Questões sortidas geometria II analítica

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Questões sortidas geometria II analítica
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Autora:
Annie Gabrielle de Oliveira Silva
21 de fevereiro de 2021
annie.passeidireto@gmail.com
Quem sou eu?
Olá, meu nome é Annie e sou graduanda em geofísica pela Universidade Federal da Bahia e pré-vestibulanda
para o Instituto Tecnológico da Aeronáutica. Antes do pré-vestibular, era graduanda, concomitantemente a
geofísica, de engenharia elétrica pela Faculdade de Tecnologia e Ciência. Atualmente, atuo como tutora de
várias disciplinas e tenho certeza que podemos aprender muito. Sendo assim, bons estudos!
Questão 1
Determinar o vetor ~v do espaço, sabendo que |~v| = 5, ~v é ortogonal ao eixo Ox, ~v · ~w = 6 e
~w =
~
i+ 2~j.
Considerando ~v no espaço de R3, suas coordenadas são dadas por ~v = (x, y, z). Além disso, as coordenadas
de ~w = (1, 2, 0). Para esta questão utilizaremos as informações dadas para montar um sistema. Assim,

|~v| = 5⇒
√
x2 + y2 + z2 = 5⇒ x2 + y2 + z2 = 25 (1)
~v · ~w = 6⇒ (x, y, z) · (1, 2, 0) = x+ 2y + 0z = 6⇒ x+ 2y = 6 (2)
~v ⊥ Ox⇒ (x, y, z) · (1, 0, 0) = x+ 0 + 0⇒ x = 0 (3)
Substituindo (3) em (2):
x+ 2y = 6 ; x = 0
0 + 2y = 6
∴ y = 3 (4)
Substituindo (3) e (4) em (1):
x2 + y2 + z2 = 25 ; x = 0 ∧ y = 3
0 + 32 + z2 = 25
z2 = 25− 9
z2 = 16
z = 4
Portanto, as coordenadas do vetor ~v são dadas por ~v = (0, 3, 4).
Questão 2
Seja o triângulo de vértices A(3,4,4),B(2,-3,4) e C(6,0,4). Determinar o ângulo interno ao vértice
B. Qual o ângulo externo ao vértice B?
Para encontrar o ângulo interno ao vértice B, devemos dar um tratamento vetorial ao problema. Encon-
traremos os vetores compreendidos entre os pontos A e B e entre B e C, calculando o ângulo entre eles pela
1
Figura 1: Representação do triângulo ABC no plano 3D. Temos representados,também, os vetores ~v e ~w no
plano. Repare que α = β.
fórmula abaixo. Para encontrarmos o ângulo externo, utilizaremos as relações entre ângulos mostradas na
figura 2.
cos θ =
~v · ~w
|~v||~w|
~v = BA = A−B = (3, 4, 4)− (2,−3, 4) = (1, 7, 0) ∴ ~v = (1, 7, 0)
~w = BC = C −B = (6, 0, 4)− (2,−3, 4) = (4, 3, 0) ∴ ~w = (4, 3, 0)
2
cos(~v, ~w) =
~v · ~w
|~v||~w|
=
(1, 7, 0) · (4, 3, 0)√
12 + 72 + 0 ·
√
42 + 52 + 0
cos(~v, ~w) =
4 + 21√
50 ·
√
25
⇒ cos(~v, ~w) =
√
2
2
Então, o ângulo entre os vetores é dado por:
arccos(
√
2
2
) = 45◦
(~v, ~w) = 45◦
Pela relação entre os ângulos, mostrada na figura abaixo,temos que o ângulo externo ao vértice B será
180◦ menos o ângulo interno do vértice B. Fazemos,
Figura 2: Relação entre os ângulos internos e externos do triângulos. Fonte:
https://sabermatematica.com.br/soma-dos-angulos-externos-de-um-triangulo.html
180◦ − 45◦ = 135◦
Então, O ângulo interno ao vértice B é de 45◦ e o ângulo externo é de 135◦.
Questão 3
Sejam A(2,1,3), B(m,3,5) e C(0,4,1) vértices de um triângulo (figura abaixo), responda:
a) Para qual valor de m o triângulo ABC é retângulo em A?
