CIRCUITOS ELET 1 CAP 5 e 6 pgs 71 a 98

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CIRCUITOS ELÉT RICOS 1; PROF MASSIMO ARGENTO ED.2017 
 
 
CIRCEL - CAP V - CORRENTE ALTERNADA 
 
1- Definições de Tensão e Corrente al ternada; Definições de valor médio, ef icaz, 
amplitude, período, velocidade angular e freqüência . 
 
INTRODUÇÃO: Consideremos um fio condutor enrolado na forma de uma bobina com 
n espiras , submetido à ação de um campo magnético externo. Imaginemos ainda que 
esta bobina, com n espiras seja forçada a girar com uma velocidade angular  no interior 
deste campo magnét ico e que no instante t = 0 exista um ângulo  ent re o campo 
magnético, e o vetor normal ao plano da bobina. Nestas condições verifica-se e 
demonstra-se (pela Lei de Lenz), que nos terminais da bobina exist irá uma tensão 
induzida, variável com o tempo, dada por: )t(cosV2)t(v  ; para melhor 
compreensão do que foi exposto, verifique o desenho abaixo: 
 
 
 
Nestas condições definimos como sendo Tensão Alternada, uma tensão variável no 
tempo segundo a expressão: 
 
 
 
)t(cosV2)t(v  ( DEFINIÇÃO FUNDAMENTAL! ) 
 
 
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Com o objet ivo de facil i tarmos o estudo das funções al ternadas, (note que as suas 
equações lembram aquelas de um movimento harmônico simples) vamos associar por 
exemplo, v(t ) com a projeção horizontal de um vetor gi rante, que possua comprimento 
V.2 , velocidade angular  , e ainda que no instante: t = 0 , forme um ângulo  
com o eixo horizontal ; ou seja: 
 
a) - Exatamente em: t = 0 
 
b) - para um t qualquer  0 
 
Para visualizarmos graficamente num instante t qualquer a função definida pela 
projeção horizontal do vetor gi rante, vamos girar de 900 o circulo acima, de modo que 
o eixo dos cossenos fique na posição vert ical ; teremos então: 
 
 
 
 
DEFINIÇÕES E CONCEITOS FUNDAMENTAIS: 
 
OBS: Todas as definições e conceitos, que serão aqui definidos para a tensão al ternada, 
também serão válidos de maneira análoga para a corrente al ternada, 
 

2 V

2Vcos( )
t = 0
cossenos
senos

2V 
2Vcos( t ) 
t = 0
cossenos
senos
t = t
t
 2V

2 Vcos( t+ ) 
t = 0
cossenos
senos
t(Qualquer)
t
2V
2Vcos( )
v(t) = 2 Vcos( t+ ) 
2V
2V-
t
360 = 2 rd0 
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a) - V2 : Amplitude da tensão al ternada (ou valor de pico); representa o maior valor 
posit ivo da função, e é dada em Volts; 
 
b) - Valor Médio de v(t): Nulo ou Zero; 
 
c) - V : É denominado de valor eficaz da tensão al ternada e é medido em Volts. Apesar 
de qualquer tensão al ternada possuir valor médio nulo , isto não impede a mesma de 
fornecer energia; ao dizermos que uma determinada tensão al ternada possui valor eficaz 
= V , estamos afirmando que esta tensão, é capaz de fornecer a mesma energia que uma 
tensão constante de valor V forneceria; ou seja: 
 
 Valor médio = 0 ; = em termos de fornecimento de 
 energia: 
 
Ressaltamos que todos os instrumentos de medida em C.A. fornecem valores eficazes 
 
d) -  : Velocidade angular: Medida em rd/s e associada à velocidade da bobina, ou do 
vetor girante; 
 
e) - T : Período : representa o tempo necessário , para a execução de um ciclo (ou de 
3600). Levando-se em consideração que a velocidade angular  é dada em rd/s e que 
3600 = 2 rd teremos: 

 2T2T 
e) - F : Freqüência : Associada ao número de ciclos executados por unidade de tempo, 
dada em Hertz (Hz) e matematicamente dada como sendo o inverso do período: 
v( t) = 2 Vcos( t+ ) ;  
2V
2V-
t
v(t ) = V
V
t
=
( Vmed io = 0) ;( Veficaz = V) 
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

2
F
T
1F 
 
f) -  : Denominada de fase inicial da tensão al ternada, medida em graus ou radianos. 
 
g) - a expressão fundamental : )t(cosV2)t(v  , é também denominada de 
expressão do valor instantâneo da tensão al ternada, ou simplesmente de valor 
instantâneo da tensão al ternada. 
 
Como consideração final , note que a diferença fundamental entre uma tensão contínua 
e uma tensão al ternada, é que a tensão contínua é definida por um valor constante no 
tempo, ao passo que uma tensão al ternada é definida como sendo uma função variável 
no tempo, ou seja: uma tensão que varia à medida que o tempo passa. 
 
