Series funcoes

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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Uma sucessão (fn)n∈N de funções reais de variável real é uma função
N → {funções reais de variável real }
n 7→ fn .
Em geral, será conveniente considerarmos sucessões em que todas as
funções têm o mesmo domínio.
Exemplos
1. Podemos considerar a sucessão de funções (fn)n∈N em que, para cada
n ∈ N, fn : R→ R é dada por fn(x) = nx .
2. Podemos definir uma sucessão de funções (gn)n∈N por
gn : R → R
x 7→ sen x
n
, n ∈ N.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 1
Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência
Para definirmos o conceito de limite de uma sucessão de números reais,
usamos uma noção de distância em R, que é dada à custa da função
módulo.
Mas para sucessões de funções, ainda não está claro qual é o conceito de
convergência e de limite, uma vez que ainda não definimos uma noção de
distância no conjunto das funções reais de variável real.
Na verdade, há várias maneiras de definir convergência de uma sucessão
de funções e iremos considerar dois tipos de convergência - convergência
pontual e convergência uniforme.
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência pontual
Seja (fn)n∈N uma sucessão de funções com domínio A ⊆ R. Diz-se que
(fn)n∈N converge pontualmente para f : A → R sse para qualquer x ∈ A, a
sucessão de números reais (fn(x))n∈N converge para f (x), i.e.,
lim
n→+∞
fn(x) = f (x), ∀x ∈ A.
Nesse caso, f diz-se o limite pontual de (fn)n∈N e escreve-se
f = lim
n→+∞
fn
f
f
1
f (x)1
f (x)2
f (x)3
f2
f3
f4
x
.
.
.
.
.
.
Exemplo 1. A sucessão (fn)n dada por
fn(x) = xn , x ∈ R, n ∈ N
converge pontualmente para a função
nula, uma vez que, para todo o x ∈ R,
limn→+∞ xn = 0.
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência pontual - exemplos
2. A sucessão (fn)n∈N dada por fn(x) = nx , ∀x ∈ R,∀n ∈ N não
converge pontualmente para nenhuma função f : R→ R, uma vez que,
para x 6= 0 limn→+∞ nx = +∞.
3. Também não converge pontualmente a sucessão (cos(nx))n∈N. Por
exemplo, para x = pi, a sucessão numérica (cos(npi))n∈N = ((−1)n)n∈N é
divergente.
pi 2pi
-1
1
y=cos x
y=cos 3x
y=cos 2x
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência pontual - exemplos
4. A sucessão (fn)n∈N dada por fn(x) =


−1, se x ≤ − 1
n
sen
(
npix
2
)
, se − 1
n
≤ x ≤ 1
n
1, se x ≥ 1
n
converge pontualmente para f (x) =


−1, se x < 0
0, se x = 0
1, se x > 0
.
De facto, é imediato que limn→+∞ fn(0) = limn→+∞ 0 = 0; se x > 0,
então para n > 1
x
tem-se fn(x) = 1, logo limn→+∞ fn(x) = 1; e se x < 0,
para n > − 1
x
tem-se fn(x) = −1, portanto limn→+∞ fn(x) = −1.
-1
1
f1f2
f3
-1 1
-1
1
pontualmente
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência pontual - exemplos
5. Analisemos agora a sucessão (xn)n∈N.
Se x > 1, (fn(x))n∈N = (xn)n∈N tem limite +∞. No caso de x ≤ −1,
obtemos a sucessão ((−1)n|x |n)n∈N que não tem limite. No entanto, para
|x | < 1, (xn)n∈N converge para 0 e se x = 1, (xn)n∈N converge para 1.
Assim, a sucessão de funções (contínuas) (xn|]−1,1])n∈N converge
pontualmente para uma função descontínua f :]− 1, 1]→ R.
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
pontualmente
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Domínio de convergência
Chama-se domínio de convergência (pontual) de uma sucessão de funções
(fn)n∈N de domínio A ⊆ R ao conjunto
D = {x ∈ A : (fn(x))n∈N converge }. Assim, (fn|D)n∈N converge
pontualmente.
Por exemplo, o domínio de convergência da sucessão de funções do
exemplo anterior é o intervalo ]− 1, 1].
Os exemplos anteriores mostram também que o limite pontual de uma
sucessão de funções contínuas (de facto, que podem até admitir derivadas
de quaisquer ordens) pode não ser uma função contínua. No exemplo
seguinte veremos uma sucessão (fn)n∈N de funções não deriváveis que tem
um limite pontual derivável.
