotidia-
no e social da linguagem, pressupondo interpretações 
e projeção social. [...]. No segundo caso, um sistema 
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 33
de regras permite identificar, em qualquer jogo, uma es-
trutura sequencial que especifica sua modalidade. [...] 
regras permitem diferenciar cada jogo, permitindo super-
posição com a situação lúdica, [...]. O terceiro sentido 
refere-se ao jogo enquanto objeto. [...]. Os três aspectos 
citados permitem uma primeira compreensão do jogo, 
diferenciando significados atribuídos por culturas diferen-
tes, pelas regras e objetos que o caracterizam (KISHIMO-
TO, 2002, p.16-17).
Os três níveis de diferenciação do jogo apresentados por 
Kishimoto (2002) contribuem para um melhor entendimento 
do que é jogo para Educação, assim o professor no momento 
em que for fazer uso deste recurso pode ter uma visão mais 
ampla do significado da palavra jogo e do que ele representa.
Acredita-se que o jogo tem potencial para promover mo-
mentos de ensino e aprendizagem a partir das intervenções 
e relações estabelecidas pelo professor durante a utilização 
do recurso, assim como valorizar a interação dos alunos com 
o jogo e aluno/aluno. Ao conhecer a potencialidade de um 
jogo, o professor dispõe de um recurso didático para usar 
como aliado aos momentos de ensino e aprendizagem. Para 
Mineo (2012):
O jogo deve:
1. Ser para dois ou mais alunos (jogo em grupo);
2. Despertar o interesse dos alunos;
3. Além de raciocínio lógico, ter conteúdo matemático;
34 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
4. Ter objetivo competitivo e, no mínimo, um ganhador;
5. Favorecer a elaboração de estratégias. (MINEO, 
2012, p. 26).
Além destes aspectos, outro fator importante a ser eviden-
ciado é a função do professor no momento da escolha do jogo 
para utilização em sala de aula. Acredita-se que, ao escolher 
um jogo, o professor deve estar atento aos seus objetivos: se 
vai usar esse jogo para iniciar um conteúdo, favorecendo à 
construção de conceitos; se vai usá-lo como meio para aplicar 
conteúdos já trabalhados; ou se quer, ao final de um conteú-
do, mobilizar o que foi trabalhado. Ao apresentar o jogo, as 
regras devem ficar claras e serem discutidas com os alunos; os 
alunos devem jogar uma partida para se familiarizarem com 
o recurso para, depois, iniciar a partida onde o objetivo deve 
ser alcançado; é importante também que o jogo seja retoma-
do em outra aula; planejar atividades de sistematização do 
conteúdo matemático envolvido no jogo; e a organização dos 
grupos para que os alunos trabalhem de forma favorável os 
objetivos propostos. Nas pesquisas de Mineo (2012) uma ob-
servação sobre a mediação do professor durante aulas usando 
jogos matemáticos:
Acreditamos que os jogos são um recurso educativo que 
tem potencial para desenvolver, com a mediação do pro-
fessor, aspectos, sociais, culturais e de cidadania. Essa 
potencialidade que os jogos trazem em si podem ser um 
forte aliado para os momentos de ensino e aprendiza-
gem Matemática. (MINEO, 2012, p. 94).
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 35
Conhecer como um jogo funciona e o que pode propor-
cionar é fundamental para o planejamento do professor, assim 
poderá explorar ao máximo esse recurso e as possíveis media-
ções necessárias para alcançar os objetivos pretendidos.
Planejamento com jogos
Para a realização de uma aula ou atividade com jogos mate-
máticos é necessário que o professor planeje esse momento 
favorecendo a realização dos objetivos e ainda podendo fazer 
uma reflexão posterior sobre o que funcionou e o que não 
funcionou em sua aula com jogos.
[...] o trabalho com jogos nas aulas de Matemática, 
quando bem planejado e orientado, auxilia o desenvol-
vimento de habilidades como observação, análise, le-
vantamento de hipótese, busca de suposições, reflexão, 
tomada de decisão, argumentação e organização, que 
estão estritamente relacionadas ao chamado raciocínio 
lógico [...]. (SMOLE; DINIZ; CÂNDIDO, 2007, p. 11).
O professor, ao elaborar o seu planejamento incluindo o 
uso de jogos matemáticos e compreendendo quais as habi-
lidades que os jogos podem ajudar a desenvolver em seus 
alunos, assim como dos conteúdos envolvidos e das relações 
de aprendizagem relacionadas às interações entre os alunos, 
terá como criar momentos e discussões em torno das situações 
oportunizadas pelo jogo fazendo com que os momentos de 
ensino e aprendizagem sejam favorecidos.
36 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Durante o planejamento, o professor elabora a atividade 
de sistematização de conteúdo voltada para o jogo que vai ser 
trabalhando em sala de aula, pois assim ele terá uma resposta 
mais significativa do uso dos jogos e a formalização do conte-
údo matemático envolvido.
Atividade de sistematização de conteúdo
Para as atividades de sistematização usaremos a definição que 
Justo (2009) estabeleceu: as atividades elaboradas com intuito 
de esclarecer o conhecimento matemático envolvido em um 
jogo, antes trabalhado com o objetivo de contextualizar o con-
ceito matemático. Entendemos que contextualizar é dar sentido 
a uma situação ou conceito, o que se pretende com as ativida-
des de sistematização dos conteúdos, buscando a aprendiza-
gem matemática. As atividades de sistematização, elaboradas 
nos momentos de planejamento, buscam fazer com que o alu-
no reconheça nelas os conteúdos e/ou as habilidades que o 
jogo proporcionou.
Jogos e resolução de problemas
Os jogos matemáticos ajudam a desenvolver habilidades, 
quando o professor proporciona momentos de reflexão sobre 
as jogadas dos seus alunos. A tomada de decisão e formu-
lação de estratégias são algumas destas habilidades, e, por 
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 37
sua vez, estão diretamente relacionadas com a resolução de 
problemas matemáticos. Para Grando (2000):
O jogo propicia o desenvolvimento de estratégias de re-
solução de problemas na medida em que possibilita a 
investigação, ou seja, a exploração do conceito através 
da estrutura Matemática subjacente ao jogo e que pode 
ser vivenciada, pelo aluno, quando ele joga, elaborando 
estratégias e testando-as a fim de vencer o jogo. (GRAN-
DO, 2000, p. 32).
Observando ainda que Smole, Diniz e Cândido (2007) 
contribuem com a discussão das habilidades que os jogos po-
dem ajudar a desenvolver e que contribuem com a resolução 
de problemas:
As habilidades desenvolvem-se porque, ao jogar, os alu-
nos têm a oportunidade de resolver problemas, inves-
tigar e descobrir a melhor jogada; refletir e analisar as 
regras, estabelecendo relações entre os elementos do 
jogo e os conceitos matemáticos. Podemos dizer que o 
jogo possibilita uma situação de prazer e aprendizagem 
significativa nas aulas de Matemática. (SMOLE; DINIZ; 
CÂNDIDO, 2007, p. 11).
O caráter divertido da Matemática pode ser expresso a 
partir das atividades com jogos favorecendo também momen-
tos de aprendizagem que favorecem a resolução de problemas 
a partir das habilidades que eles podem auxiliar a desenvolver.
Vamos conhecer agora o jogo matemático Cálculo Plus, 
sua estrutura, objetivo e regras. Veremos também sugestões de 
38 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
planejamento para uma aula com esse recurso e uma ativida-
de de sistematização de conteúdo.
Figura 1 Cálculo Plus.
Fonte: Mineo (2012, p.48).
O jogo
Estrutura: tabuleiro, três dados e fichas para cobrir os valores 
dostabuleiros.
Jogadores: duas ou mais pessoas.
Objetivo: cobrir o maior número possível de grupos de três 
valores vizinhos ligados em linha horizontal, vertical ou diago-
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 39
nal. Ganhará o jogo o participante que tiver obtido o maior 
número de três pontos em linha no tabuleiro.
Regras: na sua vez de jogar, o jogador lança três dados. Com 
os valores resultantes, compõe uma expressão numérica. Diz 
em voz alta a expressão e a sua resposta, cobrindo o valor cor-
respondente ao resultado no tabuleiro. Se na sua vez de jogar 
não houver possibilidade de cobrir um número, passa a vez 
para o próximo jogador. O jogo termina quando não houver 
mais números a serem cobertos.
Planejamento:
Objetivos: resolver exercícios com as quatro operações en-
quanto joga; resolver situações-problema envolvendo as qua-
tro operações de forma lúdica.
Conteúdo: as quatro operações; Resolução de problema.
Recurso: jogo Cálculo Plus.
Avaliação: os alunos serão avaliados durante suas jogadas, 
suas respostas às intervenções feitas pelo professor nas discus-
sões em grupo, e na resolução das situações-problema pro-
postas na atividade de sistematização de conteúdo.
Roteiro da aula: o professor organiza a sala em grupo de 
quatro alunos e explica o jogo. Em seguida, deixa os alunos 
jogarem e circula entre os grupos observando as jogadas, as 
interações entre os alunos e fazendo intervenções quando ne-
cessário. Ao final da ou das partidas, o professor propõe aos 
40 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
alunos a resolução de situações problema na atividade de sis-
tematização de conteúdo.
Atividade de sistematização de conteúdo:
1º Quais os resultados que eu posso obter, utilizando as qua-
tro operações fundamentais, com os valores 2, 6 e 3, obtidos 
no lance dos dados?
2º É possível obter o resultado 25 com os valores 5, 5, e 1? 
De que forma?
3º Márcia obteve o resultado 10 com os valores 3, 2 e 1. Már-
cia está certa ou errada? Justifique sua resposta.
4º Observe o tabuleiro e depois responda as questões que 
seguem:
Fichas: Marcos e Vanessa.
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 41
a) É a vez de Marcos jogar e ele obteve os números 4, 2 
e 3. Ele venceria o jogo? Caso resposta afirmativa, de 
que maneira?
b) Se caso fosse a vez de Vanessa e ela obtivesse 5, 6 e 
3 no lance dos dados, o que você faria no lugar dela? 
De que forma?
Você acabou de conhecer um jogo matemático, sua estru-
tura, planejamento e atividade de sistematização de conteúdo. 
A intenção foi pôr em prática a teoria apresentada. Agora é a 
sua vez de realizar as atividades de sistematização dos conteú-
dos que trabalhamos neste capítulo.
Recapitulando
Neste capítulo, conhecemos alguns pesquisadores que defen-
dem o uso de jogos matemáticos em sala de aula para pro-
mover momentos de Ensino e Aprendizagem. Podemos perce-
ber que todos os pesquisadores acreditam que o professor, ao 
aproveitar os momentos proporcionados pelo jogo para esta-
belecer relações com os alunos, jogo e professor, valorizando 
o conteúdo matemático presente esse recurso, pode se tornar 
um grande aliado para a aprendizagem. Cabe ao professor 
planejar aulas com jogos matemáticos e, durante esse plane-
jamento, criar atividades de sistematização de conteúdo para 
que o recurso alcance os objetivos almejados.
42 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Iremos realizar atividades com e sobre jogos matemáticos 
para colocar em prática a teoria estudada e, assim, despertar 
o interesse sobre o recurso para suas futuras aulas.
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Campinas. Campinas, 2000.
JUSTO, Jutta. C. R. Resolução de problemas matemáticos 
aditivos: possibilidades da ação docente. Tese (Douto-
rado em Educação), Programa de Pós-Graduação em Edu-
cação, Departamento de Educação, Universidade Federal 
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Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 43
KISHIMOTO, Tizuco M. Jogo, brinquedo, brincadeiras e a 
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MARCO, Fabiana F. D. Jogos: um recurso metodológico para 
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MINEO, Jamille. Ressignificação de Concepções de Pro-
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temática e o Uso de Jogos Matemáticos. Dissertação 
(Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática), Programa 
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NACARATO, Adair. M.; PASSOS, Cármen. L. B.; CARVALHO, 
Dione. L. D. Os Graduandos em Pedagogia e suas 
Filosofias Pessoais Frente à Matemática e seu Ensi-
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em Ensino das Ciências e Matemática, Departamento de 
Educação, Universidade Federal Rural de Pernambuco. 
Recife 2010.
SMOLE, Kátia S.; DINIZ, Maria I.; CÂNDIDO, Patrícia Cader-
no do Mathema. Porto Alegre: Artmed, 2007.
44 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Atividades
 1) Questionando-se
 No início do capítulo foram feitos três questionamentos 
para orientar você durante a leitura. Vamos responder es-
ses questionamentos usando a teoria apresentada e bus-
cando outros pesquisadores que concordem ou discordem 
com o que foi apresentado.
a) Como um jogo pode ser usado para promover mo-
mentos de ensino e aprendizagem em uma aula de 
Matemática?
b) Qual a importância do planejamento quando utiliza-
mos um jogo em nossas aulas?
c) Por que utilizar atividades de sistematização de conteú-
do, quando trabalhar com jogos matemáticos?
 2) Conhecendo o Cubra 12
Vamos conhecer o jogo Cubra 12:
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 45
Jogo para dois participantes ou duas duplas.
ESTRUTURA: tabuleiro retangular tendo nos dois lados maio-
res os números de 1 a 12, dois dados e 24 peças do tamanho 
da casa dos números, sendo 12 para cada participante ou 
cada dupla.
OBJETIVOS: cobrir todos os números de 1 a 12 antes do seu 
oponente,.
REGRAS: na sua vez de jogar, o jogador lança os dados e 
faz uma operação necessária com os valores dados de modo 
a dar um número de 1 a 12. Antes de cobrir o resultado de 
sua operação no tabuleiro, o seu oponente fará uma pergunta 
com a mesma operação. Se ele acertar cobre o numero que 
resultou dos dados; se errar passa a vez para o próximo jo-
gador. Se na sua vez de jogar o jogador não conseguir fazer 
uma operação com os dados que resulte em algum número do 
tabuleiro, ele passa a vez para o próximo jogador.
a) Agora que você conhece o jogo, elabore uma ativida-
de de sistematização de conteúdo para o Cubra 12.
b) Elabore um planejamento para uma aula com o jogo 
Cubra 12.
 3) Relato de experiência.
 Escolha um jogo matemático e uma turma dos Anos Ini-
ciais e elabore um planejamento e umaatividade de sis-
tematização de conteúdo e realize o que foi planejado. 
Depois da ação realizada, faça a descrição de como ocor-
reu a aula e relate suas impressões sobre os momentos 
46 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
vivenciados como aprendizagem pelos alunos, a intera-
ção entre eles, as intervenções deles, quais os resultados e 
quais os aspectos positivos e negativos da aula. Para fina-
lizar, descreva o que você faria de forma diferente. Durante 
esse relato, procure justificar suas afirmações e o que foi 
vivenciado utilizando o referencial teórico apresentado, e 
pesquise outras fontes.
 4) Competição durante os jogos.
 O uso dos jogos como recurso didático traz diversos bene-
fícios às aulas que já discutimos em nosso capítulo e, junto 
com isso, temos a competição, que faz parte de suas ca-
racterísticas. Elabore uma resenha sobre como a competi-
ção existente nos jogos pode ser aproveitada de maneira 
positiva pelo professor em sala de aula.
 5) Cálculo Plus
 Existem algumas jogadas durante uma partida do Cálculo 
Plus em que, para obter o resultado pretendido, se faz ne-
cessário o uso de parênteses, como por exemplo:
 Quando nos dados saírem os números 2, 5 e 6, e o joga-
dor precisar obter como resultado o número 40, ele terá 
que fazer uso dos parênteses (2 + 6) x 5. Assim:
(2 + 6) x 5 =
8 x 5 =
40
Caso não tivesse feito o uso dos parênteses, teríamos:
Capítulo 2 Jogos: um Recurso Didático para o Ensino... 47
2 + 6 x 5 =
2 + 30 =
32
a) Os dois cálculos apresentados acima estão corretos, 
mas para a situação de jogo apresentada só o primei-
ro interessa. Justifique por quê.
b) Encontre outras três situações onde seja obrigatório o 
uso de parênteses para resolver uma situação-proble-
ma do jogo Cálculo Plus.
c) De que maneira você faria em uma aula em que esti-
vesse usando este jogo para que os alunos construís-
sem o conceito de como e para que usar parênteses 
em uma expressão numérica? Faça uma descrição de 
como seria essa aula, quais as estratégias e quais as 
intervenções que você faria (podem ser criados diálo-
gos com alunos).
Gabarito
Atividade de sistematização de conteúdo:
 1) 0, 1,2, 4, 5, 6, 7, 9,11, 12, 15, 18, 20, 24 e 36.
 2) 5 x 5 x 1 ou 5 x 5 / 1
 3) Errada. Utilizando as quatro operações não é possível ob-
ter o resultado desejado. 
48 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
 4) 
a) ? Sim, 4 – (3 -2)
b) Ganharia o jogo fazendo a seguinte operação: 5x6+3
Atividade de sistematização de conteúdo:
 1) Respostas pessoais
 2) Respostas pessoais
 3) Respostas pessoais
 4) Respostas pessoais
 5) 
a) A utilização dos parênteses faz com que a operação 
que esteja dentro dele seja resolvida primeiro. Sem a 
existência dos parênteses teríamos que iniciar a ope-
ração pela multiplicação. Nos dois casos estamos res-
peitando a ordem de prioridade algébrica, desta for-
ma teríamos que optar pelo uso dos parênteses para 
obter o resultado 40.
b) Resposta pessoal.
c) Resposta pessoal.
Tania Elisa Seibert1
Capítulo 3
Ensino e Aprendizagem 
de Números Naturais
1 Doutora em Ensino de Ciências e Matemática. Professora da Universidade Lute-
rana do Brasil.
50 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Introdução
Os números fazem parte do dia a dia de todas as pessoas, 
mas nem sempre percebemos a sua presença. Exemplos de 
sua utilização podem ser percebidos em diferentes situações, 
como:
 No trânsito, para indicar a velocidade 
máxima permitida em uma rodovia.
 Em embalagens, para indicar quantidades.
O número é a qualidade que as coleções têm, e que de-
pendem apenas da quantidade de seus elementos, indepen-
dente da natureza dos objetos. Quando duas coleções apre-
sentam a mesma quantidade de objetos, associamos a elas 
um mesmo número.
Representamos os números gráfica e oralmente através de 
símbolos (os chamados numerais). Os numerais foram desen-
volvidos a partir, principalmente, do ato de agrupar. As gran-
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 51
des civilizações do passado tinham maneiras próprias de re-
presentar os números.
1 A numeração indo-arábica
Como resultado de pesquisas realizadas em diferentes lugares, 
surge na Índia uma das grandes invenções da história da Ma-
temática: o sistema de numeração decimal.
Em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, anuncia em uma 
conferência que os hindus realizavam cálculos utilizando ape-
nas nove sinais. A referência a nove, e não a dez símbolos, 
significava que o passo mais importante dos hindus para for-
mar o seu sistema de numeração, a invenção do zero, ainda 
não tinha chegado ao Ocidente. A ideia da notação para uma 
posição vazia – um ovo de ganso, redondo, ocorreu na Índia 
no final do século VI. Com a introdução do zero, o sistema 
de numeração, tal qual o conhecemos hoje, estava completo 
(GUELLI, 1998).
Hoje estes símbolos são chamados de algarismos indo-
-arábicos, pois os árabes, durante o reinado, travaram uma 
série de guerras de conquistas. Como prêmio dessas conquis-
tas, livros de diversos centros científicos foram levados para 
Bagdá e traduzidos para a língua árabe.
Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum. Esse 
califa era apaixonado pelas Ciências e contratou vários sá-
bios muçulmanos, entre eles al-Khowarizmi, que compreen-
52 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
deu o sistema de numeração hindu. Para contar ao mundo a 
sua descoberta escreveu o livro chamado “Sobre a arte hindu 
de calcular”, explicando o funcionamento dos dez símbolos 
hindus.
Os símbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ficaram conhecidos 
como a notação de al-Khowarizmi, de onde se originou o 
termo latino algorismus, que deu origem ao termo algarismo. 
São estes números, criados pelos hindus e difundidos pelos 
árabes, que constituem o nosso sistema de numeração deci-
mal, que ficaram conhecidos como algarismos indo-arábicos 
(GUELLI, 1998).
2 O conceito do número
Piaget (1973, 1976, 1978) estabeleceu uma distinção entre 
três tipos de conhecimentos, considerando suas fontes bási-
cas e sua estruturação: o conhecimento físico, o social e o 
lógico-matemático. Classifica como físico o conhecimento dos 
objetos da realidade externa que podem ser conhecidos pela 
observação. O social, também como conhecimento externo à 
pessoa, tem sua origem no meio sociocultural. Já o conheci-
mento lógico-matemático difere dos demais, pois este se ori-
gina da percepção das diferenças entre objetos, de uma cons-
trução e da ação mental da criança sobre o mundo. Não é 
inerente ao objeto, pois é construído a partir das relações que 
a criança elabora na sua atividade de pensar o mundo. Con-
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 53
siste de relações que não podem ser observáveis, que ocorrem 
por diversos estados de abstração. É uma pertença biológica 
que, apesar de ser interno não nasce pronto e precisa ser de-
senvolvido nos indivíduos.
Segundo Piaget (ibdem) a construção do conhecimento 
lógico-matemático se faz a partir da vivência da criança, es-
pecialmente nas situações de desafio que lhe são apresen-
tadas na escola e em casa, já que ela constrói ativamen-
te esse conhecimento nas relações com o meio ambiente e 
com os outros. Para Piaget (2002), o conhecimento físico e o 
conhecimento social nascem do conhecimento da realidade 
e se formam por meio da ação do sujeito sobre os obje-
tos, enquanto as estruturas lógico-matemáticas nascem da 
coordenação das ações do sujeito, formando instrumentos 
indispensáveis para a assimilação da realidade. Um exem-
plo de conhecimento lógico-matemático se dá quando, ao 
se apresentar um mesmo objeto, um vermelho e o outro azul, 
nota-se a diferença, que não está nemem um objeto nem em 
outro, mas sim na relação entre os dois. Se a pessoa não os 
colocasse dentro dessa relação, para ela essa diferença não 
existiria.
Na teoria piagetiana, a aquisição dos conceitos lógico-
-matemáticos, que serão descritos a seguir, são fundamentais 
para a aquisição do conceito de número, já que existe uma 
forte correlação entre eles. Os conceitos lógico-matemáticos 
e o conceito do número (Figura 1), segundo Cardoso (2009), 
baseada na Teoria de Piaget são classificados como:
54 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Figura 1 Conceitos lógico-matemáticos e o conceito do número.
Fonte: adaptado de Cardoso (2009).
Para Piaget e Inhelder (1983), dois conceitos lógico-mate-
máticos são de extrema importância no processo de constru-
ção do conceito do número: o conceito de classificação e o 
conceito de seriação.
Classificam-se objetos quando esses são aproximados de 
outros por algum atributo comum a ambos, separando-os de 
outros que deles diferem. A estrutura lógica de classificação 
para Piaget e Inhelder (1983) se desenvolve de forma gra-
dual, em etapas sucessivas da infância até a adolescência, e 
em diferentes níveis. De início, a criança constrói seu primeiro 
conceito classificatório em contato direto com objetos, através 
de coleções que serão a base para a formação do conceito 
de classe.
Uma criança avança no conceito de classificação quando 
uma coleção de objetos diferentes é apreendida como sen-
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 55
do constituída por elementos equivalentes e, por conseguinte, 
permutáveis sob x, isto é, quando uma coleção se transforma 
em classe. No plano formal, a classe é necessária, pois reúne 
os elementos e delimita o todo, assegura a equivalência en-
tre os elementos que se tornam unidades iguais e não atribui 
qualquer lugar no espaço e no tempo aos seus elementos, 
que são, portanto, totalmente permutáveis. (CHALON-BLANC, 
2008).
Já a seriação, segundo Piaget (2002), é o processo pelo 
qual se comparam e se ordenam os objetos, de forma ascen-
dente ou descendente, e se estabelecem as diferenças entre 
eles. Destaca que a seriação pertence às relações chamadas 
assimétricas, ou seja, àquelas utilizadas ao seriar objetos con-
siderando a ordem linear de grandeza desses elementos.
Segundo Rangel (1992), as relações são chamadas de as-
simétricas porque o que nos leva a aproximar um objeto “b” 
de um objeto “a” colocado, por exemplo, numa série que vai 
do menor ao maior, é que “b” é maior do que “a” e este não é 
o mesmo motivo de aproximar “a” de “b”, já que “a” é menor 
que “b”. Tal como a classificação, a seriação é estruturada nos 
sujeitos de forma progressiva (PIAGET e INHELDER, 1983).
A ordem atribui momentaneamente um lugar, e um só, no 
tempo e no espaço, aos elementos de uma classe. Chalon-
-Blane (2008) salienta que o conceito de ordem é necessário 
na construção do número, pois liberta o número de qualquer 
dependência relativa a uma ordem estável. De dois elementos, 
um pode ser o primeiro ou o segundo, ou vice-versa, desde 
que haja um primeiro e um segundo.
56 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Para Piaget (1976, 1978, 2002), a aquisição do número se 
dá de forma paralela ao desenvolvimento do raciocínio lógi-
co-matemático, isto é, o número é adquirido etapa por etapa, 
como síntese das estruturas lógico-matemáticas elementares. 
Nesta perspectiva, as crianças comparam, ordenam no espaço 
e no tempo, e através destas ações constroem o conhecimento 
matemático. Segundo o autor, a construção de um verdadeiro 
número é a capacidade de abstrair uma mesma quantidade a 
partir de objetos com formas diferentes, isto é, que conserve a 
quantidade apesar da forma e da ordem dos elementos (cor-
respondência termo a termo).
Conforme Piaget e Smeminska (1975), o conceito do nú-
mero está diretamente ligado à inclusão de classes e à orde-
nação serial. A síntese do número ocorre quando a criança 
associa os resultados de inclusão de classes com os de seria-
ção das relações, desconsiderando o aspecto de qualidade. 
Para os autores, o número é classe e relação assimétrica ao 
mesmo tempo; ele não deriva de uma ou de outra, mas sim da 
reunião entre elas. Salientam que para afirmar que a criança 
conhece o número não basta ela saber contar verbalmente, 
pois essa criança pode ser capaz de enumerar uma fila de seis 
fichas, mas não compreender que, ao dividir as seis fichas em 
dois grupos de três, equivalem, em sua reunião, à quantidade 
inicial de fichas.
Para os autores, se a ordenação fosse a única operação 
mental da criança sobre os objetos, eles não poderiam ser 
quantificados, uma vez que a criança os consideraria apenas 
um de cada vez, em vez de um grupo de muitos ao mesmo 
tempo. A criança, ao contar, por exemplo, seis objetos orde-
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 57
nados, pode ter dois comportamentos que dependem de ter 
ou não se apropriado da inclusão de classes. Na Figura 2, ao 
contar objetos ordenados ela conta seis, mas aponta para o 
último objeto como sendo o seis.
Figura 2 sem inclusão hierárquica.
Fonte: adaptado de Piaget e Smeminska (1975).
Para Piaget e Smeminska (1975), esse comportamento in-
dica que, para a criança, as palavras um, dois, três, etc., são 
nomes de elementos de uma série qualquer. A quantificação 
de objetos como um grupo ocorre quando a criança os coloca 
numa relação de inclusão hierárquica, conforme Figura 3.
Figura 3 com inclusão hierárquica.
Fonte: adaptado de Piaget e Smeminska (1975).
No final dos estágios dos processos de contagem, a crian-
ça percebe que os numerais podem ser produzidos de manei-
ra flexível, tanto no sentido crescente, quanto no decrescente. 
58 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Outra característica é que a criança não necessita mais de 
apoio concreto (objetos) para contar, já que o valor cardinal 
passa a substituí-los.
Atividades
Segundo Lorenzato (2006), para que o professor tenha suces-
so na organização de situações que propiciem a exploração 
matemática pelas crianças é necessário que ele conheça os 
processos mentais básicos para aprendizagem da Matemáti-
ca, entre eles: correspondência, classificação, sequenciação, 
seriação, inclusão e conservação. O autor afirma que se o 
professor não trabalhar com as crianças esses processos, elas 
terão dificuldades para aprender número e contagem, entre 
outras noções.
2.1 Classificação
As atividades de classificação têm como objetivo reconhecer 
as características de um conjunto e separar elementos que não 
pertençam a ele. Constrói as relações de pertinência (quando 
relacionamos cada elemento com a classe a qual pertence), 
a relação de inclusão de classes (quando relacionamos uma 
subclasse com a classe maior em que ela se encaixa) e as rela-
ções simétricas (quando relacionamos objetos com as suas se-
melhanças. Se a tem a mesma cor de b, então b tem a mesma 
cor de a). Estabelece a relação entre a parte e o todo.
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 59
Quando a criança perceber as semelhanças entre elemen-
tos de um conjunto estará apta a perceber a semelhança entre 
as quantidades. Por exemplo: uma coleção de 3 carros e uma 
coleção de 3 balões (propriedade numérica 3). A criança tam-
bém deve perceber que dentro do 3 está o 2; dentro do 2 está 
o 1 (hierarquia de classes).
Atividade sugerida para sala de aula
Materiais manipulativos: conjunto de peças com critérios para 
formar subconjuntos.
Por exemplo: 8 peças com “carinhas” de crianças, com cri-
térios: sexo, cor de pele, expressão de alegre ou triste, entre 
outros. Pedir para agrupar as peças segundo algum critério 
escolhido pelo aluno.
2.1.2 Relações de ordem – seriação
A seriaçãotem como objetivo organizar objetos por alguma 
diferença, segundo algum critério. Enquanto a classificação 
trabalha mais com as semelhanças entre os elementos, a seria-
ção trabalha mais com as diferenças entre eles. Dizemos que 
estamos seriando os elementos de uma coleção quando esta-
belecemos entre eles uma relação de diferença que possa ser 
quantificada, permitindo que os elementos sejam colocados 
em ordem crescente ou decrescente. Constrói o conhecimento 
do número ordinal, o conceito de inclusão e de reversibilidade.
60 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Na seriação obtemos um fila, na qual cada elemento tem 
seu lugar bem definido, e a relação que se estabelece entre ele 
e seus antecessores e sucessores tem as propriedades recípro-
ca ou antissimétrica (Se a é maior que b, então b é menor que 
a) e a transitiva (se Paulo é irmão de João e João é irmão de 
Maria, pode-se concluir que Maria é irmã de Paulo).
Em relação ao número, podemos dizer que a série numéri-
ca é o resultado da seriação de classes de conjuntos. Qualquer 
conjunto de 3 elementos estará colocado depois do conjunto 
de 2 elementos e antes do conjunto de 4 elementos. A relação 
entre a primeira classe e a segunda, ou entre a segunda e a 
terceira, é “+1”. No caso da ordem decrescente, seria “-1”.
Quando formamos uma fila com atributos físicos, por 
exemplo, cor, estamos trabalhando com uma grandeza não 
quantificável, e a essa “fila” chamamos de sequência.
Atividades sugeridas para sala de aula
 1) Completar sequências com alternância de elementos.
 2) Seriações com mudanças de tamanho (iniciar com objetos 
tridimensionais, bidimensionais e, por fim, de uma dimen-
são). Ordem crescente e decrescente.
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 61
Tridimensional
(esferas de diferentes 
tamanhos)
Bidimensional
(conjunto de sacis, 
toucas)
Uma dimensão
(palitos ou 
canudos)
 3) Leitura de livros (seriações com os personagens desses li-
vros infantis).
BELINKY, Tatiana. O grande rabanete. São Paulo: Moderna, 
1999.
WOOD, Andrey. A casa sonolenta. São Paulo: Ática, 1999.
 4) Jogos online:
a) Completar séries segundo padrões de cores.
 h t t p : / / n l v m . u s u . e d u / e n / n a v / f r a m e s _
asid_184_g_1_t_1.html?from=category_g_1_t_1.html
b) Seguir séries formadas por padrões sonoros e de cor 
(xilofone).
 http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/memo_
xilo.html
2.1.3 Correspondência termo a termo
A correspondência termo a termo consiste em associar aos ele-
mentos de dois conjuntos formando pares (uma cadeira para 
62 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
um menino; um menino para uma cadeira). Se coincidem os 
elementos, e não sobra nenhum, se diz que esses conjuntos têm 
o mesmo número de elementos. O jogo tem como objetivo a 
correspondência biunívoca, que é o ato de estabelecer relação 
“um a um”. Mais tarde, a correspondência será exigida em 
situações do tipo: a cada quantidade, um número (cardinal), a 
cada número, um numeral, a cada posição (numa sequência 
ordenada), um número ordinal (LORENZATO, 2006).
Atividades sugeridas para sala de aula:
 1) Jogo online: Jogo das sombras
h t t p : / / w w w. s i t i o d o s m i u d o s . p t / 5 7 / m i n i c l i c k .
asp?modulo=010701
 2) Ligar dois conjuntos de elementos com relação de igualda-
de ou com uma relação entre si.
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 63
2.1.4 Inclusão de classes
É o ato de fazer abranger um conjunto por outro. Exemplos: 
incluir as ideias laranja e bananas, em frutas; meninos e meni-
nas, em crianças; losangos, retângulos e trapézios, em quadri-
láteros (LORENZATO, 2006).
2.1.5 Conservação
É o ato de perceber que a quantidade não depende da arru-
mação, da forma ou da posição. Exemplos: um copo largo e 
outro estreito, ambos com a mesma quantidade de água; duas 
filas de tampinhas com a mesma quantidade, mas com arran-
jos espaciais diferentes (LORENZATO, 2006).
2.2 Outros conceitos importantes
Além desses conceitos, outros são importantes na aquisição do 
conceito do número.
2.2.1 Quantificadores
Tem como objetivo, dado um conjunto de elementos, ver se 
alguns desses elementos possuem uma determinada caracte-
rística, por exemplo, todos, alguns, nenhum.
Atividade sugerida:
 1) Dos exemplos abaixo quais são animais selvagens?
64 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
2.2.2 Cardinalidade
O cardinal refere-se ao total de elementos que possui um (sub)
conjunto e significa a relação da inclusão presente no conceito 
do número. As atividades de cardinalidade têm como objetivo 
reconhecer o número cardinal de uma determinada coleção 
de objetos. É necessário relacionar, dentre um conjunto de co-
leções de diferentes tamanhos, o(s) correspondente(s) com o 
seu cardinal.
Atividades sugeridas para sala de aula:
 1) Ligue o conjunto com seu respectivo cardinal.
