Exercícios de Trigonometria

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TRIGONOMETRIA
AULA 01
Determine a altura do edifício:
R: 100raiz3/3
Num triângulo retângulo isósceles os catetos são iguais. Se a hipotenusa mede 4 metros, qual a medida dos catetos em metros?
R: 2raiz de 2
A figura abaixo é formada por três triângulos retângulos. As medidas dos catetos do primeiro triângulo são iguais a 1. Nos demais triângulos, um dos catetos é igual à hipotenusa do triângulo anterior e o outro cateto tem medida igual a 1. Considerando os ângulos α, β e γ na figura abaixo, calcule os valores de α e γ
R: α = 45° e γ = 60°
A diagonal de um retângulo mede 10 cm, e um de seus lados mede 8 cm. Portanto o outro lado medirá:
R: O outro lado medirá 6 cm.
Uma escada de 6 metros está apoiada em uma parede formando com ela um ângulo A. Os pés da escada estão sobre o piso que é perpendicular à parede e estão a 3 metros da parede. Qual o valor do ângulo A?
R: 30º
Determine o comprimento da sombra no chão, formada pelo poste de luz de 10 metros de altura sabendo que esta sombra faz um ângulo de 45 graus com o solo.
R: 10m
Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 m e a diferença entre os catetos é 7 m. Calcule os catetos.
R: catetos são 12 m e 5 m.
Considere um observador, de altura desprezível, vê o topo do prédio sob um ângulo de 60 graus quando sua distância até o prédio é de 30 metros da base e logo em seguida o mesmo observador começa a caminhar em sentido contrário ao prédio, x metros, onde volta a observar o topo do prédio sob um ângulo de 30 graus. Determine o valor de x em metros, percorrido pelo observador.
R: 60
Se cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60 º, calcule a medida da altura de um triângulo equilátero de lado 20 cm.
R: 10raiz de 3
Num triângulo retângulo ABC a hipotenusa AB forma o ângulo A com o lado AC. Marque a opção correspondente ao valor da razão AC / BC.
R: cotg A
Num triângulo retângulo, podemos definir que o seno de um ângulo agudo é:
R: A razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
Uma escada está encostada em um prédio e faz com este um ângulo de 60 graus. Esta escada se apoia neste prédio a 9 metros do solo. Determine o comprimento da escada.
R: 18m
Considere o triângulo retângulo de ângulo de 30° e 60°, hipotenusa igual a L e catetos igual a L2e L(3)2.  Indique a opção correta para o sen 30°:
R: 12 Caso peça sem de 60º R: 32
Os vértices de um triângulo ABC, no plano cartesiano, são: A= (1,0), B= (0,1) e C= (0, sqrt3). Determine o ângulo BÂC.
R: 15º
Num triângulo retângulo ABC o maior lado AB mede 6m e forma um ângulo de 30 graus com o lado AC. Qual a medida em metros do lado BC?
R: 3
Considere o triângulo retângulo isósceles de cateto igual a lado L. Então a tg 45° é igual a:
R:1
AULA 02 Aplicação das Razões Trigonométricas
Num triângulo retângulo o seno de um ângulo agudo é igual a 1 /2. Qual o valor da tangente do outro ângulo agudo?
R: raiz de 3
Um foguete é lançado sob um ângulo de 30º. A que altura se encontra depois de percorrer 12 km em linha reta?
R: 6km
Uma escada encostada em um edifício tem seus pés afastados a 50 m do edifício, formando assim, com o plano horizontal, um ângulo de 32º. A altura do edifício é aproximadamente: (sen 32º = 05299, cos 32′ = 0,8480 e tg 32º = 0,6249)
R: 31,24 m
Uma escada de 3 metros está apoiada em uma parede formando com ela um ângulo de 30 graus. Os pés da escada estão sobre o piso que é perpendicular à parede. Qual a distância em metros, no piso, entre os pés da escada e a parede?
R: 1,5m
Quando o ângulo de elevação do sol é de 65º, a sombra de um edifício mede 18 m. Calcule a altura do edifício. (sen 65º = 0,9063, cos 65º = 0,4226 e tg 65º = 2,1445)
R: 38,6m
Uma escada está apoiada em um muro de 2 m de altura, formando um ângulo de 45º., portanto, forma-se um triângulo retângulo isósceles. Qual é o comprimento da escada?
R: comprimento da escada é 2,83 m
Uma rampa forma um ângulo de 30 graus com o solo. Qual a distância em metros que se percorre sobre a rampa, a partir do seu início no solo, para se alcançar uma altura de 3 metros em relação ao solo?
R: 6m
Um avião, ao decolar, sobe formando com a pista um ângulo de 30º. Após percorrer 700 metros, qual a altura em que ele se encontra do solo?
R: 350m
Um alpinista deseja calcular a altura de uma encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se, horizontalmente, 80 m do pé da encosta e visualiza o topo sob um ângulo de 55º com o plano horizontal. Calcule a altura da encosta. (Dados: sem 55º = 0,81, cos 55º = 0,57 e tg 55º = 1,42)
R: 113,60m
João deseja apoiar uma escada de 8m de comprimento numa parede, de modo que ela forme um ângulo de 60° com o solo. A que distância da parede João deve apoiar a escada no solo?
R: 4m
Uma escada de 6,5 metros de comprimento está apoiada em um muro de 6 metros de altura. Determine a que distância do muro essa escada se encontra apoiada.
R: 2,5 metros do muro
Considere que um canhão que lance um projétil a velocidade de 40 m/s com um ângulo de inclinação de 30° em relação ao solo. Determine a altura em metros, que esse projétil atinge depois de 3s, supondo sua trajetória retilínea e velocidade constante.
R: 60m
Um indivíduo sobe totalmente uma rampa lisa de 50m de comprimento. Esta rampa faz um ângulo de 30° com o plano horizontal. Ao final da subida de quanto essa pessoa eleva-se verticalmente em relação ao solo?
R: 25m
Um observador localizado numa praia avista um adepto de asa delta no alto de um morro, sob um Ângulo de 32° com a horizontal. Sabendo que a distância do observador a base da encosta é de 800m, qual a altura h em que se encontra o esportista? Dado: tg 32° = 0,625
R: 500m
Uma pessoa sobe totalmente uma rampa lisa de 30m de comprimento. Sabe-se que esta rampa faz um ângulo de 42° com o plano horizontal. Ao final da subida de quanto essa pessoa eleva-se verticalmente em relação ao solo? DADOS: sen 42°=0,66 e cos 42° = 0,74
R: 19.8 m
Uma pessoa no topo de uma rampa tem que caminhar 50 metros para chegar ao chão, sabendo que a inclinação da rampa em relação ao chão é de 30 graus, qual a altura dessa rampa:
R: 25 m
AULA 03 ARCOS E ÂNGULOS
A lua é satélite natural da Terra e faz uma revolução em torno do sol em aproximadamente 28 dias. Qual a distância percorrida pela lua em uma revolução completa? (adote a distância da terra à lua de 385.000km).
R: 777.000km
Determine o comprimento do arco AB definido numa circunferência de raio 7 cm por um ângulo central de 4,5 rad.
R: 31,5cm
Sabendo que o comprimento de uma circunferência é 2πrad, a medida 3π4rad em graus, equivale a:
R: 135º
Qual a medida de um arco de 210 graus, em radianos?
R: 7π6rad
Um balanço tem 2 metros de comprimento entre a cadeira e o topo, no seu movimento, suas posições extremas formam um ângulo de 60 graus. Determine o comprimento do arco que a extremidade do balanço descreve.
R: 2pi3
A luz, ao penetrar na água de um reservatório, sofre um fenômeno chamado refração, que altera sua velocidade e sentido. Supondo que um feixe de luz penetre na água com um ângulo de 30 graus em relação ao seu nível, e altere seu sentido em π8rad para o fundo do reservatório, determine em graus essa alteração:
R: 22,5º
 