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência pontual - exemplos
6. Para cada n ∈ N, seja fn : [0, 1] → R dada por
fn(x) =


2n2x , se 0 ≤ x ≤ 12n
2n − 2n2x , se 12n < x < 1n
0, se x > 1
n
.
11/21/3
1
2
3
f1
f2
f3
É claro que limn→+∞ fn(0) = 0;
e se x > 0, então para n > 1
x
temos fn(x) = 0
e portanto limn→+∞ fn(x) = 0. Assim, (fn)n∈N
converge pontualmente para a função nula f .
Note-se ainda que cada função fn é contínua, logo é integrável, e que
∫ 1
0 fn
é a área de um triângulo isósceles de base 1
n
e altura n, ou seja,
∫ 1
0 fn =
1
2 ,
∀n ∈ N. No entanto, ∫ 10 f = ∫ 10 0 = 0. Portanto, neste caso,
limn→+∞
∫ 1
0 fn(x)dx 6=
∫ 1
0 limn→+∞ fn(x)dx .
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência pontual vs. convergência uniforme
Em vários exemplos anteriores vimos que se uma sucessão de funções
(fn)n∈N, de domínio A, converge pontualmente para uma função
f : A → R, isso não significa que, globalmente, os gráficos das funções fn
se “aproximem” do gráfico da função f . De facto, apenas exigimos que
limn→+∞ fn(x) = f (x), ∀x ∈ A, ou seja, que
∀x ∈ A,∀ε > 0,∃nx ∈ N : ∀n ∈ N, (n > nx ⇒ |fn(x) − f (x)| < ε).
Assim, para um dado ε > 0, poderemos ter valores de nx diferentes para
cada x ; em cada valor de n, as distâncias |fn(x)− f (x)| poderão ser muito
diferentes para os vários valores de x . Se pretendermos que os gráficos de
fn “tendam”, globalmente, para o gráfico de f , teremos de exigir que seja
possível escolher os nx de maneira “uniforme” para todos os valores de x .
É essa propriedade que exprime a noção de convergência que estudaremos
a seguir.
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência uniforme
Seja (fn)n∈N uma sucessão de funções de domínio A ⊆ R. Diz-se que
(fn)n∈N converge uniformemente para uma função f : A → R sse
∀ε > 0,∃n0 ∈ N : ∀x ∈ A,∀n ∈ N,
(
n > n0 ⇒ |fn(x)− f (x)| < ε
)
.
A função f diz-se então o limite uniforme da sucessão (fn)n∈N.
gr f
gr f
gr f
gr f , n>n
1
0
2
n
ε
ε
Geometricamente, isto
significa que, para todo o ε > 0,
a partir de certa ordem n0
os gráficos das funções fn estão
todos contidos numa “banda”
de amplitude 2ε em torno do
gráfico de f .
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência pontual vs. convergência uniforme
É claro a partir das definições que se uma sucessão (fn)n∈N converge
uniformemente para uma função f , então converge pontualmente para a
mesma função f . No entanto, o recíproco não é verdadeiro: exsitem
sucessões que convergem pontualmente mas não uniformemente.
Exemplo 1. Já vimos que a sucessão (fn)n∈N dada por fn(x) = xn
converge pontualmente para a função nula.
f
f2
f3
f4
.
.
.
Mas a convergência não é uniforme:
para qualquer ε > 0 (bastaria um ε
particular), dado qualquer n0 ∈ N,
basta tomar x ≥ (n0 + 1)ε para
que |fn0+1(x)− 0| = xn0+1 ≥ ε.
(Como limx→+∞ fn(x) = +∞,
∀n ∈ N, o gráfico de qualquer
função fn, a partir de certa altura, sai fora da banda R×]− ε, ε[)
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência uniforme - exemplos
No entanto, para qualquer intervalo limitado [−a, a], com a > 0, a
sucessão (fn|[−a,a])n∈N converge uniformemente para a funçãonula em
[−a, a]: dado ε > 0, tomemos n0 > aε ; então, para qualquer x ∈ [−a, a] e
qualquer n > n0, temos |fn(x)| =
∣∣x
n
∣∣ ≤ a
n
< a
n0
< ε.
a-a
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência uniforme - exemplos
2. É imediato verificar que a sucessão (fn)n∈N dada por fn(x) = sen nxn ,
∀x ∈ R, ∀n ∈ N, converge pontualmente para a função nula. Também se
verifica facilmente que a convergência é uniforme: como
∣∣ sen nx
n
∣∣ ≤ 1
n
,
∀x ∈ R, ∀n ∈ N, dado ε > 0, basta tomar n0 > 1ε para que, sempre que
n > n0,
∣∣ sen nx
n
∣∣ ≤ 1
n
≤ 1
n0
< ε, ∀x ∈ R.
