Caderno de questões - IME - Matemática

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Matemática IME 
Parte I 
 
1. (Ime 2013) Entre os números 3 e 192 insere-se igual número de termos de uma progressão aritmética e de uma progressão 
geométrica com razão r e q, respectivamente, onde r e q são números inteiros. O número 3 e o número 192 participam destas 
duas progressões. Sabe-se que o terceiro termo de 
8
1
1 ,
q
 
+ 
 
 em potências crescentes de 
1
,
q
 é 
r
.
9q
 O segundo termo da 
progressão aritmética é 
a) 12 
b) 48 
c) 66 
d) 99 
e) 129 
 
2. (Ime 2013) Um menino, na cidade do Rio de Janeiro, lança uma moeda. Ele andará 1 m para leste se o resultado for cara ou 1 
m para oeste se o resultado for coroa. A probabilidade deste menino estar a 5 m de distância de sua posição inicial, após 9 
lançamentos da moeda, é 
a) 
6
9
2
 
b) 
6
35
2
 
c) 
2
9!
 
d) 
9
35
2
 
e) 
9
9!
2
 
 
3. (Ime 2013) Considere uma haste AB de comprimento 10 m. Seja um ponto P localizado nesta haste a 7 m da extremidade A. A 
posição inicial desta haste é horizontal sobre o semieixo x positivo, com a extremidade A localizada na origem do plano 
cartesiano. A haste se desloca de forma que a extremidade A percorra o eixo y, no sentido positivo, e a extremidade B percorra 
o eixo x, no sentido negativo, até que a extremidade B esteja sobre a origem do plano cartesiano. A equação do lugar 
geométrico, no primeiro quadrante, traçado pelo ponto P ao ocorrer o deslocamento descrito é 
a) 2 249x 9y – 280x 120y – 441 0+ + = 
b) 2 249x – 406x – 49y 441 0+ = 
c) 2 29x 49y – 441 0+ = 
d) 2 29x 9y 120y – 441 0+ + = 
e) 2 29x – 49y – 441 0= 
 
4. (Ime 2013) Considere a equação ( )23x 3
3
log log x 1.
x
+ = A soma dos quadrados das soluções reais dessa equação está 
contida no intervalo 
a) [0, 5) 
b) [5,10) 
c) [10,15) 
d) [15, 20) 
e) [20, )∞ 
 
5. (Ime 2013) Considere as inequações abaixo: 
 
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I) 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + + 
II) 3 3 2 2a b a b ab+ ≥ + 
III) ( ) ( )42 2a – b a – b≥ 
 
Está(ão) correta(s), para quaisquer valores reais positivos de a, b e c, a(s) inequação(ões) 
a) II apenas. 
b) I e II apenas. 
c) I e III apenas. 
d) II e III apenas. 
e) I, II e III. 
 
6. (Ime 2013) Seja um triângulo ABC. AH é a altura relativa de BC, com H localizado entre B e C. Seja BM a mediana relativa de 
AC. Sabendo que BH AM 4,= = a soma dos possíveis valores inteiros de BM é 
a) 11 
b) 13 
c) 18 
d) 21 
e) 26 
 
7. (Ime 2013) Seja ∆ o determinante da matriz 2 3
1 2 3
x x x .
x x 1
 
 
 
 
 
 O número de possíveis valores de x reais que anulam ∆ é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
8. (Ime 2013) Os polinômios ( ) 3 2P x x ax 18= + + e ( ) 3Q x x bx 12= + + possuem duas raízes comuns. Sabendo que a e b 
são números reais, pode-se afirmar que satisfazem a equação 
a) a b= 
b) 2a b= 
c) a 2b= 
d) 2a 3b= 
e) 3a 2b= 
 
9. (Ime 2013) Assinale a alternativa que apresenta o mesmo valor da expressão ( ) ( )2 24cos 9 – 3 4cos 27 – 3 :   ° °    
a) sen (9°) 
b) tg (9°) 
c) cos (9°) 
d) sec (9°) 
e) cossec (9°) 
 