Qual é o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio às 13h15min?
R: 52°30´
Numa circunferência de raio 30cm, qual é o comprimento de um arco determinado por um ângulo central de 150°?
R: 25pi cm
Para um determinado ângulo x temos que sen  (x+k.360)=sen x. Logo sen 400⁰ é igual a:
R: 40º
A lua é satélite natural da Terra e faz uma revolução em torno do sol em aproximadamente 28 dias. De quantos radianos é o movimento da lua em um dia?
R: π14 rad
Qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 2 horas?
R: 60º
Em uma roda gigante de 8 metros de raio,existem 12 cadeiras dispostas a espaços regulares, numeradas de maneira sequencial. Qual a distância, na circunferência, entre a cadeira 2 e 5?
R: 12,56 metros
A primeira determinação positiva e a primeira negativa de um arco de 6420 graus são, respectivamente:
300 graus e - 60 graus
Determine a expressão geral dos arcos côngruos a 30300:
R: α=150+360.k, k∈ℤ
Qual é a medida do maior ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 2 horas?
R: 300 graus
Num circuito de motovelocidade em forma de circunferência, seu diâmetro mede 400 metros, um piloto perde o controle de sua moto e sai da pista numa trajetória reta, formando uma tangente a esta circunferência. Sabendo que ele parou a 200 metros do ponto de onde saiu da pista, determine o ângulo formado pelo ponto onde ele parou e o centro do circuito:
R: 45 graus
AULA 04 TRIGONOMETRIA
Sabe-se que x -e um arco do terceiro quadrante e que sen x = - 0,6, calcule a tg x.
R: 3/4. 
 
