2012-1_Met_Det_II_EP_Preparatorio03_AP3_GAB

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
1o Semestre de 2012
2a Semana de Preparac¸a˜o para a AP3 - Resoluc¸o˜es
Questa˜o 1: Para a seguinte func¸a˜o f(x) = 2x
2
x2−1 fac¸a o seguinte:
a) Calcule o domı´nio e a imagem de f(x);
b) As retas Ass´ıntotas de f(x);
c) Calcule f ′(x) e f ′′(x);
d) Estude o sinal de f ′(x) e de f ′′(x);
e) Verifique que f(−x) = f(x) e com todas estas informac¸o˜es fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f(x);
Soluc¸a˜o: a) O Domı´nio da func¸a˜o f(x) = 2x
2
x2−1 sa˜o todos os x ∈ R tais que x2 − 1 6= 0 ⇔ x 6= ±1.
Ja´ para determinarmos a imagem, isto e´, queremos determinar os valores de y para os quais existe x
valendo y = 2x
2
x2−1 , mas isto e´ equivalente a`,
y =
2x2
x2 − 1 ⇔ yx
2 − y = 2x2 ⇔ (y − 2)x2 = y ⇔ x2 = y
y − 2
Portanto, a equac¸a˜o e´ satisfeita desde que yy−2 > 0 ⇔ y /∈ [0, 2]. Portanto, a imagem de f(x) sa˜o
todos R− [0, 2].
b) Para determinar as retas ass´ıntotas precisamos calcular os seguintes limites:
lim
x→±∞
2x2
x2 − 1 = limx→±∞
x2
x2
2
1− 1/x2 = 2.
E
lim
x→1+
2x2
x2 − 1 =∞, limx→1−
2x2
x2 − 1 = −∞
lim
x→−1+
2x2
x2 − 1 = −∞, limx→−1−
2x2
x2 − 1 =∞
Consequ¨entemente, as retas x = 1 e x = −1 sa˜o ass´ıntotas verticais e y = 2 e´ uma ass´ıntota horizontal.
c)
f ′(x) =
4x(x2 − 1)− 2x2 · 2x
(x2 − 1)2 =
−4x
(x2 − 1)2 e f
′′(x) =
−4(x2 − 1)2 + 4x · 2(x2 − 1)2x
(x2 − 1)4 =
12x2 + 4
(x2 − 1)3 .
d) Quem controla o sinal de f ′ e´ o numerador enta˜o f ′ e´ positiva se x ≤ 0 e negativa se x > 0.
Uma vez que 12x2 + 4 > 0 para todo x, temos que
f ′′(x) > 0⇔ x2 − 1 > 0⇔ |x| > 1.
e f ′′(x) < 0⇔ |x| < 1. Assim, a curva e´ coˆncava para cima nos intervalos (−∞,−1) e (1,∞) e coˆncava
para baixo em (−1, 1).
1
Figure 1: Esboc¸o do gra´fico de 2x
2
x2−1
e) Veja que f(−x) = 2(−x)2
(−x)2−1 =
2x2
x2−1 = f(x), isto quer dizer que o gra´fico de f(x) e´ sime´trico com
respeito ao eixo dos y. Juntando todas estas informac¸o˜es obtemos o um esboc¸o parecido com a seguinte
figura
Questa˜o 2: Uma companhia aluga oˆnibus com capacidade para 50 passageiros para grupos de no
mı´nimo 35 pessoas. Se o grupo conte´m 35, cada um dos passageiros pagara´ R$60, 00. Para grupos
maiores, a companhia reduz R$1, 00 de cada passageiro que excede os 35. Por exemplo, se o grupo
tem 37 = 35 + 2 pessoas, enta˜o cada um do grupo pagara´ R$58, 00. Determine o tamanho do grupo
com o qual a companhia de oˆnibus ganhara´ mais.
Soluc¸a˜o: Seja R a receita da companhia. Enta˜o:
R = ( No de pessoa do grupo ) · ( valor pago por pessoa ) .
Lo´gico que voceˆ pode chamar de x o nu´mero de pessoas no grupo, mas e´ mais conveniente x
representar o nu´mero de pessoas que excede 35. Enta˜o
No de pessoa do grupo = 35 + x
valor pago por pessoa = 60− x
R(x) = (35 + x)(60− x)
Queremos encontra o ma´ximo de R(x) com 1 ≤ x ≤ 15, pois 35+15 = 50 que e´ a capacidade ma´xima
dos oˆnibus.
R′(x) = 1(60− x) + (−1)(35 + x) = 25− 2x = 0⇔ x = 12, 5.
Ale´m disso, R′′(12, 5) = −2 < 0, e portanto, 12, 5 e´ um ponto de ma´ximo local e
R(0) = 2100, R(12, 5) = 2256, 25 e R(15) = 2250.
Agora x representa o nu´mero de pessoas, enta˜o ou e´ 12 ou 13, e calculando obtemos R(12) = 2256 =
R(13). Portanto, a receita da companhia sera´ maior quando o grupo conter 35+12 = 47 ou 35+13 = 48
pessoas.
2
Questa˜o 3: Calcule as seguintes integrais.
a)
∫
3
√
x+
√
x3 dx b)
∫
xex dx
Soluc¸a˜o: a) Basta fazer as seguintes contas, usando que 13 + 1 =
4
3 e que
3
2 + 1 =
5
2∫
3
√
x+
√
x3 dx =
∫
x1/3 dx+
∫
x3/2 dx =
x4/3
4
3
+
x5/2
5
2
+K =
3x4/3
4
+
2x5/2
5
+K.
b) Ja´ para
∫
xex dx chame de f(x) = x e g′(x) = ex, enta˜o f ′(x) = 1 e g(x) = ex, portanto,∫
xex dx = xex −
∫
ex dx = xex − ex +K.
Questa˜o 4: Encontre a a´rea entre as curvas y = 2x e y = x2 − 4x.
Soluc¸a˜o: Vamos comec¸ar fazendo um esboc¸o da regia˜o que pretendemos calcular a a´rea. Inicialmente
observe que y = x2− 4x e´ a equac¸a˜o de uma para´bola com boca para cima e ra´ızes 0 e 4 e que y = 2x
e´ uma reta, Ale´m disso, elas se interceptam em
2x = x2 − 4x⇔ x2 − 6x = 0⇔ x(x− 6) = 0⇔ x = 0 ou x = 6.
Figure 2: Esboc¸o da regia˜o entre y = 2x e y = x2 − 4x
Vamos dividir o ca´lculo da regia˜o por calcular integrais de no intervalo de [0, 4] e outra no intervalo
de [4, 6], por fazer as contas no primeiro intervalo obtemos∫ 4
0
2x dx−
∫ 4
0
x2 − 4x dx =
∫ 4
0
−x2 + 6x dx.
E para o segundo intervalo obtemos∫ 6
4
2x dx−
∫ 6
4
x2 − 4x dx =
∫ 6
4
−x2 + 6x dx.
Veja que o integrando e´ o mesmo e o intervalos sa˜o conectados, enta˜o∫ 4
0
−x2 + 6x dx+
∫ 6
4
−x2 + 6x dx =
∫ 6
0
−x2 + 6x dx =
[−x3
3
+ 3x2
]6
0
=
−63
3
+ 3× 62 = 36.
3