10. (Ime 2012) Seja a, b e c números reais e distintos. Ao simplificar a função real, de variável real, 
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 2 2x b x c x c x a x a x bf x a b c ,
a b a c b c b a c a c b
− − − − − −
= + +
− − − − − −
 obtém-se f(x) igual a: 
a) ( )2x a b c x abc− + + + 
b) 2x x abc+ − 
c) 2x 
d) 2–x 
e) 2x x abc− + 
 
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11. (Ime 2012) O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de uma Progressão Aritmética (PA) de números inteiros, de 
razão r, formam, nesta ordem, uma Progressão Geométrica (PG), de razão q, com q e ∗∈ℕr (natural diferente de zero). 
Determine: 
a) o menor valor possível para a razão r; 
b) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a condição do item a. 
 
12. (Ime 2012) São dados os pontos 0P e 1P distantes 1cm entre si. A partir destes dois pontos são obtidos os demais pontos 
nP , para todo n inteiro maior do que um, de forma que: 
 
- o segmento n (n 1)P P − é 1cm maior do que o segmento (n 1) (n 2)P P ;− − e 
- o segmento n (n 1)P P − é perpendicular a 0 (n 1)P P .− 
 
Determine o comprimento do segmento 0 24P P . 
a) 48 
b) 60 
c) 70 
d) 80 
e) 90 
 
13. (Ime 2012) São dadas as matrizes quadradas inversíveis A, B e C, de ordem 3. Sabe-se que o determinante de C vale ( )4 x ,− 
onde x é um número real, o determinante da matriz inversa de B vale 
1
3
− e que ( )
tt 1CA P BP,−= onde P é uma matriz 
inversível. Sabendo que 
0 0 1
A 3 x 0 ,
1 0 0
 
 =  
 
 
 determine os possíveis valores de x. 
Obs.: (M)
t
 é a matriz transposta de M. 
a) –1 e 3 
b) 1 e –3 
c) 2 e 3 
d) 1 e 3 
e) –2 e –3 
 
14. (Ime 2012) Os nove elementos de uma matriz M quadrada de ordem 3 são preenchidos aleatoriamente com os números 1 
ou –1, com a mesma probabilidade de ocorrência. Determine: 
a) o maior valor possível para o determinante de M; 
b) a probabilidade de que o determinante de M tenha este valor máximo. 
 
15. (Ime 2012) Em um aeroporto existem 12 vagas numeradas de 1 a 12, conforme a figura. Um piloto estacionou sua aeronave 
em uma vaga que não se encontrava nas extremidades, isto é, distintas da vaga 1 e da vaga 12. Após estacionar, o piloto 
observou que exatamente 8 das 12 vagas estavam ocupadas, incluindo a vaga na qual sua aeronave estacionou. Determine a 
probabilidade de que ambas as vagas vizinhas a sua aeronave estejam vazias. 
 
1 2 3 .... 10 11 12 
 
a) 
1
55
 
b) 
2
55
 
c) 
3
55
 
d) 
4
55
 
e) 
6
55
 
 
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16. (Ime 2012) Uma pirâmide regular possui como base um dodecágono de aresta a. As faces laterais fazem um ângulo de 15° 
com o plano da base. Determine o volume desta pirâmide em função de a. 
a) 
3a 3 2
2 2 - 3
+
 
b) 
3a 3 2
2 2 3
−
+
 
c) 3
3 2
a
2 3
+
−
 
d) 3
3 2
a
2 3
−
+
 
e) 3
2 3
a
3 2
−
+
 
 
17. (Ime 2012) Uma pirâmide regular triangular apresenta um volume V. Determine o raio da circunferência circunscrita a uma 
das faces laterais da pirâmide em função de V, sabendo que o ângulo do vértice vale 30°. 
 