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 65
 2) Jogos online:
a) Máquina da contagem
http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/contar1.html
b) Cardinalidade
http://www.junior.te.pt/servlets/Jardim?P=Jogos&ID=15
2.2.3 Ordinalidade
As atividades ligadas ao conceito de ordinalidade têm como 
objetivo, dada uma sequência de objetos, indicar a ordem em 
que aparecem os elementos. O ordinal refere-se a um só ele-
mento, indica a posição desse elemento em um (sub)conjunto 
ordenado e seu significado remete à relação de ordem presen-
te no conceito do número.
Atividade sugerida para sala de aula:
 1) Observe a figura e responda as questões, preenchendo as 
lacunas.
a) O primeiro da fila é o ___________.
66 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
b) O _____ é o terceiro da fila.
c) O último animal da fila é o _______.
Para Piaget e Smeminska (1975) o conceito do número 
está diretamente ligado à inclusão de classes e à ordenação 
serial. A síntese do número ocorre quando a criança associa 
os resultados de inclusão de classes com os de seriação das 
relações, desconsiderando o aspecto de qualidade. Para os 
autores, o número é classe e relação assimétrica ao mesmo 
tempo, ele não deriva de uma ou de outra, mas sim da reunião 
entra elas. Salientam que para afirmar que a criança conhece 
o número não basta ela saber contar verbalmente, pois essa 
criança pode ser capaz de enumerar uma fila de seis fichas, 
mas supor que ao dividir essas fichas em dois grupos de dois e 
quatro elementos não equivale, em sua reunião, à quantidade 
inicial das fichas.
3 O conjunto dos números naturais
O conjunto dos Números Naturais é representado pela letra 
maiúscula N e estes números são construídos com os algaris-
mos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos 
como algarismos indo-arábicos.
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}
IN* = {1, 2, 3, 4, 5, 6...} (asterisco exclui o zero)
Para construir este conjunto é necessário observar as se-
guintes regras:
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 67
a) Todo Número Natural dado tem um sucessor (número 
que vem depois do número dado), considerando tam-
bém o zero. Exemplos: seja m um Número Natural.
 1) O sucessor de m é m+1.
 2) O sucessor de 0 é 1.
 3) O sucessor de 1 é 2.
 4) O sucessor de 19 é 20.
b) Se um Número Natural é sucessor de outro, então os 
dois números juntos são chamados números consecu-
tivos. Exemplos:
 1) 1 e 2 são números consecutivos.
 2) 5 e 6 são números consecutivos.
 3) 50 e 51 são números consecutivos.
 4) m e m + 1 são números consecutivos.
c) Todo Número Natural, exceto o zero, tem um anteces-
sor (número que vem antes do número dado).
Exemplos: se m é um Número Natural finito diferente de 
zero.
 1) O antecessor do número m ém-1.
 2) O antecessor de 2 é 1.
 3) O antecessor de 56 é 55.
 4) O antecessor de m é m-1.
68 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Obs.:
a) O conjunto P = {0, 2, 4, 6...} é conhecido como o 
conjunto dos Números Naturais Pares (divisão por 2 
dá resto zero).
b) O conjunto I = {1, 3, 5, 7...} é conhecido como o 
conjunto dos Números Naturais Ímpares, (divisão por 
dois dá resto um).
c) Números Naturais na reta numérica
3.1 Sistema de numeração decimal
Antes de iniciarmos o estudo do sistema de numeração deci-
mal, é importante trabalhar com sistemas de diferentes bases 
para auxiliar o aluno a compreender os conceitos envolvidos.
3.1.1 Sistema de numeração binário
O sistema binário ou base 2, é um sistema de numeração 
posicional em que todas as quantidades se representam com 
base em dois números: o zero e o um (0 e 1)
Os computadores trabalham internamente com dois níveis 
de tensão pelo que o seu sistema de numeração natural é o 
sistema binário (aceso, apagado). Com efeito, num sistema 
simples como este é possível simplificar o cálculo, com o au-
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 69
xílio da lógica boleana. Em computação, chama-se um dígito 
binário (0 ou 1) de bit, que vem do inglês Binary Digit. Um 
agrupamento de 8 bits corresponde a um byte (Binary Term).
Atividades sugeridas para sala de aula:
 1) Jogo do nunca 2
 Regras: nunca podemos ficar com dois canudos da mesma 
cor.
 2) canudos amarelos são trocados por um vermelho; 2 ca-
nudos vermelhos são trocados por um verde; 2 canudos 
verdes são trocados por um azul.
a) 3 canudos amarelos
 Logo 3(10) = 10(2)
b) 7 canudos amarelos
 Logo, 7(10) = 110(2)
70 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
c) Quantos canudos amarelos correspondem a 1 verde e 
1 amarelo?
 Logo, 101(2) = 5(10)
d) Objeto de aprendizagem online: representar números 
em diferentes bases.
Site: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_
asid_152_g_1_t_1.html?from=topic_t_1.html
e) Características do jogo “nunca dois”:
 Â Agrupamentos são feitos de 2 em 2; os algarismos utili-
zados são 0 e 1.
 Â O algarismo colocado imediatamente à esquerda vale 
duas vezes mais do que se estivesse na posição anterior.
f) Na base dois, a base usada nos computadores biná-
rios, o número 110101 representa:
1 x 25 + 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 2 + 1 x 20 = (53)
decimal
g) Registro
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 71
I I I I Registro 
na base 2
3 canudos amarelos 1 1 11(2)
4 canudos amarelos 1 0 0 100(2)
5 canudos amarelos 1 0 1 101(2)
7 canudos amarelos 1 1 1 111(2)
10 canudos amarelos 1 0 1 0 1010(2)
11 canudos amarelos 1 0 1 1 1011(2)
15 canudos amarelos 1 1 1 1 1111(2)
Grupo 8 Grupo 4 Grupo 2 Unidade
23 22 21 20
Obs.: o canudo colorido pode ser substituído por diferentes 
formas geométricas para que pessoas com deficiência visual 
possam jogar também.
3.1.2 Sistema de numeração decimal
O sistema de numeração decimal indo-arábico superou todos 
os sistemas de numeração já existentes. Agrupar e reagrupar 
de 10 em 10 é uma das características desse sistema de nu-
meração, que, por isso, é chamado de sistema de numeração 
decimal. Também dizemos que esse sistema é de base 10.
No sistema de numeração decimal indo-arábico, os grupos 
de cem são denominados centenas. Os grupos de dez, deze-
nas, e os objetos soltos, unidades. Os algarismos assumem 
valores diferentes dependendo do lugar em que ele está escrito 
(valor posicional) e o algarismo zero faz parte desse sistema.
72 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Atividades sugeridas para sala de aula:
 1) Jogo do nunca 10.
Regras: nunca podemos ter dez canudos da mesma cor.
10 canudos amarelos são trocados por um vermelho; 10 ca-
nudos vermelhos são trocados por um verde; 10 canudos ver-
des são trocados por um azul. Utiliza os algarismos de 0 a 9.
a) 9 canudos amarelos
b) 16 canudos amarelos
3.1.2.1 Valor posicional
Observe o valor do algarismo 1 em função da posição que 
ocupa no número:
21 → vale uma unidade.
16 → nesta posição o 1 representa 10 unidades ou 1 dezena.
106 → nesta outra posição, o 1 representa 100 unidades ou 
1 centena.
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 73
1325 → na posição em que está agora, representa 1 000 
unidades ou 1 unidade de milhar.
16937 → agora, o algarismo 1 representa 10 000 unidades 
ou 1 dezena de milhar.
O número posicional baseia-se no princípio multiplicativo, 
isto é, cada algarismo representa o produto dele mesmo pelo 
valor da posição que ocupa. Por exemplo:
Número 328:
3 x 100 → 3 centenas 2 x 10 → 2 dezenas 8 x 1 → 8 unidades
O número é a soma dos valores que cada um dos símbolos 
representa (princípio aditivo). Por exemplo, no número 328:
300 + 20 + 8 = 328
Unindo o princípio multiplicativo e aditivo temos:
328 = 3 x 100 + 2 x 10 + 8
245 = 2 x 10² + 4 x 10 + 5 = 200 + 40 + 5
2467= 2 x 10³ + 4 x 10² + 6 x 10 + 7 x 10º = 2000 + 400 
+ 60 + 7
3.1.2.2 Classe e ordem
Para facilitar a leitura e a escrita de um número, separamos 
seus algarismos, da direita para a esquerda, em grupos de 
três. Cada um desses grupos é uma classe. Cada posição dos 
algarismos recebe o nome de ordem.
74 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades
9ª 
ordem
8ª 
ordem
7ª 
ordem
6ª 
ordem
5ª 
ordem
4ª 
ordem
3ª 
ordem
2ª 
ordem
1ª 
ordem
C D U C D U C D U
9 3 0 1 2 1 4 6 1
Leitura: novecentos e trinta milhões, cento e vinte e um mil, 
quatrocentos e sessenta e um.
3.2 Representação de números com material 
concreto
Como vimos no “jogo do nunca dez”, no sistema de nume-
ração decimal, é necessário formar grupos de dez e fazer as 
devidas trocas: 10 unidades são trocadas por 1 dezena; 10 
dezenas são trocadas por 1 centena; 10 centenas são trocadas 
por 1 unidade de milhar, e assim sucessivamente.
Para que as crianças compreendam essas trocas e o seu 
registro existem materiais de manipulação que auxiliam na 
construção desses conceitos, entre eles o ábaco, o material 
dourado e o quadro valor lugar (QVL).
3.2.1 Ábaco
O ábaco é um antigo instrumento de cálculo, formado por 
bastões paralelos, dispostos no sentido vertical, corresponden-
tes cada um a uma posição digital (unidades, dezenas...) e nos 
quais estão os elementos de contagem (fichas, bolas, contas...) 
que podem ser deslizados livremente.
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 75
Paulo tem 12 carrinhos. Vamos representar a quantidade 
de carrinhos no ábaco. Não podemos esquecer-nos das tro-
cas.
12 = 1 dezena e 2 unidades
Outras representações:
13 41 421 3201
1D 3U 4D 1U 4C 2D 1U 3UM 2C 0D 1U
Atividade sugerida:
76 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
 1) Jogo online no site http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_
asid_209_g_1_t_1.html
3.2.2 Material dourado
O Material Dourado foi criado por Maria Montessori e desti-
na-se a atividades que auxiliam o ensino e a aprendizagem do 
sistema de numeração decimal (valor posicional) e dos méto-
dos para efetuar as operações fundamentais.
Normalmente é construído em madeira, com quatro for-
matos: o “cubinho” (a unidade), a barra (a dezena), a placa (a 
centena) e o “cubão” (a unidade de milhar).
Vamos representar o número 12 e realizar as trocas no ma-
terial dourado:
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 77
Outras representações:
Atividade sugerida:
Jogo online no site http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_
asid_152_g_1_t_1.html
3.2.3 Quadro valor de lugar
O quadro valor de lugar (QVL) é um recurso didáticoutilizado 
na Matemática na introdução dos conceitos de unidade, deze-
na e centena e nas operações matemáticas.
78 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
UM
(unidade de milhar)
C
(centena)
D
(dezena)
U
(unidade)
Represente o número 1045 no quadro valor lugar.
UM C D U
I IIII IIIII
1 0 4 5
Fazendo trocas no QVL: 14 unidades
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 79
 
Troca de 10 uni-
dades por uma 
dezena.
Representação do número 26:
ÁBACO MATERIAL DOURADO QVL
Recapitulando
Neste capítulo do livro foram apresentados conceitos e suges-
tões de atividades e de recursos didáticos, que têm em comum 
o objetivo de construir com a criança o conceito do número.
Para Smole:
80 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Uma proposta de trabalho de Matemática deve enco-
rajar a exploração de uma grande variedade de ideias 
matemáticas relativas a números, medidas, geometria e 
noções de estatística, de forma que as crianças desenvol-
vam e conservem um prazer e uma curiosidade acerca 
da Matemática. Uma proposta assim incorpora contextos 
do mundo real, as experiências e a linguagem natural 
da criança no desenvolvimento das noções matemáticas, 
sem, no entanto, esquecer que a escola deve fazer o alu-
no ir além do que parece saber, deve tentar compreender 
como ele pensa e fazer as interferências no sentido de le-
var cada aluno a ampliar progressivamente suas noções 
matemáticas (2003, p.62).
Os números são utilizados desde a Antiguidade e estão 
presentes em diferentes situações do dia a dia da criança. Es-
tas situações devem ser exploradas pelos professores.
É de extrema importância proporcionar às crianças ativida-
des que potencializem o desenvolvimento do raciocínio lógico, 
de estratégias próprias, de resolução de problemas e desafios 
além de espaço para socialização de suas ideias e dúvidas.
Referências
BELINKY, Tatiana. O grande rabanete. São Paulo: Moderna, 
1999.
CARDOSO, D. L. Metodologia do ensino da Matemática. 
São Paulo: Cortez, 2009.
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 81
CHALON-BLANC, A. Inventar, contar e classificar: de Piaget 
aos debates. Lisboa: Instituto Piaget, 2008.
GUELLI, Oscar. A invenção dos números. São Paulo: Ática, 
1998.
KAMMI, Constance. A criança e o número. Campinas, SP: 
Papirus, 1990.
LORENZATO, S. Educação Infantil e percepção Matemáti-
ca. Campinas, SP: Autores Associados, 2006.
PIAGET, J. Biologia e conhecimento. Petrópolis, Vozes, 1973.
______. A gênese das estruturas lógicas matemáticas. São 
Paulo: EPU, 1976.
______. Epistemologia genética. São Paulo: Martins Fontes, 
2002.
______. O nascimento da inteligência na criança. 3.ed. Rio 
de Janeiro: Zahar, 1978.
PIAGET, J.; INHELDER, B. Gênese das estruturas lógicas 
elementares. 3. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1983.
PIAGET, J.; SMEMINSKA, A. A gênese do número na crian-
ça. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1975.
RANGEL, A. C. Educação Matemática e a construção do 
número pela criança: uma experiência em contextos so-
cioeconômicos. Porto Alegre: Artes Médicas, 1992.
82 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
SMOLE, K. A Matemática na educação infantil: a teoria 
as inteligências múltiplas na prática escolar Porto Alegre: 
Artmed, 2003.
WOOD, Andrey. A casa sonolenta. São Paulo: Ática, 1999.
Atividades
 1) Qual é a diferença entre número e numeral?
(a) Número e numeral têm o mesmo significado.
(b) O número são as ordens, enquanto o numeral são as 
classes.
(c) O número é a expressão de quantidade e o numeral é 
a classe de palavras, símbolos ou grupo de símbolos 
que representam um número.
(d) O número é a representação indo-arábica, e o nume-
ral é a representação romana.
(e) O número é representado por um símbolo (por exem-
plo, 5) e o numeral é escrito por extenso (cinco).
 2) O nome da 5ª ordem de um número é:
(a) unidade de milhar
(b) dezena de milhar
(c) centena de milhar
(d) centena
Capítulo 3 Ensino e Aprendizagem de Números Naturais 83
(e) unidade de milhões.
 3) O número representado na Figura é:
(a) 253
(b) 2053
(c) 2503
(d) 2003
(e) 2530
 4) O valor posicional do 7 no número 107.456 é:
(a) 70.
(b) 70.000
(c) 700.
(d) 7.000.
(e) 7.
 5) Estabelecer uma relação entre “parte e todo” é uma ativi-
dade relacionada ao conceito de:
(a) Ordinalidade
(b) Cardinalidade
(c) Seriação
84 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
(d) Classificação
(e) Quantificação
Gabarito
 1) c 2) b 3) e 4) d 5) d
Margarete Fátima Borga1
Capítulo 4
Operações 
Fundamentais com 
Números Naturais: 
Os Algoritmos e os 
Problemas Matemáticos 
Aditivos
1 Mestranda do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemáti-
ca – Universidade Luterana do Brasil. Professora dos Anos Iniciais da Rede Munici-
pal de São Leopoldo/RS. Integrante dos grupos de pesquisa: Aprendizagem Mate-
mática do 4º e 5º ano do Ensino Fundamental: Formação continuada em serviço e 
Formação Matemática de professores do Ensino Fundamental: um estudo a partir 
da resolução de problemas matemáticos. 
86 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Introdução
A importância do ensino e a aprendizagem das operações funda-
mentais sempre foi destaque nos anos ini-
ciais ocupando um lugar significativo nas 
propostas de ensino e aprendizagem. Entre 
as justificativas, destaca-se a exposta no Pa-
râmetro Curricular Nacional- PCN (Brasil, 
1997, p.48) “grande parte dos problemas 
no interior da Matemática e fora dela são 
resolvidos pelas operações fundamentais”.
Por muito tempo, aprender a adição e 
subtração na escola esteve relacionado à capacidade de fa-
zer “contas”. Pires (2012) aponta que até a metade do século 
passado acreditava-se que operações matemáticas deviam ser 
trabalhadas com ênfase nas técnicas operatórias. Os alunos 
aprendiam as operações através de demonstrações do profes-
sor e, depois, resolviam exercícios e problemas como forma de 
fixar os conhecimentos. A partir da década de 1980, surgiram 
novos estudos mostrando que o emprego de algoritmos pelos 
alunos deve estar associado à compreensão dos significados 
conceituais neles envolvidos. De nada adianta o aluno saber 
resolver cálculos se não consegue empregá-los para resolver 
as situações-problema, sejam estas propostas pelo professor 
ou relacionadas ao dia a dia.
Desta forma, pesquisadores, referenciais curriculares como 
o PCN (Brasil, 1997), o Programa de Formação de Professores 
dos Anos Iniciais e o Pacto Nacional pela Alfabetização na 
Idade Certa – PNAIC (BRASIL, 2014) passaram a recomen-
A Culinária, 
o Comércio, 
as diferentes 
engenharias, a 
Medicina, todos 
necessitam de 
conhecimentos 
da Matemática 
alicerçados nas 
operações básicas.
Capítulo 4 Operações Fundamentais com Números Naturais... 87
dar a resolução de problemas como estratégia facilitadora da 
aprendizagem das operações e dos conceitos nela envolvidos.
Nesta mesma perspectiva, a Teoria dos Campos Concei-
tuais – TCC, de Vergnaud (1990) destaca a importância da 
resolução de problemas para a aprendizagem de conceitos 
matemáticos. Conforme esta teoria, a adição e a subtração 
são conceitos interligados em um campo de conceitos, o cam-
po conceitual das estruturas aditivas.
Desta forma, espera-se que ao final do estudo, professores 
e futuros professores possam aprimorar e/ou ampliar os co-
nhecimentos sobre o que significa somar e subtrair, a diversi-
dade de conceitos envolvidos neste processo e a importância 
da resolução de problemas para o ensino e aprendizagem dos 
conceitos que envolvem estas operações.
Teoria dos campos conceituais estruturas 
aditivas
ATeoria dos Campos Conceituais – a TCC de Gérard Verg-
naud – tem como finalidade o entendimento da construção do 
conhecimento, e foi desenvolvida para estudar as condições 
de compreensão do significado do saber escolar pelo aluno. 
Vergnaud (1990) explica que um conceito não tem significado 
em uma única situação e uma situação não pode ser anali-
sada através de um único conceito. Pensando desta forma, 
Vergnaud (1990), elaborou a teoria dos campos conceituais. 
Vamos entender melhor através de um exemplo proposto por 
Magina (2005):
88 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Ana tinha 5 blusas e no seu aniversário sua avó lhe deu 2 blu-
sas. Quantas blusas Ana tem agora?
Esta é uma situação aditiva que pode ser considerada ex-
tremamente simples. Entretanto, ao analisarmos percebemos 
que para resolvê-la é necessário distinguir vários conceitos 
como, por exemplo:
Adição: juntar duas quantidades
Temporalidade: tem agora = presente
tinha = passado
Contagem: depois do 5 vem o 6 e depois 7
Medida: 2 e 5 são menores que 7
Observamos, então, que uma situação por mais simples 
que pareça abrange um conjunto de 
conceitos. O caso da adição e subtra-
ção são exemplos de conceitos onde 
não faz sentido estudá-los separada-
mente, mas sim, dentro de um campo 
conceitual, o das Estruturas Aditivas 
ou o Campo Aditivo que é, ao mes-
mo tempo, um conjunto das situações 
cujo tratamento implica uma ou várias 
adições ou subtrações, e o conjunto 
dos conceitos e teoremas que permite 
Um Campo Conceitual 
significa um conjunto in-
formal e heterogêneo de 
problemas, situações, 
conceitos, relações, 
conteúdos e operações 
de pensamento que se 
relacionam e que prova-
velmente são interliga-
dos em sua aquisição. 
VERGNAUD (1996)
Capítulo 4 Operações Fundamentais com Números Naturais... 89
analisar essas situações como tarefas matemáticas VERG-
NAUD (1996).
Pesquisadores como Nunes e Bryant (2000), e Magina et al 
(2001) esclarecem que esta classificação contribui para que o 
professor possa compreender o amplo espectro de significado 
das operações, auxiliando no trabalho a ser desenvolvido com 
os alunos para que eles ampliem e dominem os conceitos en-
volvidos nessas operações.
A Teoria dos Campos Conceituais – o 
professor e o aluno
A TCC destaca que o professor tem a tarefa de guiar os estu-
dantes na construção dos conhecimentos matemáticos. Contu-
do, isso não acontece ao acaso: é necessário que o professor 
organize situações diversificadas, através das quais os alunos 
se deparem com problemas que favoreçam à construção e à 
ampliação de conceitos matemáticos esperados. Na função 
de mediador entre o conhecimento matemático e o aluno, o 
professor deve estar atento para “o que, como, quando e por 
que” ensinar um conceito.
Moreira (2003) destaca que as explicações verbais do pro-
fessor têm grande importância para que o aluno possa com-
preender tanto os conceitos científicos quanto os cotidianos, 
portanto, a linguagem é fundamental para construir ou com-
preender o significado de um novo conceito.
90 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Conforme a TCC, a construção de novos conceitos não é 
um procedimento fácil. As capacidades e percepções dos es-
tudantes vão se desenvolvendo ao longo do tempo, através de 
experiências com um grande número de situações, tanto den-
tro quanto fora da escola. Em geral, quando surge nova situa-
ção os estudantes usam o conhecimento desenvolvido através 
de experiência em situações anteriores, e tentam adaptá-lo a 
esta nova situação.
Outro aspecto importante, ao qual o professor deve estar 
atento é a análise dos procedimentos empregados pelo aluno 
para resolver as situações que lhe são propostas. Esta análise 
fornece elementos ao professor para conhecer o pensamento 
do aluno, permitindo a valorização dos meios utilizados para 
produzir respostas corretas e, com maior importância, a ob-
servação dos erros. Os erros devem servir para diagnosticar 
as dificuldades dos alunos, favorecendo a organização de es-
tratégias que levem à ampliação do conhecimento dos estu-
dantes.
Concluímos destacando que a forma como o professor or-
ganiza e conduz sua aula é fundamental para a aprendizagem 
dos alunos.
Diversas ideias da adição e subtração
Bigode (2011) aponta que o ensino das operações básicas 
deve abordar duas frentes:
 Â A primeira refere-se aos conceitos envolvidos nas opera-
ções, discute as ideias, os contextos e as situações.
Capítulo 4 Operações Fundamentais com Números Naturais... 91
 Â A segunda está relacionada a técnicas e estratégias de 
cálculos para resolver contas e perceber as regularida-
des.
A seguir, vamos analisar as duas frentes citadas pelo autor.
Os conceitos, os contextos e as situações.
Geralmente os materiais didáticos que tratam do tema defi-
nem que a “adição corresponde a dois tipos fundamentais de 
ação: juntar (ou reunir) ou então acrescentar, enquanto a sub-
tração corresponde ao ato de retirar, comparar ou completar”. 
(BRASIL, 2008).
Exemplificando esta abordagem temos:
Quadro 1 elaborado pela autora.
Operação Ideia Situação
Adição
Juntar
Lia tem 4 bonecas e Ana tem 5 bonecas. 
Quantas bonecas elas têm juntas? 
Acrescentar
Um aquário tinha 15 peixes. Coloquei 
mais três peixes. Quantos peixes têm 
agora no aquário? 
Subtração
Tirar
No aquário estavam 15 peixes, 3 peixes 
foram vendidos. Quantos peixes re-
staram no aquário?
Comparar
Carla tem 12 reais e Maria tem 5 reais. 
Quantos Carla tem a mais que Maria?
Completar
Carla tem 12 reais e quer comprar uma 
camiseta que custa 20 reais. Quanto 
falta para Carla comprar a camiseta? 
92 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
As situações expressas através das ideias acima – juntar, 
acrescentar, tirar, comparar e completar – pertencem à adi-
ção e à subtração, mas não são apenas estes conceitos que 
estão relacionados a estas duas operações. Vergnaud (1982) 
e outros pesquisadores descrevem que há uma variedade de 
situações que compõem as estruturas aditivas. Tal classificação 
foi organizada conforme as dificuldades e as relações mate-
máticas que são necessárias para a situação.
Justo (2009) organizou um estudo sobre problemas aditi-
vos em que apresenta quatro categorias de situações aditivas: 
transformação, combinação, comparação e igualação. 
Cada uma destas categorias apresenta subcategorias totali-
zando assim vinte problemas aditivos. Esta classificação ofe-
rece uma estrutura teórica que ajuda a entender os diferentes 
significados da adição e subtração. É importante que essas 
variações sejam conhecidas pelos professores, pois cada uma 
delas indica problemas diferentes, o que exigirá da criança 
diferentes estratégias de solução.
Categorias de situações aditivas
Nesta seção são apresentadas as categorias de problemas 
aditivos conforme a classificação proposta por Justo (2009). 
Cada problema é acompanhado de um diagrama ou re-
presentação formada por um conjunto de símbolos com os 
quais são organizados os dados do problema. O uso das 
representações tem como objetivo auxiliar as crianças a es-
Capítulo 4 Operações Fundamentais com Números Naturais... 93
tabelecer relações entre os dados do problema facilitando a 
compreensão.
Problemas de Combinação – CB
Implicam situações estáticas entre uma quantidade e suas 
partes
Quadro 2
Problemas de Combinação
Situação Problema Representação
1. Todo desconhecido.
Alexandre tem 8 bombons e Leandro tem 
14. Quantos bombons eles têm ao todo?
2. Parte desconhecida.
Patrícia e Gabriel colecionam chaveiros. 
Eles têm juntos 22 chaveiros. Gabriel tem 
14. Quantos chaveiros Patrícia têm?
Fonte: Adaptado de Justo (2009).
Problemas de transformação
Expressam umaação direta sobre uma quantidade que cau-
sa um aumento ou um decréscimo, quer dizer, uma situação 
inicial sofre uma mudança e se transforma em uma situação 
final.
94 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Quadro 3
Problemas de Transformação
Situação Problema Representação
1. Acrescentar. Resultado desconhecido.
Antônio tinha 12 figurinhas. Ganhou de seu amigo 
Bruno mais 8 figurinhas. Quantas figurinhas Antônio 
têm agora?
2. Diminuir. Resultado desconhecido.
Gláucia tinha 14 moedas. Ela deu 3 moedas para 
Mônica. Com quantas moedas ela ficou?
3. Acrescentar. Mudança desconhecida.
Sara tinha 5 chaveiros. Então, ganhou de Cristina 
mais alguns chaveiros. Agora Sara tem 12 chaveiros. 
Quantos chaveiros Sara ganhou de Cristina?
4. Diminuir. Mudança desconhecida.
Janaína tinha 22 lápis de cor. Na escola, ela deu 
alguns para suas amigas. Janaína agora tem 8 lápis. 
Quantos lápis ela deu?
5. Acrescentar. Início desconhecido.
No meu aquário, há alguns peixes. Então eu coloquei 
mais 4 peixes. Agora eu tenho 12 peixes. Quantos 
peixes eu tinha antes?
6. Diminuir. Início desconhecido.
Em uma partida, perdi 12 bolas de gude, ficando com 
21. Quantas bolas de gude eu tinha no início do jogo?
Fonte: Adaptado de Justo (2009).
Problemas de Comparação – CP
A classe dos problemas de comparação diz respeito aos pro-
blemas que comparam duas quantidades. A relação entre 
Capítulo 4 Operações Fundamentais com Números Naturais... 95
duas medidas é estática, ou seja, eles não sofrem mudanças. 
A quantidade desconhecida pode ser o conjunto de referência, 
o de comparação ou a diferença. Esta categoria apresenta seis 
tipos diferentes de problemas.
Quadro 4
COMPARAÇÃO – CP
Problema Representação 
Gráfica
1. Mais que. Diferença desconhecida.
Alice tinha 12 balas. Irene tinha 5 balas. Quantas balas 
Alice tem a mais que Irene?
2. Menos que. Diferença desconhecida.
Meu tio tem 48 anos e minha tia tem 29. Quantos anos 
minha tia tem a menos que meu tio?
 3. Mais que. Quantidade menor desconhecida.
Luciana colheu 34 laranjas, ela colheu 16 a mais do que 
sua irmã Lúcia. Quantas laranjas Lúcia colheu?
4. Menos que. Quantidade menor desconhecida.
Minha mãe tem 42 anos e minha tia tem 14 anos a 
menos do que ela. Qual a idade da minha tia?
5. Mais que. Quantidade maior desconhecida.
Roberto comprou uma lapiseira por 12 reais e um 
caderno que custou 9 reais a mais que a lapiseira. 
Quanto custou o caderno?
6. Menos que. Quantidade maior desconhecida.
Joel ganhou em uma partida 43 bolinhas de gude. Ele 
ganhou 18 a menos do que André. Quantas bolas André 
ganhou?
Fonte: Adaptado de Justo (2009).
96 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Problemas de Igualação – I
Os problemas de igualação acarretam a comparação de duas 
quantidades e uma mudança de uma dessas quantidades- me-
diante a ação de acrescentar ou diminuir para que uma igual-
dade seja estabelecida expressa. Esta categoria apresenta seis 
tipos diferentes de problemas.
Quadro 5
IGUALAÇÃO – I
Problema Representação Gráfica
1. Acréscimo. Valor de igualação desconhecido. Na 
casa de Marcos existem 22 árvores e na de Roberto 
existem 14. Quantas árvores Roberto precisa plantar para 
ficar com a mesma quantidade de árvores que Marcos?
2. Decréscimo. Valor de igualação desconhecido.
Na 4ª série tem 35 cadeiras e 26 crianças. Quantas 
cadeiras eu preciso retirar da sala para ficar com a mesma 
quantidade de cadeiras e crianças?
3. Acréscimo. Fazer o valor conhecido igualar.
Marcelo tem 15 reais. Se a sua mãe lhe der mais 9, ele 
terá a mesma quantia que Davi. Quantos reais tem Davi?
4. Decréscimo. Fazer o valor desconhecido igualar.
No ônibus que vai para POA, há 17 pessoas; se 6 pessoas 
descerem do ônibus que vai a Feliz, haverá o mesmo 
número de pessoas nele como no ônibus que vai para 
POA. Quantas pessoas estão no ônibus que vai a Feliz?
5. Acréscimo. Fazer o valor desconhecido igualar.
Meu vestido tem 12 botões. Se o vestido de minha irmã 
tivesse 5 botões a mais, ele teria o mesmo número de botões 
que o meu. Quantos botões tem o vestido de minha irmã?
6. Decréscimo. Fazer o valor conhecido igualar.
Neco tem 13 carrinhos. Se ele der 9 dos seus carrinhos, 
ele terá o mesmo número de carrinhos que Zeca. Quantos 
carrinhos tem Zeca?
Fonte: Adaptado de Justo (2009).
Capítulo 4 Operações Fundamentais com Números Naturais... 97
As diferentes categorias apresentadas mostram a variedade 
de conceitos que fazem parte do campo aditivo. Alguns des-
tes conceitos já são familiares às crianças. Antes de chegar à 
escola, a maioria das crianças já desenvolvem experiência de 
acrescentar quantidades, ou então retirar certa quantidade de 
outra. Entretanto, algumas ideias são mais complexas e para 
que a aprendizagem possa ser efetivada, é necessário tempo e 
o contato com tarefas e situações variadas. Desta forma, tor-
na-se evidente que não é possível desenvolver todas as ideias 
matemáticas expostas se os estudantes apenas realizarem con-
tas isoladas. Os diferentes conceitos ganham sentido se forem 
elaboradas a partir da resolução de problemas.
Resolução de problemas
O PCN (1997) considera problema matemático uma situação 
que demanda a realização de uma sequência de ações ou 
operações para obter um resultado. A solução não está dis-
ponível de início, é necessário construí-la. Um problema deve 
apresentar a ideia de desafio, de algo que necessita de inves-
tigação e questionamento para sua resolução.
É importante que o professor diferencie exercício e proble-
ma. Os métodos de ensino de Matemática que valorizam a 
memorização, o emprego de fórmulas e regras, demonstração 
de algoritmos e, depois, o treino com problemas referentes ao 
algoritmo estudado, serve apenas como exercícios. A resolu-
ção de problemas vai mais além. Estudar adição e subtração 
na perspectiva de resolução de problemas requer que os alu-
nos organizem estratégias para resolver o que lhes é proposto 
98 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
para, assim, construir, compreender e atribuir significado aos 
conceitos envolvidos na situação.
Para tal, a resolução de problemas é recomendada como 
ponto de partida da atividade Matemática, pois permite que as 
crianças façam relações entre os dados do problema, confor-
me os conhecimentos que já possuem, e, a partir dos proce-
dimentos utilizados na resolução, construam novos conceitos 
matemáticos relacionados às soluções.
No contexto escolar, a resolução de problemas deve ser 
concebida como um processo que permita à criança desco-
brir, criar, debater, valer-se de diferentes estratégias e registros, 
explicar o caminho percorrido e socializar com os colegas e 
professores os conceitos empregados para resolução, permi-
tindo aos alunos o desenvolvimento de habilidades e estraté-
gias próprias e abandonando procedimentos mecânicos que 
são a origem das perguntas que tanto afligem os professores: 
“– Que conta eu faço, professor? É de mais ou de menos?”
Alguns princípios que devem orientar o trabalho do 
professor na resolução de problemas:
 Â Estar ciente de que crianças só aprendem e compre-
endem quando vivenciam situações nas quais operam 
quantidades.
 Â Trabalhar com os diferentes significados do campo adi-
tivo para que relacionem as operações a problemas va-
riados.
 Â Formular questões a partir de situações reais e com sen-
tido para o aluno.
