Física I Vetores

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 Quando uma grandeza física é descrita por um único número e sua unidade de
medida, ela é denominada de grandeza escalar, tais grandezas não apontam em
nenhuma direção e lidamos com elas com cálculos algébricos comuns.
 Ex.: massa (2 kg), energia (98 J), tempo (4h), temperatura (-2°C).
 Quando uma grandeza física é descrita por um módulo (ou intensidade), juntamente
com uma direção e sentido no espaço, dizemos que esta grandeza física é uma
grandeza vetorial, e pode ser representada por um vetor.
 Ex.: deslocamento, velocidade, aceleração, força.
Vetores são comumente usados em física.
Ponto de partida e ponto de chegada
Caracterizado por:
 Módulo
 Direção
 Sentido
Vetor mais simples – Vetor Deslocamento – variação da
posição de um ponto, representamos a variação da
posição de um ponto P1 ao ponto P2 por uma linha reta
unindo os dois pontos, com a ponta da flecha
apontando para P2 para representar o sentido do
deslocamento.
Vetores paralelos Vetores antiparalelos
(Módulo de 𝑨) = A = 𝑨
 sistema de coordenadas unidimensional
 Qualquer ponto P neste espaço
unidimensional pode ser definido pela
especificação de um número
 O valor da coordenada x , Px
sistema de coordenadas bidimensional
Posição do ponto P é dado por (Px , Py )
Px e Py são números reais positivos ou negativos
Usado na representação de vetores
 Sistema de coordenadas tridimensional
Posição do ponto P é dado por (Px , Py )
Px e Py são números reais positivos ou negativos
Liga P e Q Liga R e S
A
Mude para a origem para 
simplificar
a representação
 É possível mover vetores no espaço sem alterar seus valores
 O comprimento permanece o mesmo
 A direção permanece a mesma
(a) Podemos somar 2 vetores
desenhando as extremidade de
um com o início do outro
(b) Soma-los em ordem inversa
produz o mesmo resultado
(c) Também podemos soma-los
construindo um paralelogramo.
 Quando precisar somar 3 ou mais vetores, temos:
Exemplos:
 Para cada vetor existe um outro vetor de igual 
comprimento apontando na direção oposta
A projeção do vetor no eixo x e y fornece suas componentes
 𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗
Caso Bidimensional
Vetores Unitários
É aquele que possui módulo igual a 1,
não possuindo nenhuma unidade. Seu
único objetivo é descrever uma direção
e um sentido no espaço.
Caso Tridimensional
As componentes de um vetor podem ser números positivos 
ou negativos
II
90° ≤ θ ≤ 180°
I
0 ≤ θ ≤ 90°
III
180° ≤ θ ≤ 270°
IV
270° ≤ θ ≤ 360°
y
x
 A adição de vetores também pode ser feita
utilizando componentes cartesianas e vetores
unitários.
 Adição de vetores
 Componentes do vetor de adição com
𝑅𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥
𝑅𝑦 = 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦
𝑅𝑧 = 𝐴𝑧 + 𝐵𝑧
 𝐴 = 4 𝑖 + 2 𝑗 𝑚
𝐵 = 3 𝑖 + 4 𝑗 𝑚
 𝐶 = (4 + 3) 𝑖+ 2 + 4 𝑗 = 7 𝑖 + 6 𝑗 𝑚
Exemplo:
Fonte: (Halliday Resnick, 9° edição)
 Imagine somar um vetor a ele mesmo três vezes
 O vetor resultante é três vezes mais comprido e tem a mesma direção que os vetores originais