EXERCICIOS DE FIXAÇÃO: 
 
10) Dada a tensão al ternada: v(t ) = 282.sen(377t + 1200) , pede-se: 
 
a) - Caracterizar totalmente a mesma, e expressa-la na forma fundamental; 
b) - Esboçar os gráficos de v(t) cotados em graus e em ms. 
 
SOLUÇÃO: lembrando que a expressão fundamental é dada por: 
 
)t(cosV2)t(v  , e ainda que: senx = cos(x -900) , teremos: 
 
)30t377(cos2200)t(v)90120t377(cos2
2
282)t(v 0 
 
DONDE: 
a) Amplitude: V2822200  ; b) Valor eficaz: V = 200V ; 
c) Velocidade angular:  = 377rd/s ; d) período: T = 
377
2 = 0,01667s = 16,67ms 
e) Freqüência: F = 
2
377 = 60Hz ; e) fase inicial :  = 300 
 
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Para a construção do gráfico cotado em graus, convém analisarmos o comportamento do 
vetor girante; teremos então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obtemos facilmente todos os ângulos 0 , 1 , 2 , 3 . . etc. determinando inicialmente 
qualquer um deles da forma mais simples possível: 
 
Observe que num instante “t” qualquer , o vetor gi rante encontra-se em: t +  (no 
nosso caso ,  = 300) ; se por exemplo quisermos determinar 0 , note que isto ocorre 
quando o vetor girante passa por 900 . Teremos: 
 
t0 + 300 = 900  t 0 = 0 = 600 ;analogamente: t1 + 300 = 1800  t1 = 1= 1500 
 
Portanto, o gráfico cotado em graus (considerando-se 900 para cada ¼ do período) se 
revelará como sendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a obtenção do gráfico cotado em ms. , basta observarmos que 3600 correspondem a 
16,67ms; teremos portanto: 
 
 
ms78,2
360
6067,16t
t60
)ms67,16360
0
0
0
0





 ; ms17,4
360
9067,16t
t90
)ms67,16360
0
0





 
 
 
 
 2V
t = 0
cossenos
senos
t(Qualquer)
 t
v (t) = 200 2 cos( t + ) 
200 2
-
t
360 = 2 rd0 
300

200 2
200 2 cos(30)
(= 244,95V) 
 
v(t) = 200 2 cos( t + ) 
200 2
-
t
360 = 2 rd0 
200 2
244,95V
600
1500
2400
3300
4200
5100
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0 (600) corresponderá a 2,78ms ; 1 (1500) corresponderá a:(2,78 + 4,17) = 6,95ms 
 
2 (2400) corresponderá a: (6,95 + 4,17) = 11,12ms ; 
 
3 (3300) corresponderá a: (11,12 + 4,17) = 15,29ms . . . . . . . assim por diante: 
 
 
 
20) Dada a tensão al ternada: v(t ) = 2100 sen ( 314t + 450), pede-se: 
 
a) - Caracterizar totalmente a mesma, e expressa-la na forma fundamental; 
b) - Esboçar os gráficos de v(t) cotados em graus e em ms. 
 
 
 
SOLUÇÃO: lembrando que a expressão fundamental é dada por: 
 
 
)tcos(V2)t(v  , e ainda que: senx = cos(x - 900) , teremos: 
 
)45t314cos(2100)t(v)9045t314cos(2100)t(v 
 
DONDE: 
 
a) Amplitude: V1412100  ; b) Valor eficaz: V = 100V ; 
 
c) Velocidade angular:  = 314rd/s ; d) período: T = ms20s02,0
100
2
314
2 

 
e) Freqüência: F = 


 2
100
2
314 = 50Hz ; e) fase inicial :  = - 450 
 
 
Para a const rução do gráfico cotado em graus, convém analisarmos o comportamento 
do vetor gi rante; teremos então: 
v(t) = 200 2 cos( t + ) 
200 2
-
t(ms)
T = 16,67ms
200 2
244,95V
2,78
6,95
11,12
15,29
19,45
23,62
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Obtemos facilmente todos os ângulos, determinando inicialmente 0 . De fato, 
observando que em 0 :  t0 - 450 = 0  t0 = 450  0 = 450 . Teremos 
então que: 1 =1350 ; 2 =2250 ; 3 =3150 e assim por diante. . . . . 
 
