ALGAIM143 1314enunciado exame epocanormal

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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2013/14
Exame época normal – 20-01-2014
Nome completo: Número mecanográfico:
Curso:
Primeira parte
Pretendo que a primeira parte do exame seja corrigida.
Pretendo que a primeira parte do exame não seja corrigida e seja considerada a classificação que obtive no primeiro teste.
Nas perguntas 1-5 deve apenas escolher a opção correcta sem justificar; à ausência de
resposta é atribuída a cotação de 0, a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 2
valores.
As respostas às perguntas 7 e 8 devem ser cuidadosamente justificadas.
1− 5 6a b c 7a b c 8
1. (0, 6 val.) Para cada a ∈ R considere o sistema
 x+ z = ax+ ay + 2z = a
2x+ ay + 3z = 2a
nas incógnitas x, y, z.
Se a 6= 0, o sistema é possível e determinado.
Se a = 0 o sistema é impossível.
O sistema nunca é impossível.
Se a = 1 o sistema é possível e determinado.
2. (0, 6 val.) Em R3, considere os vetores u = (1, 1, 1), v = (1,−1, 1) e w = (2, 2, 5).
(2,−1, 2) é combinação linear de u, v.
(2,−1, 2) é combinação linear de v, w.
(2,−1, 2) é combinação linear de u,w.
(2,−1, 2), u, v geram R3.
3. (0, 6 val.) Seja a ∈ R e considere as matrizes A =
 1 2 20 −a −2
0 0 −a
 e B = A + a I3 (onde I3 é a matriz identidade
em M3,3(R)).
Existe a ∈ R tal que A e B são invertíveis.
Se a = −1 então carA = 3 e carB = 1.
Se a = 1 então AB é invertível.
Se a = 0 então AB não é invertível.
4. (0, 6 val.) Seja A ∈M3,3(R) tal que detA 6= 0.
det
((
A
3
)−1)
= − 13 detA det
((
A
3
)−1)
= − 13 1detA det
((
A
3
)−1)
= 27detA det
((
A
3
)−1)
= 127 detA
5. (0, 6 val.) Considere os seguintes subespaços de R4:
S1 = {(a, b, c, d) ∈ R4 : 2a− b+ d = a− c+ 3d = 0} e S2 = G ({(1, 2, 1, 0), (0, 1, 3, 1), (1, 1,−2,−1)}) .
S1 = S2. S1 ⊆ S2 e S1 6= S2. S2 ⊆ S1 e S1 6= S2. S1 6⊆ S2 e S2 6⊆ S1.
6. Sejam A =
(
0 1
i 0
)
e B =
 1 −2−1 −2
3 6
; denote por GB a matriz de Gauss associada a B. Indique sem justificar:
a) (0, 5 val.) BA2 b) (0, 5 val.) GB c) (0, 5 val.) (A+ I2)
−1
7. Em R3 considere os vetores u = (1, 1, 2) e v = (2, 1, 1).
a) (0, 5 val.) Mostre que (0, 1, 3) é combinação linear de u e v.
b) (0, 6 val.) Determine S = G ({u, v}), escrevendo S na forma {(x, y, z) ∈ R3 : · · ·}.
c) (0, 5 val.) Use a alínea b) para averiguar se os vetores u, v, (1, 2, 1) são linearmente independentes.
8. (0, 9 val.) Diga, justificando, se é verdade que, para qualquer espaço vetorial real E e u, v, w ∈ E, se w ∈
G ({u+ v, u− v}) então G ({u, v}) = G ({u, v, w}).
Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2013/14
Exame época normal – 20-01-2014
Nome completo: Número mecanográfico:
Curso:
Segunda parte
Pretendo que a segunda parte do exame seja corrigida.
Pretendo que a segunda parte do exame não seja corrigida e seja considerada a classificação que obtive no segundo teste.
Nas perguntas 1-5 deve apenas escolher a opção correcta sem justificar; à ausência de
resposta é atribuída a cotação de 0, a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 2
valores.
As respostas às perguntas 8 e 9 devem ser cuidadosamente justificadas.