Capítulo 4 Operações Fundamentais com Números Naturais... 99
 Â Fazer escolhas metodológicas que permitam ao aluno 
construir estratégias pessoais para resolver os problemas 
e organizando momentos onde possam compartilhar 
suas ideias com os colegas.
 Â Valorizar os acertos, analisar e compreender os erros 
a fimde criar situações através das quais as crianças 
possam avançar.
 Â Escolher problemas que sejam interessantes para as 
crianças.
 Â Propor problemas adequados ao nível das crianças.
 Â Propor no máximo cinco problemas por aula.
 Â Iniciar com problemas mais fáceis, aumentando para os 
mais complexos.
 Â Utilizar jogos e materiais que auxiliem os alunos a ela-
borar hipóteses, estratégias e perguntas.
Os algoritmos e técnicas de cálculos
Os algoritmos são construções sociais que foram sendo elabo-
radas ao longo da história da humanidade. Nicolielo (2010) 
descreve o cálculo através do algorítmico como uma sequência 
finita e ordenada de regras, empregadas para a resolução de 
problemas ou de cálculos simples, que surgiu da necessidade de 
fazer contas sem o auxílio de ábacos, dedos e outros recursos.
No inicio do Ensino Fundamental as crianças ainda não 
dominam os algoritmos, e geralmente recorrem à contagem 
100 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
para resolver questões de adição e subtração. Contam utili-
zando os dedos, objetos concretos ou empregam sequência 
numérica oral. Conforme vão compreendendo regularidades 
do sistema de numeração decimal, como, por exemplo, os 
princípios do valor posicional e os processos de agrupamen-
tos, vão se tornando capazes de escolher maneiras eficientes 
de resolver problemas empregando os algoritmos.
Assim, é adequado começar o ensino dos algoritmos da 
adição e da subtração quando os alunos já dominarem as 
ideias e conceitos das operações, os procedimentos de agru-
pamentos e de trocas e a representação dos números no sis-
tema de numeração decimal, porque o desenvolvimento dos 
algoritmos usuais é baseado nas regras desse sistema.
Como já foi dito, a introdução da aprendizagem das ope-
rações deve sempre ser contextualizada através de resolução 
de problemas. Outro aspecto importante é disponibilizar ma-
terial para contagem, como palitos, tampinhas ou o próprio 
material dourado, oferecendo condições para que efetuem as 
ações concretas de agrupar, trocar e destrocar quantidades 
antes de registrá-las no caderno por meio dos algoritmos con-
vencionais.
Algoritmo da adição
O método operatório ou algoritmo da adição indica que se 
escrevam as parcelas uma abaixo da outra e que se adicione 
da direita para a esquerda.
Em um jogo de videogame Lucas fez 129 pontos e Carlos 
316 pontos. Quantos pontos Lucas e Carlos fizeram juntos?
Capítulo 4 Operações Fundamentais com Números Naturais... 101
Para responder a situação através do algoritmo, adiciona-
mos as duas quantidades.
Resolução 1 Resolução 2
Na situação exposta, é necessário utilizar o reagrupamen-
to, visto que ao efetuar a adição da ordem da unidade o valor 
alcançado é maior do que 9, portanto, há necessidade de 
se “transportar” a dezena para a ordem correspondente. Este 
procedimento é frequentemente chamado “vai um”. É possível, 
através do exemplo apresentado, que quando dizemos “vai 
um” o que acontece é uma troca de 10 unidades por uma 
dezena. O uso do termo “vai um” é conceitualmente engano-
so, pois o termo seria trocar. Os alunos podem compreender 
melhor estas trocas se utilizarem o material dourado.
Algoritmo da subtração
O emprego do algoritmo da subtração, assim como o da adi-
ção, tem como objetivo sistematizar e facilitar o processo de 
cálculo. Conforme já discutido, deve ser apresentado quando 
as crianças já dominarem, com certa segurança, os conceitos 
associados à subtração e o sistema de numeração.
102 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
A subtração é o processo para se encontrar a diferença 
entre dois números, tirando o menor do maior. O método ope-
ratório usual ou algoritmo da subtração indica que se escre-
vam as quantidades uma abaixo da outra, sendo que a maior 
quantidade ou o minuendo deve ser colocado acima do sub-
traendo. Desta maneira, subtraendo não pode ser maior que 
o minuendo. Cada algarismo do subtraendo é diminuído do 
algarismo acima, e o resto é escrito abaixo. O número encon-
trado é o resto.
Em um jogo de videogame, Lucas fez 129 pontos e Carlos 
316 pontos. Quantos pontos Carlos fez a mais do que Lucas?
Para responder a situação através do algoritmo, subtraímos 
uma quantidade de outra.
Resolução 1 Resolução 2
No exemplo apresentado, as 6 unidades não foram sufi-
cientes para retirar 9 unidades, desta forma, uma dezena é 
retirada da ordem seguinte e desagrupada em 10 unidades. 
As 10 unidades são juntadas com as 6 unidades, ficando 16 
unidades, de onde são retiradas 9 unidades. Assim, retira-se 
sucessivamente de outras ordens, realizando trocas sempre 
que necessário.
Capítulo 4 Operações Fundamentais com Números Naturais... 103
Assim como o “vai um”, a utilização do termo “empresta 
um” também não é recomendada. Bigode (2011) explica que 
estimular as crianças a desagrupar os numerais envolvidos na 
subtração auxilia a compreensão. Para tal, recomenda-se a 
utilização do material dourado e do ábaco, pois ambos per-
mitem a visualização e manipulação entre as ordens que com-
põem um numeral.
Propriedades da adição e subtração
É importante que os alunos conheçam as propriedades das 
operações, porém, segundo Bigode (2011), deve ser evitada a 
formalização ou a memorização das propriedades como for-
ma de regras. A recomendação é que os alunos possam com-
preender as propriedades através de resolução de problemas.
De acordo com Pires (2013), é importante que a criança 
compreenda as propriedades da adição para que o domínio 
dos fatos fundamentais desta operação, facilitando desta for-
ma o cálculo mental.
104 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Recapitulando
Neste capítulo, conversamos sobre o campo aditivo na pers-
pectiva da teoria dos campos conceituais. A TCC esclarece 
que a construção do pensamento matemático do aluno está 
Capítulo 4 Operações Fundamentais com Números Naturais... 105
relacionada aos problemas que ele resolve e às situações que 
vivencia na escola ou fora dela.
Para que um estudante possa aprender um conceito, ele 
precisa de tempo e contato com situações diferenciadas que 
permitam dar significado a um conceito.
Portanto, aprendizagem de conceitos é facilitada quando 
o professor organiza situações de aprendizagens. No campo 
aditivo, Vergnaud divide em quatro classes com características 
que podem ser percebidas pela forma como é elaborado o 
enunciado do problema, como: Transformação, Comparação, 
Igualação e Combinação. Esta classificação oferece uma es-
trutura teórica que ajuda a entender os diferentes significados 
da adição e subtração.
A aprendizagem dos algoritmos da adição e subtração tem 
como objetivo sistematizar e facilitar o processo de cálculo e 
deve ser introduzida após as crianças dominarem as ideias e 
conceitos das operações, os procedimentos de agrupamentos 
e de trocas e a representação dos números no sistema de nu-
meração decimal, porque o desenvolvimento dos algoritmos 
usuais é baseado nas regras desse sistema.
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Capítulo 4 Operações Fundamentais com Números Naturais... 109
Atividades
 1) Assinale (V) verdadeiro (F) para falso
a) ( ) O ensino do algoritmo não é necessário.
b) ( ) O professor deve iniciar o estudo das adição e da 
subtração apresentando as operações para os aluno.
c) ( ) É através de problemas para resolver que o aluno 
desenvolve as competências necessárias para utilizar 
os conhecimentos matemáticos que aprende na escola 
nas situações do seu cotidiano.
d) ( ) A adição e subtração fazem parte de um mesmo 
campo de conceitos.
e) ( ) As propriedades das operações não devem ser apre-
sentadas aos alunos como regras que devem ser de-
coradas.
 2) Leia os problemas abaixo e classifique. Em seguida, mar-
que a alternativa que apresenta a classificação em sequên-
cia dos problemas apresentados.
a) Luís tem R$ 18,00. Se Augusto tivesse R$ 3,00 a mais, 
ele teria a mesma quantidade de dinheiro que Luís 
tem. Quanto dinheiro tem Augusto?
b) Luís tem R$ 18,00 e Augusto tem R$ 15,00. Quanto 
dinheiro eles têm ao todo?
c) Luís tinha R$ 18,00. Augusto tinha R$ 15,00. Quanto 
Augusto tem a menos que Luís?
110 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
d) Luís tinha R$ 18,00. Sua tia lhe deu mais R$ 15,00. 
Quanto dinheiro Luís tem agora?
1- ( ) (a) transformação, (b) igualação, (c) combinação, 
(d) comparação
2- ( ) (a) comparação, (b) igualação, (c) combinação, (d) 
comparação
3- ( ) (a) transformação, (b) combinação, (c) igualação, 
(d) comparação
4- ( ) (a) igualação, (b) combinação, (c) comparação, (d) 
transformação
 3) A construção dos conceitos de adição e subtração pas-
sa pela compreensão das situações em que eles existem. 
Como trabalhar isso na escola? Dê um exemplo da sua 
prática.
 4) Explique:
a) Na adição, o uso do termo “vai um” é conceitualmen-
te enganoso.
b) Na subtração, o uso do termo “empresta um” é con-
ceitualmente enganoso.
 5) A partir dos exemplos de problemas apresentados, elabore 
um problema TRANSFORMAÇÃO – Diminuir. Início des-
conhecido.
 6) A partir dos exemplos de problemas apresentados, elabore 
um problema de COMPARAÇÃO – Mais que. Diferença 
desconhecida.
Capítulo 4 Operações Fundamentais com Números Naturais... 111
 7) A partir dos exemplos de problemas apresentados elabore 
um problema de IGUALAÇÃO – Acréscimo. Valor de igua-
lação desconhecido.
 8) A partir dos exemplos de problemas apresentados elabore 
um problema de COMBINAÇÃO – Todo desconhecido
 9) Ao acompanhar as tarefas dos alunos, por que é impor-
tante analisar os erros que eles apresentam?
 10) A TCC defende que a maneira como o professor conduz 
a aula é muito importante para aprendizagem dos alunos. 
Comente sobre isso, argumentado.
 11) Relacione os conceitos da subtração com as situações 
apresentadas:
 12) Apresentamos a diferença entre resolução de problemas 
empregada como exercícios e resolução de problemas 
para aprendizagem de conceitos, procedimentos e atitudes 
matemáticas. O que diferencia as duas abordagens? Argu-
mente, indicando qual das duas você considera que contri-
bui significativamente para a aprendizagem dos alunos.
 13) Complete as lacunas:
a) Quando tiro para achar o resto entre duas quantida-
des estou operando com a:
b) Quando acrescento uma quantidade a outra estou 
operando com a:
c) Quando completo para achar a diferença entre duas 
quantidades estou operando com a:
112 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
 14) Quando e como deve ser iniciado o trabalho com proble-
mas matemáticos na escola?
 15) A partir dos estudos desenvolvidos nesse capítulo, descre-
va o que considerou mais significativo. Se já atua como 
professor, como pretende empregar este conhecimento 
para melhorar a aprendizagem dos seus alunos?
Gabarito
 1) A- F; B- F; C- V; D- V; E- V
 2) (A) igualação, (B) combinação, (C) comparação, (D) trans-
formação
 3) Resposta adequada; deve destacar a importância da reso-
lução de problemas.
 4) a) Não vai um, o que ocorre é o transporte de uma centena.
b) Não empresta 1, o que ocorre é o desagrupamento de 
uma centena.
 5) Deve conter a estrutura do seguinte exemplo: Em uma par-
tida, perdi 12 bolas de gude, ficando com 21. Quantas 
bolas de gude eu tinha no início do jogo?
 6) R: Deve conter a estrutura do seguinte exemplo: Alice tinha 
12 balas. Irene tinha 5 balas. Quantas balas Alice têm a 
mais que Irene?
 7) R: Deve conter a estrutura do seguinte exemplo: Na casa 
de Marcos existem 22 árvores e na de Roberto existem 14. 
Capítulo4 Operações Fundamentais com Números Naturais... 113
Quantas árvores Roberto precisa plantar para ficar com a 
mesma quantidade de árvores que Marcos?
 8) R: Deve conter a estrutura do seguinte exemplo: Alexandre 
tem 8 bombons e Leandro tem 14. Quantos bombons eles 
têm ao todo?
 9) R: através dos erros é possível analisar as dificuldades dos 
alunos e planejar estratégias para auxiliá-los.
 10) R: o professor tem a função de mediador, portanto, deve 
conduzir o pensamento dos alunos através de questiona-
mentos para que estes tenham a possam pensar sobre o 
que está sendo tratado, e com isso elaborar as aprendiza-
gens esperadas.
 11) R: C, B, A
 12) R: resolução de problemas como exercícios serve para treinar 
um cálculo que o aluno aprendeu. Na resolução de proble-
mas para aprendizagem de conceitos, procedimentos e atitu-
des matemáticas espera-se que o aluno compreenda as ope-
rações e os contextos em que as mesmas são empregadas.
 13) Complete as lacunas:
a) R: subtração
b) R: adição
c) R: subtração
 14) R: desde o principio da educação escolar, através de jo-
gos, desenhos e brincadeiras.
 15) Resposta pessoal.
Margarete Fátima Borga1
Capítulo 5
Operações 
Fundamentais com 
Números Naturais: 
Os Algoritmos e os 
Problemas Matemáticos 
Multiplicativos
1 Mestranda do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemá-
tica – ULBRA. Professora dos Anos Iniciais da Rede Municipal de São Leopoldo/RS. 
Integrante dos grupos de pesquisa: Aprendizagem Matemática do 4º e 5º ano do 
Ensino Fundamental; Formação continuada em serviço e Formação Matemática de 
professores do Ensino Fundamental: um estudo a partir da resolução de problemas 
matemáticos. 
Capítulo 5 Operações Fundamentais com Números Naturais... 115
Introdução
Desde pequenas, as crianças usam conhecimentos matemáti-
cos referentes à multiplicação e divisão: dividem doces e brin-
quedos e algumas conseguem até dividir e multiplicar quanti-
dades para encontrar o custo de algo que seja do seu interesse.
Conforme Pires (2012), até a metade do século passado o 
ensino da multiplicação e divisão se 
centrava na memorização da tabua-
da, sendo comum a prática de casti-
gos físicos a alunos pelo fato de não 
conseguirem decorar tabuadas. Assim 
como no campo aditivo, primeiro as 
crianças aprendiam cálculos para de-
pois resolver problemas. A ênfase da 
aprendizagem voltava-se para proce-
dimentos operatórios, prova real e 
prova dos nove como forma de verificar os resultados.
A partir de 1960, devido às influências da Matemática mo-
derna, passou-se a ensinar a multiplicação como uma sequên-
cia da adição através da teoria dos conjuntos. Considerava-se 
a multiplicação uma adição de parcelas iguais, prática ainda 
comum, sobre a qual discutiremos mais adiante.
A multiplicação e di-
visão são muito im-
portantes no dia a 
dia. Multiplicamos e 
dividimos para saber 
valores de quantida-
des, encontrar tama-
nhos e para calcular, 
áreas por exemplo.
116 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Sobre a divisão, Saiz (1996), relata que na antiguidade 
somente os homens sábios sabiam di-
vidir. Os métodos empregados eram 
difíceis e demorados, a evolução dos 
algoritmos tornou o método de dividir 
rápido e eficaz.
A importância da compreensão 
conceitual no ensino da Matemática 
passou a ser enfatizada nos anos de 
1980 e 1990, porém, ainda hoje exis-
tem professores com a visão de que 
aprender multiplicação e divisão é 
domíniar o algoritmo e a tabuada da 
multiplicação.
Neste capítulo vamos discutir as diferentes ideias da multi-
plicação e divisão e, na perspectiva de um conjunto de concei-
tos interligados, o campo multiplicativo. Segundo o Parâmetro 
Curricular Nacional PCN (1997, p.72), “destaca-se a impor-
tância de um trabalho conjunto de problemas que explorem a 
multiplicação e a divisão, uma vez que há estreitas conexões 
entre as situações”.
Esperamos que ao final deste estudo os professores e futu-
ros professores possam compreender e identificar os diferen-
tes raciocínios multiplicativos e aplicar as aprendizagens aqui 
elaboradas junto aos seus alunos. Como nos diz Starepravo 
(2010), “assumir que ensinar é uma atividade que só se com-
pleta na aprendizagem do aluno implica em tornar o profes-
sor corresponsável pela aprendizagem, o que requer dele uma 
Um estudante pode 
ter memorizado a 
tabuada, pode sa-
ber operar a multi-
plicação e a divisão, 
porém, se não com-
preender as relações 
envolvidas nessas 
operações e seu em-
prego para resolver 
problemas, para que 
serve este conheci-
mento?
Capítulo 5 Operações Fundamentais com Números Naturais... 117
reconstrução de suas habilidades de ensino” (STAREPARAVO 
2010, p.29).
Teoria dos Campos Conceituais – TCC- Campo 
Multiplicativo
Na unidade anterior utilizamos a TCC para esclarecer que um 
conceito não tem sentido como um 
conceito isolado, mas como um con-
junto de situações nas quais os con-
ceitos estão intimamente ligados, 
atrelados uns aos outros durante o 
processo cognitivo formando um 
campo conceitual.
Para Vergnaud (1986) apud Car-
valho (2003), o campo conceitual 
das estruturas multiplicativas envolve multiplicação e divisão 
ou ambas. Assim como no caso da adição e da subtração, 
destaca-se a importância de um trabalho conjunto de proble-
mas que explorem a multiplicação e a divisão, uma vez que há 
estreitas conexões entre as situações essas operações.
Os conceitos, os contextos e as situações
Carvalho (2010), explica que compreender o raciocínio multi-
plicativo solicita uma mudança muito importante no pensa-
mento das crianças. Esta complexidade refere-se não apenas 
aos novos significados e relações que a criança necessita esta-
belecer para compreender as situações, mas também está re-
lacionada aos algoritmos. Por exemplo, para operar com o 
Um campo concei-
tual define-se pelo 
conjunto de situações 
cuja compreensão 
necessita do domínio 
de vários conceitos 
de naturezas diferen-
tes. JUSTO (2009)
118 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
algoritmo da divisão, o aluno necessita relacionar quatro ter-
mos distintos (dividendo, divisor, quociente e resto) o que con-
fere à situação um grau de maior complexidade.
É comum no contexto escolar que 
a adição e subtração sejam ensina-
das antes da multiplicação e da divi-
são. Conforme Nunes e Bryant (1997, 
p.142) “em parte isso também está 
certo, já que uma forma de resolver 
problemas de multiplicação é através 
da adição repetida”, porém os auto-
res advertem que seria errado desen-
volver os conceitos da multiplicação e 
divisão apenas nesta perspectiva, há 
outras situações que pertencem ao ra-
ciocínio multiplicativo. Para dominar 
os conceitos da multiplicação e divi-
são os alunos precisam perceber uma 
série de situações que se diferenciam da adição e subtração.
Desta forma, Nunes e Bryant (1997) caracterizam uma di-
ferença básica entre o raciocínio multiplicativo e aditivo. O 
raciocínio aditivo se refere à relação parte-todo enquanto que 
o multiplicativo tem como base a relação fixa entre duas vari-
áveis (grandezas ou quantidades). Para esclarecer utilizamos o 
exemplo a seguir (Figura 1 e 2):
Compreender o ra-
ciocínio multiplicativo 
implica uma transfor-
mação muito impor-
tante no pensamento 
das crianças, apesar 
de muitas vezes as 
operações multiplica-
ção e divisão serem 
consideradas relati-
vamente.simples do 
ponto de vista mate-
mático.
CARVALHO (2003)
Capítulo 5 Operações Fundamentais com Números Naturais... 119
Quantas flores são ao todo?
Figura 1 Raciocínio Aditivo.
Figura 2 Raciocínio Multiplicativo.
Percebemos que, no raciocínio aditivo, as partes são con-
tadas para chegar ao todo. Já na multiplicação temosduas 
variáveis que são o número de grupos (6 grupos) e o número 
de flores por grupo (2 flores). A multiplicação envolve uma re-
lação constante entre os dois conjuntos, o número de grupos 
e quantos por grupo, o que não existe na adição. Percebe-se, 
desta forma, que as situações utilizam raciocínios distintos.
Segundo Pires (2012), quando o professor aborda a mul-
tiplicação como adição de parcelas iguais, não fornece ele-
mentos suficientes para que os alunos compreendam todas as 
situações relacionadas aos conceitos do campo multiplicativo. 
Desta forma, é importante que o professor oportunize situa-
ções, através das quais as crianças possam resolver problemas 
com os diferentes significados da multiplicação.
120 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Os conceitos ligados à multiplicação e divisão são funda-
mentais para o desenvolvimento de muitos outros conceitos 
aritméticos. Caso não domine as ideias referentes ao campo 
multiplicativo, a criança conseguirá, no máximo, memorizar os 
fatos básicos e realizar de forma mecânica o algoritmo, quan-
do diante de um problema ela não será capaz de decidir qual 
operação resolve o problema.
Portanto, o professor deve oferecer ao aluno atividades 
baseadas em experiências concretas através da resolução 
de problemas, conforme já visto no capitulo anterior, através 
das quais os alunos terão oportunidade de construir e, com 
o tempo, aperfeiçoar seus conhecimentos, pois para que um 
estudante possa aprender um conceito, ele precisa de tempo 
e contato com situações diferenciadas que permitam dar sig-
nificado ao conceito.
Problemas de estruturas multiplicativas
Os problemas de estruturas multiplicativas são categorizados 
distintamente por diferentes autores. Vergnaud (2009) descre-
ve três grandes classes de problemas multiplicativos que en-
volvem relações ternárias e quaternárias: isomorfismo de me-
didas; produtos de medidas; e proporções múltiplas. Nunes 
e Bryant (1997) consideram os seguintes tipos de problemas: 
correspondência um-a-muitos envolvendo os subtipos: multipli-
cação, problema inverso de multiplicação e produto cartesia-
no; relação entre variáveis (covariação); e distribuição.
Com nomenclatura diferente, o PCN (1997) utiliza classifi-
cação que se assemelha aos autores acima citados, e apresen-
Capítulo 5 Operações Fundamentais com Números Naturais... 121
ta quatro grupos de situações envolvendo raciocínio multipli-
cativo: comparação, proporção, configuração retangular 
e combinatória, classificação abordada neste estudo. Todas 
estas situações podem ser expressas através da multiplicação 
e da divisão.
Proporcionalidade
A relação proporcional é um dos conceitos matemáticos mais 
presentes no cotidiano, portanto é comum nos deparamos com 
situações que colocam em prática as noções deste conceito. 
As situações correspondentes a esta categoria estão associa-
das a problemas que envolvem a relação direta entre grande-
zas do tipo “a está para b, assim como c está para d”. Quando 
se estabelece a relação entre parte/todo estamos trabalhando 
“situações associadas à comparação entre razões que, por-
tanto, envolvem a ideia de proporcionalidade” (PCN, 1997, 
p.110). A seguir, temos um exemplo de multiplicação e divisão 
com a ideia de proporcionalidade (Quadro 1).
Quadro 1 Raciocínio Multiplicativo proporcional
Multiplicação Divisão
Um casaco tem 
4 botões, 
quantos botões 
terão:
2 casacos
3 casacos
4 casacos
Marta usou 24 botões para confec-
cionar 6 casacos. Quantos botões 
ela usou em cada casaco? 
Para encontrar o resultado da multiplicação é necessário 
multiplicar o número de casaco pelo número de botões.
122 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
1 casaco x 4 botões = 4 botões
2 casacos x 4 botões = 8 botões
Para encontrar o resultado da multiplicação é necessário 
dividir o número de botões pelo número de casacos.
24 botões: 6 casacos = 4 botões em cada casaco
Organização retangular
Este raciocínio permite numerar a quantidade de objetos orga-
nizados numa disposição retangular. Os arranjos retangulares 
são muito comuns no dia a dia, e facilitam a percepção de pro-
priedades da multiplicação. A ênfase nos problemas que envol-
vem a organização retangular facilitará também que o aluno 
calcule áreas. A seguir, observe um exemplo de multiplicação 
e divisão com a ideia de organização retangular (Quadro 2).
Quadro 2 Raciocínio Multiplicativo Organização retangular
Capítulo 5 Operações Fundamentais com Números Naturais... 123
Para encontrar o resultado da multiplicação é necessário 
multiplicar o número de andares (colunas) pelo número de 
janela por andar (linhas).
8 andares x 3 janelas= 24 janelas
Para encontrar o resultado da divisão é necessário dividir o 
número de janelas pelo número de colunas para encontrar o 
número de linhas.
24 janelas: 3 colunas = 8 linhas
Comparação
Envolve a ideia de comparação de duas quantidades/grande-
zas. A relação numérica de comparação é então uma relação 
de natureza escalar (sem dimensão) estabelecidas pelas ex-
pressões “tantas vezes mais”, “tantas vezes menos”. Esses pro-
blemas envolvem noções como as de dobro, triplo, quádruplo, 
metade, terça parte, etc. A seguir, um exemplo de multiplica-
ção e divisão com a ideia de comparação (Quadro 3).
124 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Quadro 3 Raciocínio Multiplicativo com a ideia comparação
Para encontrar o resultado da multiplicação é necessário 
multiplicar o número de moedas por 2.
5 moedas x 2= 10 moedas
Para encontrar o resultado da divisão é necessário dividir o 
número de moedas por 2.
10 moedas: 2= 5 moedas 
Combinatória
A combinatória permite quantificar conjuntos ou subconjuntos 
de objetos ou de situações selecionados a partir de um con-
junto dado, ou seja, a partir de determinadas estratégias ou 
de determinadas fórmulas, pode-se saber quantos elementos 
Capítulo 5 Operações Fundamentais com Números Naturais... 125
ou quantos eventos são possíveis numa dada situação, sem 
necessariamente ter que contá-los um a um.
Para resolver problemas de combinatória é interessante au-
xiliar as crianças no desenvolvimento de procedimentos como: 
tabelas (tabela), diagramas e árvore das possibilidades. A se-
guir, um exemplo de multiplicação e divisão com a ideia de 
comparação (Quadro 4, Tabela 1, Figuras 3 e 4).
Quadro 4 Diagrama – Raciocínio Multiplicativo com a ideia de 
combinatória
Tabela 1 Raciocínio Multiplicativo com ideia de combinatória
Blusa rosa Blusa laranja Blusa verde
Bermuda
azul
Blusa rosa
Bermuda azul
Blusa laranja
Bermuda azul
Blusa verde
Bermuda azul
Bermuda 
branca
Blusa rosa
Bermuda 
branca
Blusa laranja
Bermuda branca
Blusa verde
Bermuda 
branca
126 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Figuras 3 e 4 Árvore das possibilidades Raciocínio
Para encontrar o número de combinações é necessário 
multiplicar o número de bermudas pelo número de blusas.
2 bermudas x 3 blusas= 6 combinações
Para encontrar o número de bermudas é necessário dividir 
o número de combinações pelo número de blusas.
 6 combinações:3 blusas= 2 bermudas
Divisão
Quanto à divisão, Lautert e Spinillo (2012) afirmam que ensi-
nar a divisão tem sido um desafio para professores do ensino 
fundamental que procuram desenvolver em seus alunos uma 
compreensão efetiva deste conceito mais do que uma compre-
ensão algorítmica que garanta apenas a aplicação de proce-
dimentos de cálculo.
Capítulo 5 Operações Fundamentais com Números Naturais... 127
Problemas de divisão têm sido analisados na literatura 
como basicamente partição e quotição (Quadro 5). Embora 
ambos demandem resolução através da operação de divisão, 
apresentam característicasdiferentes relativas a um mesmo 
conceito.
Quadro 5 Divisão por partição e Divisão por quotas
Divisão por partição ideia de 
repartir
Divisão por quotas ideia 
de medir
Problema
Pedro comprou 15 carrinhos e 
tinha 5 caixas. Ele quer colocar 
o mesmo número de carrinhos 
em cada caixa. Quantos 
carrinhos ele tinha que colocar 
em cada caixa?
Pedro comprou 15 
carrinhos e quer colocar 
cinco carrinhos em cada 
caixa. Quantas caixas ele 
vai precisar? 
Característica
A ideia de repartir igualmente 
determinada quantidade por 
um determinado número, 
ou seja, temos uma quantia 
dada conhecida e queremos 
reparti-la num certo número de 
grupos. 
A ideia de medir, verificar 
quantos grupos se 
consegue formar com 
determinada quantidade, 
ou seja, queremos saber 
quantas vezes uma 
quantidade cabe em 
outra.
Dividendo
Representado pelo todo-valor/ 
quantidade a ser dividida.
Representado pelo todo-
valor/ quantidade a ser 
dividida.
Divisor
Refere-se ao número de partes 
em que o todo é dividido.
Refere-se ao tamanho 
das partes previamente 
estabelecidas.
Quociente
Refere-se ao tamanho das 
partes.
Refere-se ao número das 
partes.
Pergunta chave Quantos em cada parte? Quantas partes?
128 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Através das ideias apresentados, é possível perceber que as 
diferentes situações que fazem parte do campo multiplicativo. 
Para o aluno compreender os diferentes sentidos da multipli-
cação e da divisão é necessário que tenha oportunidades de 
realizar tarefas que contemplem os diferentes conceitos atra-
vés das quais possam usar estratégias próprias, finalidade das 
ideias que fazem parte do raciocínio multiplicativo. Tal como 
no caso da adição e da subtração, só depois de os alunos 
resolverem vários problemas multiplicativos é que deve ser in-
troduzida a sua simbologia.
A tabuada da multiplicação
Muito se tem discutido sobre saber ou não a tabuada através 
da memorização. Conforme Gomez (1991, p.69) “o aluno deve 
construir a tábua de multiplicação para memorizá-la posterior-
mente”, esta argumentação valida a que temos discutido até 
agora, a importância da aprendizagem conceitual. Portanto, an-
tes de memorizar, é necessário compreender os significados da 
multiplicação, as relações e as propriedades da multiplicação 
através das regularidades presentes na tabuada. Desta forma, o 
estudante poderá gravar alguns resultados e encontrar pronta-
mente outros, facilitando os procedimentos de cálculo e verifica-
ção de resultados no contexto de resolução de problemas.
Um excelente recurso para ser utilizado neste processo é 
a Tábua Pitagórica (Quadro 6). Um quadro de dupla entrada 
em que são registrados os resultados das multiplicações, de 1 
x 1 a 10 x 10 – o número da linha deve ser multiplicado pelo 
da coluna e, no espaço correspondente ao encontro das duas, 
registrado o produto do cálculo.
Capítulo 5 Operações Fundamentais com Números Naturais... 129
Quadro 6 Tabela Pitagórica
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Isso facilita uma visão geral dos resultados, o que é uma 
vantagem sobre as tabuadas organizadas em listas – em que 
aparece a multiplicação do 1 ao lado da do 2 até a do 10. 
Há várias atividades a serem propostas com o uso da tabela 
como, por exemplo, completar e preencher lacunas, observar 
regularidades, explorar as propriedades da multiplicação.
Propriedades da multiplicação
Conforme Gomez (1991), é importante que os alunos conhe-
çam e compreendam as regularidades expressas através das 
propriedades da multiplicação (Quadro 7), pois estas se cons-
tituem como ferramentas para criar estratégias de procedimen-
tos de cálculo. As propriedades não devem ser apresentadas 
aos alunos como uma lista de regras, mas, sim, dentro de um 
130 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
contexto para que possam utilizar este conhecimento em diver-
sas situações e na resolução de problemas.
Quadro 7 Propriedades da multiplicação
Propriedade fechamento
Qual é o produto de 6 x 7? Existe outra 
resposta possível para esse produto?
6 x 7 = 42
O produto de dois ou mais números 
naturais é sempre número natural.
Propriedade comutativa
Ganhei 6 caixas com 5 bombons em 
cada uma. Como calculo? 6 x 5 ou 
5 x 6?
6 x 5 = 30 e 5 x 6 = 30
Quando trocamos a ordem dos 
fatores, o resultado não muda.
Propriedade associativa
A tecla 6 da calculadora está quebrada. 
Como posso obter o produto de 6 x 6?
(3 x 3) x 4 = 36
(4 x 3) x 3 = 16
Na multiplicação de mais de dois 
fatores, o produto não muda se os 
fatores forem associados de maneira 
diferente.
Propriedade elemento neutro
O número 1 é chamado de elemento 
neutro da multiplicação, porque 
não altera o valor que está sendo 
multiplicado por ele.
6 x 1 = 1
1 x 8 = 1
O resultado da multiplicação de 
qualquer número natural por 1 é 
sempre o próprio número.
 Propriedade distributiva em relação à adição
Maria organizou suas meias em caixas. Usou 3 caixas para guardar as meias 
brancas e 2 caixas para guardar as meias coloridas. Em cada caixa foram 
colocadas 3 meias. Quantas meias tem Maria?
Podemos representar esse cálculo assim:
ou assim
3 x (3+2) = (3x3) + (3x2) = 9 + 6 = 15
Para multiplicar um número natural por uma adição de duas ou mais parcelas, 
adicionamos o produto de cada parcela por esse número natural.
Capítulo 5 Operações Fundamentais com Números Naturais... 131
Algoritmos da multiplicação e divisão
Após o estudo das ideias e conceitos, os alunos devem apren-
der a utilizar o algoritmo. Broitam (2011) explica que já no 
primeiro e segundo anos é possível resolver problemas de mul-
tiplicação e divisão organizando os registros por meio de de-
senhos e procedimentos de contar. A partir do segundo ano, o 
professor pode iniciar a representação das operações de mul-
tiplicação e divisão começando através de conta horizontal. 
Nos anos seguintes, são apresentados para as crianças os cál-
culos verticais, sempre dentro de contextos através dos quais 
elas compreendam a finalidade da operação. A aprendizagem 
do cálculo não deve se reduzir apenas à aprendizagem das 
técnicas operatórias, mas sim orientar-se no sentido de possi-
bilitar a análise de diferentes formas de calcular, favorecendo 
o desenvolvimento de estratégias de pensamento e o reconhe-
cimento da importância de se comprovarem os resultados.
Algoritmo da multiplicação
O algoritmo da multiplicação é definido por Pires (2013, p.56) 
“como uma operação matemática que associa a dois números 
naturais (como são chamados os fatores) a um número natural 
que é seu produto”.