 
 
Para a obtenção do gráfico cotado em ms, basta observarmos que 3600 correspondem a 
20ms; teremos portanto : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t = 0
cos
senos
t
v (t) = 100 2 cos( t - ) 
100 2
-
t
360 = 2 rd0 
- 45 0
100 2 .cos(-45 )0
t -45
0
t(Qualquer)
100 2





v(t) = 100 2 cos( t - ) 
100 2
-
t
360 0
100 2
450
135 0
225 0
3150
405 0
v(t) = 100 2 cos( t - ) 
100 2
-
t(ms)
20ms 
100 2
2,5
7,5
12,5 
17,5
22,5
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3°) Sendo fornecido o gráfico abaixo da tensão al ternada v(t ), pede-se determinar a sua 
expressão fundamental: 
SOLUÇÃO: 
 
a) V200V
2
282V282V2  
Note que sendo )tcos(V2)t(v  , temos: )tcos(2200)t(v  , 
Faltando-nos a determinação de  e  . 
 
a) Determinação de : 
 
Sabendo-se que em t = 0  v(t ) = 200V teremos: 
2
2
2200
200)cos(200)cos(2200)0.cos(2200)t(v  
Donde: rd
4
45
2
2socra 0 



 
Vamos associar a função fornecida com o vetor gi rante; pelo aspecto da mesma 
concluímos facilmente que: 
 
 
rd
4
450  ; Portanto temos até aqui: )45tcos(2200)t(v 0 
 
v( t)
282V
t(ms)
200V
-282V
2,5
t = 0
cos
senos
v(t)
200 2
-
200 2 .cos( )

200 2
t = 0
t(ms)
2,5

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b) Determinação de  : 
 
Visualizemos o comportamento do vetor gi rante num t qualquer ; observe que: 
 
 
Quando t = 2,5ms , teremos que: t +  = 900 ; como  é habitualmente conhecido 
em rd/s convém uti l izarmos a expressão acima em radianos; ou seja: 
 
  s/rd300
10
10.3
10.5,2
1
4
3
42
10.5,2
24
t
3
3
3  
 
 
Portanto finalizando: )45t.942(cos2200)4/t.300cos(2200)t(v
0 
 
 
4°) Sendo fornecido o gráfico abaixo da tensão al ternada v(t ), pede-se determinar a sua 
expressão fundamental: 
SOLUÇÃO: 
 
a) Verificamos inicialmente que: V80V280V2  ; e ainda: 
b) T = (24 - 4) ms = 20ms  T = 20.10 - 3s s/rd314
T
2  
t = 0
cos
senos
v(t)
200 2
-

200 2
t(ms)
2,5

 t +

t(Qualquer)
v(t )
80 2
-80 2
t(ms)
4,0
14,0
24,0
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Nestas condições teremos: )t314(soc280)t(v  .Observando-se o movimento do 
vetor girante: 
 
 
 
 
veri fique que quando: t = 4ms tem-se que t ( Note que aqui deveremos 
forçosamente uti l izar radianos!), portanto, com  = 314 =100 rd/s e: t = 4.10 - 3 
s , obteremos: 
 



  
rd4,0
)10.4(100t 3   = 0,6rd ; considerando-se que; 
 
rd = 180°  0 ,6rd = 108°   = 108° , portanto: 
 
 
 
)108t314(cos280)t(v 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t = 0
cos
senos
v(t)
80 2
-

80 2
t (ms)
4,0

t
+

t(Qualquer)
14,0
14,0
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CIRCEL - CAP VI - C. A. (EM DOMÍNIO COMPLEXO) 
 
2- Associação das funções v(t), e i(t) a números complexos ou fasores 
representativos; parâmetros de rede uti l izados em circuitos elétricos; definição de 
impedância complexa; impedância dos parâmetros de rede: 
 
 
a) Associação das funções v(t), e i( t) a números complexos: 
 
Vimos anteriormente que a definição de uma tensão al ternada é dada pela expressão: 
)tcos(V2)t(v  ; expressão esta também conhecida como expressão do valor 
instantâneo da tensão al ternada, ou simplesmente de valor instantâneo da tensão 
al ternada. De maneira análoga, e com as mesmas considerações válidas para a tensão, 
também teremos a corrente al ternada como sendo: )tcos(I2)t(i  . 
 
Note entretanto que quando usávamos tensão ou corrente contínua, os resultados eram 
constantes numéricas, ao passo que ao uti l izarmos tensão ou corrente al ternada, 
estaremos l idando com funções variáveis no tempo ; veri fique então por exemplo, que 
a aplicação das leis de Kirchoff ou das próprias equações de Maxwell , em ci rcuitos onde 
a tensão ou a corrente são variáveis no tempo, torna-se extremamente trabalhosa. 
Observe-se também que em regime de tensão ou corrente al ternada, exist irão novos 
elementos não l ineares, onde não se aplica de forma direta a lei de Ohm. 
 
