Fisica 1 halliday

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Trabalho Força Variável
Uma caixa é puxada por uma força constante de 10N, 
movendo a caixa para direita de 5,0m:
W F=F⋅d
F=10N d=5,0m
W F=F⋅d⋅cos0 °
W F=F⋅d
W F=10N⋅5,0m=50N⋅m=50 J
x (m)0,0 2,0 4,0 6,0
F (N )
5,0
10,0
10N⋅5,0m
50N⋅m
50 J
Definição Gráfica: Trabalho é igual a área abaixo do 
gráfico força x deslocamento.
 
Força Variável
Em alguns problemas específicos, o trabalho pode ser 
calculado pela área pode de figuras geométricas simples
x (m)0,0 2,0 4,0 6,0
F (N )
5,0
10,0
W 06F=W 04+W 45+W 56
W 06F=
(1+4)⋅10
2
+0+ 1⋅5
2
W 06F=25+2,5
W 06F=27,5 J
 
Força Variável
No entando em situações mais gerais isto é pouco 
provável.
x (m)
F (N )
xi x f
 
Força Variável
No entando em situações mais gerais isto é pouco 
provável.
x (m)
F (N )
xi x f
 
Força Variável
No entando em situações mais gerais isto é pouco 
provável.
x (m)
F (N )
xi x f
ΔW j=F̄ (x)⋅Δ x
W if F≃∑
j
ΔW j
W if F≃∑
j
F̄ (x)⋅Δ x
 
Força Variável
No entando em situações mais gerais isto é pouco 
provável.
x (m)
F (N )
xi x f
W if F= lim
Δ x→0
∑
j
F̄ (x)⋅Δ x
W if F=∫
x i
x f
F (x )⋅dx
 
Força Variável
Existem duas diferenças conceituais entre as duas somas 
apresentadas:
W if F≃∑
j
F̄ (x)⋅Δ x
W if F=∫
x i
x f
F (x )⋅dx
Soma de elementos que variam 
discretamente;
Soma de elementos que variam 
continuamente.
W if F≃ 25,4 + 32,5 + 45,6 +⋯
W if F=27,34004 + 27,34005 + 27,3400501 +⋯
 
Integral
O processo descrito é conhecido como integral. Podendo 
ser empregado para o calculo de:
● Comprimento de caminhos;
● Áreas (como empregado aqui);
● Volumes;
● Entre outros.
d
dx
f (x )=g(x) ⇒ ∫ g (x)dx=f (x)
Em poucas palavras, a integral faz o caminho contrário da 
derivação sobre uma função:
 
Integral
Alguns exemplos de integração:
d
dx
sen x=cos x ⇒ ∫ cos x dx=sen x+ C
onde C é uma constante que aqui será omitida.
d
dx
x3=3 x2 ⇒ ∫3 x2dx=x3
d
dx
tan x=sec2 x ⇒ ∫ sec2 x dx=tan x
d
dx
cosh x=senh x ⇒ ∫ senh x dx=cosh x
d
dx
ln∣sec x∣=tan x ⇒ ∫ tan x dx=ln∣sec x∣
⋯
 
Integral
Para o restante desta disciplina necessito apenas da regra 
de integração de polinômios:
d
dx
xm=m xm−1 ⇒ ∫mxm−1dx=xm
{m−1=nm=n+1 ⇒fazendo: ∫ xndx= x
n+1
n+1
m∫ xm−1dx=xm
∫ xm−1dx= x
m
m
sendo m uma constante
 
Integral
Algumas aplicações:
∫ x3dx= x
3
3
∫dx=∫ x0dx= x
1
1
=x
∫ x−1dx≠ x
0
0
∫ x dx= x
2
2
∫ x5dx= x
5
5
No entanto esta regra não serve para n = -1:
Indeterminado. Neste caso a integração é a definição 
para a função logaritmo natural:
∫ x−1dx=∫ 1x dx=ln x+C com x>0.
Portanto logaritmo natural é a área abaixo da curva 1/x.
 
