Resolução - Geometria Analítica

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Blog Matemática Nua & Crua 
Professor Luiz Francisco 
 
" F e l i z a q u e l e q u e t ra n s f e re o q u e sa b e e a p ren d e o q u e en s in a " . 
C o r a C o r a l i n a ( 1 . 8 8 9 + 9 6 = 1 . 9 8 5 ) 
 
 
 
 
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Os lados do triângulo equilátero ABC tem medida 2. Calcule 
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 
 
Solução: 
 
A resolução vai se basear na seguinte relação: 
 
 ⃗ ‖ ⃗ ‖ ‖ ‖ 
 
Na Figura 1 temos o triângulo equilátero ABC do enunciado: 
 
 
Figura 1: Triângulo Equilátero de lado com medida 2. 
 
Segundo o enunciado, temos: 
 
‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ 
 
Partindo da Figura 1, temos que obter o ângulo entre cada vetor: 
 
 entre ⃗⃗⃗⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗⃗ ⃗; 
 entre ⃗⃗⃗⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗⃗ ⃗, e; 
 entre ⃗⃗⃗⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
Na Figura 2, apresentamos os vetores: ⃗⃗⃗⃗ ⃗, ⃗⃗⃗⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
O próximo passo é organizar os vetores de forma que todos se iniciem no mesmo ponto, 
entretanto sem alterar sua direção e sentido. 
 
Podemos observar esta organização na Figura 3. 
 
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Figura 2: Formação dos vetores: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
 
 
Figura 6: organização dos vetores que formam o lado do 
triângulo ABC para determinar o valor do ângulo em cada caso. 
 
Calculando: 
 
(i) Para ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗, temos: 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ 
 
 
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 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
Para calcular o ângulo , temos que observar a Figura 4: 
 
 
Figura 4: Formação do ângulo , entre vetores: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( 
 
 
) 
 
(ii) Para ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗, temos: 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
Para calcular o ângulo , temos que observar a Figura 5: 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( 
 
 
) 
 
Figura 5: Formação do ângulo , 
entre vetores: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
(iii) Para ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗, temos: 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
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Para calcular o ângulo , temos que observar a Figura 6: 
 
 
Figura 6: Formação do ângulo , entre vetores: ⃗⃗⃗⃗ ⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( 
 
 
) 
 
Então: 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) ( ) 
 
Fonte de estudo: 
 
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 
2.000.