18. (Ime 2012) Considere uma reta r que passa pelo ponto P(2,3). A reta r intercepta a curva 2 2x – 2xy – y 0= nos pontos A e 
B. Determine: 
a) o lugar geométrico definido pela curva; 
b) a(s) possível(is) equação(ões) da reta r, sabendo que PA PB 17.⋅ = 
 
19. (Ime 2012) Os triângulos ABC e DEF são equiláteros com lados iguais a m. A área da figura FHCG é igual à metade da área da 
figura ABHFG. Determine a equação da elipse de centro na origem e eixos formados pelos segmentos FC e GH. 
 
 
a) 2 2 248x 36y – 2m 0+ = 
b) 2 2 28x 16y – 3m 0+ = 
c) 2 2 216x 48y – 3m 0+ = 
d) 2 2 28x 24y – m 0+ = 
e) 2 2 216x – 24y – m 0= 
 
20. (Ime 2012) É dada uma parábola de parâmetro p. Traça-se a corda focal MN, que possui uma inclinação de 60° em relação 
ao eixo de simetria da parábola. A projeção do ponto M sobre a diretriz é o ponto Q, e o prolongamento da corda MN intercepta 
a diretriz no ponto R. Determine o perímetro do triângulo MQR em função de p, sabendo que N encontra-se no interior do 
segmento MR. 
 
21. (Ime 2012) Os números reais positivos x1, x2 e x3 são raízes da equação 
3 2 b bx ax a x,
2
− = − sendob∈ℕ (natural), a∈ℝ 
(real) e a 1.≠ Determine, em função de a e b, o valor de ( )
2 2 2
1 2 3
b
x x x
a 1 2 3 1 2 3log x x x x x x .
+ + 
+ +   
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22. (Ime 2012) Se 10log 2 x= e 10log 3 y,= então 5log 18 vale: 
a) 
x 2y
1 x
+
−
 
b) 
x y
1 x
+
−
 
c) 
2x y
1 x
+
+
 
d) 
x 2y
1 x
+
+
 
e) 
3x 2y
1 x
+
−
 
 
23. (Ime 2012) Um curso oferece as disciplinas A, B, C e D. Foram feitas as matriculas dos alunos da seguinte forma: 
 
— 6 alunos se matricularam na disciplina A; 
— 5 alunos se matricularam na disciplina B; 
— 5 alunos se matricularam na disciplina C; e 
— 4 alunos se matricularam na disciplina D. 
 
Sabe-se que cada aluno se matriculou em, no mínimo, 3 disciplinas. Determine a quantidade mínima de alunos que se 
matricularam nas 4 disciplinas. 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
24. (Ime 2012) Considere o polinômio 3 25x – 3x – 60x 36 0.+ = Sabendo que ele admite uma solução da forma n, onde n é 
um número natural, pode se afirmar que: 
a) 1 n 5≤ < 
b) 6 n 10≤ < 
c) 10 n 15≤ < 
d) 15 n 20≤ < 
e) 20 n 30≤ < 
 
25. (Ime 2012) As dimensões dos lados de um paralelepípedo reto retângulo, em metros, valem a, b e c. Sabe-se que a, b e c são 
raízes da equação 3 26x 5x 2x 3 O.− + − = Determine, em metros, o comprimento da diagonal deste paralelepípedo. 
a) 
1
6
 
b) 
1
3
 
c) 
1
2
 
d) 
2
3
 
e) 1 
 
26. (Ime 2012) Seja 
3
arcsenx arcseny arcsenz ,
2
π
+ + = onde x, y e z são números reais pertencentes ao intervalo [–1,1]. 
Determine o valor de 100 100 100
101 101 101
9
x y z .
x y z
+ + −
+ +
 
a) –2 
b) –1 
c) 0 
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d) 1 
e) 2 
 
27. (Ime 2012) O valor de y sen70 cos50 sen260 cos280= ° ° + ° ° é: 
a) 3 
b) 
3
2
 
c) 
3
3
 
d) 
3
4
 
e) 
3
5
 
 
28. (Ime 2012) Os ângulos de um triângulo obtusângulo são 105°, α e .β Sabendo que m∈ℝ (real), determine: 
a) as raízes da equação ( )3sec x m 3 cos x – 3 senx 3 cosx 3 senx,+ = + em função de m; 
b) o valor de m para que α e β sejam raízes dessa equação. 
 
