Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus de Canpina Grande
UNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
Disciplina: Introdução à Estatística Período 2012.2
Professor: Ana Cristina Brandão e Manoel Neto Data:
Aluno(a):
NOTAS DE AULA PARA O 3o ESTÁGIO
Nota de Aula 3
1 Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle
1.1 Introdução
Os gráficos de controle podem ser comparados com os testes de hipóteses, sendo que no
caso dos gráficos de controle, estamos realizando vários testes simultaneamente. Assim,
como podemos cometer erros nos testes de hipóteses, os gráficos de controle também
estão sujeitos a cometer erros. Um dos erros mais comuns é o alarme falso, ou seja,
considerar o processo fora de controle, quando na verdade o processo está sob controle.
Este erro é semelhante ao erro tipo-I do teste de hipótese. Assim, uma das formas de
analisar o desempenho de um gráfico de controle é através da probabilidade de um gráfico
emitir um alarme falso. Uma outra forma de analisar o desempenho de um gráfico de
controle é através de sua habilidade em detectar mudanças nos parâmetros do processo,
esta habilidade é descrita pelas suas curvas características de operação (CO). Existem ainda
outras maneiras de verificar a eficácia de um gráfico de controle, como por exemplo, através
do cálculo de alguns índices de capacidade do processo, cuja interpretação deve ser bastante
cautelosa.
1.2 Especificações
Nesse momento é importante discutir os conceitos de limites de controle e especificações,
a fim de evitar confusões futuras. Limites de controle são estabelecidos em função da
média e do desvio padrão do processo, e são calculados para as médias dos subgrupos.
Por outro lado, especificações são tolerâncias permitidas em cada produto e, portanto,
são definidas para valores individuais e são estabelecidas pela engenharia de produto, em
função das necessidades do projeto. As especificações são definidas independente de outras
características do processo, enquanto que os limites de controle, a distribuição das médias,
a variabilidade do processo e a distribuição dos valores individuais são independentes.
O estabelecimento das especificações é feito pela engenharia do produto, independen-
temente da variabilidade do processo. Assim, existem três situações que podem ocorrer
quando se comparam as especificações do produto com a variabilidade do processo: caso I
- quando a variabilidade do processo é menor que a diferença entre as especificações; caso
1
II - quando a variabilidade do processo é igual à diferença entre as epecificações; e caso III
- quando a variabilidade do processo é maior que a diferença entre as especificações.
• Caso I (6σ < LSC − LIC): Esta situação, onde a variabilidade do processo é
menor do que a diferença entre as especificações, é a mais desejada. Uma vez que
a diferença entre as especificações é apreciavelmente maior do que a variabilidade
do processo, nenhuma dificuldade é encontrada na produção, mesmo quando ocorre
algum deslocamento na média do processo ou algum aumento na sua dispersão. O
caso I é mais vantajoso do ponto de vista econômico, uma vez que, mesmo quando o
processo sai de controle, não ocorre produção de itens defeituosos. Outra vantagem
desta situação é que não são necessários ajustes frequentes e busca de causas especiais
de variação no processo. Esta situação permite que a utilização de gráficos de controle
seja descontinuada ou a frequência de inspeção diminuída.
• Caso II (6σ = LSC −LIC): Neste caso, quando ocorre um deslocamento na média
do processo ou um aumento na sua dispersão, valores individuais ficarão fora das
especificações, acarretando retrabalho ou refugo de itens produzidos. Por outro lado,
se o processo for mantido sob controle, não haverá produção de itens defeituosos.
Esta é a situação em que os gráficos de controle devem ser continuamente aplicados,
de forma que as causas especiais de variação possam ser imediatamente identificadas
e eliminadas do processo.
