cálculo II_prova I_2017.1.pdf

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Cálculo Diferencial e Integral II 
 
I Prova 
Prof: Thiago Andrade 
thiago.prof.matematica@gmail.com 
 
 
 
Curso: Per. Letivo: 2017.1 
Comp. Curricular: Cálculo Diferencial e Integral II C.H: (87H) 
Professor: Thiago Andrade Fernandes 
ASSINATURA:________________________________________________________________________ 
Aluno(a): 
 
 
I PROVA 
OBS: Prova individual, sem consulta, sem o uso de calculadora. Na folha de resposta destaque o número 
da questão e o item que está sendo resolvida e ENFATIZE as respostas finais de caneta. 
 
1. Considere a função definida por: 
𝒇(𝒙, 𝒚) =
𝟒𝒙𝟐 + 𝒆𝒙𝒚
√|𝒙| + |𝒚| − 𝟏
 
Determine e esboce o conjunto de pontos onde a 
função está definida (domínio da função) e 
determine se o conjunto do domínio é aberto, 
fechado, limitado, compacto e conexo. (Escreva 
sua resposta com detalhes, justificando cada 
afirmativa.) 
 
2. Seja a função 
𝒇(𝒙, 𝒚) = √𝒙 + 𝒚𝟐 − 𝟑 
a) Determine o maior domínio possível da 𝑓(𝑥, 𝑦), 
esboce o domínio no plano cartesiano e justifique 
se ele pode ou não ser: aberto, fechado, limitado, 
compacto e conexo. 
b) Determine a fronteira do conjunto do domínio. 
c) Esboce no plano cartesiano a curva de nível que 
passa pelo ponto (3,2). 
 
3. Seja a função 
𝒇(𝒙, 𝒚) =
𝒙
√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
 
 
 
a) Determine o maior domínio possível da 𝑓(𝑥, 𝑦), 
esboce o domínio no plano cartesiano e justifique 
se ele pode ou não ser: aberto, fechado, limitado, 
compacto e conexo. 
b) Calcule as três curvas de níveis, (𝑘 = 1, 𝑘 =
0,7 𝑒 𝑘 = 0) e esboce no mesmo plano 
cartesiano. 
c) Justifique, por curvas de níveis, que o conjunto 
imagem da função é o intervalo [0,1] 
 
4. Discuta a continuidade da função em todo 
o 𝓡𝟐 
𝒇(𝒙, 𝒚) =
{
 
 
 
 𝟏
𝟐
𝒙𝟐
√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
, 𝒔𝒆 (𝒙, 𝒚) ≠ (𝟎, 𝟎)
𝟏
𝟐
, 𝒔𝒆 (𝒙, 𝒚) = (𝟎, 𝟎) 
 
 
5. Discuta a continuidade da função na 
origem. 
𝒇(𝒙, 𝒚) = {
(𝒙 − 𝒚)
𝒙𝟐𝒚 + 𝒚𝟐𝒙
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
, 𝒔𝒆 (𝒙, 𝒚) ≠ (𝟎, 𝟎)
𝟎 , 𝒔𝒆 (𝒙, 𝒚) = (𝟎, 𝟎)