Nestas condições, com o objet ivo de tornar possível a solução matemática de circuitos 
elétricos em tensão ou corrente al ternada (ou em Regime Permanente Senoidal – R.P.S.) 
desenvolveu-se at ravés do cálculo (mais precisamente at ravés da Transformação de 
Laplace), um método de resolução pela ut i l ização de números complexos, onde verifica-
se e demonstra-se, que todas as leis e conceitos válidos em tensão e corrente contínua, 
também valem para a tensão e a corrente al ternada, desde que devidamente uti l izados 
no domínio dos números complexos. 
 
Com estas considerações verifica-se e demonstra-se que existe uma correspondência 
biunívoca entre uma tensão ou uma corrente al ternada, e um número complexo da 
seguinte forma: 
 
a) sendo: )tcos(V2)t(v  , teremos: 

V = V  
 e sendo: 

V = V  teremos: )tcos(V2)t(v  
 
b) sendo: )tcos(I2)t(i  , teremos: 

I = I  
 e sendo: 

I = I  teremos: )tcos(I2)t(i  
 
 
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Note então que a transformação é fei ta, definindo-se o módulo do número complexo, 
como sendo o valor eficaz da tensão ou do corrente, e ainda definindo-se a fase do 
número complexo, como sendo a fase da tensão ou do corrente. 
 
os números complexos 

V e 

I serão denominados de números complexos 
representat ivos, ou ainda de fasores representat ivos de v(t ) e de i(t) . 
 
 
b) Parâmetros de rede uti l izados em circuitos elétricos: 
 
Os parâmetros de rede mais uti l izados no nosso curso, serão definidos com as seguintes 
característ icas: 
 
 
1) RESISTOR : Cuja característ ica principal , é a resistência elétrica, (medida em Ohms 
e simbolizada por “R”), e é assim denominado pela propriedade de oferecer resistência 
à passagem da corrente elét rica. Verifica-se e demonstra-se que neste componente, a 
tensão é di retamente proporcional à corrente ( Lei de Ohm), em qualquer circunstância; 
ou seja: 
 
 
 
Lei de Ohm: v ( t ) = R .i ( t ) 
 
2) INDUTOR : Cuja característ ica principal , é a indutância elétrica, (medida em Henrys 
, e simbolizada por “L”), e é assim denominado, pela propriedade de induzir campo 
magnético. Veri fica-se e demonstra-se que neste componente, a tensão é proporcional à 
taxa de variação da corrente com o tempo, (Lei de Newmann), em qualquer 
circunstância; ou seja: 
 
 Lei de Newmann: 
dt
)t(diL)t(v  
 
 
3) CAPACITOR : Cuja característ ica principal , é a capacitância elétrica, (medida em 
Farads, e simbolizada por “C”), e é assim denominado, pela propriedade de 
armazenamento de cargas elétricas. Veri fica-se e demonstra-se que neste componente, 
a corrente é proporcional à taxa de variação da tensão com o tempo (Lei de Faraday), 
em qualquer circunstância; ou seja: 
 
 
 Lei de Faraday: 
dt
)t(dvC)t(i  
 
i( t )
v( t)
R
v (t )
i(t ) L
v(t )
i ( t ) C
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Note então que no indutor e no capacitor , a relação entre tensão e corrente, não é l inear, 
como no caso do res istor, mas di ferencial , não sendo então válida a lei de Ohm para 
estes dois componentes, aplicada diretamente no domínio do tempo. Para tornar possível 
o equacionamento matemático dos ci rcuitos elét ricos em regime de c.a. ut i l izaremos os 
conceitos de impedância complexa, como veremos a seguir. 
 
 
c) Definição de Impedância complexa : 
 
Imaginemos um determinado bipolo B qualquer num circuito elétrico, que num 
determinado instante esteja submetido a uma tensão al ternada da forma: 
)tcos(V2)t(v  , e ainda percorrido por uma corrente al ternada da forma: 
)tcos(I2)t(i  . Vimos que tanto a tensão v(t ), como a corrente i(t ) , possuem 
números complexos representat ivos; nestas condições mudando-se do domínio “t” , para 
o domínio dos números complexos teremos: 
 
 Em “t”: Em domínio complexo: 
 
 
Apenas no domínio dos números complexos , defini remos como sendo impedância 
complexa do bipolo como sendo: 
 
 



I
VZ 
 
 
A expressão acima será denominada de “lei de Ohm em corrente al ternada”, por 
analogia à expressão da lei de Ohm aplicada num resistor em c.c . ou seja: 
 
 Em c.c. : Em C.A. (Domínio complexo) 
 
I
V Z = 
.
.
.v(t)
B
i(t)
MU DAN ÇA D E
 D OMÍN IO
V
.
I
.
R = V
I
V
I
I
V Z = 
.
.
. V
.
I
.
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CONSIDERAÇÕES SOBRE A IMPEDÂNCIA: 
 