29. (Ime 2011) A base de uma pirâmide é um retângulo de área S. Sabe-se que duas de suas faces laterais são perpendiculares 
ao plano da base. As outras duas faces formam ângulos de 30° e 60° com a base. O volume da pirâmide é: 
a) 
S S
3
 
b) 
S S
6
 
c) 
2S S
3
 
d) 
2S S
5
 
e) 
22S
3
 
 
30. (Ime 2011) Determine o valor da excentricidade da cônica dada pela equação 2 2x 10 3xy 11y 16 0.− + + = 
 
31. (Ime 2011) Seja o triângulo retângulo ABC com os catetos medindo 3 cm e 4 cm. Os diâmetros dos três semicírculos, 
traçados na figura abaixo, coincidem com os lados do triângulo ABC. A soma das áreas hachuradas, em cm
2
, é: 
 
 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 14 
 
32. (Ime 2011) O valor de x que satisfaz a equação sen(arccotg(1 + x)) = cos(arctg(x)): 
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a) 
3
2
 
b) 
1
2
 
c) 
1
4
 
d) 
1
2
− 
e) 
3
2
− 
 
33. (Ime 2010) Seja 2 2 2 2 2S 1 3 5 7 ... 79 .= + + + + + O valor de S satisfaz: 
a) 4S 7 10< × 
b) 4 47 10 S 8 10× ≤ < × 
c) 4 48 10 S 9 10× ≤ < × 
d) 4 59 10 S 10× ≤ < 
e) 5S 10≥ 
 
34. (Ime 2010) Sejam as funções f : , g : , h : .→ → →ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ A alternativa que apresenta a condição necessária para 
que se ( )( ) ( )( )f g x f h x= , então ( ) ( )g x h x= é 
a) ( )f x x= 
b) ( )( ) ( )f f x f x= 
c) f é bijetora 
d) f é sobrejetora 
e) f é injetora 
 
35. (Ime 2010) Seja f(x) | 3 log(x) |,= − x .∈ℝ Sendo n um número inteiro positivo, a desigualdade 
n 3
n 1
f(x) 2f(x) 4f(x) 2 f(x) 9
4 12 36 43
−
−
+ + +…+ +…≤ somente é possível se: 
Obs.: log representa a função logarítmica na base 10. 
a) 60 x 10≤ ≤ 
b) 6 810 x 10− ≤ ≤ 
c) 3 610 x 10≤ ≤ 
d) 0 610 x 10≤ ≤ 
e) 6 610 x 10− ≤ ≤ 
 
36. (Ime 2010) Seja o sistema , onde a, b, c, x, y, . Determine as condições que a, b e c devem 
satisfazer para que o sistema admita pelo menos uma solução. 
 
37. (Ime 2010) 
 
 
Cada um dos quatro quadrados menores da figura acima é pintado aleatoriamente de verde, azul, amarelo ou vermelho. Qual é 
a probabilidade de que ao menos dois quadrados, que possuam um lado em comum, sejam pintados da mesma cor? 
tg(x) tg(y z) 9
tg(y) tg(z x) b
tg(z) tg(x y) c
− =

− =
 − =
z∈ℜ
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a) 
1
2
 
b) 
5
8
 
c) 
7
16
 
d) 
23
32
 
e) 
43
64
 
 
38. (Ime 2010) A área da superfície lateral de uma pirâmide quadrangular regular SABCD é duas vezes maior do que a área de 
sua base ABCD. Nas faces SAD e SDC traçam-se as medianas AQ e DP. Calcule o ângulo entre estas medianas. 
 
39. (Ime 2010) Sejam ABC um triângulo equilátero de lado 2 cm e r uma reta situada no seu plano, distante 3 cm do seu 
baricentro. Calcule a área da superfície gerada pela rotação deste triângulo em torno da reta r. 
a) 28 cmπ 
b) 29 cmπ 
c) 212 cmπ 
d) 216 cmπ 
e) 236 cmπ 
 
40. (Ime 2010) Uma hipérbole de excentricidade 2 tem centro na origem e passa pelo ponto ( )5,1 . 
A equação de uma reta tangente a esta hipérbole e paralela a y 2x= é: 
a) 3 y 2 3 x 6= + 
b) y 2x 3 3= − + 
c) 3y 6x 2 3= + 
d) 3 y 2 3 x 4= + 
e) y 2x 3= + 
 