1− 5 6a b c d 7a b c 8a b c d 9a b c
1. (0, 6 val.) Considere os subespaços A = G
({1 + x, 1 + x3, 1 + x+ x3}) de R3[x] e B = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x−y+z = 0}
de R4.
dimA = 3 e dimB = 2. dimA = 2 e dimB = 3. dimA = 3 e dimB = 3. dimA = 2 e dimB = 2.
2. (0, 6 val.) Seja B = (e1, e2) uma base ortonormada de R2 tal que 1√2 (1, 1)|e1 = 0, 1√2 (1, 1)|e2 = 1 e
(
2√
2
, 0
)
= (1, 1)B .
B =
(
(1,−1), ( 1√
2
, 1√
2
)
B =
(
1√
2
(1, 1), 1√
2
(1,−1)
)
B =
(
(− 1√
2
, 1√
2
), (0,
√
2)
)
B =
(
1√
2
(1,−1), 1√
2
(1, 1)
)
3. (0, 6 val.) Denote por bc a base canónica de R2. Considere a matriz
(
2 1
3 2
)
de passsagem da base bc para uma
outra base b de R2.
b = ((2, 3), (1, 2)) b = ((−2, 3), (−1, 2)) (1, 1)b = (3, 5) (1, 1)b = (1,−1)
4. (0, 6 val.) Sejam f, g : R2[x]→ R2[x] as funções lineares definidas por f(a+ bx+ cx2) = a− b+(a− b)x+(a− b+ c)x2
e g(a+ bx+ cx2) = a− b+ (b− a)x+ cx2, para a+ bx+ cx2 ∈ R2[x].
Im f = Im g ker f = ker g f + g é injetiva. f + g é sobrejetiva.
5. (0, 6 val.) Considere as seguintes matrizes de entradas reais: A =
 1 1 11 1 1
1 1 1
 e B =
 6 1 20 2 −1
0 1 2
.
A tem mais subespaços próprios do que B.
A e B têm o mesmo número de subespaços próprios.
A e B são diagonalizáveis.
A e B não são diagonalizáveis.
6. Seja f : R3 −→ R3 a aplicação linear tal que f(1, 0, 0) = (0, 0, 0), f(0, 1, 0) = (1, 1, 1), f(0, 0, 1) = (2, 2, 2). Denote por
bc a base canónica de R3. Indique sem justificar:
a) (0, 5 val.) Mbc,bcf = b) (0, 5 val.) f(x, y, z) =
c) (0, 6 val.) Uma base de ker f : d) (0, 5 val.) Uma base de Im f :
7. (a) 0, 5 val. b)0, 5 val. c) 0, 5 val.) Em R4, considere o subespaço S = {(a, b, c, d) ∈ R4 : a+ b+ d = 0} e os vetores
u = (−1, 1, 0, 0), v = (1, 1, 0, 1). Sabendo que ((0, 0, 1, 0), (−1, 1, 0, 0), (−1, 0, 0, 1)) é uma base de S, indique sem justificar:
a) Uma base ortonormada de S: b) proj⊥S (u+ v) = c) coordenadas de u na base de a)
8. Seja f : R3 → R3 a função linear tal que f(x, y, z) = (−x+y+z, x−y+z, x+y−z) e a baseB = ((1, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0))
de R3.
a) (0, 8 val.) Determine a matriz de f relativamente à base B de R3
b) (1, 0 val.) Determine os valores próprios de f e respetivos espaços próprios.
c) (0, 8 val.) Determine uma base de R3 de vetores próprios de f e a matriz de f relativamente a essa base.
d) (0, 8 val.) Seja g : R3 → R3 a função linear tal que g(x, y, z) = (z, x, y). Usando a matriz obtida em a) e o produto
de matrizes, determine a matriz de g ◦ f relativamente à base B de R3.
9. (Resolução em folha extra)
a) (1, 0 val.) Dê exemplo de um endomorfismo não nulo de R3 tal que f ◦ f é o endomorfismo nulo.
b) (1, 0 val.) Mostre que se f é um endomorfismo de um espaço vectorial E tal que f ◦ f é o endomorfismo nulo, então
f − IdE é invertível.
c) (1, 0 val.) Sejam u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3) ∈ R3. Mostre que u | (v×w) = det
 u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3
.