Força Elástica
Força Elástica é a força criada por dispositivos elásticos 
como molas, onde, no limite elástico, sua força respeita a 
Lei de Hooke:
F (x)=−k x
onde k é a constante elástica da mola e x o deslocamento 
do extremo da mola de seu ponto de repouso.
x0
F (x0)<0
x0
x0
F (x1)>0
x1x0
 
Limite Elástico
Uma visão atômica, simplista, do Limite Elástico: 
Considere um fio metálico formado por um arranjo 
bidimensional de átomos conforme a figura abaixo:
 
Limite Elástico
Uma visão atômica, simplista, do Limite Elástico: 
Considere um fio metálico formado por um arranjo 
bidimensional de átomos conforme a figura abaixo:
 
Limite Elástico
Uma visão atômica, simplista, do Limite Elástico: 
Considere um fio metálico formado por um arranjo 
bidimensional de átomos conforme a figura abaixo:
Dentro do limite elástico a cadeia atômica deforma sem 
que se rompa (significativamente) as ligações com os 
átomos vizinhos.
 
Limite Elástico
Uma visão atômica, simplista, do Limite Elástico: 
Considere um fio metálico formado por um arranjo 
bidimensional de átomos conforme a figura abaixo:
Dentro do limite elástico a cadeia atômica deforma sem 
que se rompa (significativamente) as ligações com os 
átomos vizinhos.
Quanto ultrapassado o limite elástico estas ligações são 
severamente comprometidas gerando rupturas 
irreversíveis na cadeia atômica.
 
Trabalho da
Força Elástica
Portando, dentro do limite elástico, qual o trabalho 
realizado pela força de mola, quando está é movida de 
uma posição xi para a posição xf?
W if e=∫
xi
xf
F (x)dx
x0xi x f
W if e=∫
xi
xf
(−k x)dx
W if e=−k∫
xi
xf
x dx
W if e=−k
x2
2 ∣xi
xf
=−1
2
k x2∣
x i
x f
W if e=−{12 k x f 2−12 k xi2}⇒
 
Trabalho da
Força Resultante
Suponha que sobre um corpo de massa m, inicialmente 
parado, são aplicadas diversas forças, constantes e/ou 
variáveis.
Para simplificar tome como eixo 
x a direção do movimento.
∑ F=ma
xi x f
vi v f
a(t)
a(t)=a= dv
dt
∑ F=ma
W if=∫
x i
x f
(∑ F )dx
W if=∫
x i
x f
madx
W if=m∫
xi
x f
adx
 
Trabalho da
Força Resultante
usando a definição de aceleração
W if=m∫
xi
x f dv
dt
dx=m∫
xi
xf dx
dt
dv
W if=m∫
v i
v f
v dv=m v
2
2 ∣vi
v f
= 1
2
mv2∣
vi
vf
W if=
1
2
mv f
2−1
2
mvi
2
Aqui ocorre uma mudança na 
variável de integração, de 
posição para velocidade.
K=1
2
mv2 Energia Cinética de Translação
W if=K f−K i W if=ΔK Teorema Trabalho-Energiaou
 
Teorema 
Trabalho-Energia
Este teorema afirma que toda vez que se fizer um 
trabalho total diferente de zero sobre um sistema, isto 
resultará em uma variação da energia cinética do 
sistema.
No Exemplo 1 foram realizadas os trabalhos:
W F=400 J
W N=0
W f=−25 J
W P=−125 J
W if=∑W F i=125 J=ΔK
Isto significa que a energia cinética do corpo 
aumentou em 125J durante o seu movimento, rampa 
acima.
 
Teorema 
Trabalho-Energia
Portanto, se o corpo estivesse inicialmente em 
repouso e sua massa for de 10kg, sua velocidade terá 
aumentado para:
ΔK=125 J
K F−K i=125
1
2
mv f
2−1
2
mvi
2=125
v f
2=2⋅125
10
⇒
0
v f=5,0m / s
 
Potência
Taxa com que o trabalho é realizado:
P̄=W
Δ t
Potência Média
Unidade:
[P]= [W ]
[Δ t ]
=J / s=W (Watt )
Conta de Luz:
kW h ⇒ W=P̄⋅Δ t
Outras unidades:
1hp=1horsepower=745,7W
1hp=550 ft⋅lb / s
 
Potência
A potência instantânea
P= lim
Δ t→0
ΔW
Δ t
ou ainda, usando a definição de trabalho:
W F =∫F dx ⇒ dW=F dx
⇒ P=dW
dt
P=F dx
dt
=F dx
dt
=F v x
com um pouco de formalismo vetorial é fácil demonstrar:
P=F⋅v
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