O multiplicador indica o número de vezes que o multipli-
cando será aumentado para encontrar o produto. A técnica 
operatória, ou algoritmo da multiplicação, sugere que se es-
crevam os fatores um acima do outro e que se inicie a multipli-
cação pelas unidades dos segundo fator.
132 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Algoritmo da divisão
Conforme o Programa de Formação de Professores Gestar 
(BRASIL, 2007), de todas as operações com números naturais 
aquela que traz as maiores dificuldades de cálculo é a divisão. 
Em geral, isso acontece porque as regras são passadas aos 
alunos, sem que eles tenham oportunidade de usar material 
de manipulação, de maneira que não conseguem perceber o 
processo de agrupamentos e trocas, na base 10, necessárias 
para dividir.
Como já discutimos, multiplicaçãoe divisão fazem parte 
de um mesmo campo de conceitos, campo multiplicativo, des-
ta forma recomenda-se que o trabalho com a divisão deve 
ser iniciado juntamente com a multiplicação, de modo que os 
alunos construam, aos poucos, os fatos básicos da divisão, re-
lacionados aos da multiplicação. As atividades devem sempre 
ter início com situações adequadas ao nível das crianças, nas 
quais possam dispor do apoio de material de manipulação. 
Como na multiplicação, as operações de divisão devem ser 
propostas através de resolução de problemas, em que os alu-
nos sejam estimulados a criar e utilizar estratégias próprias de 
resolução.
O algoritmo da divisão é operado da esquerda para direi-
ta, diferentemente das outras operações. O processo que nor-
Capítulo 5 Operações Fundamentais com Números Naturais... 133
malmente utilizamos é conhecido como “processo euclidiano”. 
Por esse processo, se procura a maior quantidade possível de 
elementos distribuídos igualmente em grupos definidos. Por 
exemplo, tenho a quantidade de 235 balas e desejo formar 
dois grupos com quantidades iguais.
No exemplo ao lado temos 235 unidades para serem re-
partidas em 2 grupos ou duas partes.
 Â 235 é o número a ser repartido, o dividendo.
 Â 2 corresponde ao divisor ou o número de grupos ou 
partes em que o dividendo será repartido.
 Â 117 corresponde ao quociente, o resultado da divisão.
 Â 1 corresponde ao resto da divisão.
 Â 3 dezena divididas igualmente em 2 grupos, resulta 1 
dezena por grupo e neste processo sobra uma dezena 
que irá se juntar com as unidades.
 Â 15 unidades divididas 
igualmente em 2 grupos resultam 
7 unidades e sobra 1 unidade.
Os algoritmos aqui apresenta-
dos correspondem apenas a uma 
demonstração. Existem outras for-
mas de estudar as operações de 
multiplicação e divisão. É impor-
tante que o professor ofereça estratégias através das quais os 
alunos possam fazer estimativas de quantidades para empre-
gar o cálculo mental e cálculos através de composição para 
O procedimento utili-
zado na resolução de 
235:2
2 centenas divididas 
igualmente em dois gru-
pos resulta em 1 centena 
por grupo;
134 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
que, com o tempo e a experiência, 
realmente compreendam o que é 
multiplicar e dividir.
Recapitulando
As ideias da multiplicação e da divi-
são fazem parte de um mesmo cam-
po de conceitos: o campo conceitu-
al das estruturas multiplicativas. Discutimos quatro grupos de 
situações envolvendo raciocínio multiplicativo: comparação, 
proporção, configuração retangular e combinatória, classifi-
cação abordada neste estudo. Todas estas situações podem 
ser expressas através da multiplicação e da divisão. A divisão 
é empregada de duas formas por partição, forma (quantas 
partes) e por quotas (quantos em cada parte). Destacamos 
que ensinar explicando, dando exemplos e solicitando aos 
alunos que repitam um conjunto de procedimentos de modo a 
conseguir reproduzi-los não se traduz numa verdadeira com-
preensão das ideias e procedimentos matemáticos. Para que 
o aluno construa as aprendizagens esperadas é necessário 
que compreenda as ideias das operações e saiba empregá-
-las para resolver problemas. Abordamos o ensino da tabu-
ada, apresentando a tabela pitagórica como uma estratégia 
favorável para a memorização dos fatos da multiplicação. 
Apresentamos os algoritmos e seus termos comentando sobre 
as técnicas operatórias de resolução.
Capítulo 5 Operações Fundamentais com Números Naturais... 135
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Atividades
 1) De acordo com a teoria dos Campos Conceituais, quais 
são as classes apresentadas no campo multiplicativo?
 2) Relacione os problemas abaixo, indicando o raciocínio as-
sociado a cada situação:
(a) Eduardo tem 21 anos e seu tio tem o dobro de sua 
idade. Qual a idade do tio de Eduardo?
(b) Para montar um sorvete Gabriel tem duas opções de 
casquinha: chocolate e biscoito – e 5 opções de sabo-
res: uva, banana, chocolate, morango e flocos. Quan-
tos sorvetes combinações ele pode fazer?
(c) Samuel organizou seus carrinhos em 6 linhas e 5 colu-
nas. Quantos carrinhos tem Samuel?
(d) No Restaurante Novo Sabor, um almoço custa R$ 
15,00. Quanto Luís vai gastar se almoçar durante 5 
dias no Restaurante Novo sabor?
138 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
( ) Combinatória ( ) Comparação
( ) Proporcionalidade ( ) organização retangular
 3) Não é correto afirmar que:
(a) A divisão está relacionada à multiplicação.
(b) É muito importante que o aluno domine as operações 
de multiplicação e divisão, só depois pode resolver 
problemas com estas operações.
(c) Problemas de divisão apresentam duas ideias, partição 
e quotição.
(d) A multiplicação e a divisão fazem parte do campo con-
ceitual multiplicativo.
 4) Qual a multiplicação que representa a figura abaixo?
(a) 5 x 5 (b) 5 x 4 (c) 3 x 4 (d) 4 x 35) Complete a tabela pitagórica
Capítulo 5 Operações Fundamentais com Números Naturais... 139
 6) Complete com C para certo e E para errado. Com relação 
à tabela pitagórica é correto afirmar que:
 ( ) Todo número multiplicado por 1 tem como resultado 
zero.
 ( ) Os resultados das multiplicações da 4ª linha são o do-
bro dos resultados da 2ª linha.
 ( ) Os resultados das multiplicações da 2ª coluna são me-
tade dos resultados da 4ª coluna.
 ( ) Todo número multiplicado por 5 termina em zero.
 7) Como deve ser introduzida a multiplicação e a divisão 
para as crianças? Argumente de forma breve.
 8) Usando os dados abaixo, escreva um problema de divisão 
e um problema de multiplicação.
 9) No texto que você estudou defendemos a ideia de que o 
aluno deve construir a tábua de multiplicação para me-
morizá-la posteriormente. De que forma o professor pode 
auxiliar o aluno no processo de memorização da tabuada?
 10) Discutimos a importância da aprendizagem dos conceitos 
e das ideias das operações. Qual deve ser o ponto de 
140 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
partida da exploração inicial de um conceito no ensino de 
matemática?
 11) Pense a respeito da seguinte questão e comente: Se um alu-
no utiliza corretamente um algoritmo de multiplicar ou de di-
vidir significa que ele aprendeu a multiplicação ou a divisão?
 12) Volte no tempo e recorde como você aprendeu a multipli-
cação e divisão. A maneira como você aprendeu influen-
cia no seu modo de ensinar este tema para seus alunos?
 13) Qual a diferença conceitual entre a adição de parcelas 
iguais e a multiplicação?
 14) De todas as operações com números naturais aquela que 
traz as maiores dificuldades de cálculo é a divisão. O que 
o professor pode fazer para que as crianças aprendam 
mais facilmente a divisão?
 15) Ao final deste estudo, qual aprendizagem você considerou 
mais significativa? Comente.
Gabarito
 1) R: comparação, proporção, configuração retangular e 
combinatória.
 2) R: (B) Combinatória (A) Comparação
(D) Proporcionalidade (C) organização retangular
Capítulo 5 Operações Fundamentais com Números Naturais... 141
 2) R:(B) É muito importante que o aluno domine as operações 
de multiplicação e divisão, só depois pode resolver proble-
mas com estas operações.
 4) Qual a multiplicação que representa a figura abaixo?
R: (B) 5 x 4
 5) Complete a tabela pitagórica
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100
 6) (E) Todo número multiplicado por 1 tem como resultado 
zero.
 (C) Os resultados das multiplicações da 4ª linha são o 
dobro dos resultados da 2ª linha.
 (C) Os resultados das multiplicações da 2ª coluna são me-
tade dos resultados da 4ª coluna.
 (E) Todo número multiplicado por 5 termina em zero.
142 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
 7) Como deve ser introduzida a multiplicação e a divisão 
para as crianças? Argumente de forma breve.
 R: Através de problemas, para que as crianças compreen-
dam
 8) Usando os dados abaixo, escreva um problema de divisão 
e um problema de multiplicação.
 R: Pessoal
 9) No texto que você estudou defendemos a ideia de que o 
aluno deve construir a tábua de multiplicação para me-
morizá-la posteriormente. De que forma o professor pode 
auxiliar o aluno no processo de memorização da tabuada?
R: Explorando as regularidades da tabua pitagórica
 10) Discutimos a importância da aprendizagem dos conceitos 
e das ideias das operações. Qual deve ser o ponto de 
partida da exploração inicial de um conceito no ensino de 
matemática?
R: Resolução de problemas.
 11) Pense a respeito da seguinte questão e comente: Se um alu-
no utiliza corretamente um algoritmo de multiplicar ou de di-
vidir significa que ele aprendeu a multiplicação ou a divisão?
 R: Significa que ele aprendeu a técnica de multiplicar e 
dividir, mas não significa que ele tenha se apropriado dos 
conceitos destas operações.
165; 9165 x 9
Capítulo 5 Operações Fundamentais com Números Naturais... 143
 12) Volte no tempo e recorde como você aprendeu a multipli-
cação e divisão. A maneira como você aprendeu, influen-
cia no seu modo de ensinar este tema para seus alunos?
R: Pessoal
 13) Qual a diferença conceitual entre a adição de parcelas 
iguais e a multiplicação?
 R: Na adição somamos as partes para encontrar o todo, 
na multiplicação contamos os grupos.
 14) De todas as operações com números naturais aquela que 
traz as maiores dificuldades de cálculo é a divisão. O que 
o professor pode fazer para que as crianças aprendam 
mais facilmente a divisão?
 R: Deve iniciar com situações mais fáceis, disponibilizando 
materiais manipuláveis, estimulando as crianças a orga-
nizar estratégias próprias para que se familiarizem com o 
conceito de dividir e a partir de problemas apresentar dife-
rentes possibilidade de procedimentos de cálculos.
 15) Ao final deste estudo, qual aprendizagem você considerou 
mais significativa? Comente.
R: Pessoal.
Alexandre Branco Monteiro1
Capítulo 6
Ensino e Aprendizagem 
de Números Racionais 
na Forma Fracionária e 
Decimal
1 Doutorando do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Matemá-
tica (PPGECIM) da Universidade Luterana do Brasil (ULBRA). Membro do Grupo de 
Estudos Curriculares de Educação Matemática (GECEM). 
Capítulo 6 Ensino e Aprendizagem de Números Racionais... 145
Introdução
Na história da numeração, os Números Racionais surgiram 
para resolver situações em que os Números Naturais não da-
vam mais conta. Conforme os PCN (BRASIL, 1997), é ao longo 
do processo de ensino e aprendizagem escolar que os alunos 
irão perceber a existência de diversas categorias numéricas, 
criadas em função de diferentes problemas que a humanida-
de teve que enfrentar – Números Naturais, Números Inteiros 
positivos e negativos, Números Racionais (com representações 
fracionárias e decimais) e Números Irracionais. Os alunos am-
pliarão os conhecimentos em relação ao conceito de número 
ao se depararem com situações-problema envolvendo as ope-
rações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potencia-
ção e radiciação.
Neste capítulo, discutiremos ideias acerca dos Números 
Racionais, tratando dos significados, dificuldades normalmen-
te encontradas e trazendo sugestões de metodologias no ensi-
no desse conteúdo.
O processo didático de ensino e aprendizagem 
dos Números Racionais
Segundo Oliveira (1994), o conceito de Número Racional é 
um dos mais complexos que os alunos do Ensino Básico estu-
dam. Para o autor, a importância do seu estudo pode ser visto 
segundo várias perspectivas:
146 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
a) Numa perspectiva prática, porque a capacidade de li-
dar com estes conceitos melhora a capacidade para 
compreender e tratar com situações do mundo real;
b) Numa perspectiva psicológica, porque providencia um 
campo no qual as crianças podem desenvolver e ex-
pandir as estruturas mentais necessárias ao desenvol-
vimento intelectual;
c) Numa perspectiva matemática, porque a compreen-
são dos Números Racionais se constitui mais tarde a 
base que se assentam as operações algébricas.
No currículo escolar, desde os anos iniciais, estudam-se 
os Números Naturais, abordando o sistema de numeração 
decimal e as quatro operações. Depois disso, os alunos pas-
sam a se familiarizar com o conjunto dos Números Racionais. 
Conforme os PCN (BRASIL, 1997), a construção da ideia de 
Número Racionalé relacionada à divisão entre dois núme-
ros inteiros, excluindo-se o caso em que o divisor é zero. Ou 
seja, desde que um número represente o quociente entre dois 
inteiros quaisquer (o segundo não nulo), ele é um Número 
Racional e pode ser representado por Frações e por números 
decimais.
Segundo Romanatto (1997), tem que haver um trabalho 
significativo dos Números Racionais em todos os contextos em 
que tal assunto está presente para que haja uma compreensão 
plena deste tema. Isso porque, em cada contexto, a noção de 
número e as operações matemáticas devem ser reconceituali-
zadas em relação aos Números Naturais. Relações como me-
didas, quociente, razão, operador multiplicativo, probabilida-
Capítulo 6 Ensino e Aprendizagem de Números Racionais... 147
de e número são “personalidades” que os números racionais 
assumem, representadas por notações da forma , decimal e 
percentual (ROMANATTO, 1997, p.8).
Para os PCN (BRASIL, 1998), ainda que pesem as rela-
ções entre Números Naturais e Racionais, a aprendizagem dos 
Racionais necessita rupturas com as ideias construídas pelos 
alunos em relação aos Naturais, o que demanda tempo e uma 
abordagem adequada. Ao raciocinar sobre os Números Ra-
cionais como se fossem naturais, os alunos acabam tendo que 
enfrentar vários obstáculos, conforme os PCN (BRASIL, 1998, 
p.101):
 Â Um deles está ligado ao fato de que cada Número Ra-
cional pode ser representado por diferentes (e infinitas) 
escritas fracionárias; por exemplo, 1
3
, 2
6
, 3
9
 e 4
12
 são 
diferentes representações de um mesmo número;
 Â Outro diz respeito à comparação entre Frações, pois 
acostumados com a relação 3 > 2, terão que construir 
uma escrita que lhes parece contraditória, ou seja, 1 1
3 2
< ;
 Â Se o “tamanho” da escrita numérica era um bom in-
dicador da ordem de grandeza no caso dos números 
naturais (8.345 > 41), a comparação entre 2,3 e 2,125 
já não obedece ao mesmo critério;
 Â Se, ao multiplicar um número natural por outro natural 
(sendo esse diferente de 0 ou 1), a expectativa era a de 
encontrar um número maior que ambos, ao multiplicar 
10 por 1
2
, ficarão surpresos ao ver que o resultado é 
menor do que 10;
148 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
 Â Se a sequência dos números naturais permite falar em 
sucessor e antecessor, para os racionais isso não faz sen-
tido, uma vez que entre dois números racionais quais-
quer é sempre possível encontrar outro racional; assim, 
o aluno deverá perceber que entre 0,8 e 0,9 estão nú-
meros como 0,81, 0,815 ou 0,87.
Ainda tratando da compreensão dos Números Racionais, 
Romanatto (1997) coloca que os professores que lecionam no 
4º e 5º anos do Ensino Fundamental identificam uma certa 
dificuldade dos alunos compreender como uma fração. O 
obstáculo se explica na medida que, se fração é parte do todo, 
então não é mesmo uma fração. Para que aceitemos como 
tal, é necessário que a noção original de fração seja amplia-
da. O nome que usamos para as Frações – próprias ou im-
próprias – é um vestígio de que os nossos antepassados, muito 
provavelmente, enfrentaram as mesmas dificuldades que ob-
servamos, atualmente, como os nossos alunos.
O autor ainda complementa que, nos Números Naturais, a 
multiplicação (adição de parcelas iguais) está associada com 
a ideia de aumento, enquanto que na divisão (que pode tam-
bém ser entendida como uma subtração de parcelas iguais) 
temos a ideia de diminuição. Entretanto, essas mesmas ope-
rações quando estendidas para os Racionais têm outras inter-
pretações.
A simples “transferência” das propriedades ou característi-
cas de um tipo de número para outro pode tornar-se um “pro-
blema” no processo de aprendizagem dos Números Racionais 
(CAMPOS; SILVA; PIETROPAOLO, 2009). Uma forma de in-
Capítulo 6 Ensino e Aprendizagem de Números Racionais... 149
centivar o aprendizado em relação a esse conteúdo é que es-
sas devem aparecer em contextos variados, que proporcionem 
aos estudantes realizar com elas as mesmas atividades que 
desenvolvem com os Números Naturais, como somar, dividir 
e ordenar.
O trabalho realizado por Kieren (1976) foi o primeiro a 
introduzir a ideia de que os Números Racionais consistem de 
vários construtos e que compreender a noção de um Número 
Racional depende de se adquirir um entendimento da con-
fluência destes construtos. Procurando classificar as diversas 
interpretações dos Números Racionais o autor introduz a ideia 
de que estes consistem em sete construtos:
a) Os Números Racionais são Frações que podem ser 
comparadas, somadas, subtraídas, etc.;
b) Os Números Racionais são Frações decimais que for-
mam uma extensão natural (via nosso sistema de nu-
meração) para os Números Naturais;
c) Os Números Racionais são classe de equivalência de 
Frações. Assim e são Números 
Racionais;
d) Os Números Racionais são números da forma , onde 
p e q são inteiros e q ≠ 0. Dessa forma, os Números 
Racionais são números relacionais;
e) Os Números Racionais são operadores multiplicativos;
150 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
f) Os Números Racionais são elementos de um campo 
quociente ordenado e infinito. Há número da forma x 
= , onde x satisfaz a equação qx = p.
g) Os Números Racionais são medidas ou pontos sobre a 
linha ou reta numerada.
O autor defende que a compreensão do conceito de 
Número Racional depende da compreensão de todos esses 
construtos. Em 1980, Kieren assume que um completo de-
senvolvimento do conceito implica a compreensão de quatro 
subconstruto: medida, quociente, número proporcional e ope-
rador multiplicativo.
As orientações e os objetivos do ensino dos 
Números Racionais
Em geral, no Brasil, o trabalho com os Números Racionais 
inicia-se no 4º ano do Ensino Fundamental, sendo retomado 
e ampliado nas duas séries subsequentes e, pontualmente, em 
todas as séries do Ensino Fundamental e Médio (CAMPOS; 
SILVA; PIETROPAOLO, 2009, p.131). Mas, as primeiras no-
ções sobre Frações podem ser iniciadas entre o 2º e o 3º ano 
do Ensino Fundamental, de forma mais simples, com questões 
que envolvam metades e quartos, relacionados a medidas de 
peso, capacidade e tempo, conforme Broitman (NOVA ESCO-
LA, 2009, p.73).
Capítulo 6 Ensino e Aprendizagem de Números Racionais... 151
Segundo os PCN (BRASIL, 1997) é a partir do segundo ci-
clo do Ensino Fundamental2 que o ensino de Matemática deve 
levar o aluno a:
 Â Construir o significado do número racional e de suas 
representações (fracionária e decimal), a partir de seus 
diferentes usos no contexto social;
 Â Interpretar e produzir escritas numéricas, considerando 
as regras do sistema de numeração decimal e as esten-
dendo para a representação dos números racionais na 
forma decimal;
 Â Resolver problemas, consolidando alguns significados 
das operações fundamentais e construindo novos, em 
situações que envolvam números naturais e, em alguns 
casos, racionais.
Neste ciclo, são apresentadas aos alunos situações-pro-
blema cujas soluções não se encontram no campo dos Núme-
ros Naturais, possibilitando, assim, que eles se aproximem da 
noção de Número Racional, pela compreensão de alguns de 
seus significados (quociente, parte-todo, razão) e de suas re-
presentações, fracionária e decimal. Também se espera, con-
forme os PCN (BRASIL, 1997), que o aluno saiba ler, escrever, 
ordenar, identificar sequências e localizar, em intervalos, Nú-
meros Naturais e Números Racionais na forma decimal pela 
identificação das principais características do sistema de nu-
meração decimal.
2 4º e 5º anos do Ensino Fundamental.
152 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
No terceiro3 e quarto4 ciclos, a ideia sobre os Números Ra-
cionais é ampliada, construindo novos significados sobreeste 
conteúdo. Nestes ciclos a abordagem dos racionais, em con-
tinuidade ao que foi proposto para os ciclos anteriores, tem 
como objetivo levar os alunos a perceber que os Números Na-
turais são insuficientes para resolver determinadas situações-
-problema como as que envolvem a medida de uma grandeza 
e o resultado de uma divisão.
No terceiro ciclo conforme os PCN (BRASIL, 1998) o aluno 
deverá ser capaz de comparar e ordenar Números Naturais, 
Inteiros e Racionais; reconhecendo suas diferentes formas de 
expressão como fracionária, decimal e percentual; representar 
na forma decimal um Número Racional expresso em notação 
fracionária; efetuar cálculos envolvendo adição, subtração, 
multiplicação, divisão e potenciação; escolher adequadamen-
te os procedimentos de cálculo (exato ou aproximado, mental 
ou escrito) em função dos contextos dos problemas, dos núme-
ros e das operações envolvidas.
No quarto ciclo deve-se ampliar e consolidar os significa-
dos dos Números Racionais a partir dos diferentes usos em 
contextos sociais e matemáticos. Ao abordar os racionais pelo 
seu reconhecimento no contexto diário, deve-se observar que 
eles aparecem muito mais na forma decimal do que na forma 
fracionária.
3 6º e 7º anos do Ensino Fundamental respectivamente.
4 8º e 9º anos do Ensino Fundamental respectivamente.
Capítulo 6 Ensino e Aprendizagem de Números Racionais... 153
Também devem resolver situações-problema envolvendo 
Números Racionais, ampliando e consolidando os significa-
dos da adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação 
e radiciação, além de selecionar e utilizar diferentes procedi-
mentos de cálculo. Desse modo, é desejável que o professor 
proponha aos alunos a análise, interpretação, formulação e 
resolução de novas situações-problema, envolvendo números 
naturais, inteiros e racionais e os diferentes significados das 
operações, e que valorize as resoluções “aritméticas” tanto 
quanto as “algébricas” (PCN, BRASIL, 1998).
O entendimento do conceito de Frações com as suas re-
lações, é um processo de aprendizagem de longo prazo. A 
variedade de estruturas cognitivas a que as diferentes interpre-
tações das Frações estão conectadas condiciona esse processo 
de aprendizagem. Existe um longo caminho, desde o primeiro 
contato intuitivo dos alunos com as Frações (relação parte-
-todo, metades, terços, etc.), até chegar ao conhecimento de 
caráter algébrico associado às Frações (LLINARES; SÁNCHEZ, 
1988, p.53).
Os PCN (BRASIL, 1997) orientam o trabalho com os Nú-
meros Racionais da seguinte forma:
 Â Formulação de hipóteses sobre a grandeza numérica 
pela observação da posição dos algarismos na repre-
sentação decimal de um número racional;
 Â Extensão das regras do sistema de numeração decimal 
para compreensão, leitura e representação dos números 
racionais na forma decimal;
154 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
 Â Comparação e ordenação de números racionais na for-
ma decimal;
 Â Localização na reta numérica, de números racionais na 
forma decimal;
 Â Leitura, escrita, comparação e ordenação de represen-
tações fracionárias de uso frequente;
 Â Reconhecimento de que os números racionais admitem 
diferentes (infinitas) representações na forma fracionária;
 Â Identificação e produção de Frações equivalentes, pela 
observação de representações gráficas e de regularida-
des nas escritas numéricas;
 Â Exploração dos diferentes significados das Frações em 
situações-problema: parte-todo, quociente e razão;
 Â Observação de que os números naturais podem ser ex-
pressos na forma fracionária;
 Â Relação entre representações fracionária e decimal de 
um mesmo número racional;
 Â Reconhecimento do uso da porcentagem no contexto 
diário.
Os números decimais e as frações
Para Bittar e Freitas (2005), desde muito cedo os números de-
cimais fazem parte da vida da criança, sobretudo ao uso do 
sistema monetário. Mesmo não conhecendo formalmente os 
‘números com vírgulas’, elas sabem quanto é ‘um real e cin-
Capítulo 6 Ensino e Aprendizagem de Números Racionais... 155
quenta centavos’, assim como já teve contato com encartes de 
preços. Situação que deve ser explorada pelo professor por 
estar próxima ao cotidiano dos alunos.
Ainda para os autores, os números decimais são muito 
mais ‘naturais’ para as crianças do que as Frações, apesar 
de serem trabalhados na escola posteriormente ao estudo das 
Frações. Quando não bem explorado, e tratados isoladamen-
te, pode parecer muitas vezes que ambos os conteúdos não 
têm relação, ou seja, como se não fossem ambos os Números 
Racionais. Uma fração do tipo equivale à divisão de a por b 
e que para qualquer número fracionário há sempre um deci-
mal correspondente. Por exemplo:
 
Segundo Llinares e Sánchez (1988), no caso das Frações, 
ao ensiná-las deve existir um equilíbrio entre o significado das 
mesmas, em contextos concretos práticos (situações-problema) 
e em situações mais abstratas – cálculos sem contexto (caráter 
algébrico). A compreensão operativa do conceito de Frações 
deve proporcionar a fundamentação em que se apoiam as 
operações algébricas que vão ser desenvolvidas posterior-
mente. Um bom trabalho metodológico com as Frações pode 
contribuir para que essas operações algébricas não se conver-
tam em algo sem sentido para os alunos. Apresentam-se nos 
tópicos a seguir exemplos de situações relativas a diferentes 
significados de Frações.
156 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
A relação parte-todo e medida
Segundo Llinares e Sánchez (1988), essa situação ocorre 
quando um ‘todo’ (contínuo ou discreto) se divide em partes 
‘congruentes’ (equivalentes como quantidade de superfície ou 
quantidades de objetos). A fração indica a relação que existe 
entre um número de partes e o número total de partes (que 
pode estar formado por vários “todos”). O todo recebe o nome 
de unidade e essa relação parte-todo depende diretamente da 
habilidade de dividir um objeto, em partes ou peças iguais.
Para Bittar e Freitas (2005), o estudo de Frações deve ser 
iniciado por meio de atividades, situações e materiais adequa-
dos ao nível de desenvolvimento cognitivo dos alunos, par-
tindo dos seus conhecimentos prévios. Desde cedo, a criança 
utiliza formas de medir que usam números fracionários, princi-
palmente a metade, representada por , porém, a criança não 
conhece essa notação. Para os autores, o professor pode co-
meçar o estudo de frações explorando um problema do tipo:
 Â “João ganhou um pacote de balas de sua avó. Ele deve-
ria ficar com a metade das balas e dar a outra metade 
para seu irmão Lucas. Se o total de balas do pacote era 
igual a 18, quantas balas cada um recebeu?”
Uma vez encontrado o resultado, o professor deve explo-
rar a ideia de “metade de uma quantidade” e introduzir, gra-
dativamente, a notação fracionária para ‘metade de’ alguma 
quantidade. Pode-se, em seguida, estender o problema para o 
caso de terem que dividir a quantidade total entre três irmãos. 
Dessa forma, o total de balas foi dividido em três partes iguais 
e cada criança recebeu desse total.
Capítulo 6 Ensino e Aprendizagem de Números Racionais... 157
Segundo Bittar e Freitas (2005), a simbologia e nomencla-
tura usadas no estudo das Frações devem ser acompanhadas 
sempre de uma ou mais representações gráficas como, por 
exemplo, as representações de , como mostra a Figura 1.
Figura 1 Representações gráficas da Fração .
Fonte: Bittar e Freitas (2005).
Para os autores, é costume a utilização de retângulos para 
o estudo das Frações. Por exemplo, para representar , divide-
-se um retângulo em oito partes iguais e pinta-se 3 dessas 
partes (Figura 2).
Figura 2 Representação gráfica da Fração 
 
utilizando retângulo.
Fonte: Bittar e Freitas (2005).
Contudo,é importante observar que existem várias formas 
de representar desse retângulo, como mostra a Figura 3.
158 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Figura 3 representação gráfica da Fração utilizando retângulo.
Fonte: Bittar e Freitas (2005).
Os autores ressaltam que é importante trabalhar com 
quantidades contínuas e discretas, sendo fundamental variar a 
forma das figuras trabalhadas, como círculos, canudos, fichas 
e outros. Llinares e Sánchez (1988) exemplificam que se po-
dem utilizar diagramas para assinalar uma extensão, ao dividir 
um segmento em partes iguais, conforme a Figura 4. Neste 
exemplo, a fração indica as partes tomadas em relação ao 
número de partes em que se dividiu o segmento.
Figura 4 representação gráfica de uma Fração em um segmento.
Fonte: Llinares e Sánchez (1988).
Em um contexto discreto, pode-se representar como no 
exemplo a seguir, onde o “todo” está formado pelo conjunto 
global de cinco bolas, três das quais estão pintadas (Figura 5). 
A Fração indica a relação entre o número de bolas pintadas 
e o número total de bolas.
Capítulo 6 Ensino e Aprendizagem de Números Racionais... 159
Figura 5 representação gráfica da Fração 
 
através de quantidade 
discreta.
Fonte: Llinares e Sánchez (1988).
É interessante ressaltar, segundo os autores, que utilizar 
contextos discretos possibilita à criança ampliar seu esquema 
relação parte-todo, como exemplo na Figura 6.
Figura 6 representação gráfica de unidades.
Fonte: Llinares e Sánchez (1988).
A partir desse conjunto, pode-se representar a Fração (di-
vidir o conjunto em cinco partes e tomar três). Os subconjuntos 
que resultam também estão formando cada um dos elos por 
vários objetos (nesse caso, por dois), conforme Figura 7.
Figura 7 representação gráfica da Fração através de quantidade 
discreta.
Fonte: Llinares e Sánchez (1988).
160 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Conforme Llinares e Sánchez (1988), na caracterização 
da relação parte-todo, usa-se a nomenclatura de “partes 
congruentes”, o que não indica, necessariamente, partes da 
mesma forma. A Figura 8 é uma representação não usual de 
parte-todo, onde a relação entre as partes sombreadas e o 
número de partes também pode ser representada por .
Figura 8 representação gráfica da Fração .
Fonte: Llinares e Sánchez (1988).
A noção de partes congruentes é de vital importância para 
poder justificar, como erradas, situações como a da Figura 9.
Figura 9 representação gráfica de uma pirâmide.
Fonte: Llinares e Sánchez (1988).
Neste caso, não se pode indicar por a parte sombreada, 
ao não estar formada por partes congruentes.
Capítulo 6 Ensino e Aprendizagem de Números Racionais... 161
Para Llinares e Sánchez (1988), é importante trabalhar si-
tuações nas quais se associam frações a pontos na reta numé-
rica. Nesse caso, associa-se a fração com um ponto situado 
sobre a reta numérica, em que cada segmento de unidade foi 
dividido em b partes (ou em um múltiplo de b) congruentes 
das que se tomam a (Figura 10). Pode-se considerar como um 
caso particular da relação parte-todo.
Figura 10 representação das Frações na reta numérica
Fonte: Llinares e Sánchez (1988).
Conforme Dickson (1984 apud LLINARES; SÁNCHEZ, 
1988), trabalhar Frações na reta numérica pode provocar difi-
culdades para algumas crianças, mas também apresenta van-
tagens como:
 Â Faz com que as Frações impróprias (Frações maiores 
que a unidade) apareçam de forma muito mais natural, 
assim como a notação de números mistos;
 Â Faz com que o conjunto das Frações apareça no eixo 
como uma extensão do conjunto dos Números Naturais 
(as frações preenchem os “vazios” entre os Naturais);
 Â Tem conexões com a ideia de medida (uso de escala).
Os resultados de algumas investigações também sugerem 
que a interpretação das Frações mediante a reta numérica é 
162 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
especialmente difícil para as crianças (NOVILLIS apud LLINA-
RES; SÁNCHEZ, 1988, p.60). Um dos problemas que pode 
surgir é a identificação do segmento unidade quando a reta 
numérica é expandida além do 1 (Figura 11).
Figura 11 representação de uma reta numérica.
Fonte: Llinares e Sánchez (1988).
Se, no exemplo anterior (Figura 11), for solicitado aos alu-
nos que assinalem a Fração , é possível que alguns alunos in-
diquem o ponto onde está o 3. Essa dificuldade diminui quan-
do se proporciona uma representação como a da Figura 12.
Figura 12 representação de uma reta numérica.
Fonte: Llinares e Sánchez (1988).
Também surgem problemas quando o segmento unidade 
está dividido em um múltiplo do denominador, como no exem-
plo da Figura 13.
Capítulo 6 Ensino e Aprendizagem de Números Racionais... 163
Figura 13 representação de uma reta numérica.
Fonte: Llinares e Sánchez (1988).
Segundo Llinares e Sánchez (1988), a reta numérica tam-
bém serve como uma boa representação da interpretação das 
Frações como medida. Além disso, o uso da representação 
das Frações através da reta numérica deve ajudar a criança a 
“conceitualizar” as relações parte-todo em um contexto e re-
conhecer contextos equivalentes que provêm de novas divisões 
da unidade. Sendo assim, conforme os autores, o manejo das 
Frações na reta numérica pode ser uma boa introdução à no-
ção de equivalência: a mesma parte da unidade recebe nomes 
diferentes em função do número de divisões.
A reta numérica serve como uma boa representação da 
interpretação das Frações como medida. Conforme Kieren 
(1980), ao considerar as Frações (Número Racional) na inter-
pretação de medida, se proporciona o contexto natural para 
a ‘soma’ (união de duas medidas), e para a introdução dos 
decimais (notação decimal). Na Figura 14, um exemplo dessa 
interpretação.
Figura 14 Representação de Frações como medida e notação decimal.