 
1) Convém observar que a impedância é um número complexo , porquanto obtida a part i r 
do quociente entre dois números complexos: um representat ivo da tensão, e outro 
representat ivo da corrente; nestas condições , por ser a impedância um número 
complexo, a mesma não possui nenhum significado físico, OU SEJA: A Impedância só 
existe matemáticamente 
 
 
2) Apesar de ser a impedância um número complexo sem nenhum significado fís ico, o 
módulo da mesma possui significado físico ; de fato, se analisarmos o seu módulo 
teremos: 
 
 



I
VZ 
 
 
Notando que: 

V é o valor eficaz da tensão al ternada (cuja unidade é o Volt ), e que 

I é o valor eficaz da corrente al ternada ( cuja unidade é o Ampère), concluiremos que 
o módulo da impedância será dado em Ohms; de fato: 
 
 
 


 Z 
Ampères
Volts Ohms (  ) 
 
 
Poderemos basicamente entender então o módulo da impedância (também denominado 
de reatância), como sendo a di ficuldade oferecida à passagem da corrente al ternada 
3) Note que a definição de impedância 



I
VZ é definida de forma generalizada 
(não válida apenas para resistores, mas para qualquer bipolo) e ainda que qualquer que 
seja o bipolo em questão, o módulo da mesma é dado em Ohms (  ) . 
 
 
 
4) NÃO EXISTE (NÃO TEM NENHUM SENTIDO) IMPEDÂNCIA NO DOMÍNIO “t” 
 
 
 
 
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d) Impedância dos parâmetros de rede: 
 
 
Para a determinação das impedâncias dos parâmetros de rede mais usuais em ci rcuitos 
elétricos, convém inicialmente estudarmos o comportamento f ísico de cada um deles no 
domínio “t”, para posteriormente transformarmos os resultados obtidos para o domínio 
dos números complexos; teremos: 
 
 
 
1) RESISTOR: Sabemos que neste bipolo, a tensão é diretamente proporcional à 
corrente ( Lei de Ohm), ou seja: 
 
 
; Lei de Ohm: v ( t ) = R . i ( t ) 
 
 
Imaginemos então uma tensão da forma: )tcos(V2)t(v  , aplicada no Resistor; 
teremos como conseqüência da Lei de Ohm, uma corrente dada por: 
 
 
)tcos(
R
V2
R
)tcos(V2
R
)t(v)t(i  
 
 
ut i l izando o conceito da transformação para números complexos, tanto para v(t) , como 
para i(t ) i remos obter: 
 
a) sendo: )tcos(V2)t(v  , teremos: 

V = V  
 
b) sendo: )tcos(
R
V2)t(i  , teremos: 

I = 
R
V
 
 
Portanto uti l izando o conceito geral de impedância no domínio complexo, defini remos 
para o resistor a impedância resist iva como sendo: 
 
 
 
 0
R
R
R 0R
R
V
V
I
VZ 

 


 
 
 
i( t )
v( t)
R
- 86 - 
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1; PROF MASSIMO ARGENTO ED.2017 
 
 
Com estas considerações , daqui em diante, não uti l izaremos mais um resistor de valor 
R no domínio “t”, mas sim uma impedância resist iva de valor: R 0 no domínio 
complexo; ou seja: 
 
 
 
2) INDUTOR:Sabemos que neste bipolo, a tensão é proporcional à taxa de variação da 
corrente com o tempo, (Lei de Newmann); ou seja: 
 
 
 Lei de Newmann: 
dt
)t(diL)t(v  
 
 
Imaginemos então uma corrente da forma: )tcos(I2)t(i  aplicada no Indutor; 
teremos como conseqüência da Lei de Newmann uma tensão dada por: 
 
v(t) = 
    )t(sen.L.I2)t(sen..I2.L
dt
)t(soIc2d
L 

 
 
ou ainda: v(t) = )18090tcos(.L.I2)t(sen.L.I2 00   
 
 
)90tcos(.L.I2)t(v 0 
 
 
 
ut i l izando o conceito da transformação para números complexos, tanto para v(t) , como 
para i(t ) i remos obter: 
 
a) sendo: )90tcos(.L.I2)t(v 0 , teremos: 

V = IL  + 900 
 
 b) sendo: )tcos(.I2)t(i  , teremos: 

I = I  
 
 
 
R
IR
VR Z R
.
v (t)R
i (t)R
.
.
= VR
.
IR
. = R 0
0
MUDANÇA DE
DO MÍNIO
v (t)
i (t ) L
- 87 - 
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1; PROF MASSIMO ARGENTO ED.2017 
 
 
Portanto uti l izando o conceito geral de impedância no domínio complexo, defini remos 
para o indutor a impedância indutiva como sendo: 
 
 
0
0
L
L
L 90L
I
90IL
I
VZ 

 