• Caso III (6σ > LSC − LIC): Quando a variabilidade do processo é maior do que
a diferença entre as epecificações, ocorre uma situação indesejada. Nesta situação,
mesmo com o processo sob controle, alguns valores individuais ficarão fora das especi-
ficações, acarretando retrabalho ou refugo de itens produzidos. Em outras palavras,
o processo não é capaz de produzir conforme as especificações. Uma solução para
este caso é alterar as especificações, tornando-as compatíveis com a variabilidade do
processo. A segunda solução é manter as especificações e realizar inspeção 100% nos
itens produzidos, para separar aqueles fora das especificações. A terceira solução é
atuar no processo de forma a reduzir a sua dispersão, através de mudança no mate-
rial, treinamento do operador ou aperfeiçoamento da máquina. Uma outra solução
é deslocar a média do processo, de forma que todos os itens fora das especificações
possam ser retrabalhados.
1.3 Capacidade do processo
A verdadeira capacidade do processo só deve ser determinada após o mesmo ter sido
otimizado e estabilizado. A capacidade do processo é a sua própria variabilidade, depois
que este foi otimizado e está sob controle. Esta otimização, aqui referida, é aquela realizada
sem investimentos significativos.
A fórmula mais conhecida para a capacidade do processo é:
Capacidade do processo = 6σ,
onde σ é o desvio padrão do processo otimizado e estável (sob controle).
2
A melhor forma de se verificar a adequação de um processo às necessidades da en-
genharia de produto é através do estudo de capacidade do processo ou da relação entre a
capacidade do processo e a diferença entre os limite de controle (tolerância do produto).
esta relação, também conhecida como índice de capacidade ou razão de capacidade, é dada
pela expressão (1):
Cp =
LSC − LIC
6σ
. (1)
A análise do índice de capacidade é muito útil na tomada de decisões sobre a adequação
do processo às especificações. Uma regra prática para esta análise é descrita a seguir:
• Processo Vermelho: (Cp < 1) A capacidade do processo é inadequada à tolerân-
cia exigida. Nesta situação, o ideal é realizar o trabalho com outro processo mais
adequado às especificações. Não sendo possível mudar o processo, deve-se tentar
diminuir a sua variabilidade. Por último, resta a possibilidade de se alterar as especi-
ficações do produto.
• Processo Amarelo: (1 ≤ Cp ≤ 1, 33) a capacidade do processo está em torno da
diferença entre as especificações. O tratamento deve ser semelhante àquele dado ao
processo vermelho. Neste caso, gráficos de controle são muito úteis para manter o
processo sob controle e evitar a produção de itens fora das especificações.
• Processo Verde: (Cp > 1, 33) A capacidade do processo é adequada à tolerância
exigida. Se a capacidade do processo está entre três quartos e dois terços da tolerân-
cia, é aconselhável coletar amostras periódicas para acompanhamento do processo.
Se a capacidade do processo é menor do que a metade da tolerância, não é preciso
tomar maiores cuidados com o processo, a menos que se queira reduzir a tolerância
para aumentar a qualidade do produto.
A fórmula do índice de Capacidade (expressão (1)), considera que o processo está
sempre centrado na média. Na prática, entretanto, isto nem sempre ocorre, e a utilização
da fórmula anterior pode conduzir a conclusões erradas. Para levar em conta a possibilidade
de o processo não estar centrado na média, Kane (1986) propôs a utilização do índice de
Performance, Cpk, cuja fórmula é:
Cpk = min
{
µ− LIC
3σ
,
LSC − µ
3σ
}
. (2)
Exemplo 1. Uma máquina de embalar açúcar produz pacotes cujo peso segue uma
distribuição normal com média de 1010 gramas e desvio padrão de 6 gramas. Sendo a
especificação para o peso 1020 ± 20 gramas, calcule o índice de capacidade e o índice
de performance deste processo e compare-os.
Solução: Cp = LSC−LIC6σ =
1040−1000
36= 40
36
= 1, 11.
Cpk = min
{
µ−LIC
3σ
, LSC−µ
3σ
}
= min
{
1010−1000
18
, 1040−1010
18
}
= 0, 55.