Fonte: Llinares e Sánchez (1988).
164 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Também para o autor, uma padronização da relação parte-
-todo, junto com as características do nosso sistema de nume-
ração decimal, dão origem à introdução dos decimais (Frações 
decimais). Por exemplo, utilizando a representação contínua e o 
modelo de retângulo, considerando a unidade com um retângu-
lo e dividindo-o em dez partes (Figura 15). Cada uma das partes 
é em relação ao todo (unidade) , uma de dez (um décimo).
Figura 15 representação parte-todo de uma fração decimal.
Fonte: Llinares e Sánchez (1988).
As frações como quociente
Nesta interpretação, associa-se a fração à operação de dividir 
um número natural por outro, mostrando-se que o símbolo 
representa a b÷ , com b . Dividir uma quantidade em um 
número de partes dadas. Utilizando a fração para exemplifi-
car, para Kieren (1980), uma criança que está aprendendo a 
trabalhar com as Frações, o dividir uma unidade em cinco partes 
iguais e conhecer três é diferente do fato de dividir três uni-
dades entre cinco pessoas, ainda que o resultado seja o mesmo.
Essa interpretação considera que as Frações tem um duplo 
aspecto (LLINARES; SÁNCHEZ, 1988, p.63):
a) Ver a fração como uma divisão indicada, estabelecendo 
a equivalência entre e 0,6 em uma ação de divisão, e
Capítulo 6 Ensino e Aprendizagem de Números Racionais... 165
b) Considerar as Frações (Números Racionais) como ele-
mentos de uma estrutura algébrica, ou seja, elementos 
de um conjunto numérico em que há definido uma 
relação de equivalência.
Uma exemplificação de uma situação onde as Frações in-
dicam uma divisão de dois números naturais em 
um contexto de repartir.
 Â Exemplo: temos três barras de chocolates e devemos re-
partir de forma igual entre cinco crianças. Com quanto 
cada uma ficará (Figura 16)?
Figura 16 exemplo de um problema de divisãocom Frações.
Fonte: Llinares e Sánchez (1988).
Segundo os autores, para evitar obstáculos ao desenvolvi-
mento de sequências didáticas com a interpretação da ideia 
de quociente (divisão), situações devem ser criadas, utilizando 
contextos discretos e contínuos, conforme os exemplos a seguir:
 Â Exemplo de contexto discreto: repartir vinte cartas entre 
cinco caixas de correio.
 Â Exemplo de contexto contínuo: “Temos uma fita de 22 
centímetros e precisamos repartir entre 4 crianças. Com 
que tamanho da fita cada uma ficará?”
166 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
No exemplo do contexto discreto, para o processo de solução 
pode-se realizar de forma mais direta, simplesmente distribuindo 
as cartas. No contexto contínuo, não existe um processo tão di-
reto. Um procedimento de estimação, sondagem ou uma ope-
ração aritmética pode ser necessário para encontrar a solução.
Para Llinares e Sánchez (1988), pode-se considerar que, 
nessa interpretação das frações como quociente e nas situações 
de divisão-repartição em uma quantidade, se for dividido em 
um número de partes dadas, pode-se distinguir dois aspectos:
 Â Quando proporcionam a quantidade e o número de 
partes em que será dividido e é pedido o que vale cada 
parte (repartição): “Três pizzas entre cinco crianças”;
 Â Quando é proporcionada a quantidade e o que vale cada 
parte e é solicitado o número de partes (medida): “Temos 
três pizzas e a cada criança é correspondido de uma 
pizza. A quantas crianças poderemos dar as pizzas?”.
As frações como razão
Segundo Llinares e Sánchez (1988), algumas vezes as Frações 
são usadas como “índices comparativos” entre duas quanti-
dades de uma grandeza (comparação de situações). Assim, 
utilizam-se as Frações como uma razão.
Nesse caso, não existe de forma natural uma unidade (um 
todo) como pode ocorrer em outros casos (a comparação 
pode ser bidirecional). Nessa situação, a ideia de par ordena-
do de números naturais toma força. Normalmente, a relação 
parte-parte (ou todo-todo) se escreve com a:b.
Capítulo 6 Ensino e Aprendizagem de Números Racionais... 167
Alguns exemplos de diferentes contextos que podem ajudar 
a entender esta interpretação de Frações:
 Â A relação entre os pontos elementos de A e de B é de 
três para cinco, que pode ser representada por ou 3:5.
 Â A relação entre os pontos de B e de A é de cinco para 
três, que também pode ser representada por ou 5:3.
Na Figura 17, apresenta-se a representação dos conjuntos A e B.
Figura 17 representação dos conjuntos A e B.
Fonte: Llinares e Sánchez (1988).
 Â Conforme a Figura 18, a altura do boneco A é ou 3:5 
de B. E a altura do boneco B é ou 5:3 de A.
Figura 18 representação dos bonecos A e B.
Fonte: Llinares e Sánchez (1988).
 Â Escalas em desenhos de mapas.
 Â Receitas de comidas, em misturas de líquidos, etc.
168 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
As comparações realizadas nesses exemplos descrevem 
uma relação “conjunto a conjunto” (todo-todo), mas as Fra-
ções, como razão, também aparecem em situações que des-
crevem comparação parte-parte, como nos exemplos a seguir:
 Â A relação (razão) entre bolas pretas e brancas é de 
(Figura 19).
Figura 19 representação do comparativo de um conjunto de bolas pretas 
e brancas.
Fonte: Llinares e Sánchez (1988).
 Â A razão entre os círculos e os quadrados é de ou 3:5, 
como mostra a Figura 20.
Figura 20 representação de um conjunto de círculos e quadrados.
Fonte: Llinares e Sánchez (1988).
Outras interpretações de Frações como razão aparecem 
associadas a outros contextos, como são a representação de 
probabilidade e de porcentagem, como, por exemplo, na pro-
babilidade: ‘Em uma bolsa há três bolas pretas e duas bran-
Capítulo 6 Ensino e Aprendizagem de Números Racionais... 169
cas. Sorteando aleatoriamente uma bola, qual a probabilida-
de de que seja preta?’
E a relação de proporcionalidade que se estabelece entre 
um número e 100 (ou 1000) recebe o nome de porcentagem, 
ao interpretar ‘60% de 35’ se está atuando a fração sobre 
35 (fazer 100 partes de 35 e conhecer 60).
A fração como operador
Segundo Llinares e Sánchez (1988), essa interpretação das fra-
ções é vista em um papel de transformação: “algo que atua 
sobre uma situação (estado) e a modifica”. Os autores exem-
plificam utilizando um contexto discreto onde, em uma situa-
ção de partida (estado-unidade), o conjunto formado por 36 
alunos de uma classe, onde o efeito da aplicação do operador 
2
3
 (dois terços) pode ser representado, conforme a Tabela 1.
Tabela 1 Exemplo de Frações como operador
ESTADO-UNIDADE
(SITUAÇÃO)
OPERADOR ESTADO FINAL
36 alunos (Dividir por 3, multiplicar 
por 2)
24 alunos
Fonte: Llinares e Sánchez (1988).
Em um contexto contínuo, por exemplo, quando atua a 
Fração 2
3
, considerada como operador sobre um segmento 
de reta dada, obtém-se outro segmento de reta 2
3
 do original.
Ainda conforme os autores, há que observar que, nessa inter-
pretação, utilizam-se as Frações em um duplo aspecto: descre-
170 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
vendo uma ordem, uma ação a realizar (operador) e descreven-
do um estado das coisas, ou seja, descrevendo uma situação.
Essa interpretação enfatiza o papel das frações como ele-
mentos da álgebra de função (transformação), ao mesmo 
tempo em que conduz à ideia de que os Números Racionais 
formam um grupo (estrutura algébrica) com a multiplicação.
Encontra-se, assim, segundo Llinares e Sánchez (1988), um 
contexto natural para a composição de transformação (fun-
ção, operador), a ideia de inversa (o operador que reconstrói 
o estado inicial) e a ideia de identidade (o operador que não 
modifica o estado inicial).
Recapitulando
Alguns conteúdos do currículo matemático apresentam uma 
maior dificuldade de entendimento por parte dos alunos. Pes-
quisas têm apontado as Frações como um deles. Segundo os 
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, BRASIL, 1998), em-
bora o estudo das Frações comece nas séries iniciais, o que se 
constata é que os alunos chegam aos ciclos finais do Ensino 
Fundamental sem compreender os diferentes significados as-
sociados a esse tipo de número e tampouco os procedimentos 
de cálculos. Uma explicação para as dificuldades encontradas 
deve-se, possivelmente, ao fato de que a aprendizagem das 
Frações supõe rupturas com as ideias construídas para os Nú-
meros Naturais. Percebe-se, assim, a importância da compre-
ensão das Frações como um conceito mais amplo, tanto por 
Capítulo 6 Ensino e Aprendizagem de Números Racionais... 171
parte do aluno, quanto por parte do professor no momento de 
construir o conhecimento em sala de aula.
A simples “transferência” das propriedades ou caracte-
rísticas de um tipo de número para outro pode tornar-se um 
“problema” no processo de aprendizagem das Frações (CAM-
POS; SILVA; PIETROPAOLO, 2009). Uma forma de incentivar 
o aprendizado em relação a esse conteúdo é que essas devem 
aparecer em contextos variados, que proporcionem aos estu-
dantes realizar com elas as mesmas atividades que desenvol-
vem com os Números Naturais, como somar, dividir e ordenar. 
É importante que os alunos estabeleçam relações entre as Fra-
ções e os problemas que elas resolvem utilizando os Números 
Naturais (NOVA ESCOLA, 2009). O confronto de ideias é es-
sencial. “O debate força os alunos a explicitar suas hipóteses, 
refletir sobre as dos colegas e reelaborar o pensamento ini-
cial”, segundo Pandovan (NOVA ESCOLA, 2009).
Para Llinares e Sánchez (1988), os resultados de investiga-
ções de Behr et al (1983), Kerslake (1986) e Lesh et al (1983), 
relativas ao processo de ensino e aprendizagem do conteúdo 
de Frações indicam que a criança pode conseguir uma com-preensão ampla e operativa de todas as ideias relacionadas 
com o conceito de Frações. Para isso, deve-se planejar as se-
quências didáticas de tal forma que proporcionem a elas a 
adequada experiência com a maioria de suas interpretações.
O entendimento do conceito de Frações com as suas re-
lações, para os autores, é um processo de aprendizagem de 
longo prazo. A variedade de estruturas cognitivas a que as 
diferentes interpretações das Frações estão conectadas con-
diciona esse processo de aprendizagem. Existe um longo ca-
172 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
minho, desde o primeiro contato intuitivo dos alunos com as 
Frações (relação parte-todo, metades, terços, etc.), até chegar 
ao conhecimento de caráter algébrico associado às Frações 
(LLINARES; SÁNCHEZ, 1988, p.53).
Segundo Llinares e Sánchez (1988), ao ensinar Frações, 
deve existir um equilíbrio entre o significado das mesmas, em 
contextos concretos práticos (situações-problema) e em situa-
ções mais abstratas – cálculos sem contexto (caráter algébri-
co). A compreensão operativa do conceito de Frações deve 
proporcionar a fundamentação em que se apoiam as opera-
ções algébricas que vão ser desenvolvidas posteriormente. Um 
bom trabalho metodológico com as Frações pode contribuir 
para que essas operações algébricas não se convertam em 
algo sem sentido para os alunos.
Referências
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares 
Nacionais, Brasília, 1997.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares 
Nacionais, Brasília, 1998.
CAMPOS, Tânia Maria de Mendonça; SILVA, Angélica Fon-
toura Garcia; PIETROPAOLO, Ruy César. Considerações 
a respeito do ensino e aprendizagem de representações 
fracionárias de números racionais. In: GUIMARÃES, Gilda; 
BORBA, Rute Elizabete de Souza Rosa (Org.). Reflexões 
sobre o ensino de matemática nos anos iniciais de es-
colarização. RECIFE: SBEM, 2009. Cap. 9, p. 131-139.
Capítulo 6 Ensino e Aprendizagem de Números Racionais... 173
GIMÉNEZ, J.; BAIRRAL, M. Frações no currículo do Ensino 
Fundamental conceituação, jogos e atividades lúdi-
cas. Seropédica: GEPEM/EDUR, 2005.
KIEREN, Thomas E. Knowing Rational Numbers: ideas and 
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National Council of Teachers of Mathematics. Selected Is-
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KIEREN, Thomas E. The Rational number construct: its elements 
and mechanisms. In: KIEREN, Thomas E (Org), Recent re-
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LELLIS, Marcelo; IMENES, Luiz Márcio. O currículo tradicional 
e a Educação Matemática. A Educação Matemática em 
Revista, Blumenau, n. 2, p. 5 – 12, 1994.
LLINARES, Salvador Ciscar; SÁNCHEZ, Maria Victoria García. 
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LOPES, Antônio José. Matemática Hoje é feita assim. Reflexões 
sobre o ensino de Frações no currículo de Matemática, 
2006. Disponivel em: <http://www.matematicahoje.com.
br>. Acesso em: jul. 2012.
LOPES, Antônio José. O que nossos alunos podem estar dei-
xando de aprender sobre Frações, quando tentamos lhes 
ensinar Frações. BOLEMA, Rio Claro, v. ano 21, n. 31, p. 
1 -22, 2008.
NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS MATHEMATICS. Prin-
cipios y Estándares para la Educación Matemática. 
Tradução de Manuel Fernández Reyes. 1. ed. Sevilha: So-
ciedad Andaluza de Educación Matemática Thales, 2000.
174 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
NOVA ESCOLA, Revista. Nova ordem numérica. São Paulo, 
n. Edição Especial 27, p. 72-75, set. 2009.
NUNES, Terezinha; et al. Educação Matemática: números e 
operações numéricas. São Paulo: Cortez Editora, 2009.
NUNES, Terezinha; BRYANT, Peter. Crianças fazendo Mate-
mática. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.
Atividades
 1) Elabore uma lista de situações de vida cotidiana em que se 
utilizam os números decimais e as Frações. Busque respos-
tas para as seguintes perguntas:
a) Que números decimais e Frações são utilizados nos mer-
cados? Que grau de precisão se exige em cada caso?
b) Que números decimais ou Frações se utilizam na Agri-
cultura? Na Medicina? Biologia? Química?
c) Que utilização dos números decimais ou Frações faz 
um mecânico de carro? Que grau de precisão se exige?
 2) A Figura R representa o todo, e as demais representam 
partes.
 
 
Capítulo 6 Ensino e Aprendizagem de Números Racionais... 175
Responda então:
a) Quantas peças E são necessárias para obter o todo?
b) Quantas G para formar L?
c) Que pedaços representam o dobro de M?
d) Há uma única parte que corresponda à metade de J?
e) Com que combinações obtenho a metade do retângulo?
f) Com quais posso obter três quartas partes do inteiro?
g) Que parte do todo obtenho ao reunir B, F, G e K? E se 
agregar outra peça K?
 3) Coloque em um copo 18 canudos e, em seguida, responda:
a) 6 canudos correspondem a que fração do todo?
b) 12 canudos correspondem a que fração do todo?
c) Que fração do todo corresponde a 9 canudos?
d) Que fração do todo corresponde a 3 canudos?
e) Que fração do todo corresponde a 15 canudos?
f) Se retirarmos dos canudos, quantos canudos ainda resta-
rão no copo? Eles correspondem a que fração do todo?
 4) Temos a seguir 8 números decimais situados entre 1 e 3.
a) Colocar esses números em ordem crescente;
176 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
b) Representar, aproximadamente, cada um desses nú-
meros na reta numerada abaixo:
 5) Indique a fração correspondente à parte da região que 
está pintada ou assinalada nas figuras:
a) b) c) 
d) e) 
Gabarito
 1) Todos os itens da questão 1 são de respostas abertas, o 
aluno poderá exemplificar com situações cotidianas, e as-
sim refletir sobre o uso das frações e dos números de-
cimais. Esses números estão presentes, por exemplo, em 
medidas, preços, etc., sendo importante também refletir 
sobre a importância ou não da precisão dos Números Ra-
cionais dependendo da situação.
 2) a) 6 peças
b) 4 peças
c) A, C e J
d) A peça L corresponde a metade de J
Capítulo 6 Ensino e Aprendizagem de Números Racionais... 177
e) A metade do retângulo pode ser obtida com as seguin-
tes combinações, por exemplo: peça L e duas K; peças 
D e E; peças F, G, K e B; duas peças M; duas peças I; 
duas peças B; duas peças M; duas peças L.
f) Podem-se obter três quartas partes do inteiro com as 
seguintes combinações, por exemplo: peças L e J; pe-
ças C e I; peças J e duas K
g) Obtém metade do todo. Acrescentando a peça K ob-
temos cinco oitavos do todo.
 3) a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 3 canudos e representam do todo.
 4) ; 1,12 ; 1,3 ; ; 2,03 ; ; 2,5 ; 2,70 
 5) a) 
b) 
c) 
d) 
e) Não podemos indicar.
Ana Brunet1
Capítulo 7
Geometria e Relações 
Espaciais
1 Licenciada e Mestre em Matemática (UFRGS), docente da ULBRA.
Capítulo 7 Geometria e Relações Espaciais 179
Introdução
Neste capítulo abordaremos ideias norteadoras para a ação 
do professor para o ensino da Geometria e das relações espa-
ciais centradas na especificidade de cada faixa etária.
Os estímulos do meio em que a criança vive podem favore-
cer o desenvolvimento da sua estruturação mental-visual cen-
trada na percepção. O espaço é contínuo e sem separações e 
a compreensão da ruptura entre objetos e a relação entre eles 
avança com a idade, são construídas ao longo do desenvol-
vimento infantil e se estendem ao menos até a adolescência. 
Para Smole et al, a percepção do espaço na criança avança 
em uma direção marcada por três etapas essenciais: a do vi-
vido, a do percebido e a do concebido. Segundo as autoras:
O espaço vivido refere-se ao espaço físico, vivenciado 
através do movimento e do deslocamento e apreendido 
pelacriança por meio de brincadeiras e atividades que 
permitam percorrer, delimitar ou organizar esse espaço.
O espaço percebido é aquele que não precisa mais 
ser experimentado fisicamente para que a criança pos-
sa lembrar-se dele. O espaço concebido surge quando 
existe a capacidade de estabelecer relações espaciais 
entre elementos somente através de suas representações, 
como é o caso de figuras geométricas, mapas plantas e 
diagramas.
Os trabalhos propostos na Educação Infantil e Anos Iniciais 
devem colocar desafios que dizem respeito às relações habi-
180 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
tuais das crianças com o espaço, como construir, deslocar-se, 
desenhar, por exemplo, e à comunicação dessas ações.
Crianças de zero a três anos
Para Piaget e Inhelder, a relação espacial mais elementar que 
a percepção pode apreender parece ser a relação de vizinhan-
ça, isto é, a descoberta dos elementos que podem ser perce-
bidos num mesmo campo de observação, estudo ou trabalho. 
Sem experiência, um bebê precisa distinguir e compreender 
as formas estáticas e em movimento que aparecem em seu 
campo de visão. Numa percepção global, um bebê vê um 
objeto numa certa vizinhança sem, contudo, identificar separa-
ção clara entre esse objeto e os demais. As relações espaciais 
contidas nos objetos podem ser percebidas pelas crianças por 
meio do contato e da manipulação deles e com o avançar da 
idade, as relações de separação aumentam e as de vizinhança 
diminuem de importância.
Bebês de 0 a 1 ano mudam sua rotina rapidamente no pas-
sar dos meses e o berçário tem que contemplar as diferentes 
rotinas apresentadas pelos seus integrantes. O espaço deve 
ser arejado e com vários ambientes.
As acomodações seguras para as sonecas como berços, 
colchonetes ou colchões, numa sala com baixa luminosida-
de, podem conter móbiles que são estruturas compostas de 
elementos ligados por um sistema de hastes finas e podem 
auxiliar a estruturação do espaço nos bebês, pois favorecem o 
desenvolvimento da coordenação visual-motora e da discrimi-
nação visual. Os móbiles, como exemplificado na Figura 7.1, 
Capítulo 7 Geometria e Relações Espaciais 181
devem ser colocados próximos ao campo de visão do bebê, 
ao alcance da sua mão. Os móbiles também podem ser utili-
zados nas cadeiras dos bebês, que ainda não se locomovem 
de forma autônoma, nos trocadores, e também podem acom-
panhar o bebê por todo seu primeiro ano de vida.
Figura 7.1 móbiles.
Por volta dos três meses de vida os bebês brincam com seu 
próprio corpo, percebem e desenvolvem o domínio sobre ele. 
Nos meses finais do primeiro ano de vida, o bebê começa a 
locomover-se de forma autônoma. A criança cria coordenadas 
espaciais e relaciona os objetos conforme se desloca e explora 
o ambiente. Nesse período, brinquedos pertinentes à faixa etá-
ria como bola, chocalhos, bonecos, argolas, cubos – objetos 
que fiquem estáticos, rolam ou pulam – em recipientes, como 
cestas ao alcance do bebê, podem ser disponibilizados em um 
182 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
espaço bem iluminado destinado a atividades de lazer. Um 
espelho apropriado também pode ser instalado nesse espaço.
Quando o pequeno já teve contato com o espaço de lazer 
e desejar, por exemplo, o cubo (memória visual) que está no 
recipiente dos brinquedos, terá que encontrar o recipiente no 
espaço do berçário (relação de separação), entender onde ele 
mesmo está e elaborar uma trajetória de deslocamento para 
chegar ao objetivo (relação de ordem e coordenação visual-
-motora). Se existem vários brinquedos no recipiente, ele terá 
mais o desafio de encontrar o objeto do desejo dentre outros 
(relação de separação).
Bebês de 1 a 2 anos geralmente se locomovem de forma 
autônoma e passam de quadrúpede a bípede nesse período. 
Exploram com facilidade o ambiente em que se encontram, 
mas dedicam pouco tempo para uma única atividade. A apren-
dizagem ocorre a partir da vivência e cabe aos professores 
oportunizar atividades e ambiente favoráveis. A sala deve ser 
arejada, as paredes com cor clara e com alguns “cantinhos” 
para organizar o espaço. O cantinho da soneca com colcho-
netes que também poderão ser utilizados para brincadeiras, 
o da leitura, com livros de folhas duras, plástico ou tecidos, o 
dos brinquedos. Um espelho adequado pode ser instalado em 
uma das paredes na altura das crianças, assim como os mó-
veis – armários, prateleiras – tomando-se o cuidado de evitar 
quinas.
Capítulo 7 Geometria e Relações Espaciais 183
Entre 12 e 18 meses, a criança explora objetos desconhe-
cidos por todos os meios que conhece: pegar, sacudir, soltar, 
levantar e sente prazer em repetir essas ações. Ao se aproximar 
dos 2 anos, a criança desenvolve a capacidade de re presentar 
o mundo exterior mentalmente em imagens, memórias e sím-
bolos sem o auxílio de outras ações físicas. Bolas, brinquedos 
que vem e vão como o João bobo; blocos e potes de empilhar 
e encaixar que, pela forma, são propícios para essa fase. As 
atividades 1 e 2 visam propiciar o desenvolvimento das rela-
ções espaciais.
Atividade 1 – Labirinto
Objetivos: desenvolvimento da coordenação visual-motora, 
relação de ordem e a percepção de posição no espaço e de 
relações espaciais.
Materiais: blocos grandes, pufes, colchões.
Procedimentos: o professor organiza os materiais dispo-
níveis em forma de caminhos em uma parte da sala. A com-
plexidade do caminho pode aumentar conforme sua idade 
e familiaridade da criança com a brincadeira. Por exemplo: 
alguns trechos podem ser cobertos com lençóis e o caminho 
apresentar mais curvas. A criança passa através do labirinto.
184 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Figura 7.2
Atividade 2 – Dado
Objetivos: desenvolver a percepção ou constância de formas 
e tamanhos.
Materiais: dado de tecido de 15 cm de aresta forrado com 
espuma no qual cada face apresenta uma figura diferente, por 
exemplo, um sol, um peixe, uma flor, uma bola, uma folha, 
uma boneca. O dado pode ser confeccionado pelo professor 
e as figuras das faces escolhidas por ele. Os temas são varia-
dos: peças de roupas, frutas conhecidas, entre outros.
Capítulo 7 Geometria e Relações Espaciais 185
Procedimentos: com seis participantes, cada um escolhe 
uma face. O dado é jogado para cima e o jogador que esco-
lheu a face que cair para cima é o próximo a jogar o dado e 
assim sucessivamente. Quando tiver menos de seis participan-
tes é possível jogar atribuindo à face que não foi escolhida a 
repetição do último jogador.
Entre 2 e 3 anos o número de cantinhos na sala podem au-
mentar. Mesas e cadeiras, prateleiras e armários para organi-
zar os materiais devem ser proporcionais à altura das crianças. 
O cantinho da soneca com colchonetes; o cantinho das artes 
com papel, lápis de cor, giz de cera, pinceis, tinta guache e um 
mural ou varal para expor os trabalhos; o cantinho da leitura 
pode ter livros com folhas mais finas, revistas. Ao cantinho dos 
brinquedos podem ser acrescentados jogos de encaixe de me-
nor tamanho, quebra-cabeças de duas peças a quatro peças.
Atividades como a do Labirinto, sugerida neste capítulo, 
podem ser realizadas com maior nível de dificuldade. A cons-
trução de diferentes circuitos de obstáculos com cadeiras, me-
sas, pneus e panos por onde as crianças possam engatinhar 
ou andar — subindo, descendo, passando por dentro, por 
cima, por baixo favorecerão à construção dos conceitos de 
dentro, fora, entre outros.
É importante que o registro e a verbalização das ativida-
des sejam incentivados. Solicitar às crianças o desenho de seu 
corpo ou de um familiar, de animais e plantas, estando à vista 
ou não, e sua explicação do registro realizado, auxilia a estru-
turação do espaço.
186 Metodologia doEnsino da Matemática Aplicada a Educação...
Crianças de quatro a seis anos
Segundo os PCN “nesta faixa etária aprofundam-se os conte-
údos indicados para as crianças de zero a três anos, dando-se 
crescente atenção à construção de conceitos e procedimentos 
especificamente matemáticos”. Para o bloco Espaço e Forma, 
os objetivos são:
Explicitação e/ou representação da posição de pessoas e 
objetos, utilizando vocabulário pertinente nos jogos, nas 
brincadeiras e nas diversas situações nas quais as crian-
ças considerarem necessário essa ação.
Exploração e identificação de propriedades geométricas 
de objetos e Figuras, como formas, tipos de contornos, 
bidimensionalidade, tridimensionalidade, faces planas, 
lados retos, etc.
Representações bidimensionais e tridimensionais de ob-
jetos.
Identificação de pontos de referência para situar-se e 
deslocar-se no espaço.
Descrição e representação de pequenos percursos e tra-
jetos, observando pontos de referência. (PCN, 2010).
As atividades apresentadas a seguir visam auxiliar o de-
senvolvimento das habilidades necessárias para atingir esses 
objetivos.
Capítulo 7 Geometria e Relações Espaciais 187
Atividade 3 – Caça à forma geométrica
Esta atividade foi retirada do livro Matemática em Minutos, 
de autoria de Sharon MacDonald, publicado em 2009 pela 
Artmed.
Objetivos: reconhecer, nomear e descrever formas bási-
cas. Identificar formas no mundo físico.
Materiais: duas ou três sacolas de papel pardo. A autora 
sugere que use sacolas para limitar o que as crianças podem 
recolher, pois se pedir a elas que recolham coisas sem limite de 
tamanho, elas podem voltar com jaquetas e sapatos.
Procedimentos: esta atividade pode ser realizada a qual-
quer hora do dia. Faça “sacolas geométricas” desenhando 
diferentes formas geométricas em 2 ou 3 sacolas de papel 
pardo e escrevendo seus nomes abaixo de cada uma. Em al-
gum momento que o professor julgar oportuno, dê a “sacola 
geométrica” a algumas das crianças. Poucas crianças farão de 
cada vez, mas repita a atividade até que dê uma sacola para 
cada uma. Peça às crianças que recolham três objetos na sala 
de aula que se pareçam ou contenham as formas em suas sa-
colas e os coloquem dentro destas. Feche as sacolas quando 
elas tiverem terminado e coloque-as ao lado de sua cadeira, 
ou mesa, para distribuir durante o Trabalho em Grupo. Na 
hora do Trabalho em Grupo, convide as crianças que caçaram 
as três formas a mostrá-las para as outras. Depois, peça que 
as crianças devolvam os itens para onde os encontraram.
A autora sugere, ainda, que as crianças sejam desafiadas 
a encontrar formas nas formas. Por exemplo, pergunte a elas: 
188 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
“Quantos triângulos e quadrados têm dentro de um retângu-
lo?”, “O que você pode fazer com três triângulos? E com qua-
tro? E com cinco?” Combine, conte e faça formas.
A atividade 4 pode ser aplicada quando as crianças já pos-
suem alguma familiaridade com a nomenclatura das figuras 
geométricas. Lembre-se que o vocabulário é adquirido aos 
pouco e o professor possui papel central nessa aquisição, pois 
é a partir do uso das palavras pelos adultos que a criança 
passa a utilizá-las.
Atividade 4 – Formando figuras com 
elástico
Esta atividade foi retirada do livro Figuras e Formas, de auto-
ria de Smole e outras, publicado em 2003 pela Artmed.
Objetivos: exploração e identificação de propriedades ge-
ométricas de objetos e figuras, como formas, tipos de contor-
nos, bidimensionalidade, lados retos.
Materiais: vários elásticos de mais ou menos três metros 
de comprimento, com as duas pontas amarradas.
Procedimentos: com as crianças reunidas, o professor 
lhes fornece comandos, que pode ser:
– Formem um triângulo!
Capítulo 7 Geometria e Relações Espaciais 189
Os alunos devem organizar-se de modo que forme grupos 
com uma quantidade adequada de participantes para criar a 
figura pedida e, então, constroem a figura com o elástico.
Outros comandos possíveis para a repetição da atividade:
– Formem uma figura com quatro pontas (vértices)!
– Formem um retângulo!
- Formem um paralelogramo!
As autoras ressaltam que essa atividade deve ser realizada 
mais de uma vez, pois as crianças, inicialmente, costumam ter 
dificuldades para se organizar. Observam que, à medida que 
a atividade é proposta com frequência, os alunos criam crité-
rios para se organizar, formam grupos pelo número de vérti-
ces, abaixam o elástico para conferir se a figura está correta, 
preveem como é a figura e como o grupo deve ficar disposto.
Atividade 5 – Onde está você?
Esta atividade foi retirada e adaptada do livro Matemática 
em Minutos, de autoria de Sharon MacDonald, publicado em 
2009 pela Artmed.
Objetivos: entender e descrever posição, direção e distân-
cia. Usar o vocabulário da Geometria: através, sob, em volta, 
atrás e sobre.
Materiais: não possui materiais especiais. O próprio am-
biente e as crianças fornecem o que é necessário.
190 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Procedimentos: a autora sugere a realização desta ativi-
dade em qualquer momento do turno, especialmente quando 
tiver alguns momentos de sobra. Oriente as crianças a se mo-
verem para lugares diferentes na sala de aula e a desempe-
nharem deferentes ações em cada um deles. Por exemplo:
– Ficar em pé ao lado da mesa que está atrás do João.
– Sentar embaixo da mesa em que João está.
– Ficar em pé atrás da Maria, na frente de João.
– Caminhar ao lado de Maria e João.
– Ficar em pé sobre o tapete próximo a João, na frente da 
Maria.
Quando as crianças chegarem ao lugar que você descre-
veu, peça a elas que digam alto onde estão. Quando elas 
tiverem aprendido a jogar, deixe-as dar as orientações, uma 
de cada vez. Como alternativa, não diga às crianças aonde ir, 
apenas leve várias delas a um local que você escolheu e peça-
-lhes que usem palavras que denotem posições para dizer à 
turma onde estão.
A autora sugere, também, que se usem comandos engra-
çados que visam à construção da relação. Por exemplo: “sen-
tem-se sobre seus dedos do pé em frente ao muro” ou “olhe 
para trás, coloque sua mão perto de sua orelha e caminhe 
para trás até a mesa” ou ainda “engatinhe sob o tapete e so-
bre o assento da cadeira; toque a ponta do seu sapato”.
Capítulo 7 Geometria e Relações Espaciais 191
Avaliação
Os PCN orientam que as estratégias adotadas, as posições 
escolhidas, as comparações entre tamanhos, as característi-
cas da construção realizada e o vocabulário adotado pelas 
crianças constituam-se em objeto de atenção do professor. 
Documentação específica que permita às famílias conhecer 
o trabalho da instituição junto às crianças e os processos de 
desenvolvimento e aprendizagem deve ser organizada e apre-
sentada pelo professor.
Recapitulando
Pelas ações, o bebê compreende o entorno. Os móbiles são 
grandes aliados para o desenvolvimento das relações espa-
ciais durante o primeiro ano de vida. Ao iniciar a locomoção 
de forma autônoma, as crianças exploram o ambiente e a con-
tribuição dos adultos, as interações entre as crianças, os jogos 
e as brincadeiras podem proporcionar o desenvolvimento das 
relações espaciais nos deslocamentos, contidas nos objetos e 
entre os objetos. O contato e manipulação de brinquedos de 
encaixe, quebra-cabeças, dados e jogos com bolas auxiliam a 
percepção e a construção do espaço e das formas pela criança.
A partir dos dois anos de idade, a criança começa a adqui-
rir a capacidade de representação. A verbalização e o registro 
de suas percepções devem ser instigados pelos professores.
192 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
O desenvolvimento das relações espaciais se dá de for-
ma contínua no decorrer da vida. Especificamente,atividades 
que auxiliem o desenvolvimento das percepções em espaço 
e forma devem ser trabalhadas várias vezes na semana. O 
professor deve observar as características das construções e 
o vocabulário das crianças e reunir material documental dos 
processos e avanços do aluno.
Referências
BRASIL. Referencial Curricular Nacional para a Educação 
Infantil. Disponível em http://portal.mec.gov.br/seb/arqui-
vos/pdf/volume3.pdf. Acesso em 20 jun. 2014.
GURGEL, Thais. As crianças e suas representações de espaço. 
Revista Nova Escola. Disponível em http://educaja.com.
br/2009/10/conhecendo-o-desenvolvimento-da-crianca.
html. Acesso em 15 jun.2014.