-1
1 f1
f2
f3 f4 f5
fn1/n
-1/n
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência uniforme - exemplos
3. A sucessão (fn)n∈N definida por fn(x) = xn(1− xn), para x ∈ [0, 1],
também converge para a função nula no intervalo [0, 1]. Mas a
convergência não é uniforme. Para justificar esta afirmação, basta notar
que cada fn atinge o máximo 14 , no ponto x =
n
√
1
2 . Assim, tomando um
valor de ε menor do que 14 , para qualquer n ∈ N existe sempre um valor de
x ∈ [0, 1], nomeadamente, x = n
√
1
2 , tal que fn(x) =
1
4 > ε.
f1 f2 f3 f4 f51/4
1
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência uniforme vs. limitação
Vamos ver que a convergência uniforme, ao contrário da convergência
pontual, preserva várias propriedades importantes dos termos de uma
sucessão de funções.
Seja (fn)n∈N uma sucessão de funções de domínio A, que converge
uniformemente para uma função f : A → R. Se fn é limitada, para
qualquer n ∈ N, então f também é limitada.
Demonstração: Como (fn)n∈N converge uniformemente para f , existe
certamente um n ∈ N tal que ∀x ∈ A, |fn(x) − f (x)| < 1, i.e.,
−1 + fn(x) < f (x) < 1 + fn(x); sendo fn por hipótese limitada, isto
implica que f também o é.
Exemplo: A sucessão de funções limitadas ( n
nx+1)n converge
pontualmente para a função não limitada f (x) = 1
x
. Logo, a convergência
não é uniforme.
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência uniforme vs. integração
Vamos ver que a convergência uniforme, ao contrário da convergência
pontual, preserva várias propriedades importantes dos termos de uma
sucessão de funções.
Seja (fn)n∈N uma sucessão de funções limitadas de domínio [a, b],
(a < b ∈ R) que converge uniformemente para uma função f : [a, b]→ R.
Se fn é integrável, ∀n ∈ N, então f também é integrável e∫
b
a
f = lim
n→+∞
∫
b
a
fn.
Escreve-se então: ∫
b
a
lim
n→+∞
fn = lim
n→+∞
∫
b
a
fn.
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência uniforme vs. integração
Demonstração: Já vimos que a função f é limitada
Suponhamos agora que todas as funções fn são integráveis e seja ε > 0.
Como f é o limite uniforme de (fn)n∈N, existe n0 ∈ N tal que, para todo o
n ≥ n0,
|fn(x)− f (x)| < ε4(b − a) , ∀x ∈ [a, b].
Em particular, fn0(x) − ε4(b−a) < f (x) < fn0(x) + ε4(b−a) , ∀x ∈ [a, b].
Resulta então facilmente que, para qualquer partição P de [a, b],
L(fn0 ,P)−
ε
4(b − a)(b−a) < L(f ,P) ≤ U(f ,P) < U(fn0 ,P)+
ε
4(b − a)(b−a),
donde,
U(f ,P)− L(f ,P) ≤ U(fn0 ,P) − L(fn0 ,P) +
ε
2
.
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência uniforme vs. integração
Sendo fn0 é integrável em [a, b], podemos escolher a partição P de tal
forma que U(fn0 ,P)− L(fn0 ,P) < ε2 e da desigualdade anterior resulta que
U(f ,P)− L(f ,P) < ε. Isto mostra que f é integrável.
Agora, para todo o n ≥ n0, temos∣∣∣ ∫ b
a
fn −
∫
b
a
f
∣∣∣ = ∣∣∣ ∫ b
a
(fn − f )
∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|fn(x)− f (x)|dx
≤ ε
4(b − a) .(b − a) =
ε
4
< ε
o que prova limn→+∞
∫
b
a
fn =
∫
b
a
f .
Exemplo A sucessão de funções (fn)n∈N definida no exemplo 6 não
converge uniformemente para a função nula no intervalo [0, 1], uma vez
que cada uma das funções fn é integrável mas, como vimos,
limn→+∞
∫ 1
0 fn =
1
2 6= 0.