3
Para resolver essa questão, utilizaremos vetores, os quais são
formados pela subtração entre pontos e calcularemos os ângu-
los entre eles. Então,
~v = AB = B − A = (m, 3, 5)− (2, 1, 3)⇒ ~v = (m− 2, 2, 2)
~w = AC = C − A = (0, 4, 1)− (2, 1, 3)⇒ ~v = (−2, 3,−2)
Se dois vetores são ortogonais, seu produto escalar é igual a 0.
Assim,
~v ⊥ ~w = ~v · ~w = 0
(m− 2, 2, 2) · (−2, 3,−2) = −2(m− 2) + 6− 4 = 0
−2m+ 4 + 6− 4 = 0
−2m = −6
∴ m = 3
b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
A projeção pode ser calculada utilizando as relações métricas
do triângulo retângulo. Além disso, associamos as medidas das
distâncias entre dois pontos.
Figura 3: FOTO SOMENTE USADA NESTA ALTERNATIVA. O m da imagem é diferente do m
fornecido no ponto B. O m é a projeção do cateto AB em BC. Utilizarei as outras letras apresentadas
e m será p.
4
Por relações métricas c2 = a · p. Usando distância entre dois
pontos:
c = AB =
√
(3− 2)2 + (3− 1)2 + (5− 3)2 ⇒
√
1 + 4 + 4⇒ c =
√
9 ∴ c = 3
a = BC =
√
(0− 3)2 + (4− 3)+(1− 5)2 ⇒ a =
√
9 + 1 + 16 ∴ a =
√
26
Calculando a medida da projeção,
c2 = a · p
32 =
√
26 · p
p =
9√
26
c) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.
Para determinar as coordenada do ponto H, basta utilizarmos
o conceito de vetor projeção. O vetor projeção é dado por:
proj =
~v · ~w
~w · ~w
· ~w
Onde v é o vetor projetado em w. v é o vetor dado pelos dois
pontos A e B e w é dado por B e H. Assim, as coordenadas do
vetor BH são dadas,
BH = H −B = (x, y, z)− (3, 3, 5)⇒ ~BH = (x− 3, y − 3, z − 3)
O vetor ~BH é a projeção do vetor ~v sobre ~w. Então, utilizando
a fórmula da projeção e depois igualando as variáveis,
~v = BA = A−B = (2, 1, 3)− (3, 3, 5)⇒ ~v = (−1,−2,−2)
~w = BC = C −B = (0, 4, 1)− (3, 3, 5)⇒ ~w = (−3, 1,−4)
proj =
(−1,−2,−2) · (−3, 1,−4)
(−3, 1,−4) · (−3, 1,−4)
· (−3, 1,−4)
proj =
3− 2 + 8
9 + 1 + 16
· (−3, 1,−4)
9
26
· (−3, 1,−4) =
(
−27
26
,
9
26
,
−36
26
)
proj =
(
−27
26
,
9
26
,
−36
26
)
5
Assim, como ~BH = proj:
x− 3 = −27
26
∴ x =
51
26
y − 3 = 9
26
∴ y =
87
26
z − 5 = −36
26
∴ z =
94
26
As coordenadas de H são: H =
(
51
26
,
87
26
,
94
26
)
d) Mostrar que AH ⊥ BC.
Existem várias formas de provar que AH ⊥ BC, no entanto uti-
lizarei o conceito de vetores. O vetor ~AH deve ser perpenticular
a ~BC. Assim,
~AH = H − A =
(
51
26
,
87
26
,
94
26
)
− (2, 1, 3) ∴ ~AH =
(
−1
26
,
61
26
,
16
26
)
~BC = C −B = (0, 4, 1)− (3, 3, 5) = ~BC = (−3, 1,−4)
Agora, fazemos o produto escalar. Dois vetores são perpendi-
culares se seu produto escalar é igual a 0.
(
−1
26
,
61
26
,
16
26
)
· (−3, 1,−4) = −3 · −1
26
+ 1 · 61
26
− 4 · 16
26
64
26
− 64
26
= 0
Portanto, AH ⊥ BC.
6