LEIVAS. José Carlos Pinto. Organizando o espaço geomé-
trico por caminhos topológicos. VIDYA, v. 28, n. 2, p. 
59-71, jul/dez, 2008 – Santa Maria, 2009. ISSN 0104-
270 X. Disponível em http://sites.unifra.br/Portals/35/Ar-
tigos/2008/Sem_2/Organizando.pdf. Acesso em 20 jun. 
2014.
MEDEL, Cássia R. Como criar um ambiente adequado na 
Educação Infantil. Disponível em: http://bercario-brin-
carecriaresocomecar.blogspot.com.br/2010/09/cantos-
-diversificados.html Acesso em 5 ago.2014.
Capítulo 7 Geometria e Relações Espaciais 193
MACDONALD, Sharon. Matemática em Minutos – ativida-
des fáceis para crianças de 4 a 8 anos. Porto Alegre: Art-
med, 2009.
SMOLE, Kátia S. DINIZ, Maria I e CÂNDIDO, Patrícia. Figu-
ras e Formas. Matemática de 0 a 6. v. 3. Porto Alegre: 
Artmed, 2003.
Atividades
 1. Leia com atenção o que se pede e marque apenas uma 
alternativa como verdadeira.
 A ordem das três etapas essenciais no desenvolvimento da 
percepção do espaço na criança, segundo Smole, Diniz e 
Cândido, é o espaço:
a) Vivido, percebido, concebido.
b) Percebido, vivido, concebido.
c) Vivido, concebido, percebido.
d) Concebido, vivido, percebido.
e) Saboreado, percebido, vivido.
 2. As assertivas são sobre o ambiente na escola para crianças 
de 0 a 3 anos. Assinale (V) para Verdadeiras e (F) para as 
Falsas.
 ( ) É necessário um cantinho com baixa luminosidade para 
a soneca.
194 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
( ) Um espelho adequado pode fazer parte do ambiente.
( ) Mesas e cadeiras devem ocupar a maior parte da sala.
( ) Deve ter um cantinho organizado para brinquedos per-
tinentes a faixa etária.
3. A partir dos estudos desenvolvidos neste capítulo com re-
lação às ações do professor na Educação Infantil, marque
(X) somente nas assertivas verdadeiras.
a) ( ) Incentivar a criança a realizar somente representa-
ções bidimensionais de objetos.
b) ( ) Incentivar a comunicação e registro de atividades.
c) ( ) Propor regularmente atividades que propiciem a
construção das relações espaciais.
d) ( ) Observar as estratégias e o vocabulário adotados
pelas crianças.
4. Assinale a alternativa correta com relação a crianças de 4
a 6 anos.
a) São muito novas para o desenvolvimento de conceitos
matemáticos.
b) Apresentam completa compreensão da ruptura entre
objetos e da relação entre eles.
c) Situar-se e deslocar-se no espaço são ações impossí-
veis.
d) Podem aprimorar suas representações bidimensionais
e tridimensionais de objetos.
Capítulo 7 Geometria e Relações Espaciais 195
e) São capazes de descrever grandes percursos por pon-
tos de referência.
5. Descreva uma atividade para crianças de 5 anos que vise
o desenvolvimento das relações espaciais.
Gabarito
1. a
2. V, V, F, V
3. (b), (c) e (d)
4. D
5. A descrição deve apresentar objetivos, materiais e procedi-
mentos adequados para faixa etária.
Neura Maria De Rossi Giusti1
Capítulo 8
Educação Estatística
1 Doutoranda em Ensino de Ciências e Matemática pela Universidade Luterana 
do BRASIL. Integrante do grupo de pesquisa “Formação Inicial e Continuada de 
Professores de Ciências e Matemática”. Professora de Educação Básica.
Capítulo 8 Educação Estatística 197
Introdução
Como ensinar as crianças a coletar, organizar, comunicar, 
interpretar dados e construir gráficos nos primeiros anos de 
escolaridade? De que forma eu posso trabalhar a Educação 
Estatística na sala de aula?
Estas e outras questões referentes à Educação Estatística 
colocam os professores frente a algumas inquietações, prin-
cipalmente levando-se em conta que tal ensino se propõe à 
Educação infantil e aos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Hoje, a Educação Estatística tornou-se imprescindível. 
Noções de probabilidade, estatística e análise combinatória 
podem ser vistas desde os primeiros anos de escolaridade. A 
sua abordagem não deve conter princípios e definições sofis-
ticadas e nem fórmulas estatísticas, mas pode-se despertar na 
criança o espírito crítico investigativo e de organização das 
informações, de uma forma lúdica, significativa e problema-
tizada, envolvendo conceitos simples, pois as crianças se en-
contram em uma fase de descobertas sobre os acontecimentos 
que as cercam.
Para tanto, faz-se necessário desenvolver uma prática pe-
dagógica na qual sejam propostas situações em que os alu-
nos realizem atividades, as quais considerem seus contextos e 
possam observar e construir os eventos possíveis, por meio de 
experimentação concreta, de coleta e de organização de da-
dos. Segundo Lopes (2008) a aprendizagem será significativa 
aos alunos se considerar situações familiares a eles, que sejam 
contextualizadas, investigadas e analisadas.
198 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Neste texto, busca-se contextualizar a Educação Estatística 
a partir de documentos oficiais para identificar os aspectos que 
compõem cada área do conhecimento. Discute-se o contexto 
de ensino e aprendizagem da estatística, da combinatória e da 
probabilidade e, na última seção, evidenciam-se sugestões de 
práticas pedagógicas que auxiliam os professores no planeja-
mento didático. As práticas pedagógicas descritas emergiram 
de uma pesquisa de mestrado sobre formação de professores 
dos anos iniciais do Ensino Fundamental (GIUSTI, 2012).
A educação estatística e a legislação
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) indicam que “É 
cada vez mais frequente a necessidade de se compreender 
as informações veiculadas, especialmente pelos meios de co-
municação, para tomar decisões e fazer previsões que terão 
influência não apenas na vida pessoal, como na de toda a 
comunidade.” (BRASIL, 1997, p.84).
Os PCN (BRASIL, 1997) sugerem que o conteúdo relativo 
ao tratamento da informação, que aqui, neste texto, optou-se 
pela denominação de Educação Estatística, integram estudos 
relativos a noções de estatística, de probabilidade e de combi-
natória em que os objetivos são:
Estatística: [...] a finalidade é fazer com que o aluno ve-
nha a construir procedimentos para coletar, organizar, 
comunicar e interpretar dados, utilizando tabelas, gráfi-
cos e representações que aparecem frequentemente em 
seu dia a dia.
Capítulo 8 Educação Estatística 199
Combinatória: [...] o objetivo é levar o aluno a lidar com 
situações-problema que envolvam combinações, arran-
jos, permutações e, especialmente, o princípio multipli-
cativo da contagem.
Probabilidade: [...] a principal finalidade é a de que o 
aluno compreenda que grande parte dos acontecimen-
tos do cotidiano são de natureza aleatória e é possível 
identificar prováveis resultados desses acontecimentos. 
As noções de acaso e incerteza, que se manifestam intui-
tivamente, podem ser exploradas na escola, em situações 
nas quais o aluno realiza experimentos e observa eventos 
(em espaços equiprováveis). (BRASIL, 1997, p. 40).
A Educação Estatística permite aos alunos formas particu-
lares de pensamento e raciocínio em que “a finalidade não é 
que os alunos aprendam apenas ler e interpretar representa-
ções gráficas, mas que se tornem capazes de descrever e inter-pretar a sua realidade, usando conhecimentos matemáticos” 
(BRASIL, 1997, p.69). Neste sentido, os assuntos referentes à 
Educação Estatística devem ser trabalhados de maneira a es-
timularem os alunos a fazer perguntas, a estabelecerem rela-
ções, a construírem justificativas e a desenvolverem o espírito 
de investigação.
Para o primeiro ciclo, os PCN (BRASIL, 1997, p.74-75) 
propõem: leitura e interpretação de informações contidas em 
imagens; coleta e organização de informações; criação de re-
gistros pessoais para comunicação de informações coletadas; 
exploração da função do número como código numérico na 
organização de informações; interpretação e elaboração de 
listas, tabelas simples, tabelas de dupla entrada e gráficos de 
200 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
barra para comunicar a informação obtida; produção de tex-
tos escritos a partir da interpretação de gráficos e tabelas.
Para o segundo ciclo (BRASIL, 1997 p.90-91): coleta, or-
ganização e descrição de dados; leitura e interpretação de 
dados apresentados de maneira organizada e construção des-
sas representações; interpretação de dados apresentados por 
meio de tabelas e gráficos para identificação de característi-
cas previsíveis ou aleatórias de acontecimentos; produção de 
textos escritos, a partir da interpretação de gráficos e tabelas; 
construção de gráficos e tabelas com base em informações 
contidas em textos jornalísticos, científicos ou outros; obtenção 
e interpretação de média aritmética; exploração da ideia de 
probabilidade em situações-problema simples, identificando 
sucessos possíveis, sucessos certos e as situações de “sorte”; 
utilização de informações dadas para avaliar probabilidades; 
identificação das possíveis maneiras de combinar os elemen-
tos de uma coleção e de contabilizá-las, usando estratégias 
pessoais.
Nos dois primeiros ciclos, os PCN (BRASIL, 1997, p. 84-
85) sugerem que sejam desenvolvidas atividades relacionadas 
a assuntos de interesse dos alunos, que se proponha a ob-
servação de acontecimentos, coleta, organização e descrição 
de dados, a promoção de situações para se fazerem possíveis 
previsões, o desenvolvimento de algumas noções de probabi-
lidade, a produção de textos escritos a partir da interpretação 
de tabelas e gráficos e a construção de gráficos e tabelas.
Para o desenvolvimento do conteúdo de tratamento da in-
formação, a Matriz de Referência de Avaliação (INEP, 2009) 
Capítulo 8 Educação Estatística 201
enfatiza que, ao resolver problemas, os alunos possam eviden-
ciar o estudo matemático relacionando o aprendizado com 
situações reais da sociedade, possibilitando a análise de seus 
problemas e justificando intervenções positivas de caráter in-
dividual e coletivo, abrangendo conhecimentos de estatística, 
probabilidade e combinatória de modo que os alunos possam 
coletar informações, organizá-las e representá-las na forma de 
gráficos e ou tabelas, além de interpretá-las criticamente.
A educação estatística e o ensino
No passado, as pessoas compartilhavam poucas informações 
vinculadas aos meios de comunicação – televisão, jornais, re-
vistas, celulares, internet, etc. Hoje, as informações chegam 
até nós simultaneamente. Para decodificar e interpretar os inú-
meros dados a que somos expostos, se fazem necessários me-
canismos que auxiliem a coleta, organização, comunicação 
e interpretação das informações utilizando diferentes registros 
[...]. Por isso é tão importante que a criança desde o início do 
processo educativo esteja em contato com instrumentos que 
a ajudem a fazer boa leitura do mundo que a cerca. (BRASIL, 
2008, p.6).
Torna-se necessário que as crianças aprendam a selecio-
nar, a analisar e a interpretar essas informações para que pos-
sam tomar suas decisões. E, para isso, a formação dos pro-
fessores é indispensável nos dias de hoje. Cazorla et al (2008) 
observa que,
Para que o indivíduo seja capaz de abstrair reflexivamen-
te todas essas informações veiculadas, em forma de grá-
202 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
ficos e tabelas, é necessário que a escola traga para si 
a responsabilidade de introduzir e desenvolver o conhe-
cimento estatístico com seus alunos, objetivando formar 
cidadãos capazes de ler, compreender e comparar da-
dos estatísticos, bem como criticá-los. (CAZORLA et al, 
2008, p. 2).
Mandarino sugere que, por serem conhecimentos cada 
vez mais relevantes em diversas situações da vida moderna, a 
Educação Estatística articula-se bem com conteúdos de outros 
campos da Matemática e com atividades de diversas áreas do 
currículo escolar. Porém, “o estudo dos conceitos não deve 
ocorrer sem planejamento ou sem que se abordem suas es-
pecificidades” (2010, p. 204). Lopes (2003, p. 235) também 
evidencia a importância na problematização dos temas e de 
situações contextualizadas adequadas à faixa etária com a 
qual se trabalhe.
Estudos realizados pelos pesquisadores Bayer e Echeveste 
(2003) sobre o ensino da Estatística na Educação Básica in-
dicam que “cabe ao professor [...] proporcionar a este aluno 
atividades que venham ao encontro de seu interesse e de sua 
realidade [...].” (BAYER; ECHEVESTE, 2003, 13). Neste senti-
do, basta apenas que os professores tenham consciência da 
relevância de trabalhar com esses conteúdos. Sugerem que 
devemos “[...] discutir e refletir como melhor trazer estes con-
teúdos para dentro do currículo escolar, procurando mostrar 
a sua importância e abordar os conteúdos de estatística com 
o suporte metodológico mais adequado possível.” (BAYER; 
ECHEVESTE, 2003, 6).
Capítulo 8 Educação Estatística 203
Percebe-se que este tema permite que os professores tra-
gam para a sala de aula o cotidiano presente nos diversos 
meios de comunicação, na vida de seus alunos e da escola, 
além de dotar os alunos de habilidades que poderão ajudá-
-los a serem participantes críticos para interpretar os aspectos 
matemáticos e agir com cidadania no ambiente em que estão 
inseridos. Por isso é tão importante que, desde muito cedo, as 
crianças tenham contato com esses instrumentos que as aju-
dem a fazer uma boa leitura do mundo.
A abordagem da Educação Estatística
Para exemplificar práticas educativas para a abordagem da 
Educação Estatística nos primeiros anos de escolaridade, re-
gistra-se (BRASIL, 2008):
a) Estatística:
 Qual a matéria preferida dos alunos; Qual a brinca-
deira favorita dos alunos?; Qual o programa de TV 
preferido?; Qual sua brincadeira favorita da classe?; 
Qual o programa de TV preferido? Pode-se organizar 
uma pesquisa de opinião na sala de aula, e as res-
postas obtidas são registradas em uma tabela ou em 
marcas, contando um a um os “tracinhos” registrados 
ou contando em grupos de cinco.
b) Probabilidade:
 Será que vai chover hoje?; Se lançarmos uma moeda 
no ar, dará cara ou coroa?; Se lançarmos um dado, 
qual face cairá?; Uma urna contém 5 fichas amarelas, 
204 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
2 pretas e 1 rosa. Qual tem a maior chance de ser 
sorteada? Por quê?
c) Combinatória:
 De quantas maneiras distintas pode-se agrupar 5 crian-
ças de 2 em 2?; Encontrar todas as maneiras possíveis 
de agrupar objetos a partir de características diferen-
tes, como cor, forma, etc. Atividades sobre possibili-
dades e raciocínio combinatório como, por exemplo: 
quando 4 pessoas se encontram, quantos apertos de 
mão são possíveis?; A boneca tem 2 blusas e 3 saias. 
Assim, ela pode se vestir de 6 maneiras diferentes. De-
senhe todas essas 6 maneiras; O jogo de baralho vai 
ser jogado em duplas: uma contra a outra. Escreva 
uma lista com todas as duplas possíveis de serem for-
madas pelas 5 crianças que vão jogar. Qual o total de 
duplas que podem ser formadas?; Imagine que você 
trabalha no caixa de uma loja e queum cliente pague 
a compra de R$ 127,00 com 3 notas de R$ 50,00. 
Como você daria o troco ao cliente usando as notas e 
moedas que estão atualmente em circulação? Mostre 
de três formas diferentes. Compare suas respostas com 
as dos colegas e verifique que há um grande número 
de possibilidades.
Destaca-se a importância de se buscar abordar Combina-
tória, Probabilidade e Estatística de forma integrada e através 
da resolução de problemas e outras maneiras de trabalhar a 
leitura das informações. Sugere-se a possibilidade de traba-
lhar com a probabilidade de resultados, com operações de 
Capítulo 8 Educação Estatística 205
números naturais e outras intervenções no sentido de discutir 
os resultados e levantar hipóteses para solucionar os proble-
mas detectados nas informações coletadas.
Para a abordagem estatística, é indispensável saber ler e 
compreender tabelas e gráficos. Contudo, é fundamental es-
timular os alunos a fazer perguntas, a estabelecer relações, a 
construir justificativas e a desenvolver o espírito de investiga-
ção. “Para tanto, deve-se solicitar que deem sua interpretação 
sobre gráficos e propor que pensem em perguntas que possam 
ser respondidas a partir deles”. (BRASIL, 1997, p. 132).
O ensino da Estatística
Para conhecer o perfil dos alunos de determinada escola, 
elabora-se um questionário e se coletam respostas. Depois 
de cumprida essa etapa, podemos sofisticar nossa pesquisa, 
analisando a concentração de respostas favoráveis a certos 
hábitos e gostos e, assim fazemos, na prática, uma análise 
estatística.
A palavra estatística significa, justamente, “análise dos da-
dos”. Como ciência, surgiu milênios antes de Cristo, sendo, 
no início, uma simples compilação de números. Acredita-se 
que seu desenvolvimento ocorreu devido à necessidade dos 
governantes conhecerem como os recursos e bens estavam 
distribuídos pela população e do que dispunha o Estado. Até 
os dias de hoje são conhecidas suas aplicações em relação 
aos assuntos públicos, como o censo, por exemplo. Apesar de 
as primeiras noções estatísticas terem aparecido muito tempo 
206 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
antes de Cristo, foi somente no século XVIII que o termo “esta-
tística” surgiu (DANTE, 2007).
A realização de uma pesquisa envolve algumas etapas, 
como a escolha da amostra, a coleta e a organização dos 
dados (informações), o resumo desses dados (em tabelas, grá-
ficos, etc.) e a interpretação desses dados (DANTE, 2007).
Para o estudo da Estatística, torna-se interessante que o 
professor compreenda algumas terminologias da Estatística, 
ao mesmo tempo em que possibilita a visualização e exemplos 
para o trabalho de sala de aula.
a) População e amostra: se quisermos saber, por exem-
plo, qual é a matéria favorita entre os alunos de uma 
classe, podemos consultar todos os alunos da classe. 
Mas se quisermos pesquisar sobre a intenção de vo-
tos dos eleitores de um estado qualquer, não podemos 
consultar todos os eleitores que constituem a popula-
ção ou universo estatístico. Recorremos, então, ao que 
se chama de amostra, ou seja, um grupo de eleitores 
que, consultados, permitem que se chegue ao resulta-
do mais próximo possível da realidade.
b) Indivíduo ou objeto: cada elemento que compõe a 
amostra é um individuo ou objeto. No exemplo da ma-
téria preferida dos alunos da classe, os indivíduos são 
os alunos. Quando se consideram algumas marcas de 
sabonetes para testar a durabilidade sobre o efeito da 
água, cada marca é um objeto da pesquisa.
Capítulo 8 Educação Estatística 207
c) Variável: quando se pretende pesquisar sobre a bebida 
preferida dos alunos de uma determinada classe, pre-
cisamos fazer uma pesquisa para sondar a preferência 
dos alunos sobre o tipo de bebida, como sucos, refri-
gerantes, água, café, etc. Cada tipo de bebida é uma 
variável da pesquisa.
d) Variável qualitativa: as variáveis qualitativas apresen-
tam como possíveis valores uma qualidade ou atribu-
tos dos indivíduos, objetos, etc. Podem ser ordinais, 
quando existe uma ordem nos seus valores, ou nomi-
nais, quando isso não ocorre, como, por exemplo, em 
um esporte preferido.
e) Variável quantitativa: as variáveis quantitativas podem 
ser discretas, quando tratam de contagem (exemplifi-
cando, contar o número de irmãos de uma determina-
da família), ou contínuas, quando se trata de medidas 
(medir a altura das crianças de uma determinada faixa 
etária).
h) Representação gráfica: depois de colhidos os dados 
necessários à pesquisa, a organização das informa-
ções poderá ser realizada por meio de tabelas e gráfi-
cos. As tabelas auxiliam muito na representação e in-
terpretação dos dados. A representação gráfica é uma 
forma rápida e objetiva de apresentar e analisar os 
dados. Existem várias formas: gráfico de barras, gráfi-
co de segmentos, gráfico de setores e outros.
Outros conceitos inerentes à Estatística podem ser discuti-
dos como média aritmética, mediana e moda. Porém, a média 
208 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
aritmética está mais evidente devido à grande utilização no 
cotidiano.
a) Média aritmética: a média de um conjunto de valores 
numéricos é calculada somando-se todos estes valo-
res e dividindo-se o resultado pelo número de elemen-
tos somados, que é igual ao número de elementos do 
conjunto, ou seja, a média de n números é sua soma 
dividida por n.
b) Moda: é o valor que mais aparece num conjunto de 
dados. Em estatística, essa é uma medida de tendência 
central denominada moda. 
c) Mediana: a mediana é o valor que divide um conjunto 
de dados ordenados em dois grupos com o mesmo 
número de valores. Um grupo terá valores menores 
ou iguais à mediana e outro terá valores maiores ou 
iguais a ela. De uma forma mais simples, é o valor que 
divide o conjunto de dados ao meio. 
O ensino da Combinatória
A Combinatória é definida como a possibilidade de combinar 
objetos, permitindo a contagem dos mesmos, agrupados por 
determinadas características. Por exemplo: ao nos vestirmos, 
combinamos calças e camisas que têm características diferen-
tes. Se tivermos três camisas e duas calças quantas são as 
possibilidades de combiná-las? (BRASIL, 2008).
Ao propormos a situação-problema: “Ana saiu para tomar 
sorvete. Ela quer tomar duas bolas de sorvete de sabores di-
Capítulo 8 Educação Estatística 209
ferentes. A sorveteria tem cinco sabores: chocolate, morango, 
flocos, coco e maracujá. Quantas são as opções que Ana tem 
para escolher?” (BRASIL, 2008, p.9). Para melhor compreen-
são desse tipo de problema, seria interessante apresentar eta-
pas para sua resolução: primeiro montar um diagrama, tam-
bém chamado de diagrama em árvore, para esclarecer quais 
são as combinações possíveis. Isso faz com que percebamos 
que Ana poderá fazer 20 combinações, já que poderá esco-
lher na primeira bola cinco sabores e, na segunda bola, qua-
tro. Logo, serão 5 X 4 = 20. Podemos, ainda, organizar um 
diagrama árvore, eliminando as opções repetidas e concluir 
que são dez as opções que Ana tem para escolher. (BRASIL, 
2008, p.11).
O ensino da probabilidade
O pensamento probabilístico vem como um elemento auxiliar 
na aprendizagem de Matemática quanto à interpretação de fa-
tos vinculados aos meios de comunicação. Sua principal fina-
lidade é fazer com que o aluno compreenda acontecimentos 
do cotidiano, de natureza aleatória, em que se podem identifi-
car possíveis resultados e até estimar o grau de possibilidades 
acerca do resultado. Os problemas de contagem objetivam 
fazer com que os alunos possam lidar com situações que en-
volvam diferentes tipos de agrupamentos, possibilitando o de-
senvolvimento do raciocínio de combinatória e a compreensão 
do princípio multiplicativo para sua aplicação no cálculo de 
probabilidade.Para o ensino da Probabilidade, “[...] são utilizadas para 
exprimir a chance de ocorrência de determinado evento. Por 
210 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
exemplo: quando um meteorologista afirma que há chance de 
70% de chover ou um comentarista de futebol afirma que há 
20% de chance de um determinado time vencer um campeo-
nato.” (BRASIL, 2008, p. 9)
Na situação-problema descrita: “Daniel apostou com Flá-
vio que ao jogar um dado e obteria um número maior que três. 
Quais são as chances de Daniel ganhar a aposta?” (BRASIL, 
2008, p.9). Outros problemas nos ajudam a verificar a proba-
bilidade de ocorrência de um evento. O estudo da combinató-
ria permite que o aluno compreenda os acontecimentos do co-
tidiano de natureza aleatória. A Matemática das possibilidades 
governa muitos fatos da vida moderna: previsões eleitorais, 
controle de qualidade de produtos industriais, avaliação de re-
sultados escolares, entre outras previsões. Também as noções 
de acaso e incerteza intuitivamente podem ser exploradas na 
escola em situações nas quais o aluno realiza experimentos e 
observa eventos.
Quanto as chances de Daniel ganhar a aposta: um dado 
tem seis faces. Pode sair uma das seis possibilidades: 1, 2, 3, 
4, 5 ou 6. Para que Daniel ganhe a aposta, deve sair uma das 
três opções: 4, 5 ou 6. Assim, Daniel tem três chances em 6 
possibilidades de ganhar a aposta.
Práticas pedagógicas para o ensino e 
aprendizagem da educação estatística
A seguir, descrevemos algumas situações práticas de sala de 
aula referentes à Educação Estatística. As atividades descritas 
configuram algumas experiências realizadas no curso de for-
Capítulo 8 Educação Estatística 211
mação de professores para os anos iniciais sobre o conteúdo 
de Educação Estatística.
Como você vai para a escola?
A professora propôs para os alunos do 4º e 5º anos a seguinte 
situação: como você vai para a escola? Com essa atividade, 
a professora queria evidenciar o meio de locomoção dos alu-
nos, pois a escola em que leciona localiza-se numa área rural 
de difícil acesso para os alunos. A partir dos dados coletados, 
a professora, juntamente com os alunos, construiu uma tabela 
de registro e realizou com os alunos uma representação gráfi-
ca dos dados coletados (gráfico de barras). Nesta atividade, os 
alunos podiam organizar e interpretar os dados coletados par-
tindo de uma situação relacionada ao cotidiano da turma. A 
Figura 1 exemplifica a atividade desenvolvida pela professora:
Figura 1 Como você vai para a escola?
Fonte: Giusti, (2012).
212 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
A professora oportunizou aos alunos o aprendizado a partir 
de uma situação real, vivenciada pelos alunos daquela locali-
dade. Possibilitou o estudo matemático, a análise do problema 
por meio de intervenção positiva, abrangendo conhecimentos 
de estatística de modo que os alunos pudessem coletar infor-
mações, organizá-las e representá-las na forma de gráficos e 
tabelas, além de interpretá-las criticamente. A professora cons-
truiu com seus alunos procedimentos de coleta, organização 
para comunicar e interpretar dados a partir de uma situação 
real. Além disso, houve a oportunidade de fazer um compara-
tivo significativo entre as distâncias das localidades do municí-
pio e os mais diferentes meios de locomoção.
Organizar dados por meio de gráficos é cada vez mais fre-
quente nas atividades pedagógicas. Podemos recorrer a uma 
grande variedade deles, como gráficos de colunas, de barras, 
de linha poligonal, de setores, etc. O gráfico pode influenciar 
a interpretação das informações. Neste sentido, o professor 
deverá ter o cuidado com a forma como será apresentado, 
pois ele poderá privilegiar alguma informação ou ocultar ou-
tra, dependendo da forma como ele foi construído.
No inverno podemos combinar nossas roupas
Com a chegada do inverno no sul do Brasil, precisamos de 
mais roupas e agasalhos para se proteger do frio. A profes-
sora do 2º ano desenvolveu com alunos uma atividade que 
permitisse aos alunos combinar o vestuário de inverno. Para as 
meninas, a professora ofereceu maior número de opções de 
roupas, pois as meninas comentaram que as mulheres trocam 
e combinam mais roupas. Para os meninos, menos opções, 
Capítulo 8 Educação Estatística 213
porque segundo os mesmos, não havia necessidade (calças, 
casacos e toucas). A professora reproduziu alguns bonecos 
(xerografados) e, por sua vez, os alunos confeccionaram as 
peças do vestuário. Ao manipularem os objetos, os alunos ti-
veram a oportunidade de verificar que “dá prá combinar a 
mesma calça e o mesmo casaco, só mudar a cor, trocando 
uma peça de roupa”. A seguir, a professora propôs que os alu-
nos realizassem o registro através da árvore de possibilidades 
e diagrama. Nesta atividade a professora também explorou 
medidas de tempo.
De acordo com a professora, os alunos tiveram a oportuni-
dade de participar ativamente da atividade lúdica, como tam-
bém construir o material para atividade. A professora relata que 
“foi bom perceber que os alunos podem estudar Matemática de 
uma forma divertida e lúdica.” A Figura 2 registra a atividade.
Figura 2 atividade de combinatória.
Fonte: Giusti (2012).
214 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
A professora, ao desafiar seus alunos a partir de uma situa-
ção-problema, propiciou noções sobre o pensamento de com-
binatória, com noções do princípio multiplicativo e de conta-
gem. A combinatória, neste sentido, vem como um elemento 
auxiliar na aprendizagem de Matemática, em que a finalidade 
é fazer com que o aluno compreenda acontecimentos do co-
tidiano, de natureza aleatória, em que se podem identificar 
possíveis resultados e até estimar possibilidades acerca do re-
sultado. Fazer com que os alunos lidem com situações que 
envolvam diferentes tipos de agrupamentos pode possibilitar o 
desenvolvimento do raciocínio e o cálculo.
Chamamos a atenção para alguns cuidados a serem ob-
servados pelo professor ao construir tabelas com os alunos. A 
forma como o professor as apresenta aos alunos pode incidir, 
algumas vezes, em erros matemáticos ou de leitura. Ou seja, a 
construção pode dificultar o entendimento do aluno se ela não 
for bem planejada e organizada. As tabelas auxiliam muito 
na representação e interpretação dos dados e demonstra que 
existem outras maneiras de trabalhar a leitura das informações 
e discutir os resultados.
Alfabeto dos nomes
A professora realizou com os alunos do 1º ano a atividade que 
denominou de “Alfabeto dos Nomes”. A atividade consistia em 
identificar a letra inicial de cada criança com o alfabeto. Pro-
pôs aos alunos a construção do alfabeto a partir da constru-
ção de um gráfico em que os alunos identificam as letras com 
a inicial de seus nomes. A Figura 3 caracteriza a atividade:
Capítulo 8 Educação Estatística 215
Figura 3 alfabeto dos nomes.
Fonte: Giusti (2012).
Entre as atividades sugeridas para a turma, a professora ex-
plorou, além do alfabeto, os números naturais e as operações 
de adição e subtração. Entre os questionamentos para a reali-
zação da atividade, relata: “Quantas letras tem o teu nome?; 
Quais são as letras?; Quantas sílabas?; Quantos nomes de 
colegas iniciam com a letra A?; E com a letra B?; Quantos 
colegas não iniciam os nomes com a letra C?; e assim suces-
sivamente. A professora relata que os questionamentos foram 
orais e os registros foram transcritos para o caderno de aula.
Estudo das formas geométricas
Para trabalhar com o estudo da Geometria, a professora pro-
pôs para os alunos da Educação Infantil (Pré-escola) a or-
ganização e o registro das figuras geométricas por meio de 
tabelas. A organização e o registro possibilitaram ao aluno 
compreender e descrever as formas geométricaspresentes no 
216 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
seu cotidiano, ou seja, as formas presentes na sala de aula, 
na escola, na casa onde moram, no caminho para a escola e 
outros. Os alunos foram questionados sobre as características 
das formas e a realizar relações com o cotidiano. A atividade 
permitiu várias possibilidades de trabalho com as crianças: a 
construção da tabela, a classificação das formas geométricas 
por semelhanças, cores, tamanhos e espessuras, a construção 
de gráficos utilizando tabela e pintura de barras relativas à 
quantidade de figuras.
As Figuras 4 exemplificam a atividade.
Figura 4 formas geométricas.
Fonte: Giusti (2012).
O trabalho no campo da Educação Estatística pode ser 
iniciado já na Educação Infantil de forma prazerosa e com 
foco em experiências do interesse das crianças. De acordo 
com Mandarino (2010, p. 204), desde os primeiros anos de 
escolarização os alunos podem lidar em jogos e brincadeiras, 
Capítulo 8 Educação Estatística 217
“com princípios de contagem e determinar resultados possí-
veis, o que, por sua vez, abre caminho para problemas simples 
e interessantes de probabilidades ou de “chance” de ocorrên-
cia de um resultado”. A construção de tabelas é uma atividade 
que as crianças gostam de realizar e com que podem ser de-
senvolvidas importantes habilidades matemáticas. Iniciar com 
uma boa discussão pode favorecer experiências interessantes 
por parte dos alunos.
Outras práticas pedagógicas para o ensino da Educação 
Estatística (GIUSTI, 2012):
 Â A realização de levantamento das origens dos alunos 
(imigração): qual a ascendência dos alunos?;
 Â No conteúdo de combinatória: combinar objetos, rou-
pas, cores, sabores, frutas, alimentos, bebidas, etc.;
 Â Trabalho com recortes de jornais utilizando as informa-
ções e anúncios para desenvolver atividades variadas;
 Â Utilização de situações do cotidiano dos alunos por 
meio de material visual tendo como objetos de estudo 
os animais, plantas, times preferidos, bairros da cidade, 
comércio e outros;
 Â Na questão ambiental, análise da fatura d’água, a eco-
nomia doméstica, a interpretação dos dados contidos 
na fatura de água, os gastos, a utilização da água nas 
residências;
 Â Probabilidade das figuras geométricas explorando a 
porcentagem no 5º ano;
218 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
 Â Probabilidades de acertos e erros de um determinado 
jogo e ou brincadeira;
 Â Levantamento de dados sobre qual é o lanche preferido 
dos alunos servido na merenda da escola e, também, o 
número de lanches servidos durante o período de uma 
semana.
Para a última atividade mencionada, registramos, na Figu-
ra 5, a construção da atividade em folha paralela para que 
possamos evidenciar outras formas de organizar e desenvolver 
a leitura e interpretação de dados.
Figura 5 Qual é o seu lanche preferido na escola?
Fonte: Giusti (2012).
Para o desenvolvimento da atividade, a professora orga-
nizou o registro da tabela e do gráfico de modo que os da-
dos fossem representados simultaneamente, o que configura 
diferentes formas de representação. O trabalho propunha o 
Capítulo 8 Educação Estatística 219
envolvimento dos alunos na observação, coleta, organização 
e descrição de dados na promoção de situações interessantes 
para o desenvolvimento dos conteúdos relacionados com o 
ensino de Ciências, como: bons hábitos alimentares, higiene 
alimentar, saúde, industrialização, conservação e outros as-
pectos.
Recapitulando
Caro aluno, sabemos que desde muito cedo as crianças têm 
contato com experiências de Educação Estatística. Esses co-
nhecimentos prévios são muito importantes, mas é preciso 
avançar na compreensão de conceitos e na problematização 
de situações matemáticas.