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência uniforme vs. continuidade
Seja (fn)n∈N uma sucessão de funções de domínio A ⊆ R que converge
uniformemente para uma função f : A → R. Se fn é contínua em a ∈ A
para qualquer n ∈ N, então f também é contínua em a.
Demonstração: Suponhamos que fn é contínua em a, ∀n ∈ N e seja
ε > 0.
Como (fn)n∈N converge uniformemente para f , existe n0 ∈ N tal que
∀x ∈ A, |fn0(x) − f (x)| < ε3 . Por outro lado, sendo fn0 contínua em a,
existe δ > 0 tal que |x − a| < δ ⇒ |fn0(x)− fn0(a)| < ε3 , ∀x ∈ A. Assim,
sempre que x ∈ A e |x − a| < δ, tem-se
|f (x)− f (a)| ≤ |f (x)− fn0(x)|+ |fn0(x)− fn0(a)|+ |fn0(a)− f (a)| < 3
ε
3
= ε,
o que mostra que f é contínua em a.
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência uniforme vs. derivabilidade
Relativamente à derivabilidade, a convergência uniforme não é tão bem
comportada: existem sucessões de funções deriváveis que convergem
uniformemente para funções não deriváveis; e, mesmo que o limite
uniforme f seja derivável, não podemos garantir que (f ′n)n∈N converge,
sequer pontualmente, para f ′. Vejamos exemplos das duas situações.
Exemplo 1 Já vimos que a sucessão (fn)n∈N dada por fn(x) = sen nxn ,
∀x ∈ R, ∀n ∈ N, converge uniformemente para a função nula, que é
obviamente derivável. Todas as funções fn são deriváveis, com
f ′n(x) = cos nx . No entanto, já mostramos que a sucessão (f
′
n)n∈N não
converge sequer pontualmente.
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência uniforme vs. derivabilidade
Exemplo 2 A sucessão de funções deriváveis (
√
x2 + 1
n2
)n∈N converge
uniformemente para a função f (x) = |x |, que não é derivável. De facto,
para todo o n ∈ N e todo o x ∈ R,
0 <
√
x2 +
1
n2
− |x | =
√
x2 +
1
n2
−
√
x2
=
1
n2√
x2 + 1
n2
+
√
x2
≤
1
n2
1
n
=
1
n
.
Logo, dado ε > 0, basta tomar n > 1
ε
para garantir que
∣∣√x2 + 1
n2
− |x |
∣∣ < ε,
∀x ∈ R.
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência uniforme vs. derivabilidade
Podemos em todo o caso provar o seguinte:
Seja (fn)n∈N uma sucessão de funções deriváveis de domínio [a, b]
(a < b ∈ R) tal que:
i) (fn)n∈N converge pontualmente para uma função f : [a, b]→ R;
ii) (f ′n)n∈N converge uniformemente para uma função contínua;
iii) f ′n é limitada e integrável, ∀n ∈ N.
Então, f é derivável e
f ′ = lim
n→+∞
f ′n.
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Sucessões e séries de funções
Sucessões de funções
Convergência uniforme vs. derivabilidade
Demonstração: Seja g o limite uniforme da sucessão (f ′n)n∈N. Para todo
o x ∈ [a, b], tem-se então∫
x
a
g(t)dt =
∫
x
a
lim
n→+∞
f ′n(t)dt
= lim
n→+∞
∫
x
a
f ′n(t)dt
= lim
n→+∞
(
fn(x)− fn(a)
)
= f (x)− f (a)
Como g é contínua, podemos agora aplicar o Teorema Fundamental do
Cálculo para concluir que f é derivável e
f ′(x) =
( ∫ x
a
g(t)dt
)′
= g(x).
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Sucessões e séries de funções
Séries de funções
A uma sucessão de funções (fn)n∈N com o mesmo domínio A, podemos
associar uma série de funções
+∞∑
n=1
fn
A sucessão das somas parciais da série
∑+∞
n=1 fn é a sucessão de funções
(sn)n∈N (de domínio A) definidapor
sn = f1 + · · ·+ fn
À semelhança do que foi feito para sucessões de funções, iremos considerar
dois tipos de convergência para séries de funções.
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Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Convergência pontual
Diz-se que a série de funções
∑+∞
n=1 fn de domínio A ⊆ R converge
pontualmente para uma função f : A → R sse a sucessão das somas
parciais (sn)n∈N converge pontualmente para f . Nesse caso, representamos
também por
∑+∞
n=1 fn o limite pontual f de (sn)n∈N e chamamos a f a
soma da série.
