teste 1

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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2012/13
Teste 1 – 24-10-2012
Nome completo: Número mecanográfico:
Curso: Número de folhas extra :
Apresente os cálculos efectuados e os resultados nos locais indicados para esse efeito em
cada pergunta.
Nas perguntas 1-3 deve apenas escolher a opção corecta sem justificar; à ausência de
resposta é atribuída a cotação de 0, a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 1
valores.
As respostas às outras perguntas devem ser cuidadosamente justificadas.
1− 3 4 5a b c d e 6
1. (0, 4 val.) Qual das matrizes abaixo está na forma de Gauss? 1 i 0 0 2i0 1 0 −3i 0
0 0 1 0 −2i
  1 i 0 0 2i2 1 i −3i 0
3 0 1 i −2i

 1 0 0 0 2i0 1 0 0 −3i
0 0 0 1 −2i
  i 0 0 0 2i0 i 0 −3i 0
0 0 i 0 −2i

2. (0, 4 val.) Qual das matrizes abaixo representa um sistema de 3 equações lineares com 3 incógnitas que é impossível? 1 0 0 20 1 1 0
0 0 0 3
  1 0 0 0 10 1 0 0 2
0 0 1 0 3
  1 1 0 90 0 1 8
0 0 0 0
  1 0 0 50 1 0 8
0 0 1 3

3. (0, 4 val.) Se soubermos que um sistema de 5 equações lineares com 5 incógnitas é impossível e que a característica
da matriz do sistema é igual a 4, então podemos afirmar com certeza que:
a característica da matriz dos coeficientes é igual a 4;
a característica da matriz dos coeficientes é maior que 4;
a característica da matriz dos coeficientes é menor que 4;
nenhuma das alternativas acima está correta.
4. (0, 7 val.) (Resolução no espaço abaixo)
Sejam A =
(
2 −1
3 1
)
e B =
 1 0−2 1
3 −1
; diga se estão definidos os produtos AB e BA e calcule cada um no caso
de estar definido.
5. (Resolução no espaço abaixo e na página seguinte)
Para cada a ∈ R, considere o sistema
 x+ ay + z = 2x+ 2ay + z = 2
x+ ay + a2z = a+ 1
, nas incógnitas x, y, z, e seja A a matriz dos coeficientes
do sistema.
a) (0, 8 val.) Calcule o determinante de A e diga para que valores de a é que é 0.
b) (0, 6 val.) Sem resolver o sistema, diga, justificando, para que valores de a é que se trata de um sistema possível e
determinado.
c) (0, 6 val.) Indique um valor de a para o qual o sistema é possível e indeterminado, e resolva o sistema nesse caso.
d) (0, 8 val.) Determine a inversa de A no caso a = 2.
e) (0, 8 val.) Resolva o sistema no caso a = 2.
a)detA = a ∈ b) a ∈ c) a =conjunto de soluções:
d)A−1 =
e) conjunto de soluções:
Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2012/13
Teste 1 – 24-10-2012
Nome completo: Número mecanográfico:
6. (0, 5 val.) (Resolução no espaço abaixo e no verso)
Considere dois sistemas de equações lineares a três incógnitas tais que o conjunto de soluções do primeiro é {(a, a +
b, b), a, b ∈ R} e o conjunto de soluções do segundo é {(c + d, 2d,−c + d), c, d ∈ R}. Pode-se concluir que os sistemas são
equivalentes, que os sistemas não são equivalentes, ou não se pode tirar nenhuma conclusão?