Este resultado ilustra o fato de que quando o processo não está centrado na média
das especificações, o índice de performance difere do índice de capacidade do processo.
3
Observação: Note que a extensão 6σ do processo é a definição básica da capacidade
do processo, e como σ em geral é desconhecido, temos que estimá-lo. Por exemplo, no caso
do gráfico X podemos usar como estimativa para σ a quantidade σˆ = R/d2, daí podemos
obter uma estimativa Cˆp de Cp.
1.4 Probabilidade de Alarme Falso
Toda vez que um ponto está fora dos limites de controle, emite-se um sinal informando
que algo está errado no processo. Porém o simples fato de um ponto estar fora dos limites
de controle não quer dizer necessariamente que o processo está fora de controle. Quando
isto acontece, ou seja, um ponto está fora dos limites de controle mas o processo está sob
controle, nós dizemos que ocorreu um alarme falso. Em geral, para os gráficos 3-sigma,
espera-se que a probabilidade de ocorrer um alarme falso, seja de 0,27%. O problema é
que na construção dos gráficos de controle, utilizamos fortemente o fato de os dados terem
distribuição normal, o que nem sempre é verdade, ou seja teoricamente a probabilidade
de alarme falso seria 0,27% mas se a distribuição verdadeira dos dados não for normal,
este valor pode estar bastante fora da realidade. Portanto, espera-se que um gráfico de
controle 3-sigma tenha probabilidade de alarme falso em torno do valor nominal 0,27%.
Se a probabilidade de alarme falso estiver muito abaixo do valor nominal, isto quer dizer
que o gráfico tende a aceitar que o processo está sob controle mais do que deveria. Se
esta probabilidade é muito elevada, então o gráfico tende a ser muito restritivo, no sentido
de rejeitar mais do que deveria. Note que tanto uma situação como a outra não são
interessantes, o ideal é que o valor da probabilidade de alarme falso esteja em torno do
valor nominal 0,27%.
1.5 Tamanho da Amostra e Frequência de Amostragem
No planejamento de um gráfico de controle, devemos especificar tanto o tamanho da
amostra a ser usada, quanto a frequência de amostragem. Em geral, amostras
maiores tornarão mais fácil detectar pequenas mudanças no processo. Uma maneira de
avaliar as decisões relativas ao tamanho da amostra e frequência de amostragem é através
do comprimento médio da sequência (CMS) do gráfico de controle. Essencialmente,
o CMS é o número médio de pontos que devem ser marcados antes que um ponto indique
uma condição de fora de controle. Supondo que as observações no processo são não-
correlacionadas, o CMS pode ser calculado facilmente por
CMS =
1
p
, (3)
onde p é a probabilidade de que qualquer ponto exceda os limites de controle.
Exemplo 2. Para o gráfico X com os limites 3-sigma, p = 0, 0027 é a probabilidade de
que um único ponto caia fora dos limites, quando o processo está sob controle. Portanto,
o comprimento médio da sequência do gráfico X, quando o processo está sob controle
(chamado CMS0) é
CMS0 =
1
p
=
1
0, 0027
= 370.
4
Isto é, mesmo que o processo permaneça sob controle, um sinal de fora de controle,
será emitido a cada 370 amostras, em média.
Ocasionalmente, é conveniente expressar o desempenho do gráfico de controle em
termos de seu tempo médio para alerta (TMA). Se as amostras são tomadas a
intervalos fixos de tempo de h horas, então
TMA = CMSh. (4)
Exemplo 3. Estamos usando um gráfico de controle X para monitorar o diâmetro mé-
dio dos anéis de pistão de um motor, que sob controle é igual a 74 mm (σ = 0, 01 mm),
cujos limites de controle 3-sigma são dados por LIC = 73, 9865 e LSC = 74, 0135.