Assim, f =
∑+∞
n=1 fn sse para cada x ∈ A, a sucessão numérica (sn(x))n∈N
converge para f (x); ora esta sucessão é a sucessão das somas parciais da
série numérica
∑+∞
n=1 fn(x). Por outras palavras, a série de funções∑+∞
n=1 fn converge pontualmente para f sse para todo o x ∈ A a série
numérica
∑+∞
n=1 fn(x) converge para f (x):
f =
+∞∑
n=1
fn ⇐⇒ ∀x ∈ A, f (x) =
+∞∑
n=1
fn(x)
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Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Convergência pontual
Resulta imediatamente do que foi provado para séries de números reais
que se a série de funções
∑+∞
n=1 fn converge pontualmente, então a
sucessão de funções (fn)n∈N converge pontualmente para a função nula.
O domínio de convergência da série
∑+∞
n=1 fn é o domínio de convergência
da sucessão (sn)n∈N, ou seja, é o conjunto
D = {x ∈ A : ∑+∞
n=1 fn(x) converge }. Assim, a série
∑+∞
n=1 fn|D converge
pontualmente.
Exemplo 1 O domínio de convergência da série de funções
∑+∞
n=1 x
n é o
intervalo ]− 1, 1[, uma vez que cada série numérica ∑+∞
n=1 x
n converge
(para 11−x ) sse |x | < 1.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 26
Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Convergência uniforme
Diz-se que uma série de funções
∑+∞
n=1 fn de domínio A ⊆ R converge
uniformemente para f : A → R sse a sucessão das somas parciais (sn)n∈N
converge uniformemente para f .
Nesse caso, é claro que
∑+∞
n=1 fn também converge pontualmente para a
mesma função f .
Como consequência imediata das propriedades que provámos relativas à
convergência uniforme de sucessões de funções, temos o seguinte resultado
para séries de funções. Basta para tal aplicar os resultados anteriores à
sucessão das somas parciais da série.
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Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Convergência uniforme - propriedades
Seja (fn)n∈N uma sucessão de funções de domínio A ⊆ R.
1. Se
+∞∑
n=1
fn converge uniformemente para f e fn é contínua, para todo o
n ∈ N, então f também é contínua.
Além disso, nos casos em que A = [a, b], para certos a < b ∈ R,
2. Se
+∞∑
n=1
fn converge uniformemente para f e fn é limitada e integrável,
para todo o n ∈ N, então f também é integrável e
∫
b
a
f =
+∞∑
n=1
∫
b
a
fn.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 28
Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Convergência uniforme - propriedades
((continuação)
3. Se
i)
+∞∑
n=1
fn converge pontualmente para uma função f : [a, b]→ R,
ii) ∀n ∈ N, fn é derivável e f ′n é limitada e integrável,
iii)
+∞∑
n=1
f ′n converge uniformemente para uma função contínua,
então f é derivável e
f ′ =
+∞∑
n=1
f ′n.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 29
Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Convergência uniforme - Exemplo
Exemplo: A série de funções
∑+∞
n=1
x
2
(1+x2)n converge pontualmente para a
função f : R→ R dada por f (x) =
{
1 + x2, se x 6= 0
0, se x = 0
De facto, para cada x ∈ R, obtemos a série numérica∑+∞
n=1
x
2
(1+x2)n = x
2∑+∞
n=1
1
(1+x2)n ; se x = 0 a série correspondente é nula e
é claro que converge para 0; se x 6= 0, então ∑+∞
n=1
1
(1+x2)n
é uma série
geométrica de razão 1
1+x2
< 1, que converge para 1
1− 1
1+x2
= 1+x
2
x2
, logo
x2
∑+∞
n=1
1
(1+x2)n
= 1 + x2.
Mas a convergência não é uniforme, uma vez que todos os termos da série
são funções contínuas mas a função limite não o é.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 30
Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Teste M de Weierstrass para a convergência uniforme
O resultado seguinte fornece um critério muito útil para garantir a
convergência uniforme.
(Teste M de Weirstrass)
Sejam
+∞∑
n=1
fn uma série de funções de domínio A ⊆ R e
+∞∑
n=1
Mn uma série
convergente de números reais tal que
∀x ∈ A, ∀n ∈ N, |fn(x)| ≤ Mn.
