Lista 1 - P1 - MAT 143 - 2014-I

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCE 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 
Campus Universitário - Viçosa, MG – 36570-000 – Telefone: (31) 3899-2390 – E-mail: dma@ufv.br 
 
 
1ª LISTA DE MAT 143 – 2013/II 
 
1. Calcule os limites abaixo, se existirem: 
 
 a) 
x
1
ln 1
x
lim
arccot g x
     
 b) 
x
x
x 1
lim
x 1
      
 
c) 
x 0
senx
lim
x tgx  d)  xlim ln x ln(x 1)   
 
 e) 
x
arctgx
lim
x
    
 f) 
x 0
senx x
lim
senhx

 
 
 g) 
x
x
k
lim 1
x
      h) 
x
x 0
a 1
lim , (0 a 1)
x
   
 
 i) 3x 0
x arcsen x
lim
sen x

 j) 
senx x
x 0
e e
lim
senx x

 
 
 k) 
x x
x xx 0
a b
lim (a,b,c,d > 0)
c d

 l)  
x
x
lim x e

 
 
 m) 
x 0
lnsen x
lim
ln tg x
 n)  
πx
2
lim sec x tgx


 
 
 o) 
x 0
1 x 1
lim
ln(x 1) x
    
 p)   
x 1
lim arc cosx ln(1 x)

 
 
 q)  33xlim x x x   r)  x 0 cotgxlim cosx 
 
 s) 
x 0
x arc senx
lim
x senx 
 t) 
x
xx
3 3
lim
5 5

 
 
 u) 
2x 0
1 1
lim
xx 1
      
 v)  2xlim x 4 arctgx   
 
 w)  4 2 2xlim x 5x 3 x    x)  
x
x
x
e
lim 1 e


 
 
 y) 
x 2
x 1 1
lim
x 2 ln(x 1)
        
 z) 
x 0
1/senhx
9 x 1
lim
4
       
 
 
 
 
2. Sejam 2
1
f(x) x sen
x
 e g(x) x . Verifique que 
x 0 x 0
limf(x) limg(x) 0
 
  , 
x 0
f(x)
lim 0
g(x)
 e que 
x 0
f '(x)
lim
g'(x)
 não existe. Há alguma contradição com a regra 
de L’Hôpital? 
 
 
3. Mostre que : 
 
a) b)  
9
3
2/320
2x
 dx 9 9
x 9

 . 
b) 3
2
x 2 1
 dx ln4 ln3
x x 2
   
 . 
 
 
4. Resolva as seguintes integrais: 
 
a) 2
0
arctgx
 dx
1 x

 b)  p2
1
dx, (p 1)
x lnx

 
c) 
0
ln2
2 1/xx e dx  d) x x1 dxe e

  
e) 
3
4 1
 dx
x 3 f) 
a
0
1
 dx, a 0
x(a x)

 
g) x
0
e senx dx
  h) 0 4
x
dx
1 x

 
i)
1 se |x| 1
f(x)dx, onde f(x)=
0 se |x| 1


   j) 5 3 4
1
 dx
x (ln x)

 
 
 
 
 
k) 
2
1 se |x| 1
f(x)dx, f(x)= 1
 se |x| 1
x


  
 l) 2x0
x
 dx
e

 
m) 2t
0
e cos 3t dt
  n) t 30 e t dt
  
 o) 
1
0
x ln x dx p) 
1
0
lnxdx 
 q) x
0
e senx dx
  r) 22
1
dx
x 1

 
 s) 
x
e dx


 t) 
π/2
0
sec xdx 
 
 
5. Determine k para que se tenha 
k x
e dx 1


 . 
 
6. Discuta a variação do parâmetro p de modo que seja convergente a integral 
imprópria: 
 
a) 
p
1
1
 dx
x

 b) 
1
p
0
1
 dx
x 
c) 
 
2
p
1
1
 dx
x lnx d)  p2
1
 dx
x ln x

 
 
7. Comentar o seguinte procedimento: 
 
 
1
2
1
1
1
1 1
dx 1 1 2
x x 
    
 
8. Considere o sólido (infinito) gerado, pela rotação, em torno do eixo x, da região 
(infinita) sob a curva xf(x) e , x 1  . Que número é adequado para ser o 
volume desse sólido. 
 
9. Idem para 
1
f(x)
x
, x 1  . Mesma pergunta para a área sob a curva. 
 
10. Calcule a área da região que está entre as curvas y = secx e y = tgx, de x = 0 a 
x =π / 2 . 
 
11. A região do exercício 10 é girada em torno do eixo x, gerando um sólido. 
Determine o volume desse sólido. 
 
 
12. Verifique a convergência das seguintes integrais: 
 
 a) 
1
0
cosx
dx
x b) 
1
0
1
dx
senx 
 
 c) 2
1
1
sen dx
x
      d) 30
arctgx
dx
1 x

 
 
 e) 
0
2xe dx
  f) 3 1 dxx 1

  
 g) 2
0
cos x
 dx
1 sen x

 h) 
 1
0
1cos x dx
x 
 
 i) 2
2
1
dx
x lnx

 j) 631
x 1
 dx
x x 1
 
  
 
 k)
1
cos2x
 dx
x

 l) 
π
0
senx
dx
π x 
 
 m) 
0
senx
dx
x

 n) x x1 dxe e

  
 
 o) 
π
2 cos x
dx
x
  p) 20
4 1
 dx
x 4x 3  
 
 q) 2 2
x
dx
(x 1)(x 2)

   r) 
senx cos x
dx
x 1



 
 
 s) 
1
0
1
dx
x senx t) 
x
20
xe
dx
x x 1

  
 
 u) 3 2
4
2x 3
 dx
x 3x 1
 
  v) 
x
0
e cos x dx
  
 
 w) 2
1
1/xe
dx
x

 x) x1
x
dx
1 e

 
 
 y) x p
1
e x dx
  z) 
21
2
sen x
dx
x

 
 
 
13. Demonstre que: 
 
a) Se f é par e as integrais necessárias existem, então: 
 
0
f(x)dx 2 f(x)dx
 

  
 
b) Se f é ímpar e as integrais necessárias existem, então: 
 f(x)dx 0