 
 
 
Com estas considerações , daqui em diante, não uti l izaremos mais um indutor de valor 
L no domínio “t”, mas sim uma impedância indutiva de valor: L 90o no domínio 
complexo; ou seja: 
 
 
 
3) CAPACITOR:Sabemos que neste bipolo, a corrente é proporcional à taxa de variação 
da tensão como tempo, (Lei de Faraday) ; ou seja: 
 
 
 Lei de Faraday: 
dt
)t(vdC)t(i  
 
 
Imaginemos então uma tensão da forma: )tcos(V2)t(v  , aplicada no capacitor; 
teremos como conseqüência da, Lei de Faraday uma corrente dada por: 
 
    )t(sen.C.V2)t(sen..V2.C
dt
)t(soVc2d
C)t(i 

 
 ou ainda:  )18090tcos(.C.V2)90tcos(.C.V2)t(i 00 
 
 
)90tcos(.C.V2)t(i 0 
 
 
ut i l izando o conceito da transformação para números complexos, tanto para v(t) , como 
para i(t ) i remos obter: 
 
L
i (t )L
v (t)L +
I L
VL Z L
.
.
.
= VL
.
IL
. = L 90 
0
MUDANÇA DE
DOMÍ NIO
MUDANÇA DE
DOMÍ NIO
v(t)
i( t ) C
- 88 - 
 
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a) sendo: )tcos(.V.2)t(v  , teremos: 

V = V  
 
b) sendo: )90t(cosCV2)t(i  , teremos: 

I = VC  + 90 
 
 
Portanto uti l izando o conceito geral de impedância no domínio complexo, defini remos 
para o capacitor a impedância capacit iva como sendo: 
 
 
 
90CV
V
I
VZ
C
C
C

 


 = 090
C
1 

 
 
 
Com estas considerações , daqui em diante, não uti l izaremos mais um capacitor de valor 
C no domínio “t”, mas sim uma impedância capacit iva de valor: 090
C
1 

 no 
domínio complexo; ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cv (t)C
i (t )C I C
VC Z C
.
.
.
= VC
.
IC
. -900= 1C
MUDANÇA DE
DOMÍN IO
MUDANÇA DE
DOMÍN IO
- 89 - 
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1; PROF MASSIMO ARGENTO ED.2017 
 
 
RESUMO BÁSICO: 
 
1) TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE ALTERNADA: 
 
a) se: )tcos(V2)t(v  

VV 
b) se: )tcos(I2)t(i  

II 
 
2) TRANSFORMAÇÃO DE PARÂMETROS DE REDE: 
 
 
 
 
 
NOTA FINAL: TOD AS AS L EIS E CONCEITOS VISTOS EM C.C. SÃO VÁLIDO S EM C.A. 
DESDE QU E UTIL IZADOS NO DOM ÍNIO DO S NÚM EROS COMPL EXO S. 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO: 
R
IR
VR Z R
L
i (t )L
v (t)L
.
v ( t)R
i (t )R
.
.
C
+
v (t)C
i ( t)C IC
VC Z C
.
.
.
IL
VL Z L
.
.
.
= VR
.
IR
. = R 0
0
= 
VL
.
IL
. = L 90 
0
= VC
.
IC
. -90 0= 1 C
MUDANÇA DE
DOMÍ NIO
MUDANÇA DE
DOMÍ NIO
MUDANÇA DE
DOMÍ NIO
MUDANÇA DE
DOMÍ NIO
MUDANÇA DE
DOMÍ NIO
MUDANÇA DE
DOMÍ NIO
a) Resis to r / Impedância Resis tiva
b ) In dutor / Imped ânc ia Indut iva
c ) Capacito r / Impedância Capacitiva
- 90 - 
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1; PROF MASSIMO ARGENTO ED.2017 
 
 
 
1°) Para o ci rcuito abaixo pede-se determinar: a) O equivalente “ci rcuito complexo”; b) 
O Valor eficaz da corrente ig(t) ; c) O Valor instantâneo da corrente ig(t) , bem como o 
seu gráfico cotado no tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO :Vamos inicialmente ”ver” o circuito sob a “ótica complexa” ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos então proceder as devidas transformações; ou seja: 
 
a) 0g
000
g 3080V)30t500cos(280)90120t500cos(2
2
137,113)t(v
80




 
 
b) 

º0RZR no nosso circuito: º02ZR 

 
 
 
c) 



º90
C
1ZC no nosso ci rcuito: 
0
61C 908º9010250500
1Z 

 

 
 
E ainda: 
 
0
33C
0
62C 902º9010500
1Z;904º90
10500500
1Z 



 



 
 
 
d) 