Então, para cada x ∈ A, a série numérica
+∞∑
n=1
fn(x) converge
absolutamente e
∑+∞
n=1 fn converge uniformemente para f : A → R dada
por f (x) =
∑+∞
n=1 fn(x).
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 31
Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Teste M de Weierstrass para a convergência uniforme
Demonstração: Pelo critério de comparação resulta imediatamente das
hipóteses que, para todo o x ∈ A, a série ∑+∞
n=1 |fn(x)| converge, ou seja,
que
∑+∞
n=1 fn(x) converge absolutamente. Portanto, a série de funções∑+∞
n=1 fn converge pontualmente para f : A → R dada por
f (x) =
∑+∞
n=1 fn(x).
Agora, dado ε > 0, como
∑+∞
n=1 Mn converge, tem-se que existe n0 ∈ N tal
que se n > n0 então∣∣∣+∞∑
i=1
Mi −
n∑
i=1
Mi
∣∣∣ = +∞∑
i=n+1
Mi < ε.
Assim, se n > n0 tem-se, para qualquer x ∈ A,∣∣∣f (x)− n∑
i=1
fi(x)
∣∣∣ = ∣∣∣ +∞∑
i=n+1
fn(x)
∣∣∣ ≤ +∞∑
i=n+1
|fn(x)| ≤
+∞∑
i=n+1
Mi < ε.
Logo,
∑+∞
n=1 fn converge uniformemente para f .
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 32
Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Teste M de Weierstrass para a convergência uniforme - Exemplo
Exemplo: Para cada número real x , representemos por d(x ,Z) a
distância de x ao inteiro mais próximo. É claro que d(x ,Z) ≤ 12 , ∀x ∈ R.
Defina-se uma sucessão de funções (fn)n∈N por fn(x) = 12n d(2
nx ,Z),
∀x ∈ R.
f1
f2
f3
1/4
1/8
1/2-1/2-3/2 -1 1 3/2
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 33
Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Teste M de Weierstrass para a convergência uniforme - Exemplo
Exemplo: (continuação)
Então, |fn(x)| ≤ 12n+1 , ∀x ∈ R, ∀n ∈ N.
Como a série
∑+∞
n=1
1
2n+1
é convergente, concluímos pelo teste M de
Weierstrass que
∑+∞
n=1 fn converge uniformemente para uma função
f : R→ R.
Uma vez que todas as funções fn são contínuas, podemos afirmar que f é
contínua. No entanto, mostra-se que f não é derivável em nenhum ponto!
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 34
Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Séries de potências
As séries de potências que estudamos no capítulo anterior são casos
particulares importantes de séries de funções polinomiais do tipo:
+∞∑
n=0
an(x − x0)n
com x0 ∈ R e an ∈ R.
Estamos agora em condições de provar os resultados fundamentais sobre
estas séries.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 35
Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Séries de potências - convergência
Seja
+∞∑
n=0
an(x − x0)n uma série de potências centrada num ponto x0 ∈ R,
onde an ∈ R,∀n ∈ N. Existe r ∈ R+0 ∪ {+∞} tal que:
1 Para cada x ∈ R, série numérica
+∞∑
n=0
an(x − x0)n converge
absolutamente se x ∈]x0 − r , x0 + r [ e diverge se
x ∈ R \ [x0 − r , x0 + r ] (podendo convergir ou não nos casos de
x = x0 − r ou x = x0 + r).
2 A série de funções
+∞∑
n=0
an(x − x0)n converge uniformemente em
qualquer intervalo fechado e limitado contido em ]x0 − r , x0 + r [.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 36
Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Séries de potências - convergência
Demonstração: Para facilitar a notação, consideremos o caso emque
x0 = 0. O caso geral é análogo.
Se a série
∑+∞
n=1 anx
n converge apenas para x = 0, então o resultado é
trivialmente verificado com r = 0.
Caso contrário, se existe x1 6= 0 tal que a série
∑+∞
n=1 anx
n
1 converge,
vejamos que a série de potências
∑+∞
n=1 anx
n converge uniformemente em
qualquer intervalo do tipo [−l , l ], em que 0 < l < |x1|.