Ao longo deste capítulo, você pode observar os saberes 
relativos à Educação Estatística em situações cotidianas e fami-
liares dos alunos. As práticas pedagógicas de ensino e apren-
dizagem aqui apresentadas sobre o tema são apenas algumas 
das práticas educativas produzidas por um grupo de profes-
sores que participaram de uma formação matemática para os 
anos iniciais.
Lembre-se que saber ler e compreender tabelas e gráficos 
é indispensável, mas, para tal, é fundamental estimular os alu-
nos a fazer perguntas, a fazer relações, a construir justificativas 
e a desenvolver o espírito de investigação (BRASIL, 2008).
220 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Referências
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de estatística no Ensino Fundamental e Médio. II Congres-
so Internacional de Matemática. Canoas, 2003.
BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. 
Brasília: MEC/ Secretaria de Educação Fundamental, 1997.
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lia: MEC/ Secretaria de Educação Fundamental, v. 17, cap. 
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______. Pró-letramento: programa de formação continua-
da de professores dos anos/séries iniciais do ensino fun-
damental. Matemática. Brasília: Ministério da Educação, 
Secretaria de Educação Básica, 2008.
CAZORLA, I. M.; PAGAN, A.; LEITE, A. P.; MAGINA, S. A Lei-
tura e interpretação de gráficos e tabelas no Ensino 
Fundamental e Médio. Anais do 2º SIPEMAT. Recife – PE, 
2008.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. Ensino Mé-
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GIUSTI, N. M. R. Formação continuada de professores dos 
anos iniciais: uma experiência sobre o conteúdo de 
tratamento da informação. Dissertação de Mestrado. 
Canoas: Universidade Luterana do Brasil, 2012.
INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISA. Inep. Ma-
temática: orientações para o professor, Saeb/Prova Brasil, 
Capítulo 8 Educação Estatística 221
4ªsérie/5ºano, Ensino Fundamental. Brasília: Instituto Na-
cional de Estudos e Pesquisas Anísio Teixeira, 2009.
LOPES, C. A. E. O conhecimento profissional dos profes-
sores e suas relações com estatística e probabilidade 
na Educação Infantil. Tese de Doutorado, FE/UNICAMP, 
2003.
______. O ensino da estatística e da probabilidade na 
educação básica e a formação dos professores. Cad. 
Cedes, Campinas, SP, v. 28, n. 74, p. 57-73, jan./abr. 
2008. Disponível em: http://www.cedes.unicamp.br. Aces-
so em 02 ago. 2014.
______. A educação estocástica na infância. Revista Eletrô-
nica de Educação. São Paulo: São Carlos, v. 6, n. 1, mai. 
2012. Disponível em: http://www.reveduc.ufscar.br/index.
php/reveduc/article/viewFile/396/179. Acesso em 02 
ago.2014.
MANDARINO, M. C. F. A análise de soluções dos alunos na 
formação de professores que ensinam Matemática. In: 
Anais 33ª ANPED – Associação Nacional de Pós-Gradu-
ação e Pesquisa em Educação, 2010.
Leituras Complementares
Para continuar a busca por uma melhor compreensão sobre o 
tema de Educação Estatística, você poderá realizar leituras 
complementares sobre:
A educação estocástica na infância, publicado pela pesqui-
sadora Celi Espasandin Lopes;
222 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
http://www.reveduc.ufscar.br/index.php/reveduc/article/
viewFile/396/179
- O tratamento da informação – Coleção explorando o en-
sino: Matemática, volume 17 (Capítulo 9, p. 201-240) da 
pesquisadora Mônica Cerbella Freire Mandarino;
file:///C:/Users/win8/Downloads/2011_matematica_capa.
pdf
- Estatística divertida: trabalhando com gráficos na es-
cola, dos pesquisadores Arno Bayer, Simone Echeveste e 
outros.
http://www.exatas.net/artigo_ciem1.pdf
Atividades
 1) Faça um levantamento na sua escola, ou no seu bairro/
município sobre “o tempo que os estudantes se dedicam 
aos estudos extraclasse”. Busque uma pequena amostra 
(no máximo 20 estudantes). Organize esses dados em 
uma tabela e, a partir dos dados dessa tabela, construa 
umgráfico de linhas e/ou de barras.
 2) Tendo como base o desenvolvimento da atividade 1, faça 
o levantamento sobre a faixa etária desses estudantes, 
ano/série que cursam. Registre em tabela e construa um 
gráfico de setores e/ou de linhas.
Capítulo 8 Educação Estatística 223
 3) A partir das pesquisas realizadas (Atividades 1 e 2), respon-
da: o que podemos saber sobre esses estudantes olhando 
para o conjunto de informações e gráficos traçados?
 4) Elabore uma atividade lúdica envolvendo o princípio com-
binatório e descreva o seu modo de desenvolvimento. Re-
gistre a faixa etária e/ou nível (educação infantil e ou anos 
iniciais) a que a atividade se destina.
 5) Crie uma situação-problema envolvendo o conteúdo de 
probabilidade a partir de situações cotidianas da vida das 
crianças. Da mesma forma da atividade anterior, registre o 
seu modo de desenvolvimento, faixa etária e/ou nível.
Tania Elisa Seibert1
Capítulo 9
Ensino da Matemática 
a partir de Projetos de 
Trabalho com Literatura 
Infantil
1 Doutora em Ensino de Ciências e Matemática. Professora da Universidade Lute-
rana do Brasil.
Capítulo 9 Ensino da Matemática a partir de Projetos... 225
Introdução
No final do século XIX e início do século XX, com a revolução 
do sistema de produção (acumulação de capital, barateamen-
to da mão de obra e desapropriação do conhecimento dos 
trabalhadores), surgem os processos que envolvem operações 
elementares, simples e automáticas, acentuando a divisão so-
cial e a técnica do trabalho e separando o trabalho manual do 
intelectual. Santomé (1998) comenta que, como consequência 
desses fatos, surge a fragmentação dos empregos e da pro-
dução, criando-se a partir disso as linhas de montagem (for-
dismo) que pressupõem a segmentação prévia das operações 
de fabricação. O resultado dessas mudanças é que poucas 
pessoas conseguem compreender claramente o processo de 
fabricação como um todo. O ser humano perde em autono-
mia e criatividade e se submete ao processo de produção, não 
mais participando dos momentos de decisão.
Esse processo industrial acaba se refletindo no comporta-
mento da escola. Santomé (1998) afirma que não existe uma 
forma de separar o currículo escolar do seu meio social, já 
que na escola se formam os cidadãos que mais tarde farão 
parte do mundo do trabalho. O mesmo autor salienta que, 
por muitas vezes, o currículo serviu de instrumento dos órgãos 
do poder político e econômico, na tentativa de incutir na for-
mação do estudante os princípios que sustentavam as suas 
práticas econômicas e sociais, principalmente na sociedade 
de produção.
Nos tempos atuais, na chamada sociedade do conheci-
mento, Hargreaves (2004) aponta para a economia susten-
226 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
tada pelo conhecimento, em que a riqueza e a prosperidade 
dependem da capacidade das pessoas superarem seus con-
correntes em criatividade e astúcia. Será necessário, portanto, 
que o cidadão dessa sociedade consiga se adaptar a diferen-
tes situações, tenha capacidade de aprender continuamente, 
esteja sempre em busca de aprimoramento de suas compe-
tências, relacione-se com diferentes pessoas, comprometa-se 
com a vida coletiva, com a sustentabilidade do planeta e a 
tolerância com as diferenças.
Segundo Ropé e Tanguy (2003), tanto nos assuntos co-
merciais como nos industriais, a competência é o conjunto de 
conhecimentos, qualidades, capacidades e aptidões que habi-
litam a pessoa para discussão, consulta e decisão, portanto, 
inseparáveis da ação. Cabe à escola exercer seu papel, ciente 
de que o conhecimento teórico deve vir unido à capacidade 
de colocá-lo em prática, substituindo um ensino centrado nos 
saberes disciplinares por um ensino definido pela produção de 
competências verificáveis em situações e tarefas.
Com os novos rumos da economia e com a necessidade 
de se formar no meio educacional um cidadão versátil, cria-
tivo, flexível, de bom relacionamento e que consiga visuali-
zar um problema de forma holística, impõe-se a necessidade 
de discutir o currículo das escolas, pois essas, na sua grande 
maioria, continuam atuando com um currículo por disciplinas, 
favorecendo a fragmentação do saber.
Considerando essas afirmações, busca-se um caminho que 
crie alternativas de mudanças. Uma prática escolar que rela-
cione conteúdos de diferentes campos de conhecimento, com 
Capítulo 9 Ensino da Matemática a partir de Projetos... 227
uma metodologia ativa, em que o aluno seja sujeito da cons-
trução do seu conhecimento e o professor um mediador, que 
prepare o aluno para a pesquisa, sem que se percam nessa 
caminhada os objetivos traçados e os conteúdos necessários 
que permitam que esse aluno se aproprie do conhecimento 
acumulado pela humanidade.
A interdisciplinaridade, segundo Hernández e Ventura 
(1998b), é um modo de conhecimento capaz de compreender 
os objetos em seu contexto, em sua complexidade e em seu 
conjunto, e se apresenta como um caminho possível, capaz de 
viabilizar um ensino menos fragmentado.
Neste contexto, os projetos de trabalho apresentam-se 
como uma forma que permite tratar de situações reais em sala 
de aula de forma interdisciplinar, permitindo, assim, de acordo 
com Nogueira (2001), conferir significados a conteúdos que 
possuem, aparentemente, apenas vida acadêmica, possibili-
tando também uma ampliação nos objetivos dos planos de 
estudo do professor e da escola, favorecendo que no plane-
jamento se incluam temas relevantes por sua urgência social.
A Matemática, em especial, é desenvolvida nas escolas e, 
segundo a perspectiva de Rocha (2001), de forma mecânica, 
exata, descontextualizada, fragmentada e distante do cotidia-
no do aluno, fazendo com que esse não visualize sua utilização 
na resolução de problemas reais, dificultando, assim, a valori-
zação dessa área de conhecimento. Conforme Lopes (2003), 
para modificar essa situação é preciso que se tenha uma vi-
são curricular diferente da linear, da fragmentada, da pautada 
em conteúdos estanques, para que seja possível integrar os 
228 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
conhecimentos de forma interligada e significativa. A autora 
sugere que se parta da problematização de uma situação real, 
pois, dessa forma, diferentes conceitos podem ser estudados, 
pois se inserem em situações vinculadas à investigação de um 
problema, de uma situação que possa ser contextualizada, in-
vestigada e analisada.
Portanto, um dos caminhos apontados para superar a frag-
mentação disciplinar são os projetos de trabalho, foco de es-
tudo desse capítulo.
Projetos de trabalho
A organização do currículo escolar tradicional, composto por 
disciplinas baseadas em conteúdos estáveis e universais, frag-
mentadas, compartimentadas e fechadas (PIRES, 2000; HER-
NÁNDEZ, 1998a; MORIN, 2000), dificulta a elaboração de 
planos de estudo que atinjam as indicações dos Parâmetros 
Curriculares Nacionais que apontam caminhos e sugestões às 
escolas. Esses caminhos visam a formar um trabalhador ver-
sátil, criativo, solidário e democrático, capaz de se adaptar 
facilmente às mudanças. Nessa prática, o aluno passa de um 
papel passivo, comum em metodologias tradicionais, para um 
ser ativo, participando da construção do seu conhecimento, e 
o professor, até então detentor do saber, um mediador entre o 
que o aluno já sabe e o que a escola almeja alcançar.
Para alcançar esse objetivo, o modelo disciplinar deve ser 
substituído por um modo de conhecimento capaz de compre-
ender os objetos em seu contexto, em sua complexidade e em 
seu conjunto, pois entender o mundo implica aprender a rela-
Capítulo 9 Ensino da Matemática a partir de Projetos... 229
cionar e analisar criticamente a realidade, não somente como 
um conjunto de partes, mas também emsua totalidade, pois 
na construção da realidade, o todo é, muitas vezes, mais que 
a soma das partes (MORIN, 2000; AZCÁRADED, 1997; HER-
NÁNDEZ, 1998b). A interdisciplinaridade se apresenta como 
uma forma que permite modificar a visão curricular atual, per-
mitindo que se percebam as questões na sua forma complexa 
e dinâmica, pois se torna cada vez mais evidente que os limites 
entre diferentes disciplinas precisam ser superados.
Na escola, a interdisciplinaridade se caracteriza pelo grau 
de interação real entre as disciplinas. É a tentativa de integra-
ção entre as diferentes ciências. É um processo integrado e 
articulado, de tal forma que as diferentes atividades desen-
volvidas levem ao mesmo fim. Dá-se em função da prática 
e do agir (HERNÁNDEZ, 1998a; HERNÁNDEZ e VENTURA, 
1998b; SEVERINO, 1998). Para Fazenda (2001), pauta-se na 
ação, no movimento, na afetividade e nas trocas subjetivas e 
não apenas na justaposição entre saberes. Múltiplas aborda-
gens de diferentes ciências buscam a compreensão total de um 
fato. Destaca que uma prática interdisciplinar é consolidada 
na busca, na ousadia e na pesquisa.
Conforme Santomé (1998), as escolas devem se compro-
meter com um marco mais geral, pelo qual as disciplinas de-
vem se modificar e depender uma das outras, promovendo 
mudança de metodologias e conceitos. Para ele, o termo in-
terdisciplinaridade surge ligado à finalidade de corrigir possí-
veis erros e à esterilidade acarretada por uma ciência exces-
sivamente compartimentada e sem comunicação. A crítica à 
compartimentação das matérias é a mesma feita ao sistema de 
230 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
produção fragmentado, à separação entre o trabalho intelec-
tual e manual, entre a teoria e a prática e entre o humanismo 
e a técnica. Uma das formas de colocar em prática a interdis-
ciplinaridade são os projetos de trabalho.
A palavra “projeto” deriva do latim projectus e significa 
“um jato lançado para a frente” e, portanto, caracteriza-se 
como algo que faz referência ao futuro, que tem abertura para 
o novo e que passa necessariamente pela ação do sujeito que 
projeta (MACHADO, 2000).
Os projetos, no âmbito da educação, segundo Martins 
(2001), surgiram no início do século XX, nos Estados Unidos, 
concebidos pelo filósofo e educador John Dewey e desenvol-
vidos por seu discípulo Kilpatrick. Foram difundidos com acei-
tação na Europa e chegaram até nós com os trabalhos de 
Miguel Arroyo, aplicados à organização de conteúdos progra-
máticos das disciplinas, em escolas de Minas Gerais. Consis-
tiam em desenvolver trabalhos capazes de vincular a sala de 
aula à realidade social na qual o aluno vive, mostrando que o 
processo de aprendizagem é um processo global, que integra 
o saber com o fazer, a prática com a teoria, a pedagogia da 
palavra com a pedagogia da ação. As novas teorias pedagó-
gicas educacionais surgidas mostram que o conhecimento a 
ser desenvolvido na atualidade pela escola não é mais aquele 
compartimentado e estanque, mas o saber globalizado2, que 
2 Globalizar, do ponto de vista escolar, significa somatório de matérias, conjun-
ção de diferentes disciplinas ou ciências, centraliza múltiplos ângulos de um tema 
para descobrir conexões de saber que conduzam a um determinado conhecimento 
(HERNÁNDEZ, 1998a).
Capítulo 9 Ensino da Matemática a partir de Projetos... 231
considera a vida e possibilita acompanhar o avanço do mundo 
de hoje.
Tanguy (2003) salienta que cabe ao professor transformar 
esses conteúdos em um todo integrado, operar a síntese dos 
saberes que dependem de corpos diferentes que devem ser 
realizados nos atos de transmissão e de aquisição dos conhe-
cimentos, e isso por meio de projeto, forma de atividade peda-
gógica que pressupõe um sujeito ativo.
Os projetos de trabalho, por sua própria concepção, ultra-
passam o campo específico de uma disciplina e, na opinião de 
Villela (1998), apresentam-se como alternativa metodológica 
que permite integrar conteúdos de diferentes disciplinas, que se 
relacionam naturalmente, na tentativa de solucionar e compre-
ender um problema. São propostas pedagógicas, interdiscipli-
nares, compostas de atividades a serem executadas por alunos 
sob orientação do professor, destinadas a criar situações de 
aprendizagem mais dinâmicas e efetivas, pelo questionamento 
e reflexão. Conforme Martins (2001), os projetos de trabalho 
contribuem para que os alunos participem e se envolvam em 
seu próprio processo de aprendizagem e o compartilhem com 
outros colegas, desenvolvendo novas competências por parte 
dos alunos e novas estratégias por parte do professor.
Ao se planejar um projeto de trabalho, é preciso levar em 
conta a sua finalidade, já que ele não é compatível com a 
transmissão de conteúdos preestabelecidos, descontextualiza-
dos da realidade e das vivências dos alunos. Essa metodologia 
permite que os alunos falem, participem, cooperem uns com 
os outros, possibilitando dessa forma que construam a sua his-
tória e sua identidade (GANDIN, 2001).
232 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
No desenvolvimento de um projeto, é possível estabelecer 
relações entre a teoria e a prática da aprendizagem (MARTINS, 
2001), adotar uma atitude positiva de trabalho e de curiosida-
de frente ao novo (VILLELA, 1998) e ampliar as perspectivas e 
os objetivos da educação.
É possível traçar um plano de estudo que busque garantir 
que se trabalhe de uma forma holística, permitindo que se per-
ceba um problema na sua íntegra. Além disso, Gandin (2001) 
chama atenção para as diferentes possibilidades que se abrem 
frente a um projeto de trabalho, como o estudo de temas vi-
tais, de interesse dos alunos e da comunidade, permitindo a 
participação de todos e abrindo espaço ao fazer, condição 
básica para existência de um projeto.
Os projetos de trabalho, para esse autor, abrem perspec-
tivas para a construção do conhecimento a partir de questões 
reais, possibilitam a experiência da vivência crítica e criativa e 
ajudam o educando a desenvolver as capacidades de obser-
vação, reflexão e criação, pois criam um clima propício à co-
municação, à cooperação, à solidariedade e à participação.
Porém, alguns educadores encontram problemas para de-
senvolver um projeto de trabalho, pois não conseguem visu-
alizar no seu desenvolvimento uma forma de trabalhar com 
conteúdos específicos de sua disciplina. Entretanto, Antunes 
(2001) afirma que os projetos de trabalho podem ser utiliza-
dos para explorar conceitos e conteúdos específicos, além de 
criar espaços de reflexão. Também Villela (1998) expressa essa 
mesma opinião, pois entende que um projeto em aula pode 
desenvolver conteúdos de todas as áreas, num grau maior de 
Capítulo 9 Ensino da Matemática a partir de Projetos... 233
importância do que na forma tradicional, pois pode ser de-
senvolvido por qualquer das disciplinas curriculares, através 
de um processo de investigação, de busca de informações e 
de tomada de decisões por parte dos docentes e dos alunos, 
mostrando que um certo conhecimento não se limita a uma 
única área.
Podemos ainda ir mais além, afirmando que a implemen-
tação de projetos no cotidiano escolar permite que a escola, 
na opinião de Araújo (2003), ultrapasse a simples coleta de 
informação, abrindo espaço para a análise da sua validade 
e, assim, aprimorar a habilidade de crítica e interpretação, 
interferindo na formação de valores3 do educando, pois cria 
um ambiente favorável a discussões, reflexões e críticas, per-
mitindo que, conforme Martins (2001), pela reflexão o aluno 
chegue à ação, podendo, portanto, modificar uma situação.
Nos trabalhos de Hernández (1998a; 1998b), encontra-
mos definições valiosas sobre projetos de trabalho, que, resu-
midamente, são para ele, procedimentos que dizem respeito 
ao processode dar forma a uma ideia que está no horizonte, 
que favorecem o ensino por compreensão, a subjetividade, a 
contextualização, o trabalho ativo por parte do aluno e a atitu-
de de pesquisa, pois possibilitam a aquisição de estratégias de 
conhecimento que permitem avançar, pois, além de interpretar 
3 São princípios éticos aceitos pela comunidade e que são utilizados pelas pessoas 
para julgar os outros. São princípios estáveis, centrais e incluem as crenças. É algo 
desejável, independentemente da própria posição da pessoa. No que se refere à 
escola é o compromisso que ela deve assumir com a moral cidadã na busca da 
formação de educandos solidários que assumam compromissos com a sociedade 
em que vivem. 
234 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
os dados, devem apresentar argumentos a favor do tema pes-
quisado ou contra ele, isto é, devem tomar decisões pessoais, 
tomar posição. A partir de fontes diversas de informação e da 
expressão reconstrutivista, mediante diferentes formas (escritas, 
dramatizadas, visuais) eles favorecem construir nos estudantes 
os processos de pensamento de ordem superior necessários 
para que compreendam e apliquem o conhecimento a outras 
realidades.
A prática por projetos de trabalho, segundo Lopes (2001), 
possibilita aos professores que ensinam Matemática colocar 
em ação aulas investigativas, interdisciplinares, que ampliem 
estratégias de pensamento e auxiliem na superação de dificul-
dades. Para a autora, através da participação em projetos de 
trabalho, os alunos passarão a perceber a Matemática como 
uma construção sócio-histórica, impregnada de valores que 
influenciam na vida humana, criando possibilidades para que 
valorizem o processo de criação do saber e não apenas produ-
to final, uma Matemática pronta, acabada e sem significado.
Porém, para trabalhar com projetos, é necessário que se 
planejem e elaborem diferentes etapas, interligadas e que le-
vem a um determinado fim. Para Ballonga, citado por Zabala 
(1999), é preciso considerar a importância de planejar, levan-
do em conta, principalmente, dois aspectos. Um, de tipo mais 
geral, auxiliará os alunos a se situarem diante de situações de 
todo tipo para conhecer e atuar sobre o meio, com maior se-
gurança e habilidade, permitindo que tomem decisões efetivas 
e que apliquem a aprendizagem. O outro tipo, mais técni-
co, permite que eles reflitam sobre os processos, avaliando-os 
passo a passo. Planejar é, pois, uma ferramenta imprescindível 
Capítulo 9 Ensino da Matemática a partir de Projetos... 235
e o domínio do planejamento está diretamente relacionado 
com o conhecimento que os alunos têm de sua ação – meta-
cognição.
O método de projetos tem, segundo Frey, citado por Mora 
(2004), etapas que devem ser necessariamente seguidas. O 
autor ressalta que cada etapa tem características distintas, mas 
que todas elas devem ser criteriosamente relacionadas, pois 
estão buscando atingir um determinado fim.
Como primeira etapa, o autor destaca as atividades que 
tanto os docentes quantos os alunos elaboram para iniciar o 
planejamento do projeto, iniciando pela definição do tema a 
ser pesquisado. Nessa fase, todas as ideias devem ser levanta-
das, prevalecendo à democracia participativa entre os diferen-
tes componentes envolvidos, como alunos, docentes, comuni-
dade e escola. As discussões devem se dar até a definição de 
um tema para o projeto, que deve ser relevante, de interesse 
dos alunos, vir ao encontro das necessidades da comunidade 
e da filosofia da escola na qual o projeto será desenvolvido.
Definido o tema, passa-se então para a segunda etapa, 
que, para Frey, citado por Mora (2004), é a discussão entre 
alunos e professores sobre as diferentes possibilidades de re-
alização e planejamento de atividades para que se atinjam 
os objetivos planejados na primeira etapa, ou as ações que 
deverão ser realizadas para que realmente se conheça o tema 
escolhido. Essa etapa também deve ser democrática, envol-
vendo todos os sujeitos que farão parte do projeto.
A terceira etapa, segundo o mesmo autor, deve se dedicar 
à elaboração de um cronograma das ações necessárias para 
236 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
o desenvolvimento do projeto, em que se estabeleçam as fa-
ses, os prazos, os subgrupos, a bibliografia e os recursos ma-
teriais, humanos e técnicos. Também é de extrema importância 
estabelecer as razões pelas quais se decidiu optar por um as-
sunto em especial e estar ciente de que o planejamento de um 
projeto é um instrumento flexível, que deve sofrer modificações 
em seu desenvolvimento, adaptando-se às dificuldades e às 
novas dúvidas que poderão surgir.
Feito o planejamento, parte-se para a quarta etapa, que é 
o desenvolvimento do projeto, sem dúvida a fase mais rica e 
ativa, pois surgem diferentes problemas não previstos no pla-
nejamento inicial. Nessa fase, manifestam-se a criatividade e 
as habilidades dos participantes de acordo com as surpresas 
que vão encontrando, à medida que se envolvem com o tema 
pesquisado.
A quinta etapa é a culminância do projeto. Para o autor, 
os sujeitos envolvidos, através do trabalho escrito, apresen-
tação oral ou outras formas, devem apresentar os resultados 
da pesquisa para a comunidade escolar e extraescolar, para 
socializar os conhecimentos adquiridos e ampliá-los através 
do debate com o público.
Para finalizar, o autor destaca a importância da reflexão 
que dá oportunidade aos participantes de discutir novamente 
todas as fases de desenvolvimento do projeto, com a finali-
dade de corrigir falhas que se cometeram na realização do 
mesmo. Refere-se a essa etapa como sendo um momento no 
qual os participantes discutem ampla e abertamente tudo o 
que aconteceu. Mediante a crítica e a autocrítica, os alunos 
Capítulo 9 Ensino da Matemática a partir de Projetos... 237
e os professores expõem seus pontos de vista sobre detalhes 
que influenciaram de maneira determinante o processo e o 
resultado final.
O cumprimento dessas etapas é de suma importância, e 
Mora (2004) deixa claro que, para alcançar com sucesso os 
objetivos e atingir um real crescimento dos alunos, todas as 
etapas devem ser elaboradas e cumpridas, mas jamais dei-
xando de criar um espaço para reflexão, ação e novamente 
reflexão, modificando o planejamento cada vez que o grupo 
sentir necessidade, sem que se perca de vista o objetivo final, 
traçado no início do planejamento.
A literatura infantil e os projetos de trabalho
Um fator desencadeador de projetos de trabalho podem ser 
livros infantis. Esse subcapítulo sugere alguns livros e procedi-
mentos que podem ser adotados por professores para desen-
volver esse tipo de trabalho.
A Casa Sonolenta
A Casa Sonolenta pode ser utilizada por professores da Edu-
cação Infantil e dos primeiros anos do Ensino Fundamental.
238 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Figura 1 A Casa Sonolenta.
O professor pode contextualizar a leitura desse livro com o 
dia dos avós, destacando a importância dos mesmos na famí-
lia e o desrespeito de alguns com os mais velhos.
Pode, também, fazer uma visita a um lar de acolhimentos 
de idosos, para que os alunos percebam algumas carências. 
A partir disso, elaborar um trabalho que contemple tanto as 
necessidades físicas quanto as emocionais desses idosos.
Quanto aos conteúdos matemáticos que podem ser con-
textualizados nesse projeto destacam-se:
a) O professor pode propor que cada aluno monte a sua 
árvore genealógica, que tem como objetivo auxiliar na 
formação de estratégias de organização e no futuro 
embasa as ideias de construção de progressões, nesse 
caso de uma progressão geométrica de razão 2.
Capítulo 9 Ensino da Matemática a partir de Projetos... 239
b) O professor pode sugerir que os alunosreproduzam 
de forma livre os personagens da história (avó, cachor-
ro, gato, rato e pulga) com o objetivo de trabalhar 
proporções.
c) O professor pode trabalhar com o conceito de seria-
ção (fundamental para a construção do conceito do 
número), reproduzindo as situações propostas na his-
tória.
Dados de identificação do livro: WOOD, Audrey. A casa 
sonolenta. São Paulo: Ática.
Zerinho foge de casa
O livro Zerinho foge de casa pode ser utilizado pelos profes-
sores nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
O professor pode contextualizar a leitura desse livro com 
situações de bullying, já que o algarismo zero se sente inútil 
e rejeitado, e por esses motivos resolve fugir de casa. A histó-
ria reverte esse quadro mostrando a importância numérica do 
mesmo em situações cotidianas.
Quanto aos conteúdos matemáticos que podem ser con-
textualizados nesse projeto destacam-se:
a) A origem do algarismo zero.
b) O sistema de numeração decimal, a importância do 
zero e o valor posicional dos algarismos no número 
(valor absoluto e valor posicional).
240 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Dados de identificação do livro: POÇAS, Iria Müller. Zeri-
nho foge de casa. Porto Alegre: Riar Editora.
Espaguete e almôndegas para todos
O livro Espaguete e almôndegas para todos pode ser utili-
zado pelos professores nos anos iniciais do Ensino Fundamen-
tal para contextualizar o estudo de alguns conceitos geométri-
cos.
Figura 3 Espaguete e almôndegas para todos.
O professor pode contextualizar esse livro com situações de 
festas de famílias e da importância da família na constituição 
da sociedade.
Capítulo 9 Ensino da Matemática a partir de Projetos... 241
Quanto aos conteúdos matemáticos, ligados ao estudo 
da Geometria, que podem ser contextualizados nesse projeto, 
destacam-se:
a) O conceito de perímetro.
b) O conceito de área.
c) A conservação da área e a não conservação do perí-
metro com a mudança de posições das mesas durante 
a festa.
d) O professor deve simular essa situação utilizando as 
classes de sua sala de aula.
Dados de identificação do livro: BURNS, Marilyn. Espa-
guete e almôndegas para todos. São Paulo: Brinque-Book.
Recapitulando
Outras sugestões de livros que podem ser utilizados para de-
senvolver conceitos matemáticos e projetos de trabalho.
 1) Para trabalhar clássicos infantis incorporando conteúdos 
matemáticos, como formas formas geométricas, sugere-se 
a leitura do livro O chapeuzinho vermelho, de Bia Villela.
242 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Com formas geométricas de diferentes tamanhos e cores, 
o professor pode estimular a construção dos personagens do 
livro por seus alunos. Após a construção, buscar as semelhan-
ças e as diferenças nos personagens, trabalhando tanto esses 
conceitos matemáticos como a diversidade.
VILLELA, Bia. O chapeuzinho vermelho. Editora Paulinas.
 2) Outro livro que pode ser utilizado para trabalhar formas 
geométricas é As três partes, do autor Edson Luiz Koz-
minski, que conta que as três partes cansadas de formar 
uma casinha buscaram novas aventuras.
Capítulo 9 Ensino da Matemática a partir de Projetos... 243
KOZMINSKI, Edson Luiz. As três partes. Editora Ática.
 3) O livro O coelhinho que não era da Páscoa, de autoria 
de Ruth Rocha, conta a estória de um coelho que não que-
ria ser coelho da Páscoa e escolheu outra profissão.
244 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Esta estória pode ser utilizada para problematizar diferentes 
situações, como por exemplo:
 Â Se o coelho quiser “fabricar” um bombom para cada 
um dos alunos da sala, quantos ele terá que “fabricar”?
 Â Se ele quiser “fabricar” dois bombons para cada uma 
dos alunos da sala, quantos ele terá que “fabricar”?
 Â Se as formas que ele possui permitem “fabricar” 6 bom-
bons de cada fez, quantas formas ele irá necessitar?
 Â Se cada bombom pesa 20 gramas, quantos quilos de 
chocolate ele terá que comprar?
Estas são apenas algumas sugestões de questões que po-
dem ser trabalhadas em sala de aula após a leitura desse livro.
ROCHA, Ruth. O coelhinho que não era da Páscoa. 
Editora Salamandra.
 4) Sugestão de sites para leitura complementar
http://www.revistadoprofessor.com.br/site/sistema/as/arti-
gos/19007.pdf
http://www.cienciasecognicao.org/revista/index.php/cec/
article/viewFile/732/520
Capítulo 9 Ensino da Matemática a partir de Projetos... 245
Referências
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ZABALA, Antoni (org.). Como trabalhar os conteúdos pro-
cedimentais em aula. 2. ed. Porto Alegre: Artmed, 1999.
Atividades
 1) A metodologia de projetos tem como característica um 
planejamento:
(a) Que se define por não ter objetivos claros.
(b) Que se define por ser aberto, flexível e dinâmico.
(c) Que se define pela gestão escolar.
(d) Que se define por ser estático.
(e) Que se define por ser comum a toda escola.
 2) Segundo Mora (2004) a primeira etapa de um projeto é a 
escolha do tema. Sobre esse aspecto o autor destaca que 
o tema é:
(a) Uma decisão da gestão escolar.
(b) Uma decisão apenas dos alunos.248 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
(c) Uma decisão conjunta entre todos os envolvidos no 
processo.
(d) Irrelevante, pois o que importa é atingir os conteúdos 
propostos no plano de curso.
(e) Opção do professor.
 3) Rocha (2001) destaca que em grande parte das escolas a 
Matemática é abordada de forma mecânica, exata, des-
contextualizada, fragmentada e distante do cotidiano do 
aluno. Os projetos de trabalho são apontados como uma 
das metodologias capazes de modificar esse quadro, pois 
promovem a:
(a) Linearidade curricular.
(b) Elaboração de um currículo disciplinar.
(c) Elaboração de objetivos fixos.
(d) Percepção da utilização da Matemática em contextos 
não escolares.
(e) A memorização de técnicas matemáticas.
 4) Busque um livro de literatura infantil e elabore as etapas 
citadas por Moura (2004) como sendo importantes no de-
senvolvimento de um projeto de trabalho. Porém, não es-
queça que este planejamento é flexível e dinâmico, e por 
isso deve ser modificado em função de sugestões dos alu-
nos. Poste na NetAula esse planejamento, para socializar 
com os seus colegas as suas ideias.
Capítulo 9 Ensino da Matemática a partir de Projetos... 249
 5) Leia os livros sugeridos no capítulo e elenque outros as-
pectos que podem ser trabalhados a partir da história. Pos-
te suas sugestões na NetAula.
Gabarito
 1) B 2) C 3) D
Magda Leyser1
Capítulo 10
Uso de Recursos 
Didáticos e Tecnologias 
da Informação e 
Comunicação na 
Aprendizagem da 
Matemática
Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias...
1 Mestre em Ciência da Computação, Professora da Universidade Luterana do 
Brasil (ULBRA).
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 251
Introdução
A proposta de estudo ao longo deste capítulo reflete sobre 
a disciplina de Matemática, conforme descrito por ALMEIDA 
(2013), como uma ciência em evolução construída social e 
historicamente. Onde para lidar com a realidade que cerca o 
homem e tentar explicar fatos e fenômenos do seu cotidiano, 
o ser humano criou representações para organizar e entender
o mundo e a natureza na qual está inserido.
