AD2 CIII 2016 2 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AD2 – CA´LCULO III – gabarito – 2016-2
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 Considere a func¸a˜o f(x, y) =
√
4− x2 − y2.
(a) Determine a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie z = f(x, y) no ponto P = (1, 1,
√
2);
(b) Determine a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie z = f(x, y) cujo vetor normal e´ ~n =
(0,−√3,−1).
Soluc¸a˜o:
(a) A equac¸a˜o do plano tangente no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) = (1, 1,
√
2) e´ dada por
z − f(x0, y0) = fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0).
Como
fx(x, y) =
−x√
4− x2 − y2 e fy(x, y) =
−y√
4− x2 − y2
para todo (x, y) ∈ R2 satisfazendo 4− x2 − y2 > 0, vem que fx(1, 1) = −1√2 e fy(1, 1) = −1√2 .
Assim, a equac¸a˜o do plano procurado e´
z −
√
2 =
−1√
2
(x− 1)− 1√
2
(y − 1),
ou seja, x+ y +
√
2z = 4.
(b) Para que ~n = (0,−√3,−1) seja o vetor normal do plano tangente a` superf´ıcie z = f(x, y) no
ponto P = (x, y, f(x, y)), devemos ter
fx(x, y) =
−x√
4− x2 − y2 = 0
e
fy(x, y) =
−y√
4− x2 − y2 = −
√
3.
Logo, x = 0, y =
√
3 e f(0,
√
3) =
√
4− 02 − (√3)2 = 1. Assim, o plano tangente procurado
possui a equac¸a˜o
z − 1 = 0(x− 0)−
√
3(y −
√
3),
isto e´, z +
√
3y = 4.
CA´LCULO III AD2 2
Questa˜o 2 Apresentando justificativas claras, decida se as seguintes func¸o˜es sa˜o diferencia´veis.
(a) f : R2 −→ R, definida por f(x, y) = cos(x2 + y2);
(b) g : R2 −→ R, definida por g(x, y) = x
2
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0), e g(0, 0) = 0.
Soluc¸a˜o:
(a) Como fx = −(2x)sen(x2 + y2) e fy = −(2y)sen(x2 + y2) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em todo R2,
conclu´ımos que f e´ diferencia´vel em todo R2.
(b) Uma vez que
lim
x→0
f(x, x) = lim
x→0
x2
x2 + x2
=
1
2
e
lim
x→0
f(x, 2x) = lim
x→0
x2
x2 + (2x)2
=
1
5
,
vem que na˜o existe lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y). Assim, f na˜o e´ cont´ınua em (0, 0) e, consequentemente,
na˜o e´ diferencia´vel neste ponto. Ale´m disso, como
fx(x, y) =
2xy2
(x2 + y2)2
e fy(x, y) =
−2x2y
(x2 + y2)2
para todo (x, y) ∈ R2 \{(0, 0)}, vem que fx e fy sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em R2 \{(0, 0)}. Da´ı,
resulta a diferenciabilidade de f em R2 \ {(0, 0)}.
Questa˜o 3 Sejam u : R2 −→ R, g : R −→ R e h : R −→ R treˆs func¸o˜es diferencia´veis. Considere
tambe´m a func¸a˜o f : R −→ R definida por f(t) = u(g(t), h(t)), onde t ∈ R. Supondo que
g(0) = 2, h(0) = 3, g′(0) = 1, h′(0) = 2, u(2, 3) = −4, ux(2, 3) = 2 e uy(2, 3) = 1,
encontre a reta tangente ao gra´fico de f no ponto P0 = (0, f(0)).
Soluc¸a˜o:
Pela Regra da Cadeia,
f ′(t) = ux(g(t), h(t))g′(t) + uy(g(t), h(t))h′(t)
para todo t ∈ R, donde
f ′(0) = ux(g(0), h(0))g′(0) + uy(g(0), h(0))h′(0) = ux(2, 3) · 1 + uy(2, 3) · 2 = 2 · 1 + 1 · 2 = 4.
Como f(0) = u(g(0), h(0)) = u(2, 3) = −4, a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto
P0 = (0, f(0)) e´ dada por
y − (−4) = 4(x− 0),
ou seja, y = 4x− 4.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO III AD2 3
Questa˜o 4 Sejam F : R2 −→ R, u : R2 −→ R e v : R2 −→ R treˆs func¸o˜es diferencia´veis, e
definamos W : R2 −→ R, pondo W (s, t) = F (u(s, t), v(s, t)) para cada (s, t) ∈ R2. Sabendo que
u(1, 0) = 2, v(1, 0) = 3,
us(1, 0) = −2, vs(1, 0) = 5,
ut(1, 0) = 6, vt(1, 0) = 4,
Fu(2, 3) = −1 e Fv(2, 3) = 10,
determine Ws(1, 0) e Wt(1, 0).
Soluc¸a˜o:
Pela Regra da Cadeia, temos
Ws(s, t) = Fu(u(s, t), v(s, t))us(s, t) + Fv(u(s, t), v(s, t))vs(s, t)
e
Wt(s, t) = Fu(u(s, t), v(s, t))ut(s, t) + Fv(u(s, t), v(s, t))vt(s, t)
para cada (s, t) ∈ R2. Logo,
Ws(1, 0) = Fu(u(1, 0), v(1, 0))us(1, 0) + Fv(u(1, 0), v(1, 0))vs(1, 0)
= Fu(2, 3) · (−2) + Fv(2, 3) · 5
= (−1)(−2) + 10 · 5
= 52
e
Wt(1, 0) = Fu(u(1, 0), v(1, 0))ut(1, 0) + Fv(u(1, 0), v(1, 0))vt(1, 0)
= Fu(2, 3) · 6 + Fv(2, 3) · 4
= (−1) · 6 + 10 · 4
= 34.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