Considere os ângulos a = 30° e b = 330°, que são simétricos em relação ao eixo x no círculo trigonométrico. Podemos afirmar que:
R: sem (a) = - sen (b) e cos (a) = cos (b).
Sabendo que x pertence ao terceiro quadrante e sen x = -2/3, calcule a tg x.
R: 2raiz 5/5
Sabe-se que x é um arco do 2° quadrante e que cos x = - 0,8, qual o valor da cotg x?
R: -4/3
Sabe-se que x é um arco do 4º quadrante e que cos x = 0,9. Calcule um valor aproximado para 3 sen x.
R: -1/3
Sabe-se que x é um arco do segundo quadrante e que cos x = -0,6, calcule 2. sen x.
R: 1,6
Dado um ângulo x qualquer, podemos afirmar que sen (900 - x) é igual a:
R: cos x
O gráfico abaixo é representativo da função:
R: -sen
	 
	
	
	
	
Considere uma circunferência no plano cartesiano xy, com centro na origem e com raio de valor 1, como apresentado nas aulas. Considere também um raio que tem o ponto M na circunferência e faz um ângulo a com o eixo x no primeiro quadrante. Podemos afirmar então que o valor de sen (a) é:
 	R: a ordenada do ponto M medida no eixo y.
Seja x um arco do 2° quadrante tal que senx = 5/13. Desse modo o valor da expressão A= tgx / cos x é:
R: 65/144
Sabendo que sen x = 2/3, calcule a cotg x quando x pertence ao primeiro quadrante.
R: raiz5/2
Considere os ângulos a = 30° e b = 150°, que são simétricos em relação ao eixo y no círculo trigonométrico. Podemos afirmar que:
R: sen (a) = sem (b) e cos (a) = - cos (b)
AULA 05 REDUÇÃO E TRANSFORMAÇÃO
Dado um ângulo x qualquer, podemos afirmar que cos (1800 - x) é igual a:
R: -cos x
Sabendo que senx = -1/2 com x pertencente ao 4º quadrante, determine 3 cossec x.
R: -6
Sabendo que senx = -1/2 com x pertencente ao 4º quadrante, determine sec x x.
R: 2V3/3
Dado um ângulo x qualquer, podemos afirmar que cos (900 + x) é igual a:
R: - sen x
Simplifique a expressão: T = (cossec x + sec x) / (sen x + cos x).
R: 1/(sen x . cos x)
Sabendo que senx = -1/2 com x pertencente ao 4º quadrante, determine 2 cos x.
R: V3
No que diz respeito às relações entre as funções trigonométricas de arcos complementares, é correto afirmar que cos(π2-x) é equivalente a:
R: sen x 
Considerando as proposições abaixo:
sen x > 0, então x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes.
cos x < 0, então x pertence ao terceiro e quarto quadrantes.
tg x > 0, então x pertence somente ao primeiro quadrante.
É correto afirmar que:
R: todas são falsas 
Para um determinado ângulo x temos que tg (x+k360)=tg x. Logo, tg -10000 é igual a:
R: tg 80º
Podemos afirmar que o cos(7π/3) e o sen(7π/3) são respectivamente:
R: ½ e raiz3/2
AULA 06 TRANSFORMAÇÕES
Utilize a expressão trigonométrica da soma ou da diferença de dois ângulos notáveis e calcule cos 135°.
R: - (raiz de 2)/2
Determine o valor da expressão (cos 80º + cos 40º - cos 20º)²
R: 0
Desenvolver a expressão tg 15º + tg 60º.
R: 2
O seno de 3x pode ser representado pela expressão:
R: 3 sen x ¿ 4 sen³ x
Uma haste de 1 metro é erguida formando um ângulo de 45 graus com sua base horizontal e em seguida é abaixada dessa posição em 30 graus. Qual das expressões abaixo representa a altura final em metros da ponta da haste em relação à sua posição horizontal?
R: (raiz de 6 - raiz de 2) / 4
Indique a resposta correta para o cálculo do cos 15:
R: 6+24;
Considerando o primeiro quadrante, calcular sen 2x quando sen x = 3/5.
R: 24/25
Determine o valor do sen 1500.
R: ½
AULA 07 FUNÇÃO CIRCULAR SENO E COSSENO
Numa experiência os resultados y dependem da variável x segundo a função y=200cos4x. Qual o valor de x, de 0 a π, que resulta no valor mínimo de y?
R: π4
Suponha que a pressão arterial de uma pessoa no tempo t em segundos seja dados por P(t)=100+10sen(t). Com esta informação, encontre o máximo de P (pressão sistólica) e o mínimo valor de P (pressão diastólica).
R: diastólica 90, sistólica 110
Um fenômeno y dependente da variável x se comporta de acordo com a função y = 3 +sen x. Quais os valores máximo e mínimo apresentados pelo fenômeno, respectivamente?
R: 4 e 2
Determine respectivamente o máximo e o mínimo da função f(x) = 2 - [(3cos4x)/4].
R: 2 e 5/4
O gráfico abaixo é representativo da função:
R: - cos x
Numa experiência os resultados y dependem da variável x segundo a função y=100sen2x. Qual o valor de x de 0 a π que resulta no valor mínimo de y?
R: 3π4
Para que valores de p existe x tal que cos x = 2m - 5 ?
R: 2 ≤ m ≤ 3