Suponha que estejamos usando uma amostra de tamanho 5 e que, quando o processo
sai de controle, a média mude para 74,015 mm. Neste caso, a probabilidade de X estar
dentro dos limites de controle é de 0,50 (exercício). Assim, p na expressão (3) é igual
a 0,50, e o CMS fora de controle (chamado CMS1) é dado por
CMS1 =
1
0, 50
= 2.
Isto é, o gráfico de controle exigirá, em média, duas amostras para detectar a mudança
no processo. Se utilizarmos um intervalo de uma hora entre as amostras, o tempo
médio exigido para detectar essa mudança é
TMA = CMS1h = 2(1) = 2 horas.
Suponha que isso seja inaceitável, porque a produção de anéis de pistão com diâmetro
médio de 74,015 mm resulta em um custo excessivo de sucata e retarda a montagem fi-
nal do motor. Como poderíamos reduzir o tempo necessário para detectar uma condição
fora de controle? Um método é extrair amostras mais frequentemente. Por exemplo,
se a cada meia hora extraímos uma amostra, então o tempo médio de sinalização para
esse esquema é
TMA = CMS1h = 2(0, 5) = 1 hora.
Isto é, apenas uma hora se passará (em média) entre a mudança e sua detecção. A se-
gunda possibilidade é aumentar o tamanho da amostra. Por exemplo, se aumentarmos
para 10 itens cada amostra, então a probabilidade p = 0, 9 (exercício) e da expressão
(3) temos
CMS1 =
1
0, 90
= 1, 11.
e, se extraírmos amostras a cada hora, o tempo médio para alerta será
TMA = CMS1h = 1, 11(1) = 1, 11 hora.
Assim, o tamanho maior da amostra permitirá a detecção da mudança quase duas
vezes mais rápido do que anteriormente.
5
1.6 A Função Característica de Operação
A curva característica de operação serve para medir a capacidade de um gráfico de controle
em detectar mudanças nos parâmetros (do processo) que estão sendo monitorados, em
função do tamanho da amostra. Vamos considerar alguns gráficos de controle e para cada
um deles iremos calcular sua curva de operação (CO).
1.6.1 Gráfico X
Considere a curva CO para um gráfico X com desvio padrão σ conhecido e constante. Se a
média se desloca do valor sob controle – digamos, µ0 – para um outro valor µ1 = µ0+ kσ,
a probabilidade de não se detectar esse deslocamento na primeira amostra subsequente ou
risco β é
β = P
{
LIC ≤ X ≤ LSC|µ = µ1 = µ0 + kσ
}
. (5)
Como X ∼ N(µ;σ2/n) e os limites de controle superior e inferior são LSC = µ0 +
Lσ/
√
n e LIC = µ0 − Lσ/
√
n, podemos escrever a expressão (5) como
β = Φ
[
LSC − (µ0 + kσ)
σ/
√
n
]
− Φ
[
LIC − (µ0 + kσ)
σ/
√
n
]
= Φ
[
µ0 + Lσ/
√
n− (µ0 + kσ)
σ/
√
n
]
− Φ
[
µ0 − Lσ/
√
n− (µ0 + kσ)
σ/
√
n
]
.
Onde Φ denota a distribuição acumulada da normal padrão. Isso se reduz a
β = Φ[L− k√n]− Φ[−L− k√n]. (6)
Exemplo 4. Para ilustrar o uso da expressão (6), suponha que estamos usando o
gráfico X com L = 3 (os limites 3-sigma usuais), tamanho amostral n = 5 e que
queremos determinar a probabilidade de detectar um deslocamento para µ1 = µ0 + 2σ
na primeira amostra depois do deslocamento. Então, da expressão (6) temos
β = Φ[3− 2
√
5]− Φ[−3− 2
√
5] = β = Φ(−1, 47)− Φ(−7, 47) ∼= 0, 0708.
Este é o risco β, ou a probabilidade de não se detectar tal deslocamento. A proba-
bilidade de esse deslocamento ser detectado na primeira amostra subsequente é
1− β = 1− 0, 0708 = 0, 9292.