Como
∑+∞
n=1 anx
n
1 converge, então a sucessão (anx
n
1 )n∈N converge para 0,
logo é limitada: existe M > 0 tal que ∀n ∈ N, |anxn1 | < M. Para todo o
x ∈ [−l , l ] temos então
∀n ∈ N, |anxn| ≤ |anln| = |anxn1 | ·
∣∣∣ l
x1
∣∣∣n ≤ M∣∣∣ l
x1
∣∣∣n.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 37
Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Séries de potências - convergência
Ora,
∣∣ l
x1
∣∣ < 1, logo a série geométrica ∑+∞
n=1
∣∣ l
x1
∣∣n converge. Pelo teste M
de Weierstrass, podemos concluir que, para cada x ∈ [−l , l ], a série∑+∞
n=1 anx
n converge absolutamente e que a série de funções
∑+∞
n=1 anx
n
converge uniformemente no intervalo [−l , l ].
Tomemos agora r = sup{|x | : ∑+∞
n=1 anx
n converge }, no caso de este
conjunto ser majorado, e r = +∞, caso contrário. Do que provamos atrás
resulta facilmente o resultado pretendido:
Para qualquer x ∈]− r , r [, existe x1 com |x1| > |x | tal que
∑+∞
n=1 anx
n
1
converge, logo pelo que mostramos atrás,
∑+∞
n=1 anx
n converge
absolutamente. Por outro lado, se x ∈ R \ [−r , r ], i.e., se |x | > r , é
consequência imediata da definição de r que a série
∑+∞
n=1 anx
n diverge.
Como já vimos em exemplos anteriores, a série pode convergir ou divergir
nas extremidades x = r ou x = −r .
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 38
Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Séries de potências - convergência
Além disso, qualquer intervalo fechado e limitado contido em ]− r , r [ está
contido num intervalo do tipo [−l , l ], em que 0 < l < |x1|, para algum x1
tal que a série
∑+∞
n=1 anx
n
1 converge; então, novamente pelo que provamos
acima,
∑+∞
n=1 anx
n converge uniformemente em [−l , l ] e portanto também
em qualquer intervalo aí contido.
Chamamos raio de convergência de uma série de potências∑+∞
n=0 an(x − a)n a r ∈ R+0 ∪ {+∞} nas condições do teorema anterior.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 39
Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Séries de potências - derivação termo a termo
Seja r o raio de convergência de uma série de potências
∑+∞
n=0 an(x − x0)n
centrada em x0 ∈ R. Então, r também é o raio de convergência da série
das derivadas
∑+∞
n=1 nan(x − x0)n−1. Além disso, a função
f :]a − r , a + r [→ R dada por f (x) =∑+∞
n=0 an(x − x0)n é derivável e
f ′(x) =
+∞∑
n=1
nan(x − a)n−1.
Demonstração: Novamente, vamos escrever a prova no caso de x0 = 0.
Para cada n ∈ N0, seja fn a função dada por fn(x) = anxn, ∀x ∈ R.
Então, fn é derivável, f ′n(x) = nanx
n−1, ∀n ∈ N e f ′0(x) = 0, ∀x ∈ R;
portanto
∑+∞
n=0 f
′
n =
∑+∞
n=1 nanx
n−1.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 40
Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Séries de potências - derivação termo a termo
Se a sucessão (an)n∈N é constante igual a 0 a partir de certa ordem, então
as séries
∑+∞
n=0 fn e
∑+∞
n=0 f
′
n são somas finitas e o resultado é trivialmente
verificado, sendo r = +∞. Caso contrário, podemos admitir que an 6= 0,
∀n ∈ N, excluindo, se necessário, os termos nulos, que não alteram a
convergência ou a soma das séries.
Se x > r , como limn→+∞
|nanxn−1|
|anxn|
= limn→+∞ n|x | = +∞ e
∑+∞
n=1 anx
n
diverge, resulta do segundo critério de comparação que
∑+∞
n=1 |nanxn−1|
diverge. Isto mostra que o raio de convergência da série
∑+∞
n=1 f
′
n é menor
ou igual a r .
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 41
Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Séries de potências - derivação termo a termo
Consideremos agora um intervalo fechado e limitado [−l , l ] ⊆]− r , r [ e
seja x1 > l tal que a série
∑+∞
n=0 anx
n
1 converge. Tal como na prova do
Teorema anterior, existe M > 0 tal que |anxn1 | < M, ∀n ∈ N. Então, para
todo o x ∈ [−l , l ],
|nanxn−1| ≤ |nanln−1| = n|anxn1 | ·
1
l
·
∣∣∣ l
x1
∣∣∣n ≤ nM
l
·
∣∣∣ l
x1
∣∣∣n.