º90LZL no ci rcuito: 
03
2L1L 904º9010.8500ZZ 
 
+
-
Vg
.
Ig
.
ZC1
. Z
.
C2
Z
.
L2
Z.
L1Z
.
L 3
Z
.
RZ
.
C3
+
-
v (t) =g
113,137sen(500t + 120 )0
8mH
16m
H
8mH 500 F
2i (t)g
250 F
1mF
- 91 - 
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1; PROF MASSIMO ARGENTO ED.2017 
 
 
 
 
E ainda: 033L 908º9010.16500Z 
 
 
 
 
Portanto, o equivalente “circuito complexo” com algumas “mexidas” fica da forma: 
(Solução do Item a)) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução do i tem b): , vamos proceder à solução do circuito por técnicas de associação 
série- paralelo, Note que seccionamos o circuito por trechos de impedância 
equivalentes: 
 
j42Z1 

 
j48
2
j816
)j42(j4
)j42(.j4Z//j4Z 12 




j88j48j4Zj4Z 23 

 
    j88Z
j88
1
j88
1
j8
1
j8
1
Z
1Z//j8//j8Z 4
4
34 









 
 
A Impedância equivalente vista pelo gerador será: j68j88j2Ze 

 
 
Ou ainda: 0e 87,3610j68Z 

 ; Portanto: 
0
0
0
87,68
87,3610
3080Ig 

 
 
Teremos portanto: 
 
 
a) FASOR REPRESENTATIVO DE ig(t ) : 8 -6,870 (SEM UNIDADE!) 
 
+
-
80 300
2 -900
8 -900 4 -9004 9008 900
4 900
2 00
= - 2j
= - 4j
= 4j
= 4j= 8j = - 8j
= 2
Ig
.
Z
.
2 Z
.
1Z
.
4 Z
.
3
- 92 - 
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1; PROF MASSIMO ARGENTO ED.2017 
 
 
b) VALOR EFICAZ DE ig(t) : 8A 
 
c) VALOR INSTANTÂNEO DE i g(t) : )87,6t500cos(28)t(i 0g  (A) 
 
 
A construção do gráfico fornece com : ms57,12
500
2T2T  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2°) Para o ci rcuito a seguir pede-se determinar: 
a) O equivalente “ci rcuito complexo”; 
b) O valor de todas as tensões e correntes “complexas” 
c) Executar as veri ficações possíveis(leis de Kirchoff) de forma analí t ica e gráfica. 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO : 
 
a)  )30t500cos(2150)90120t500cos(2
2
13,212)t(vg 

30150Vg 
 
b) 16016ZZ 2R1R 

 ; 5,205,2Z 3R 

 
 
 
 
t = 0
cos
senos
t
i (t) = 8 2 cos( t - ) 
8 2
-
 t(Graus)
-6, 9 0
80 2 .cos(-6,87 )0
 t-6 ,
90
t(Qualquer)
8 2
6,870
96,870
276,870
186,870 366,870
0,24
3,38
6,52
9,67
12,81 t (ms)
+
-
2 12,13sen(500t + 120 )0
L = 16mH2
L = 40mH1
C = 250 F1 
C =100 F2 R = 161 
R = 162 
R = 2,53 
- 93 - 
 
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c)  

9010.40500Z 31L j209020Z 1L 

 ; 
 
  

9010.16500Z 32L j8908Z 2L 

 ; 
 
d) 

 

90
10.250500
1Z 61C j8908Z 1C 

 ; 
 


 

90
10.100500
1Z 62C j209020Z 2C 

 
 
Feitas as devidas transformações, teremos para o “circuito complexo”: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto começando a resolver o ci rcuito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note então que temos agora uma associação em paralelo: 
 
5,12
32
144256
j1216j1216
)j1216()j1216(ZP 




 
 
Portanto teremos no circuito: 
 
+
-
Z
.
R1 Z
.
C2
Z
.
L 1
Vg
.
16 00 = 16=
20 900
= 20j
=
20 -900 = - 20j=
Z
.
R3
2,5 00
= 2,5
=
8 -900Z
.
C1 = = - 8J
Z
.
R2
16 00
= 16
=
150 300=
Z
.
L2 8 900 = 8j=
+
-
16 +12j = 16 -12j =
20 36,870
150 300
2,5 00
= 2,5
20 -36,87 0
- 94 - 
 
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Começando o “Caminho de Volta” teremos: 
 
Observando-se a associação em paralelo de : 20 36,870 com 20 -36, 870 : 
 