Para construir a curva CO para o gráfico X, devemos plotar o risco β versus a magni-
tude do deslocamento que queremos detectar, expressa em unidades de desvio padrão, para
vários tamanhos de amostra n. A curva CO está ilustrada na Figura 1 para o caso dos limites
3-sigma (L = 3). Esta figura indica que para tamanhos típicos de amostra de quatro, cinco
ou seis, o gráfico X não é particulamente eficiente para detectar pequenos deslocamentos
– digamos, da ordem de 1, 5σ ou menos – na primeira amostra depois do deslocamento.
6
Por exemplo, se o deslocamento é de 1, 0σ e n = 5, então da Figura 1 obtemos que
β = 0, 75, aproximadamente. Então, a probabilidade de se detectar o deslocamento na
primeira amostra é de apenas 1−β = 0, 25. Entretanto, a probabilidade de que o desloca-
mento seja detectadona segunda amostra é β(1− β) = 0, 75(0, 25) = 0, 19. Enquanto a
probabilidade de detecção na terceira amostra é β2(1−β) = (0, 75)2(0, 25) = 0, 14. Assim,
a probabilidade que um determinado deslocamento seja detectado na r-ésima amostra é
simplesmente 1−β vezes a probabilidade de não detectá-lo em cada uma das r−1 amostras
iniciais, ou
(1− β)βr−1.
Figura 1: Curvas características de operação para o gráfico x com limites 3-sigma
Em geral o número esperado de amostras necessárias para se detectar um deslocamento
é simplesmente o comprimento médio da sequência ou
CMS =
∞∑
r=1
rβr−1(1− β) = 1
1− β .
Assim, no nosso exemplo, temos que
CMS =
1
0, 25
= 4.
Em outras palavras, o número esperado de amostras necessárias para detectar um desloca-
mento de 1σ com n = 5 é de 4 amostras. Esta discussão fornece um argumento que suporta
o uso de pequenas amostras no gráfico X. Ainda que pequenos tamanhos de amostra re-
sultem em valores relativamente grandes do risco β, como as amostras são coletadas e
testadas periodicamente, há uma chance muito boa de que o deslocamento seja detectado
rapidamente, embora, talvez, não na primeira amostra subsequente ao deslocamento.
7
1.6.2 Gráfico p
A função característica de operação (CO) do gráfico de controle para a fração não-conforme
(p) é uma visualização gráfica da probabilidade de aceitação incorreta da hipótese de con-
trole estatístico (i. é, um erro tipo-II ou β) versus a fração não-conforme do processo. A
curva CO fornece uma medida da sensitividade do gráfico de controle – isto é, sua capaci-
dade de detectar mudança na fração não-conforme do processo, do valor nominal p para
qualquer outro valor p. A probabilidade do erro tipo-II para o gráfico de controle para a
fração não-conforme pode ser calculada por
β = P{pˆ < LSC|p} − P{pˆ ≤ LIC|p}
= P{D < nLSC|p} − P{D ≤ nLIC|p}.
(7)
Como D é uma variável aleatória binomial com parâmetros n e p, o erro β definido na
equação (7) pode ser obtido da distribuição binomial acumulada.
Exemplo 5. A curva CO para um gráfico de controle para a fração não-conforme com
parâmetros n = 50, LIC = 0, 0303 e LSC = 0, 3697 é dada por
β = P{D < (50)(0, 3697)|p} − P{D ≤ (50)(0, 0303)|p}
= P{D < 18, 49|p} − P{D ≤ 1, 52|p}
= P{D < 18|p} − P{D ≤ 1|p}.
A Figura 2 esboça a curva CO obtida pela expressão acima.
Figura 2: Curva CO para o gráfico p com LIC = 0, 0303 e LSC = 0, 3697
8
Podemos também calcular os comprimentos médios de sequências (CMS) para o gráfico
de controle para a fração não-conforme. Assim, se o processo está sob controle, o CMS0 é
CMS0 =
1
α
e se está fora de controle, então
CMS1 =
1
1− β .
