5a Aula ao vivo Estatística

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1
Estatística
Prof. Me. Edimar Izidoro Novaes
2
Distribuição de Probabilidade
• Modelo matemático que relaciona um certo
valor da variável em estudo com a sua
probabilidade de ocorrência.
3
Distribuições discretas mais 
importantes
• Distribuição de Bernoulli.
• Distribuição Binomial.
• Distribuição Poisson.
4
Distribuição de Bernoulli
A distribuição de Bernoulli consiste em uma
distribuição em que a variável aleatória assume
apenas dois possíveis resultados: sucesso (o evento
se realiza) ou fracasso (o evento não se realiza).
5
Distribuição de Bernoulli
Exemplos:
• Lançamento de uma moeda: o resultado é cara ou
não.
• Uma peça é escolhida ao acaso: o resultado é
defeituosa ou não.
• Uma cidade tem esgotamento sanitário: sim ou não.
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Deve ficar claro que nem sempre o que é “bom”
é o sucesso, mas sim o que se está estudando é o
sucesso. Assim, o fato da peça ser defeituosa, por
exemplo, seria o sucesso da pesquisa em si.
Em todos os casos temos que definir uma
variável aleatória X que só assuma dois possíveis
valores:
• 1 em caso de sucesso e
• 0 em caso de fracasso.
7
Distribuição Binomial
Um experimento Binomial é aquele que
consiste em uma sequência de n ensaios
idênticos e independentes. Cada tentativa pode
resultar em apenas dois resultados possíveis:
sucesso e fracasso e a probabilidade de
sucesso é constante de uma tentativa para
outra.
8
Uma amostra particular será constituída
de uma sequência de sucessos e fracassos.
Exemplos:
• Lançamento de uma moeda 5 vezes.
• 10 peças são escolhidas ao acaso.
• 5 cidades têm ou não têm esgotamento
sanitário.
9
P(X= k) =
Em que,
P(X= k) =
k)!(nk!
n!
k
n







knk..qp 
k
n







knk..qp
k)!(nk!
n!
k
n








Fórmula Distribuição Binomial
10
• k = número de sucessos.
• n = número de elementos da amostra.
• p = probabilidade de sucesso.
• q = probabilidade de fracasso.
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Fatorial 
• Considere n um número inteiro não negativo. 
O fatorial de n, indicado por n!, é definido 
como sendo a seguinte multiplicação:
• n! = n · (n-1) · (n-2) · ... · 3 · 2 · 1
• Essa definição é para 
• Para n=0 e n=1, tem-se que n! é igual a 1, ou 
seja:
• 0!=1
• 1!=1
2n
12
Exemplos.
3! 
5!   !3!.37
!7
!2!.3
!5
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Exercícios Permutação 
De quantas maneiras diferentes um cliente poderá se
servir em um restaurante que apresenta os seguintes
pratos: 10 tipos de massas, 4 de carnes, 6 saladas e
2 sobremesas?
Pelo princípio multiplicativo, temos:
O cliente vai escolher um prato de cada:
Então, são 10 opções de massas x 4 opções de carne
x 6 saladas x 2 sobremesas.
10 . 4 . 6. 2 = 480 possibilidades
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Arranjo
Em época de eleição para o grêmio estudantil, um
colégio teve 12 candidatos aos cargos de presidente,
vice presidente e secretário. De quantos modos
diferentes estes candidatos poderão ocupar as vagas
deste grêmio?
Ser eleito presidente é diferente de ser eleito vice
presidente, logo a ordem importa, então temos um
caso de ARRANJO.
)!(
!
,
kn
n
A kn


15
Logo teremos:
Assim, existem 1320 maneiras diferentes dos 
candidatos ocuparem os cargos. 
132010.11.12
!9
!9.10.11.12
!9
!12
)!312(
!12
3,12 