41. (Ime 2010) Seja M um ponto de uma elipse com centro O e focos F e F' . A reta r é tangente à elipse no ponto M e s é 
uma reta, que passa por O, paralela a r. As retas suportes dos raios vetores MF e MF' interceptam a reta s em H e H' , 
respectivamente. Sabendo que o segmento FH mede 2 cm, o comprimento F'H' é: 
a) 0,5 cm 
b) 1,0 cm 
c) 1,5 cm 
d) 2,0 cm 
e) 3,0 cm 
 
42. (Ime 2010) Sejam r, s, t e v números inteiros positivos tais que . Considere as seguintes relações: 
I. 
II. 
III. 
IV. 
 
r t
s v
<
( ) ( )r s t v
s v
+ +
<
( ) ( )
r t
r s t v
<
+ +
( )
( )
r tr
s s v
+
<
+
( ) ( )r t r t
s v
+ +
<
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O número total de relações que estão corretas é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
43. (Ime 2010) Seja ABC um triângulo de lados AB , BC e AC iguais a 26, 28 e 18, respectivamente. Considere o círculo de 
centro O inscrito nesse triângulo. A distância AO vale: 
a) 
104
6
 
b) 
104
3
 
c) 
2 104
3
 
d) 104 
e) 3 104 
 
44. (Ime 2010) Seja o polinômio 3 bp(x) x ( n a) x e ,= +ℓ , onde a e b são números reais positivos diferentes de zero. A soma dos 
cubos das raízes de p(x) depende 
 
Obs.: e representa a base do logaritmo neperiano e n aℓ a função logaritmo neperiano. 
a) apenas de a e é positiva. 
b) de a e b e é negativa. 
c) apenas de b e é positiva. 
d) apenas de b e é negativa. 
e) de a e b e é positiva. 
 
45. (Ime 2010) Seja x o valor do maior lado de um paralelogramo ABCD . A diagonal AC divide  em dois ângulos, iguais a 
30º e 15º . A projeção de cada um dos quatro vértices sobre a reta suporte da diagonal que não o contém forma o quadrilátero 
A 'B'C'D' . Calcule o perímetro de A 'B'C'D' . 
 
46. (Ime 2010) Considere a sequência , , ,....... 
Determine o produto dos 20 primeiros termos dessa sequência. 
 
47. (Ime 1996) Seja f uma função real tal que ∀x, a ∈ IR 
 
 
f é periódica? Justifique. 
 
48.(Ime 1996) Considerando log2 = a e log3 = b, encontre em função de a e b, o logaritmo do número ( )5 11, 25 no sistema 
1
1 1 1
a
2 2 2
= + 2
1 1 1 1 1
a
2 2 2 2 2
= + + 3
1 1 1 1 1 1 1
a
2 2 2 2 2 2 2
= + + +
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de base 15. 
 
Parte II 
1. (Ime 2013) Seja o número complexo 
( )2
a
z ,
ib 1 ib
=
+
 onde a e b são números reais positivos e i 1.= − Sabendo que o 
módulo e o argumento de z valem, respectivamente, 1 e ( )– rd,π o valor de a é 
a) 
1
4
 
b) 
1
2
 
c) 1 
d) 2 
e) 4 
 
2. (Ime 2013) Seja ∆ o determinante da matriz 2 3
1 2 3
x x x .
x x 1
 
 
 
 
 
 O número de possíveis valores de x reais que anulam ∆ é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
3. (Ime 2012) As raízes cúbicas da unidade, no conjunto dos números complexos, são representadas por 1, w e w
2
, onde w é um 
número complexo. O intervalo que contém o valor de ( )61– w é: 
a) ( , 30]−∞ − 
b) ( 30, 10− −  
c) ( 10, 10−  
d) (10,30 
e) (30, )∞ 
 
4. (Ime 2012) Seja o número complexo Z a bi,= + com a e b∈ℝ (real) e i 1.= − Determine o módulo de Z sabendo que 
( )
( )
3 2
3 2
a 3 1 ab
.
b 3 a b 1
 = +