Estas probabilidades (α, β) podem ser calculdas diretamente da distribuição binomial
ou lidas na curva CO.
1.6.3 Gráfico de conrole c e u
As curvas características de operação (CO), tanto para o gráfico c quanto para o gráfico
u podem ser obtidas da distribuição de Poisson. Para o gráfico c, a curva CO plota a
probabilidade β de um erro tipo-II versus o verdadeiro número médio de defeitos c. A
expressão para β é
β = P{X < LSC|c} − P{X ≤ LIC|c}, (8)
onde X é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro c.
Exemplo 6. Suponha que em um procedimento de qualidade para o numero de defeitos
obtemos os limites
LIC = 6, 48, LC = 19, 85 e LSC = 33, 22.
Substituindo esses valores na expressão (8), obtemos
β = P{X < 33, 22|c} − P{X ≤ 6, 48|c}.
Como o número de não-conformidades deve ser inteiro, isso é equivalente a
β = P{X < 33|c} − P{X ≤ 6|c}.
A curva CO para esses dados está plotada na Figura 3.
Para o gráfico u, podemos gerar a curva CO a partir de
β = P{X/n < LSC|u} − P{X/n ≤ LIC|u}
= P{X < nLSC|u} − P{X ≤ nLIC|u}
=
[nLSC]∑
x=〈nLIC〉
e−nu(nu)x
x!
,
(9)
onde 〈nLIC〉 denota o menor inteiro maior do que ou igual a nLIC e [nLSC] denota o
maior inteiro menor do que ou igual a nLSC. Os limites na expressão (9) decorrem do fato
de que o número total de não-conformidades observadas em uma amostra de n unidades
de inspeção deve ser um inteiro. Note que n não precisa ser necessariamente um inteiro.
9
Figura 3: Curva CO para o gráfico c com LIC = 6, 48 e LSC = 33, 22
Lista de Exercícios 3
1. A viscosidade do CMC (Carboxi-Metil-Celulose) para uso em fluidos de perfuração
de poços tem especificação mínima de 150 cp. A análise da produção do CMC
durante vários dias revelou que o processo é estatísticamente estável e que os valores
individuais apresentam uma distribuição normal com média igual a 216 cp e desvio
padrão 16,5 cp. É este processo capaz de atender à especificação?
2. Considere o gráfico X para o Exemplo 3 do anel de pistão. Considere que o diâmetro
do anel é normalmente distribuído e que o tamanho da amostra é igual a 5.
a) Ache os limites de controle 2-sigma para esse gráfico.
b) Suponha que tenha sido sugerido o uso dos limites 2-sigma, em vez dos limtes
típicos 3-sigma. Que efeito isso teria na ocorrência de alarmes falso?
c) Que efeito o uso dos limites 2-sigma teriam sobre o CMS0 e o CMS1 (µ = 74, 015)?
Qual o tempo médio de detecção de mudança na média no processo, para cada caso,
supondo que a cada meia hora será retirada uma amostra?
3. Gráficos de conrtole x e R devem ser mantidos para controlar a força de resistência de
uma peça metálica. Suponha que a força de resistência seja normalmente distribuída.
Trinta amostras de tamanho 6 são coletadas durante um período com os seguintes
resultados:
m∑
i=1
xi = 6000 e
m∑
i=1
Ri = 150.
a) Calcule os limites para os gráficos x e R.
10
b) Ambos os gráficos exibem controle. As especificações para a força de resistência
são 200± 5. Quais são as suas conclusões sobre a capacidade do processo?
c) Para os gráficos x e R acima, ache o risco β quando a verdadeira média do processo
é 199.