 Para a multiplicação de um vetor com um escalar (s), obtemos
 As componentes são
 𝐴 + 𝐴 + 𝐴
𝐸 = 𝑠 𝐴 = s (𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗)
𝐸𝑥 = 𝑠𝐴𝑥
𝐸𝑦 = 𝑠𝐴𝑦
𝐸𝑧 = 𝑠𝐴𝑧
 𝐴 = (4 𝑖 + 2 𝑗) m
𝐸 = 3(4) 𝑖+3 2 𝑗 = 12 𝑖 + 6 𝑗 m
𝐸 = 𝑠 𝐴 = 3 (4 𝑖 + 2 𝑗) m
Exemplo:
 Exatamente o mesmo procedimento para adição de vetores
 Vetor de diferença:
 Com componentes:
𝐷 = 𝐴 − 𝐵
𝐷 = (𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘) − (𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘)
𝐷 = (𝐴𝑥−𝐵𝑥) 𝑖 − (𝐴𝑦−𝐵𝑦) 𝑗 − (𝐴𝑧−𝐵𝑧) 𝑘
𝐷 = 𝐷𝑥 𝑖 + 𝐷𝑦 𝑗 + 𝐷𝑧 𝑘
𝐷𝑥 = (𝐴𝑥−𝐵𝑥)
𝐷𝑦 = (𝐴𝑦−𝐵𝑦)
𝐷𝑧 = (𝐴𝑧−𝐵𝑧)
Dados os dois vetores deslocamentos:
Encontre o módulo do vetor deslocamento
𝐷 = (6 𝑖 + 3 𝑗 + 𝑘) m
𝐸 = (4 𝑖 − 5 𝑗 + 8 𝑘) m
2𝐷 − 𝐸
Exemplos:
O vetor 𝐴 com representação de componentes
Cálculo do módulo de suas componentes
 𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗
 Usando Pitágoras no triângulo retângulo
A
y
 E também, o ângulo entre e o eixo x
(Caso Bidimensional)
(Caso Tridimensional)
Fonte: (Halliday Resnick, 9° edição)
(a) Qual o módulo do vetor 𝑟.
(b) Qual a direção deste vetor com relação ao eixo +Ox.
Três finalistas de uma competição encontram-se no centro de um
campo plano e grande. Cada uma das competidoras recebe uma
barra de um metro, uma bússola, uma calculadora. As competidoras
recebe as seguintes informações
:Os três deslocamento levam a um ponto onde as chaves de um
Porsche novo foram enterradas. Duas competidoras começam a
fazer a medida, mas a vencedora realizaram os cálculos antes das
medidas do campo. Quais os valores calculados por ela?
 Produto Escalar – Produto com ponto interno ou
norma
(a)
Comutativa
Distributiva
 𝐴. 𝐵 + 𝐶 = 𝐴. 𝐵 + 𝐴. 𝐶
Multiplicação por um escalar, sendo
s e r escalares
𝑠 𝐴. 𝑟𝐵 = (𝑠. 𝑟)( 𝐴. 𝐵)
O produto vetorial de dois vetores
paralelos ou antiparalelos é sempre
igual a zero. Em particular, o produto
vetorial de qualquer vetor com ele
mesmo é igual a zero.
Sabe-se que:
Anti-comutativa
Distributiva
 𝐴 × 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 + 𝐴 × 𝐶
Multiplicação por um escalar, sendo
r escalar
 𝐴 × 𝐵 = − 𝐵 × 𝐴
𝑟 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 × 𝑟𝐵 = 𝑟( 𝐴 × 𝐵)
𝑖 𝑟1. 𝑟2 =
𝑖𝑖 𝑟1 × 𝑟2 =
𝑖𝑖𝑖 𝑟2. 𝑟3 =
𝑖𝑣 𝑟3. 𝑟2 =
𝑣 𝑟2 × 𝑟3 =
𝑣𝑖 𝑟3 × 𝑟2 =
Calcule os seguintes produtos:
 HALLIDAY, D. , RESNICK, R., WALKER, J.Fundamentos de Física 1 - Mecânica - 10ª Ed.
2016
 HALLIDAY, D. , RESNICK, R., WALKER, J. Física: V. I e II, Rio de Janeiro, Livros
Técnicos e Científicos,9ª Ed 2012.
 TIPLER, P.A., Física para cientistas e engenheiros, v.1, 6 a ed., Rio de Janeiro: LTC,
2016.
 SEARS, F. W. E ZEMANSKY, M. W., YOUNG, H.D., Física. V. I e II, Rio de Janeiro. Livros
Técnicos e Científicos., 12ª ed. 2016.
 BAUER, W., WESTFALL, G. D., DIAS, H. Física para Universitários: Mecânica, v.1. São
Paulo: McGrawHill, 2015.
 http://www.basica2.ufba.br/apostilas/vetores/Apost1-5.pdf
 http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/aurb006/apostilas/Vetores%20-
%20Produto%20Escalar.pdf