 = −
 
 
5. (Ime 2012) Calcule as raízes de f(x) em função de a,b e c, sendo a,b,c e x∈ℝ (real) e ( )
x a b c
a x c b
f x .
b c x a
c b a x
= 
 
6. (Ime 2012) A equação da reta tangente à curva de equação 2 2x 4y – 100 0+ = no ponto P(8,3) é: 
a) 2x 3y – 25 0+ = 
b) x y – 11 0+ = 
c) 3x – 2y – 18 0= 
d) x 2y – 14 0+ = 
e) 3x 2y – 30 0+ = 
 
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7. (Ime 2012) Seja F o conjunto cujos elementos são os valores de n!, onde n é um número natural. Se G é subconjunto de F que 
não contém elementos que são múltiplos de 27.209, determine o número de elementos do conjunto G. 
a) 6 
b) 12 
c) 15 
d) 22 
e) 25 
 
8. (Ime 2012) Sejam r e s∈ℤ (inteiro). Prove que (2r 3s)+ é múltiplo de 17 se e somente se (9r 5s)+ é múltiplo de 17. 
 
9. (Ime 2010) Sejam os conjuntos 1 2 1 2P ,P ,S e S tais que ( ) ( )2 1 1 1 2 2P S P , P S P∩ ⊂ ∩ ⊂ e ( ) ( )1 2 1 2S S P P∩ ⊂ ∪ . 
Demonstre que ( ) ( )1 2 1 2S S P P∩ ⊂ ∩ . 
 
10. (Ime 2010) Três dados iguais, honestos e com seis faces numeradas de um a seis são lançados simultaneamente. Determine 
a probabilidade de que a soma dos resultados de dois quaisquer deles ser igual ao resultado do terceiro dado. 
 
11. (Ime 2010) Considere o sistema abaixo, em que 1 2 3x , x , x e Z pertencem ao conjunto dos números complexos. 
 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(1 i)x ix ix 0
2ix x x Z
(2i 2)x ix ix 0
 + − + =

− − =
 − + − =
 
 
O argumento de Z, em graus, para que 3x seja um número real positivo é: 
 
Obs.: i 1= − 
a) 0º 
b) 45º 
c) 90º 
d) 135º 
e) 180º 
 
12. (Ime 2010) Considere o conjunto de números complexos { }E a bω= + , onde a e b são inteiros e ( )cis 2 3ω π= . Seja o 
subconjunto { }U E / E no qual 1α β αβ= ∈ ∃ ∈ = . Determine: 
 
a) Os elementos do conjunto U. 
b) Dois elementos pertencentes ao conjunto Y E U= − tais que o produto seja um número primo. 
 
13. (Ime 2010) Considere o determinante de uma matriz de ordem n, definido por: 
 
n
 1 1 1 1 ... 1 1
-1 3 0 0 ... 0 0
 0 -1 3 0 ... 0 0
 0 0 -1 3 ... 0 0
...........................
 0 0 0 0 ... 3 0
 0 0 0 0 ... -1 0
∆ = 
 
Sabendo que 1 1∆ = , o valor de 10∆ é 
a) 59049 
b) 48725 
c) 29524 
d) 9841 
e) 364 
 
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14. (Ime 2010) Demonstre que a matriz 
2 2
2 2
2 2
y z xy xz
xy x z yz
xz yz x y
 +
 
 +
 
 +
 
, onde x, y, z∈ℕ , pode ser escrita como o quadrado de 
uma matriz simétrica, com traço igual a zero, cujos elementos pertencem ao conjunto dos números naturais. 
 
Obs.: Traço de uma matriz é a soma dos elementos de sua diagonal principal. 
 
15. (Ime 2010) Seja a equação , onde n e q são números inteiros positivos e p é um número primo. 
Determine os possíveis valores de n, p e q. 
 
16. (Ime 2010) A quantidade k de números naturais positivos, menores do que 1000, que não são divisíveis por 6 ou 8, satisfaz a 
condição: 
a) k 720< 
b) 720 k 750≤ < 
c) 750 k 780≤ < 
d) 780 k 810≤ < 
e) k 810≥ 
 
 
n 2p 144 q+ =