Como
∣∣ l
x0
∣∣ < 1, o critério da razão mostra que a série∑+∞
n=1
nM
l
· ∣∣ l
x1
∣∣n = M
l
∑+∞
n=1 n
∣∣ l
x1
∣∣n converge. Logo, pelo teste de
Weierstrass, concluímos que cada série numérica
∑+∞
n=1 nanx
n−1, com
x ∈ [−l , l ], converge absolutamente e que a série de potências ∑+∞
n=1 f
′
n
converge uniformemente no intervalo [−l , l ].
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 42
Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Séries de potências - derivação termo a termo
Seja g : [−l , l ]→ R o limite uniforme de ∑+∞
n=1 f
′
n em [−l , l ]. Como todas
as funções f ′n são contínuas, o resultado provado para sucessões de funções
permite-nos concluir que g também é contínua. Além disso, cada função
f ′n é limitada e integrável em [−l , l ] e a série
∑+∞
n=0 fn converge em [−l , l ]
para f|[−l ,l ]. Novamente pelos resultados provados para sucessões de
funções, temos que f é derivável em [−l , l ] e que
f ′(x) = g(x) =
∑+∞
n=1 nanx
n−1, ∀x ∈ [−l , l ]
Como l é qualquer em [0, r [, resulta facilmente do que provamos acima o
enunciado do teorema.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 43
Sucessões e séries de funções
Séries de funções
Séries de potências - primitivação termo a termo
Para mostrar o resultado já enunciado no capítulo anterior relativo à
primitivação de uma série de potências, basta aplicar o teorema que
acabamos de provar à série das primitivas.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 7. 44
Sucessões e séries de funções Exercícios
Exercícios
Sucessões de funções
122 Seja (fn)n∈N uma sucessão de funções de domínio A ⊆ R em R que converge
pontualmente para uma função f : A → R. Para cada n ∈ N, seja
εn = supx∈A |fn(x)− f (x)|. Mostre que a sucessão de funções (fn)n∈N é
uniformemente convergente para f se e só se a sucessão (ǫn)n∈N converge para 0.
123 Verifique se cada uma das sucessões de funções (fn)n∈N a seguir indicadas,
converge pontualmente e, caso afirmativo, e indique as funções limite. Verifique
também se a convergência é uniforme.
a) fn : [0, 1] → R
x 7→
{
−nx + 1, se 0 ≤ x ≤ 1
n
0, se 1
n
≤ x ≤ 1
b) fn : R → R
x 7→ arctg x
n
c) fn : [0, π] → R
x 7→ (cos x)2n
d) fn :]1,+∞[ → R
x 7→ e
x
xn
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Sucessões e séries de funções Exercícios
Exercícios
Sucessões de funções
e) fn : [−10, 10] → R
x 7→
{
0, se x ≤ n
x − n, se x ≥ n
f) fn : [0, 1] → R
x 7→ n√x
g) fn : R → R
x 7→
{
0, se x ≤ n
x − n, se x ≥ n
h) fn : R → R
x 7→ e
−x2
n
i) fn : [−1, 1] → R
x 7→ e−nx2
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Sucessões e séries de funções Exercícios
Exercícios
Sucessões e séries de funções
124 Considere a sucessão de funções (fn)n∈N, onde cada fn : R→ R é dada por
fn(x) =
sen(nx)
n2
.
a) Determine o limite pontual da sucessão e verifique que a convergência é
uniforme.
b) Mostre que a série
+∞∑
n=1
fn é uniformente convergente para uma função
f : R→ R.
c) Justifique que
∫
pi
0
f = 2
+∞∑
n=1
1
(2n − 1)3 .
125 Justifique que a série de funções
∞∑
n=0
2−n cos(nx) converge uniformemente em R
para uma função derivável.
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Sucessões e séries de funções Exercícios
Exercícios
Séries de funções
126 Seja (fn)n∈N0 a sucessão de Fibonacci.
a) Mostre que a sucessão
(
fn+1
fn
)
n∈N converge para o númerode ouro ϕ =
1+
√
5
2
.
b) Mostre que o raio de convergência da série de potências
+∞∑
n=0
fnx
n é
√
5−1
2
.
c) Prove que, para qualquer valor de x no domínio de convergência da série,
(1− x − x2)
+∞∑
n=0
fnx
n = 1.
d) Conclua que
fn =
(
1+
√
5
2
)n+1
−
(
1−
√
5
2
)n+1
√
5
, ∀n ∈ N
(Note que ϕ−1 =
√
5−1
2
).
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