Em um sistema o número de predadores e de presas tende a variar periodicamente com o tempo. Considere que, em determinada região, onde gatos são os predadores e ratos são as presas, a população de presas tenha variado de acordo com a função P(t)=450+200sen(πt4). 
Sendo o tempo t medido em meses a partir de janeiro (t = 0). Determine qual a população de ratos (presas) em janeiro.
R: A população de ratos será de 450.
Determine os valores do parâmetro real m que torna possível a condição sen(α)=2m-1, supondo que α  é um ângulo agudo.
R: 12≤m<1
O gráfico abaixo é representativo da função:
R: 2 seno x
Podemos afirmar que a função cosseno varia entre:
R: [-1, 1]
Uma empresa produz diariamente x dezenas de certo tipo de peças para computadores. Sabe-se que o custo de produção C(x) e a receita  R(x)  de venda são dados, aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções C(x)=2-cos(xπ6) e R(x)=32sen(xπ12), 0≤x≤6.
O lucro, em reais, obtidos na produção de 3 dezenas de peças é:
R: 1000
Um espirograma é um aparelho que registra o volume de ar nos pulmões de uma pessoa como função do tempo. Se uma pessoa entra espontaneamente em regime de hiperventilação, o traço do espirograma será bem próximo de uma curva senoidal. Um traço típico é dado pela função V(t)=4+0,5sen(100πt-π2).
Onde t é medido em minutos e V(t) é o volume dos pulmoes em litros. Determine o volume mínimo e máximo de ar nos pulmões.
R: volume mínimo 3,5 litros e volume máximo 4,5 litros.
Um fenômeno periódico tem variação em função do tempo t em horas e é representado pela função y=100+2sen(tπ6). Em quantas horas, entre 1 e 12 horas, ocorre o valor máximo de y?
R: volume mínimo 3,5 litros e volume máximo 4,5 litros.
Um fenômeno periódico tem variação em função do tempo t em horas e é representado pela função y=100+2sen(tπ6). Em quantas horas, entre 1 e 12 horas, ocorre o valor máximo de y?
R: 3
AULA 08 
Para que valores de x a função f(x) = sec x não é definida?
R: 90º e 270º
Analisando a função y = secante x observamos que:
R: y tem período 2pi e é menor ou igual a -1 para pi/2 < x < 3pi/2.
Analisando a função tangente observamos que:
R: tem período pi e é negativa apenas no 2º e 4º quadrantes.
Considerando cos x = 0,25, determine a secante de x.
R: 4
Considerando o segundo quadrante e sabendoque sec x = -2, calcule a tg x.
R: - V3
Sabendo que cossec x = -2, determine o valor de sen²x.
R: 1/4 
Analisando a função cotangente observamos que:
R: seu período é pi e é negativa nos 2º e 4º quadrantes.
Determine o valor de y na expressão y = cotg 30º + cotg π/2 + cotg 330º
R: 0
Considerando sen x = 0,6 e o intervalo compreendido no segundo quadrante, determine a cotg x.
R: -4/3 
Sendo cos x = 0,8 e x pertencente ao quarto quadrante, determine a 3.cossec x,
R: -5 
Determine a cossec x, sendo cos x = 0,8 e x pertencente ao quarto quadrante
R: -5/3
Analisando a função y = cotangente x, observamos que:
R: y tem período pi e será positiva se o arco x for do 3º quadrante e negativa se o arco x for do 2º quadrante.
Considerando o segundo quadrante e sabendo que tg x = -V3 (raiz quadrada de três), calcule a sec x.
R: -2
Analisando a função y = cossecante x observamos que: 
R: y tem período 2pi e é menor ou igual a -1 para pi < x < 2pi.
AULA 09 IDENTIDADES
Desenvolvendo a expressão (1 + cotg²x) (1-cos²x) encontramos o valor Real igual a:
R: 1
Determine o valor da expressão sen x . cosec x
R: 1
Desenvolvendo a expressão (tg x + 1) ( 1 - tg x) encontramos:
R: 2 - sec² x
Podemos afirmar que tg²x + 1 é igual a:
R: sec² x
A expressão 2tg x / 1+tg²x é idêntica a:
R: sen (2x)
Considere as afirmações abaixo.
cosx.tgx.cscx=1 
tg2x.csc2x=1+tg2x
(III) tg2x.csc2x=1
Assinale a opção correta.
	R: As afirmações I e II sao verdadeiras e a afirmação III é falsa.
Desenvolvendo a expressão (1 - sen² x) / (cotg x . senx) podemos reduzi-la a:
R: cos x
Dadas as afirmações: I) sec²x = 1 + tg²x II) Cossex² x = 1 - tg²x III) sen x + cos x = 1 São verdadeiras as equações
R: Apenas I
Desenvolvendo a expressão cos x . tg x . cossec x encontramos:
R: 1
Determine sec x, sabendo que sen x =2ab/(a^2+b^2.
R: (a^2 + b^2) / (a^2 - b^2)
Desenvolvendo a expressão sen b . cos (a-b) + cos b . sen (a-b) encontraremos :
R: sen a
Considerando um arco x pertencente ao primeiro quadrante, a expressão sen2x.secx corresponde a :
R: 2senx
Associe as expressões equivalentes das duas colunas e assinale a alternativa correspondente à associação correta:
	(A)1(cosx)2
	