A
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Combinação 
Em um congresso há 15 professores de Física e 15
de matemática. Quantas comissões de 8 professores
podem ser formadas sem restrições?
Primeiro, não foi determinado a quantidade de
professores de cada área, logo se houver um de
matemática e outros de física ou qualquer outra
disposição, estará valendo. Assim como, a ordem em
que os professores forem selecionados, não faz
diferença.
Então fazemos uma combinação.
  !!.
!
,
kkn
n
C kn


17
Ou seja, 
925,5852
.1.2.3.4.5.6.7.8
23.24.25.26.27.28.29.30
1.2.3.4.5.6.7.8!.22
!22.23.24.25.26.27.28.29.30
!8!.22
!30
!8)!.830(
!30
8,30



C
18
Num plano são marcados 5 pontos distintos,
não-alinhados. Quantos triângulos podemos
formar tendo sempre 3 deles como vértice?
O triângulo fica formado por 3 pontos não-alinhados,
não importando a ordem deles.
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Como a ordem em que se liga os 3 pontos não 
alinhados, não altera o triângulo, então temos: 
Assim, é possível formar 10 triângulos com 5 
pontos distintos e não alinhados. 
 
10
2
20
1.2
4.5
!3!.2
!3.4.5
!3!.35
!5
3,5 

C
20
Aplicações Da Distribuição 
Binomial 
• Uma máquina produz 20% de parafusos
defeituosos. Qual a probabilidade de, em 4
parafusos sorteados ao acaso, haver um
defeituoso?
  knk qp
k
n
kxP 





 ..
  141 8,0.2,0.
1
4
1 





xP
 
 
  4096,018,0.2,0
!1.!.14
!4
1 3 

 xPxP
n=4; k=1; p=0,2; q=0,8
21
Aplicação 
• Um teste é constituído de 10 questões com 4
alternativas cada, das quais apenas uma é a
correta. Um aluno responde aleatoriamente
ao teste. Qual a probabilidade de acertar 6
questões?
22
  knk qp
k
n
kxP 





 ..
  6106 75,0.25,0.
6
10
6 





xP
 
 
  0162,0675,0.25,0
!6!.610
!10
6 46 

 xPxP
n=10; k=6; p=0,25; q=0,75
23
Aplicação
• Dos clientes que compram a prazo em um
supermercado, sabe-se que 30% atrasam na
data de efetuar o pagamento. No dia que o
supermercado vender a prazo para 3
clientes, qual a probabilidade de no mínimo 1
atrasar no pagamento?
24
         013211 PxPxPxPxP 
  030 70,0.30,0.
0
3
0 





xP
 
 
  343,0670,0.30,0
!0!.03
!3
0 30 

 xPxP
  657,0343,0101  xP
n=3; k=0; p=0,30; q=0,70
25
Aplicação
Após ser realizada uma pesquisa verificou-se
que 5% das lâmpadas de certa marca são
defeituosas. Sendo assim, ao se escolher ao
acaso numa amostra de 100 lâmpadas, qual a
probabilidade de haver uma ou mais lâmpadas
boas?
n=100; k=0; p=0,05; q=0,95
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  knk qp
k
n
kxP 





 ..
  01000 95,0.05,0.
0
100
0 





xP
    100100 95,0095,0.1
1!.100
!100
0  xPxP 01  xP
27
10095,01
28
Um levantamento da Associação Americana de
Investidores Pessoa Física concluiu que 20% dos
seus membros tinham comprado ações diretamente
através de uma oferta pública inicial (AAII jornal, julho
de 1994). Em uma amostra de 10 membros destes
associados, qual a probabilidade de que no máximo 9
membros tenha comprado tais ações?
Aplicação
29
  101010 80,0.20,0
!10)!.1010(
!10
10 

xP
)9(...)1()0(  xPxPxP
  knk qp
k
n
kxP 





 ..
30
9999998976,00000001024,01
)10(1

 xP
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Estatística
Prof. Me. Edimar Izidoro Novaes