4. Um gráfico X é usado para controlar a média de uma carcterística da qualidade
normalmente distribuída. Sabe-se que σ = 6, 0 e n = 4. A linha central é LC =
200, LSC = 209 e LIC = 191. Se a média do processo se desloca para 188,
ache a probabilidade de que esse deslocamento seja detectado na primeira amostra
subsequente.
5. um gráfico X com limites 3-sigma tem os seguintes parâmetros:
LIC = 96, LC = 100, LSC = 104 e n = 5.
Suponha que a característica da qualidade do processo sendo controlada seja nor-
malmente distribuída com média verdadeira 98 e um desvio padrão de 8. Qual é
a probabilidade de que o gráfico de controle exiba falta de controle pelo menos no
terceiro ponto plotado?
6. Gráficos de controle x e R com n = 4 são usados para monitorar uma característica
da qualidade normalmente distribuída. Os parâmetros dos gráficos de controle são:
Gráfico x Gráfico R
LSC = 815 LSC = 46, 98
LC = 800 LC = 20, 59
LIC = 785 LIC = 0
Ambos os gráficos exibem controle. Qual é a probabilidade de um deslocamento
para 790 na média do processo ser detectado na primeira amostra subsequente ao
deslocamento?
7. Um gráfico de controle para a fração não-conforme, com n = 400, tem os seguintes
parâmetros:
LIC = 0, 0191, LC = 0, 0500 e LSC = 0, 0809.
a) Ache a largura dos limites de controle em unidades de desvio padrão.
b) Quais seriam os parâmetros correspondentes para um gráfico de controle equiva-
lente com base no número de não-conformes?
c) Qual é a probabilidade de uma mudança na fração não-conforme do processo para
0,03 ser detectada na primeira mudança após a mudança?
8. Um grafico de controle para a fração não-conforme deve ser estabelecido, com linha
central de 0,01 e limites de controle 2-sigma.
a) Qual deve ser o tamanho da amostra, se o limite inferior de controle deve ser
não-nulo?
b) Qual deve ser o tamanho da amostra, se desejamos que a probabilidade de detectar
uma mudança para 0,04 seja de 0,50?
11
9. Deve-se construir um gráfico de controle para não-conformidades com c = 2, 0,
LIC = 0 e LSC tal quea probabilidade de um ponto se localizar fora dos limites de
controle, quando c = 2, 0 é de apenas 0,005.
a) Ache o LSC.
b) Calcule a probabilidade de alarme falso se se supõe que o processo está fora de
controle apenas quando dois pontos consecutivos se localizam fora dos limites de
controle?
10. Deve-se estabelecer um gráfico de controle para um processo que produz geladeiras.
A unidade de inspeção é uma geladeira, e vai ser usado um gráfico comum para
não-conformidades. Como dados preliminares, foram contadas 16 não-conformidades
na inspeção de 30 geladeiras.
a) Quais são os limites de controle 3-sigma?
b) Qual é o risco α para esse gráfico de controle?
c) Qual é o risco β, se o número médio de defeitos é, realmente, dois (i. é, c = 2, 0)?
d) Ache o comprimento médio da sequência se o número médio de defeitos é realmente
dois.
11. Um processo está sendo controlado por um gráfico de controle para a fração não-
conforme. A média do processo mostrou ser 0,07. Os limites de controle 3-sigma são
usados, e o procedimento exige que se tomem amostras diárias de 400 itens.
a) Calcule os limites de controle superior e inferior.
b) Se a média do processo mudasse repentinamente para 0,10, qual a probabilidade
de que a mudança fosse detectada na primeira amostra subsequente?
c) Qual é a probabilidade de que a mudança da parte (b) fosse detectada na primeira
ou segunda amostra tomada após a mudança?
12. No planejamento de um gráfico de controle para a fração não-conforme com linha
central em p = 0, 20 e limites de controle 3-sigma, qual é o tamanho da amostra
exigido para resultar em um limite inferior de controle positivo? Qual é o valor de
n necessário para uma probabilidade de 0,50 de detectar uma mudança no processo
para 0,26?
12