Nesse sentido, encontramos relatos na antiguidade que 
tratam das concepções humanas sobre forma e números iden-
tificando as primeiras manifestações do que hoje chamamos 
geometria, e outras referências à manipulação dos números 
que ao longo dos tempos denominamos de aritmética ou ál-
gebra (Almeida, 2013).
A partir desse enfoque, a aprendizagem da Matemática 
constitui-se um campo de destaque para a análise de ativida-
des cognitivas como raciocínio e resolução de problemas, as-
sim como compreensão de texto. Entretanto, como destacado 
por DUVAL (2009), essas atividades cognitivas usam de siste-
mas de representação e expressão que vão além da lingua-
gem natural, como o português. Inserido nesse contexto, esse 
capítulo se propõe a apresentar ferramentas e recursos que 
se tornam meios pelos quais professores estruturam atividades 
e experiências didáticas. Através das experiências e materiais 
proporcionados pelos professores, será possível apresentar os 
sistemas variados de representação dos números e as nota-
ções simbólicas para os objetos matemáticos.
252 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Iniciamos com a apresentação de um recurso denominado 
de blocos lógicos nos quais queremos destacar a importância 
de identificar os objetos a partir de suas propriedades e as 
ideias de seriação de classificação conforme descritos por Ka-
mii (1995). A seguir, descrevemos uma experiência a respeito 
da questão da contagem e como os alunos das séries iniciais 
enfrentam questões associadas ao princípio aditivo. Como re-
portado por Duval (2009), o uso de material concreto na aula 
de matemática constitui-se de uma característica da organi-
zação didática que contribui para a intervenção do professor 
em sala de aula em que o aluno, ao desenvolver as atividades 
propostas, passa a atuar sobre as ideias e conceitos que estão 
sendo estudados e assim organizá-los.
10.1 Blocos lógicos
Os blocos lógicos são normalmente constituídos de 60 peças 
onde temos objetos que diferem em forma, cor, tamanho e es-
pessura. Como podemos identificar na figura a seguir, as for-
mas são (triângulo, quadrado, retângulo, hexágono e círculo), 
as cores são (amarelo, vermelho e azul), o tamanho (grande 
e pequeno) e finalmente espessura (fino e grosso). Você pode 
construir os blocos lógicos em material EVA, por exemplo.
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 253
Figura 1 Blocos Lógicos – Fonte (autor)
A partir desses objetos, você pode estabelecer com os alu-
nos divididos em grupos e cada grupo com um conjunto de 
blocos lógicos, algumas modalidades de atividades. Em uma 
primeira etapa, permitir que os alunos explorem o grupo de ob-
jetos para identificar seus atributos. Depois, separar os objetos 
conforme algum atributo identificado pelo grupo. Por exemplo, 
separar os triângulos, depois, identificar que outras característi-
cas os triângulos possuem, como, por exemplo, a cor.
Para essa dinâmica, propomos o uso de algum material 
delimitador das figuras que possuem das que não possuem as 
características identificadas pelo grupo. Nas figuras que usa-
254 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
remos a seguir, observe que usamos um cordão azul para se-
parar; no interior da região delimitada pelo cordão, estão os 
objetos com o atributo escolhido e no exterior estão os obje-
tos que não possuem o atributo selecionado. Assim, na figura 
a seguir, temos no interior ou contornado pelo cordão azul 
aqueles objetos que são grossos e estão no exterior os objetos 
que são finos.
Figura 2 Blocos Lógicos – atributo espessura – grossa. Fonte (autor)
Podemos escolher outros atributos, como, por exemplo, a 
forma. Na figura a seguir, tem-se em destaque os objetos que 
são triângulos. Observe que estão dentro do contorno deli-
mitado pelo cordão azul triângulos que no tamanho são pe-
quenos e grandes, nas cores azul, vermelho e amarelo e na 
espessura fina e grossa. Isso destaca um aspecto interessante: 
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 255
quando estamos estudando um objeto, ele tem diversas carac-
terísticas, mas, para classificá-los, podemos escolher uma ou 
mais características.
Figura 3 Blocos Lógicos – atributo forma – triângulo. Fonte (autor)
Assim, podemos propor trabalhar com a mesma dinâmica 
associando mais de um atributo aos objetos, por exemplo, de-
limitar por ou outro cordão azul os objetos que são vermelhos. 
Assim, teremos uma situação como a identificada na figura 
a seguir, onde destacamos que os triângulos vermelhos são 
contornados pelo cordão que destaca os triângulos e também 
por um outro cordão que destaca os objetos que são verme-
lhos. Identifique que os objetos que são triângulos e também 
são vermelhos, que são as características em comum a esses 
objetos, estão agora contornados pelas duas regiões, no caso, 
256 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
nessa região, encontramos triângulos vermelhos pequenos ou 
grandes, além de poderem ser grosso ou fino.
Figura 4 Blocos Lógicos – atributo forma e cor – triângulo e vermelho. 
Fonte (autor)
A partir dessas situações, você pode elaborar com os alu-
nos outras combinações de atributos. Também pode propor 
uma dinâmica onde os alunos divididos em grupos escolhem 
um componente para retirar da mesa os objetos com determi-
nado atributo sem os demais componentes observarem a reti-
rada. Depois, os colegas devem descobrir qual característica 
possui os objetos que foram retirados. Pode-se incrementar a 
proposta, iniciando com um atributo quando se remove vários 
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias...257
objetos, depois passar para dois atributos, três atributos e as-
sim por diante.
10.2 Uma experiência: coleção coletiva de 
tampinhas
A presente descrição conta a experiência coletiva com tampi-
nhas, retirado de MONTEIRO (2014) onde a autora propõe a 
exploração da interpretação dos números no sistema decimal 
através de um material dividido em quatro categorias: sistema 
de numeração decimal, campo aditivo, campo multiplicativo e 
operações com números racionais. Nosso enfoque ao explorar 
esse material é na aprendizagem através das propostas apre-
sentadas na produção e a interpretação de escritas numéricas 
em diferentes contextos e a apropriação de uma ampla gama 
de estratégias de cálculo: mental, estimativo, algorítmico.
A autora propõe iniciar a atividade com uma roda de con-
versa e perguntar para as crianças se alguém coleciona algu-
ma coisa ou se conhece alguém que colecione. O professor 
pode levar para a sala de aula uma coleção de tampinhas e 
propor para a turma a continuidade da coleção. Depois do 
acordo realizado, organize as crianças em grupos de quatro e 
entregue para cada grupo uma quantidade aleatória de tam-
pinhas para que contem e iniciem seu registro.
Depois que cada grupo anotou sua quantidade de tampi-
nhas, organize a socialização dos registros. As tampinhas usa-
das por cada grupo nesse momento devem ser guardadas em 
258 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
um envelope ou caixa que esteja identificada com o nome do 
grupo e a quantidade de tampinhas em um papel que também 
será guardado dentro do envelope, saco ou caixa. A proposta 
de continuidade dessa atividade será seguir colecionando tam-
pinhas e, semanalmente, controlar o crescimento da coleção.
Figura 5 Coleção de tampinhas de garrafa pet. Fonte (autor)
Sugere-se registrar em um cartaz como a coleção vai evo-
luindo a cada aula. Entregue mais algumas tampinhas para 
cada grupo ou agende com os alunos que tragam em determi-
nada data mais tampinhas de garrafas. No dia marcado, en-
tregue as tampinhas da primeira contagem que estavam guar-
dadas em um envelope identificado com o nome do grupo e 
o número de tampinhas. Peça que calculem com quantas fica-
ram após incluírem as novas tampinhas, anotando o novo total 
no cartaz e no envelope. Observe quais os grupos retomam a 
contagem a partir do número 1 e quem faz a sobrecontagem, 
isto é, quem continua a contagem a partir da quantidade que 
já conhecia.
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 259
Se a maioria da turma tiver recursos de contagem que vá 
além de contar de um em um, proponha que cada grupo cal-
cule o total de tampinhas da coleção da turma. De qualquer 
forma, proponha que façam a contagem e registrem o total em 
um quadro numérico que também ficará fixado na sala.
Uma proposta para organizar essa etapa é usar cartelas 
com a sequência numérica. Onde, por exemplo, 20 tampinhas 
na coleção, todos os quadrinhos do quadro, até o 20, serão 
marcados com X. Ao trazer mais duas tampas, a criança vai 
fazer um X no 21 e outro no 22, realizando uma sobrecon-
tagem, sem precisar contar todas as tampinhas novamente a 
partir do 1.
Proponha que cada grupo verifique novamente a quantida-
de de tampinhas que possui e escreva no papel que está dentro 
do saquinho de tampinhas de cada grupo. Incentive a socia-
lização de estratégias fazendo que um representante de cada 
grupo compartilhe suas estratégias com outro grupo. Também 
solicite que um representante de cada grupo vá até a lousa 
para explicar para os demais, como fizeram para calcular.
Entregue para cada aluno uma tabela de dupla entrada, 
que também deve ser organizada na forma de cartaz para ser 
colocado na parede da sala. Peça que um representante de 
cada grupo dite às demais crianças a quantidade de tampi-
nhas obtida no seu grupo para que a anotem em seus qua-
dros. Quem dita escreve no quadro grande, ao lado do nome 
do seu grupo.
260 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
10.3 Material dourado
O material dourado foi idealizado pela médica e educadora 
italiana Maria Montessori (1870-1952), para o trabalho com 
matemática com proposta de desenvolvimento no aluno da 
independência, confiança, concentração, coordenação e a or-
dem. Constitui-se de um cubo grande que representa o milhar, 
as placas (representam as centenas), prismas ou barrinhas 
(que representam as dezenas) e cubos (unidades), conforme 
identificamos na imagem. Seu objetivo é auxiliar o aluno na 
compreensão e uso do sistema de numeração decimal e a 
desenvolver procedimentos de cálculo pela observação de re-
gularidades e de propriedades das operações, principalmente 
na verificação de resultados.
Figura 6 Objetos do material dourado. Fonte (autor)
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 261
A primeira etapa de uso desse material é composta da 
exploração das equivalências entre os objetos, ou seja, que 
o cubo representa a unidade, quando temos 10 (dez) cubos
constituímos uma dezena que é equivalente a um prisma, ou 
que alguns alunos costumam chamar de barrinha. Que 10 
(dez) prismas são equivalentes a uma placa, ou seja, colo-
cados lado a lado 10 prismas, temos 10 vezes 10 unidade, 
isto é 100 (cem) cubos, representando portanto uma centena. 
E finalmente, 10 (dez) placas são equivalentes a um cubo 
grande ou 1000 cubos, 10 vezes 100 e, portanto representa 
o milhar. Essas equivalências devem ser observadas ao longo
do processo de uso do material para confirmar o resultado 
das operações. Assim, no resultado não é permitido aparecer 
mais de 9 objetos do mesmo tipo, quando formar grupo de 
10 objetos de mesma natureza temos que trocar pelo seu 
equivalente.
Propomos a dinâmica de trabalho em grupo de 4 alunos, 
cada grupo com uma caixa de material dourado. Após ex-
plorar o material para identificar as equivalências comentadas 
acima, propomos atividades para que eles confirmem o resul-
tado de operações de adição e subtração com agrupamento 
ou sem agrupamento dos objetos e, assim, confirmarem os 
seus resultados.
Iniciamos com a situação em que não temos necessidade 
de agrupamento de objetos, como, por exemplo: 32+44 cujo 
262 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
resultado é 76, onde observamos que o resultado conforme 
identificado na figura abaixo será de 7 barrinhas e 6 cubos. E 
portanto não havendo necessidade de agrupamento.
Figura 7 Sete prismas e seis cubos. Fonte (autor)
Entretanto, no caso da operação de soma entre 57 e 15 te-
mos, conforme a imagem na Figura 8(a) abaixo e reorganiza-
do na Figura 8(b), teremos que agrupar as 12 unidades em um 
prisma que substituirão 10 unidades restando duas unidades 
no resultado e acrescentando uma dezena, o que comprova 
que teremos 7 dezenas e 2 unidades representadas pelos 72 
conforme a Figura 8(c).
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 263
(a) (b)
(c)
Figura 8 Oito prismas e doze cubos – Reagrupamento. Fonte (autor)
De maneira análoga, pode ser necessário desagrupar um 
dos objetos quando realizamos uma operação de subtração, 
por exemplo, 123 – 7 cujo resultado é 116. Observe na Figura 
9 (a) que para ser realizada a retirada de sete unidades do ma-
terial, teremos que desagrupar um dos prismas substituindo-o 
por 10 cubos, conforme Figura 9(b) e assim, removendo os 
7 cubos teremos a representação do resultado da operação 
conforme Figura 9(c) que exibe o resultado 116.
264 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
(a) (b)
(c)
Figura 9 Exemplo de subtração com Desagrupamento. Fonte (autor)
Através desse material, você poderá realizar atividades de 
exploração entre os alunos organizados em grupo, ou propor 
desafios entre grupos de alunos, quando um grupo propõe 
uma representação e outro grupodeve apresentar o resulta-
do. E à medida que os alunos desenvolvem a regularidade do 
algoritmo da adição e subtração, também se pode propor o 
cálculo mental da resposta para um terceiro grupo. Para então 
finalmente validar as respectivas respostas.
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 265
10.4 Ábaco
O ábaco é um dos instrumentos mais antigos para a realiza-
ção de cálculos. Existem vários modelos e estruturas para o 
ábaco, onde o que se modifica são os materiais empregados. 
No estilo que está descrito na Figura 10, temos que cada pino 
representa uma ordem de grandeza; iniciando da direita para 
esquerda, temos o pino da unidade, a sua esquerda a posição 
da dezena, a sua esquerda a posição da centena, mais a es-
querda sucessivamente o milhar e dezena de milhar. Observe 
na imagem que cada pino tem 9 argolas, cada argola repre-
senta uma unidade na respectiva grandeza e só podemos ter 
no resultado no máximo 9 argolas em cada pino.
Figura 10 ábaco (Fonte: autor)
266 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Sugere-se iniciar com atividade em grupos de alunos en-
volvendo operação de adição sem reagrupamento, ou seja, 
sem reserva nas dezenas, os alunos podem trabalhar em gru-
po com dois ábacos, ou outra organização que o grupo or-
ganizar. Assim, a operação de 34+12 conforme representado 
na Figura 11(a), a parcela 34 nos pinos e na Figura 11(b), a 
frente do ábaco temos a parcela 12, podemos empilhar nos 
respectivos pinos a parcela 12, isto é, duas argolas no pino 
da unidade e uma argola na posição da dezena, identificando 
que o resultado é 46 conforme Figura 11(c). Observe que na 
Figura 11(c) temos a frente do ábaco, nas respectivas posi-
ções, outra parcela a ser somada ao resultado já obtido.
(a) (b)
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 267
(c) (d)
(e)
Figura 11 adição sem agrupamento ou reserva. Fonte (autor)
No caso, desejamos representar a soma de 46 que está no 
ábaco com a parcela 15 que está a frente do ábaco, conforme 
Figura 11(c). Quando posicionamos as argolas nas respectivas 
grandezas, observamos que na unidade teríamos 11 argolas, 
Figura 11(d). Como só podem ter no máximo 9 argolas para 
fornecermos o resultado, vamos agrupar as dez argolas da uni-
dade e representá-las na forma equivalente de uma dezena, 
posicionando uma argola no pino da dezena, e agora podere-
mos colocar a argola restante na casa das unidades, obtendo o 
resultado de 61 conforme se apresenta na Figura 11(e).
268 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
O professor pode montar com sucata uma estrutura simi-
lar como o ábaco de madeira identificado acima. Conforme 
desenvolvido por Pereira (2014), que usou uma caixa de ovo, 
palitos e tampinhas para montar um ábaco.
10.5 Réguas de frações
O material que exploraremos nesta etapa do capítulo é usa-
do para discutir com os alunos a construção dos números ra-
cionais. Conforme Bertoli (2009), em pesquisas relacionadas 
à compreensão dos números racionais, os alunos tendem a 
identificar uma fração não como um número, mas como dois 
números. Com isso, acredita a autora, a tendência dos livros 
em apresentarem representações geométricas, como retângu-
los ou círculos, divididos em partes iguais onde é destacada 
a nomenclatura falando que o número de divisões é o deno-
minador da fração e a quantidade de divisões pintadas é o 
numerador. Há uma tendência de após esse trabalho de iden-
tificação de que se trata de uma parte do todo, se passa as 
regras de operações entre frações sem vincular com as figuras.
A partir desse enfoque, abordaremos a apresentação das 
réguas de frações como um recurso concreto que permite es-
tabelecer comparação entre as frações a partir do atributo de 
tamanho em relação a uma peça que será tomada como uni-
dade. Assim, usando como referência a Figura 12, onde temos 
identificado.
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 269
Figura 12 Réguas de Fração (Fonte: autor)
Onde a primeira régua, na cor de madeira natural, identi-
fica o inteiro; na segunda régua, que está em vermelho, temos 
a representação da metade do tamanho da régua original, 
identificando a equivalência de que o inteiro é o mesmo que 
duas metades.
Depois, em verde temos a régua original, representada por 
3 pedaços de igual tamanho identificando que três terços é 
igual ao inteiro. Ou ainda que uma dessas barras em verde re-
presenta um terço da régua original. Seguindo esse raciocínio, 
o material ainda tem em azul a representação de um quarto; em
marrom, um sexto; em vermelho, um sétimo; em verde, um oita-
vo; em azul, um nono; e finalmente em amarelo um doze avos.
Observamos que a régua unitária tem 32 cm de compri-
mento. Assim, as duas réguas em vermelho que dividem a ré-
gua unitária em dois pedaços de igual tamanho, representan-
270 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
do cada uma delas a metade, têm cada uma delas 16 cm. E 
assim sucessivamente as demais réguas podem ser constitu-
ídas pelo professor junto com os alunos através de material 
como EVA ou cartolina.
Uma primeira proposta de trabalho é comparar as frações 
através do atributo tamanho. Assim, podemos identificar toman-
do a Figura 12. Observamos tomando uma unidade de cada 
régua. Observa-se que a metade da régua é maior que um ter-
ço da régua, que um quarto da régua e assim sucessivamente.
Outra proposta de trabalho é comparar as frações que são 
equivalentes, por exemplo, que a metade é o mesmo que dois 
quartos, nas réguas, uma régua vermelha tem o mesmo tama-
nho de duas réguas azuis, conforme Figura 13. E assim realizar 
outras comparações que encaminhem para as frações equiva-
lentes que permitem introduzir o procedimento de soma e sub-
tração de frações como identificamos nos exemplos a seguir.
Figura 13 Equivalência de réguas (Fonte: autor)
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 271
Ainda, identificar que as equivalências não são únicas. 
Como observamos na Figura 14, temos outra comparação de 
frações que são equivalentes, onde a metade, ou um meio, é 
o mesmo que três sextos; nas réguas, uma régua vermelha tem
o mesmo tamanho de três réguas pretas.
Figura 14 Equivalência de réguas (Fonte: autor)
E ainda podemos acrescentar conforme na Figura 15, te-
mos outra comparação de frações que são equivalentes, onde 
a metade, ou um meio, é o mesmo que três sextos, nas réguas, 
uma régua vermelha tem o mesmo tamanho de três réguas 
pretas, que é o mesmo tamanho de 6 réguas amarelas que 
representa seis doze avos. Também se destaca que uma peça 
preta é igual a duas peças amarelas, identificando que um 
sexto é o mesmo que dois doze avos.
272 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Figura 15 Equivalência de réguas (Fonte: autor)
A partir de situações de identificação das possibilidades de 
termos réguas de cores diferentes, cada uma representando 
uma possibilidade de representar a régua inteira através de 
partições diferentes, vamos tratar de usar esse material para 
interpretar a soma de frações.
Iniciamos com a Figura 16, onde desejamos representar a 
soma de uma régua vermelha com uma régua azul, ou seja, 
a soma de . Precisamos identificar um tamanho de régua 
que seja equivalente a essa soma, ou seja, peças do mesmo 
tamanho (no caso cor) que representem essas duas réguas de 
cores diferentes. Isso é o que está representado pelas réguas 
situadas abaixo, que representam 3 réguas que correspondem 
a um quarto da régua unitária, interpretando-se que o resulta-
do dessa soma é , pois um meio é equivalente a dois 
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 273
quartos e assim poderemos apresentar o resultado contando 
o números de peças representado em quartas partes da régua
original.Figura 16 Réguas de Fração – soma (Fonte: autor)
Na Figura 17, temos a soma de , precisamos identi-
ficar um tamanho de régua que seja equivalente a cada uma 
das parcelas que pretendemos somar, e verificamos que a peça 
correspondente a um sexto da régua original, que na imagem 
da Figura 17 é a peça preta. Ela permite construir as duas 
frações equivalentes para essa soma, onde é equivalente a 
, ou seja, a peça em vermelho tem o mesmo tamanho que 
3 peças em preto. Assim, como é equivalente a , ou seja, a 
peça em verde tem o mesmo tamanho que 2 peças em preto. 
Portanto, a soma pode ser representada por cinco peças de 
um sexto, ou seja: .
274 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Figura 17 Réguas de Fração – soma (Fonte: autor)
Na Figura 18, temos a soma de . Novamente, preci-
samos identificar um tamanho de régua que seja equivalente a 
cada uma das peças individuais, isto é, as parcelas da soma. 
No caso, a peça em amarelo que representa um doze avos da 
régua unitária é que permite construir as parcelas equivalentes 
onde a peça verde que representa é equivalente a 4 peças de 
um doze avos, e a peça azul que representa é equivalente a 
3 peças de um doze avos. Assim, na imagem, verificamos que 
a soma de , é equivalente a termos 7 peças amarelas de 
um doze avos, e portanto .
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 275
Figura 18 Réguas de Fração – soma (Fonte: autor)
A partir dessas e outras experiências que os grupos de alu-
nos podem identificar a partir da orientação do professor, a 
próxima etapa é constituir o algoritmo que permite generalizar 
o que está ocorrendo para obtermos a régua equivalente às
parcelas que estamos somando. No caso, constatar que se 
trata do mínimo múltiplo comum dos denominadores. E tam-
bém, que a partir desse número que é múltiplo do denomina-
dor das duas frações, como se constitui a fração equivalente 
para então podermos somar as duas parcelas através dos seus 
representantes na mesma unidade de referência, no caso uma 
régua equivalente para as duas parcelas envolvidas na soma.
Da mesma forma, podemos introduzir a operação da sub-
tração identificando qual a régua que completa a parcela 
maior em relação à parcela menor. Como identificado na Fi-
gura 19, temos que , ou seja, uma peça verde ( em re-
lação a uma peça azul se complementam através de uma 
peça amarela que representa . O que podemos identificar 
276 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
que é equivalente a e, portanto, a diferença entre 
 é 
Figura 19 Réguas de Fração – subtração (Fonte: autor)
Observe ainda a Figura 20. Temos que , ou seja, uma 
peça vermelha ( em relação a uma peça preta se com-
plementam através de quatro peças amarelas que representa 
. O que podemos identificar que é equivalente a
e, portanto, a diferença entre é Mas observe que é 
equivalente a que está representado na imagem por uma 
peça da régua verde que representa um terço.
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 277
Figura 20 Réguas de Fração – subtração (Fonte: autor)
Essa mesma atividade pode ser desenvolvida em duas eta-
pas, onde, na primeira etapa, os alunos divididos em equipes 
têm o material no mesmo tamanho de unidade, que o profes-
sor já pode apresentar previamente em tiras de papel ou EVA, 
ou outro material que seja fácil para os alunos dividirem pela 
metade, em três pedaços, e demais divisões estabelecidas pelo 
grupo.
Em um segundo momento, podemos dispor para cada gru-
po um tamanho de tira unitária diferente, para que os alunos 
identifiquem que quando falamos em metade, terça parte, por 
exemplo, precisamos identificar quem é o inteiro do qual esta-
mos tomando a metade. Assim, a metade de uma tira de 32 
cm é uma tira de 16 cm. E que a metade de uma tira de 20 
cm serão 10 cm.
278 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Observamos que ao invés de tiras ou o formato de régua 
como apresentado nas figuras desse material, também pode-
mos organizar no formato de discos. Mas apresentaremos essa 
modalidade na forma de um recurso a ser explorado no com-
putador.
10.6 Objetos de aprendizagem
Neste item, abordaremos o uso dos recursos computacionais 
disponíveis na Internet e que são programas denominados de 
objetos virtuais de Aprendizagem. Esses recursos a serem usa-
dos no computador, visam a construção de conceitos através 
de atividades exploratórias. Na interação com esses objetos, o 
aluno tem possibilidade de simular uma experiência que apri-
more e (re)construa o significado do conceito abordado ao 
longo da atividade.
Com o auxílio dos objetos de aprendizagem virtuais, um 
professor pode simular não apenas um ambiente no compu-
tador, mas diversos estágios de uma atividade de ensino sem 
necessariamente manipular um material concreto e, dessa 
maneira, direcionar a exploração em diferentes momentos na 
turma ou diferentes abordagens em relação a um grupo de 
alunos.
Pois, ao permitir a interação individual ou em pequenos 
grupos, permite que o aluno faça, desfaça ou refaça as ações, 
reconstruindo seu sistema de significação, reestruturando os 
esquemas adquiridos, de forma que o usuário pode interagir 
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 279
com alguma liberdade na condução da aprendizagem con-
forme seu conhecimento e características cognitivas pessoais.
Apresentamos alguns repositórios de objetos de aprendi-
zagem de diversas áreas que você pode consultar e pesquisar 
outros recursos que são incorporados ao longo dos últimos 
anos.
 Â BIOE (Banco Internacional de Objetos de Aprendiza-
gem), disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.
gov.br/
 Â RIVED (Rede Interativa Virtual de Educação), disponível em: 
http://rived.mec.gov.br/site_objeto_lis.php
 Â National Library of Virtual Manipulatives (NLVM), dispo-
nível em: http://nlvm.usu.edu/
Escolhemos alguns objetos de aprendizagem desses repo-
sitórios para associar como um recurso a ser explorado em 
paralelo ou após o uso de um material concreto como relata-
do anteriormente, como forma de complementar ou retomar 
algum conteúdo.
Temos na página principal do repositório do Banco interna-
cional de objetos de aprendizagem onde verificamos que exis-
te uma área específica do ensino fundamental. Ao entrarmos 
nesse link, temos a disposição uma seleção de objetos entre os 
quais escolhemos um primeiro objeto de aprendizagem que é 
280 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
constituído de diversos módulos entre os quais um que associa 
formas geométricas, onde o aluno poderá através do arrastar 
e soltar identificar as formas de um conforme apresenta-se na 
Figura 21.
Figura 21 Ferramenta – espaço e forma Fonte (http://
objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/16141)
Um segundo objeto de aprendizagem desse repositório 
trata-se de um dominó de frações equivalentes onde o aluno 
irá associar frações equivalentes, conforme identificamos na 
Figura 22.
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 281
Figura 22 Banco Internacional de objetos de aprendizagem. Fonte (http://
objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10471)
A interação do aluno com esse tipo de ambiente requer 
que ele já tenha como pré-requisito a interpretação de uma 
fração equivalente. Por se tratar de um jogo de dominó, pri-
meiramente é necessário descobrir quais as frações presentes 
para então associar as que são equivalentes.
Na Figura 23, temos um objeto de aprendizagem que si-
mula um geoplano e que permite construir figuras de até 6 
lados. Em particular, esse objeto de aprendizagem permite a 
você escolher entre o sistema ortogonal, ou seja os pontos que 
serão os vértices do polígono estão dispostos formando ângu-
los de noventa graus em uma malha quadriculada,conforme 
282 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
a imagem da Figura 23. Existe a opção de distribuir os pontos 
em uma distribuição em uma malha triangular.
Figura 23 Geoplano. Fonte (http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/
handle/mec/13158)
Também selecionamos outros dois objetos de aprendiza-
gem do repositório National Library of Virtual Manipulatives 
(NLVM), que trabalham com interações para identificar par-
tes de um todo no formato de disco ou quadrado. Conforme 
identificado na Figura 24, o aluno poderá selecionar na barra 
da esquerda a fração que deseja marcar no disco. Quando 
estiver conforme a figura marcada a opção show labels, será 
possível com o mouse identificar a representação da fração 
selecionada.
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 283
Figura 24 Frações. Fonte (http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_
asid_274_g_2_t_1.html)
No outro objeto que selecionamos, também associado à 
fração, a forma de interagir é diferente, pois aqui digitamos o 
número de partes em que a figura deve ser dividida, e, ao se-
lecionar com o mouse uma ou mais partes, é apresentado ao 
lado a sua representação fracionária. Observe na figura que 
você pode clicar em partes da representação fracionária sem 
ser forma contínua.
Figura 25 Fractions – Parts of a whole. Fonte (http://nlvm.usu.edu/en/nav/
frames_asid_102_g_2_t_1.html?from=category_g_2_t_1.html)
284 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
Para comparar os recursos disponíveis na Internet, incluí-
mos mais um objeto de aprendizagem que simula um geopla-
no que tem uma forma diferente de interagir daquela que se 
apresenta na Figura 23. Em especial, temos a simulação de 
um elástico para construímos as figuras sobre os marcadores 
do quadriculado do geoplano. Quando você clica e arrasta 
sobre o espaço do geoplano sobre os pinos, você poderá mo-
ver e descolar o elástico para formar o polígono.
A unidade de área no geoplano é o menor quadrado que 
conseguimos montar com os vértices nos pontos em vermelho. 
Na Figura 26, está representado pelo quadrado de fundo azul. 
Essa é a unidade de medida de área do geoplano. Assim, o 
quadrado azul tem 1 unidade de área.
Também na Figura 26, temos representado um retângulo 
cinza que terá 4 unidades de área. E um triângulo amarelo que 
terá 3 unidades de área, pois ele é a metade da área de um 
retângulo com as mesmas medidas de lado. No botão measu-
res, você poderá obter o resultado da medida do perímetro e 
área do polígono selecionado.
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 285
Figura 26 Geobord. Fonte(http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_
asid_172_g_2_t_3.html?open=activities&from=category_g_2_t_3.html)
Recapitulando
Neste capítulo, apresentamos alguns dos recursos concretos 
e virtuais que podem ser compartilhados com os alunos em 
sala de aula para desenvolver os conteúdos dos anos iniciais 
do ensino fundamental. Os materiais são os recursos que os 
professores constituem para proporcionar um ambiente onde 
o alunos possam elaborar os conceitos abstratos presentes
na matemática e refletir sobre os procedimentos e algoritmos 
presentes na aritmética. A partir desses exemplos, o professor 
286 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
elabora uma sequência didática onde o aluno trabalhando 
em grupo ou individualmente irá observar as regularidades e 
semelhanças entre os objetos presentes no material e, assim, 
refletir sobre as regras presentes, por exemplo, no material 
dourado que identificam como funciona o sistema posicional 
para representar os números.
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la.html?aula=49127>. Acesso em: jul. de 2014.
Atividades
Exemplos de Questões Objetivas: 
1. Os blocos lógicos são constituídos de um grupo de fi-
guras geométricas que possuem atributos de forma, cor,
tamanho e espessura. A partir da figura abaixo, qual(is)
atributo(s) diferencia(m) os objetos que estão apresentados
na figura e no interior da região delimitada pelo cordão?
a) Cor – Vermelha
b) Tamanho – Grande
c) Forma – Círculo
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 289
d) Forma – Retângulo
e) Tamanho – Pequeno
2. Considerando o material dourado, as placas (representam
as centenas), prismas ou barrinhas (que representam as
dezenas) e cubos (unidades), conforme identificamos na
imagem. Qual alternativa identifica corretamente a repre-
sentação do número 154?
Figura 26 Objetos do material dourado. Fonte (autor)
a) 5 placas, 1 barrinha e 4 cubos.
b) 1 placas, 4 barrinha e 5 cubos.
c) 4 placas, 5 barrinha e 4 cubos.
d) 1 placas, 5 barrinha e 4 cubos.
e) 1 placas, 4 barrinha e 4 cubos.
3. A imagem a seguir representa um conjunto de réguas de
fração onde aparece uma régua vermelha que correspon-
de da régua inteira e uma régua preta que corresponde
a da régua inteira. Abaixo, correspondendo ao mesmo
290 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
tamanho dessas duas peças, temos 8 peças em amarelo 
que onde cada uma corresponde a da régua inteira.
A alternativa que representa a equivalência correta para 
representar a soma de frações é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e)
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 291
4. Na figura abaixo, temos a representação em um objeto
de aprendizagem geoplano. Nessa figura, aparecem um
retângulo com seu interior em verde e um triângulo com o
interior em cinza.
 A alternativa que identifica corretamente a relação das 
áreas dessas duas figuras no geoplano é:
a) O retângulo e o triângulo têm a mesma área de 10
unidadesde área.
b) O retângulo tem 20 unidades de área, e o triângulo
tem 10 unidades de área. Portanto, o retângulo tem o
dobro da área do triângulo.
c) O retângulo tem 10 unidades de área, e o triângulo
tem 20 unidades de área. Portanto, o retângulo tem a
metade da área do triângulo.
292 Metodologia do Ensino da Matemática Aplicada a Educação...
d) O retângulo tem 18 unidades de área, e o triângulo
tem 6 unidades de área. Portanto, o retângulo tem o
triplo da área do triângulo.
e) O retângulo tem 9 unidades de área, e o triângulo tem
6 unidades de área.
5. Na figura abaixo, temos dois discos onde as respectivas re-
giões coloridas em verde no disco 1 e em laranja no disco
2 representam:
a) Partes equivalentes do disco, sendo que a região em
verde representa metade do disco, e a região em la-
ranja representa dois quartos do disco.
b) Partes que não são equivalentes do disco, sendo que
a região em verde representa um terço do disco, e a
região em laranja representa um quarto do disco.
Capítulo 10 Uso de Recursos Didáticos e Tecnologias... 293
c) Partes equivalentes do disco, sendo que a região em
verde representa um terço do disco, e a região em
laranja representa dois terços do disco.
d) Partes equivalentes do disco, sendo que a região em
verde representa um sexto do disco, e a região em
laranja representa dois sextos do disco.
e) Partes que não são equivalentes do disco, sendo que
a região em verde representa a metade do disco, e a
região em laranja representa um quarto do disco.
Gabarito
1) e
2) d
3) a
 4) b. Considerando que uma unidade de área no geopla-
no é o menor quadrado que conseguimos montar com os 
vértices nos pontos em vermelho, que na imagem está re-
presentado pelo quadrado no canto superior esquerdo do 
espaço do geoplano. Temos que o retângulo verde tem 20 
unidades de área, e o triângulo tem 10 unidades de área.
5) a
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