Finalmente considerando-se as associações em série nos dois lados do ci rcuito teremos: 
+
-
150 300
2,5 00
= 2,5 12,5 00
= 12 ,5+
-
150 300 15 0
0
= 15
10 300
12,5 00
= 12,5
10 300
+
-
150 300
2,5 00
10 300
25 300
125 300
= 12,5+
-
+
-
150 300 15 0
0
= 15
10 300
+
-
20 36,870
150 300
2,5 00
20 -36,87 0
10 300
25 300
6,25 66,870
125 300125 300
6,25 - 6,87 0
16 00
20 900
20 -900
8 -900
16 00
 8 900
+
-
150 300
2,5 00
10 300
25 300
6,25 - 6,87 0
6,25 - 6,870
6,25 - 6,870
6,25 66,870
6,25 66,870
6,25 66,870
125 83,13
0
100 66,87
0
125 -23,13 0
50 156,87050 -96,87
0
100 - 6,870
- 95 - 
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1; PROF MASSIMO ARGENTO ED.2017 
 
 
VERIFICAÇÕES POSSÍVEIS : 
 
a) VERIFICAÇÕES ANALÍTICAS: 
 
Obs: Notar que devido às aproximações numéricas efetuadas, os resultados das 
veri ficações analí t icas poderão apresentar l igeiras diferenças; na prática diferenças da 
ordem de até 1% (dos valores das grandezas envolvidas) são aceitáveis. Teremos então: 
 
1) Verif icação das correntes : (Aplicação da Lei de Kirchoff no Nó) 
 


301000,5j66,887,6625,687,625,6
75,5j46,275,0j21,6
     
 
2) Verif icação das Tensões : (Aplicação da Lei de Kirchoff nas malhas) 
 
a) Malha Esquerda: 
 


3015075j9,129302587,610013,8312587,9650
5,12j65,2196,11j28,991,124j95,1464,49j98,5
     
 
b) Malha Direi ta: 
 


3015075j9,129302513,2312587,6610087,15650
5,12j65,211,49j95,11496,91j28,3964,19j98,45
     
 
VERIFICAÇÕES VETORIAIS : Note que números complexos não são vetores mas sim 
Fasores; em termos de soma e subtração entretanto possuem propriedades vetoriais. A 
veri ficação vetorial (também denominada de veri ficação pelo diagrama de Fresnell) , 
consiste na aplicação das leis de Kirchoff na forma vetorial , ou fasorial . Comecemos 
então pelas correntes no nó: 
 
Im
Re
i
i
-6,9 0
66,9 0
6,25 - 6,9 0
6,
25
 
66
,9
0
10 
 30
0
300
- 96 - 
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1; PROF MASSIMO ARGENTO ED.2017 
 
 
Note então que respeitadas as devidas proporções, veri ficamos acima que a soma 
vetorial de : 6,25 -6 ,90 com 6,25 66,90 resulta em: 10 300 
 
 
Vamos então proceder a verificação vetorial por exemplo da malha direi ta ; Observe 
que a para a verificação vetorial de: 
 
50 156,90 + 100 66,90 + 125 -23,10 + 25 300 Convém uti l izarmos a SOMA 
POLIGONAL de vetores; ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Im
i
156,9030
0
50
25
66,9 0
-23,10
10
0
125
Re 
 =
 150.
300
Re
- 97 - 
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1; PROF MASSIMO ARGENTO ED.2017 
 
 
EXERCICIOS PROPOSTOS: 
 
 
1) Para os circuitos abaixo, pede-se a determinação do valor instantâneo da corrente 
ig(t) 
 
 
 
 
2) Para os circuitos a seguir , pede-se a determinação do valor instantâneo da tensão 
vAB (t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
+
-
-
212,13sen(500t + 120 )0
141,42sen(500t + 120 )0
32mH
2mH
8mH
58mH
10mH
400 F
1mF
500 F
50 F32
3
3
5 32
i ( t)g
i (t)g
a)
b)
v
8
iv+
-
8
24 2 cos(500t )
250 F
8
16mHb )
e1 e2
B
A
iv (t)AB
16mH250 F
8
B
A
iv(t) .v(t)
+
-
56,57.cos(500t ) 1
4 iv (t)AB
a)
8
- 98 - 
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1; PROF MASSIMO ARGENTO ED.2017 
 
 
3)Para os circuitos a seguir, considerando-os como já devidamente t ransformados para 
o domínio complexo, pede-se a determinação do valor instantâneo da tensão vAB (t ) 
 
 
 
 
4) Para o ci rcuito abaixo pede-se a determinação do valor ins tantâneo da tensão vAB(t ) 
 
 
 
 
 
IVx
+
- 2
200 00 8 900Vx
1 00
8 00
8 00
IVx
+
- 3
120 00 4 -900Vx
1 00
6 00
6 00
A
B
A
B
a)
b)
VAB
VAB
IVx
+
-
 12 00 2.Vx
3 00
2 900
A
B
c) VAB
6 -90 0
8 00
B
A
28,2sen(400t )
+
-
2.i( t) 14,1cos(400t )
i( t)
+
-
5mH500 F
3