Dicas-lista3

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3ª Lista de Exercícios 
Resolução 
 
1. Determine os valores de a e b que tornam o sistema a seguir compatível 
e determinado; em seguida, resolva o sistema. 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+=+
+=+
=+
=−
1
2535
73
bayx
bayx
byx
ayx
 
Solução. 
A matriz ampliada do sistema é: 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
1−+11
2+535
11
7−3
ba
ba
b
a
21↔LL ⇒
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
1−+11
2+535
7−3
11
ba
ba
a
b
122 3−← LLL ⇒
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
1−+11
2+535
3−10−0
11
ba
ba
ba
b
⇒5−← 133 LLL
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
1−+11
3−52−0
3−10−0
11
ba
ba
ba
b
⇒−← 144 LLL
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
1−00
3−52−0
3−10−0
11
a
ba
ba
b
⇒← 2101−2 LL
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
1−00
3−52−0
10
11
10−3
a
ba
b
ab ⇒2+← 233 LLL
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
1−00
00
10
11
512−24
10−3
a
b
ba
ab
. O sistema associado é 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
0=1−
0=5
12−24 10
−3=
=+
a
ba
aby
byx
. Logo, a = 1 e 
b = 2. Teremos, 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
2
1=
2=+
y
yx
⇒x = 2
3 e y = 2
1 . 
2. Determine ℜ∈λ tal que o sistema ⎩⎨
⎧
=+
=+
2
2
yx
yx
λ
λ
 seja 
(a) Compatível e determinado;(b) Compatível e indeterminado;(c) 
Incompatível. 
Solução. 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
21λ
2λ1
122 λ−← LLL ⇒ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2+λ2−1+λ−0
2λ1
2 . 
Daí, y = 1+λ−
2+λ2−
2 . 
O sistema é compatível e determinado se 1±≠λ . 
O sistema é compatível e indeterminado se .1=λ O sistema é incompatível 
se .1−=λ 
 3. Determine os valores de k, de modo que o sistema 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+
=++
=++
132
243
2
zyx
kzyx
kzyx
 tenha 
(a) nenhuma solução; (b) mais de uma solução; (c) uma única solução 
Solução. 
 212 +3−←
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
11−32
243
211
LLLk
k
⇒
⇒+2−←
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
11−32
+6−2+3−10
211
313 LLLkk
k
 
 
⇒+−←
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
3−1−2−10
+6−2+3−10
211
323 LLL
k
kk
k
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−33−00
+6−2+3−10
211
kk
kk
k
 
Obtemos o seguinte sistema equivalente 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−3=3−
+6−=2+3−+
2=++
kzk
kzky
kzyx
)(
)(
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−+
=++
=−+
azaa
zay
zyx
2)2)(3(
1)2(
1
 
que tem solução única se o coeficiente de z na terceira equação não é zero, 
isto é, se 3≠k . No caso de k = 3, a terceira equação é 0=0 e o sistema tem 
mais de uma solução. Logo, o sistema sempre tem uma solução, possui mais 
de uma solução para k=3 e uma única solução se 3≠k . 
4. Classifique e resolva o sistema linear: 
⎩⎨
⎧
=−+
−=−−
12
42
zyx
zyx
. 
Solução. 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
12−11
4−1−1−2
12 ↔ LL ⇒ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
4−1−1−2
12−11
212 +2−← LLL ⇒
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
6−33−0
12−11
23
1−2 ← LL ⇒ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
21−10
12−11
121 +−← LLL ⇒
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
21−10
1−1−01
. Obtemos o seguinte sistema equivalente 
⎩⎨
⎧
2=−
1−=−
zy
zx
. Logo, o sistema é compatível e indeterminado. 
Conjunto-solução = {(x, x + 3, x +1)/ x ℜ∈ }. 
5. Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares: 
2 3 1
3 2 7
5 3 4 2
x y z
x y z
x y z
+ − = −⎧⎪ − + =⎨⎪ + − =⎩
 
Solução. 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
+−←
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
+−← 71170
101170
1321
2435
101170
1321
3
2435
7213
1321
313 5
212
LLL
LLL
 
Assim, obtemos o seguinte sistema equivalente 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
=+−
−=−+
7117
10117
132
zy
zy
zyx
 
As segunda e terceira equações mostram que o sistema é incompatível, 
pois, se subtrairmos, obtemos 0x + 0y +0z = 3 ou 0 = 3. 
 6. Determine os valores de a, de modo que o sistema 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=++
=−+
23
332
1
zayx
azyx
zyx
 tenha 
(a) nenhuma solução; (b) mais de uma solução; ( c) uma única solução 
 Solução. 
323313 )1(
212
1410
1210
1111
231
1210
1111
2
231
332
1111
LLaLLLL
a
a
a
aLLL
a
a
+−−←+−← ⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
−
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
+−←
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+−+−−
+
−
2600
1210
1111
2 aaa
a . Obtemos o seguinte sistema equivalente 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−+
=++
=−+
azaa
zay
zyx
2)2)(3(
1)2(
1
 
que tem solução única se o coeficiente de z na terceira equação não é zero, 
isto é, se 2≠a e 3−≠a . No caso de a = 2, a terceira equação é 0=0 e o 
sistema tem mais de uma solução. No caso de a = -3, a terceira equação é 0=5 
e o sistema não tem solução. 
Logo, o sistema não possui solução se a = -3, ele possui mais de uma solução 
para a=2 e uma única solução se 2≠a e 3−≠a . 
7. Resolva o sistema usando a regra de cramer. 
2 1
2 3
5 4
x y z
x y
y z
− + =⎧⎪ + =⎨⎪ − =⎩
 
Solução. 
1 2 1
3 1 0
4 1 5 36
1 2 1 23
2 1 0
0 1 5
x
−
−= =−
−
; 
1 1 1
2 3 0
0 4 5 3
1 2 1 23
2 1 0
0 1 5
y
− −= =−
−
; 
1 2 1
2 1 3
0 1 4 19
1 2 1 23
2 1 0
0 1 5
z
−
−= =−
−
.