	(1)(cosx)2+(senx)2cosx
	(B)secx
	
	(2)(tgx)2+1
	(C)(secx)2-1
	
	(3)1
	(D)(cossecx)2-(cotgx)2
	
	(4)(tgx)2
R: A2, B1, C4, D3
Podemos afirmar que cotg² x + 1 é igual a:
R: cosec² x
AULA 10 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Analise e determine a solução para a equação elementar sen x = ½
R: S = {x| x pertence R; x =(2k + 1) pi - (pi/6) ou x = 2kpi + (pi/6), k pertence Z}
O número de soluções da equação cosx=56, com 0<x<π, é:
R: 1
Analise e determine a solução da equação cos x = cos (5pi /por 6)
R: S = { x pertece R tal que x = + - (5pi/6) + 2 k pi, k pertence Z}
Resolvendo a equação cos x= - 1/2, obtemos:
R: S = {xERx = 2π3 + 2kπ ou x = 4π3 + 2kπ, kEZ}
Determinar o conjunto verdade da equação cos x = 1
R: x = (x ϵ R| x = π + 2kπ, k ϵ Z}
As soluções da equação 2secx - 2cosx = 3 que pertence ao intervalo (-π/2, π/2) são:
R: duas
Achar o conjunto verdade da equação 2 sen 2x - 1 = 0.
R: V = {x ϵ R| x = π/12 + kπ ou x = 5π/12 + kπ; k ϵ Z}
Analise e determine a solução da equação sen x = sen (π/4)
R: S = {x pertence R tal que x = π/4 + 2 k π ou x = [3 π/4 + 2 π k, k pertence Z}
Analise e determine a solução da equação sen x = sen (V3/ 2)
R: S = { x = (π/3) + 2 k π ou x = [(2π/3] + 2kπ, k pertence Z}
Resolver a equação tg 2x - V3 = 0 e determinar o conjunto verdade.
R: V = (x ϵ R| x = π/6 + kπ/2, k ϵ Z}
Resolver a equação 2 cos 2x - 1 = 0 e determinar seu conjunto verdade.
R: V = {x ϵ R| x = π/6 + kπ ou x = 5π/6 + kπ , k ϵZ}
Resolva a equação trigonométrica tg x + 1 = 0 e determine o conjunto verdade
R: V = (x ϵ R| x = 3π/4 + kπ, k ϵ Z}
Analise e determine a solução da equação cos x = (sqrt(2) / 2)
R: S = {x pertence R tal que x = + - (pi /4) + 2 k pi, k pertence a Z}