Material de apoio - cálculo de incertezas

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Experimentos Virtuais (WEB)
Roteiro de Cálculo de incertezas
Cálculo de incertezas para grandezas físicas medidas nos experimentos virtuais (WEB)
Introdução
A análise experimental em física, como um todo, exige que façamos algumas considerações com relação à confiança em que damos aos valores medidos, até mesmo para que se possa ter uma idéia do quão próximo das previsões teóricas podemos chegar. Uma das dessas considerações diz respeito à incerteza de uma medida, cuja função é a de determinar uma região de confiança entre o valor obtido, e o valor verdadeiro da grandeza. Obviamente nunca poderemos admitir que encontramos o valor verdadeiro, mas sim um valor próximo deste; a incerteza, portanto, mede o quão próximos estamos (ou não) do valor verdadeiro esperado.
Podemos citar, como um exemplo simples, a incerteza associada à medida de um comprimento, feita com uma régua:
cm
 o valor verdadeiro de comprimento desejado se encontra entre as posições 7,78 cm e 7,88 cm
Há diversas formas de se associar a incerteza à uma medida. Uma dessas formas é associar a incerteza da grandeza em questão à precisão do instrumento que foi utilizado para sua medição. Em uma régua graduada em milímetros, por exemplo, podemos dar como precisão média do instrumento a metade da menor divisão (1 cm), resultando então em 0,5 mm.
Nos problemas físicos descritos pelas experiências virtuais, encontraremos diversas grandezas que podem ser medidas diretamente, ou seja, cuja leitura se dará através de um instrumento, como é o caso da posição de um corpo (medida com uma trena), ou ainda o instante (medido com um cronômetro) em que há a ocorrência de uma colisão de dois corpos. Há outras grandezas, entretanto, cuja medição não pode ser direta, como é o caso da velocidade de um carrinho ao longo de uma trajetória. Isso se dá pelo fato de não possuirmos uma “régua de velocidades” com a qual mediremos com precisão a velocidade do corpo; por outro lado, podemos calculá-la através de outros dados obtidos diretamente, como o intervalo de tempo e o deslocamento de um dado corpo.
Tanto a velocidade quanto demais grandezas medidas indiretamente também possuem incertezas associadas a elas, cujo valor deve depender das incertezas associadas às grandezas medidas diretamente; assim, no caso anterior, a incerteza da velocidade deve estar associada às incertezas de posição e de tempo. A relação entre estas incertezas é dada pela fórmula de propagação de incertezas, enunciada da seguinte maneira:
Dada uma grandeza 
que depende de outras grandezas (a, b, ..., z), representada por 
, onde (a, b, ..., z) são independentes entre si, temos que a incerteza 
 associada a 
será calculada por:
Podemos encontrar ainda casos em que nem todas as grandezas (a, b, ..., z) são medidas diretamente; nesse caso, devemos aplicar a fórmula de propagação de incertezas isoladamente para elas, e assim encontrar sua incerteza como função de grandezas medidas diretamente.
O objetivo dessa orientação é ajudá-lo a compreender o modo pelo qual as incertezas sugeridas para cada experimento virtual foram calculadas, evidenciando os passos e as aproximações adequadamente utilizadas. Na seqüência dessa orientação, separamos os vários cálculos de incerteza em tipos definidos, referindo-os a cada experimento em que tais procedimentos foram seguidos.
Cálculos de incerteza
Incerteza de uma variação
Vemos com relativa freqüência medidas de grandezas baseadas na variação de outras grandezas, como é o caso da velocidade (
), resultante das variações de posição e de velocidade. Aplicando-se a formula de propagação de incertezas para o deslocamento 
, teremos, tomando-se 
:
	 	(1)
Calculando-se as derivadas, teremos 
 e 
. Substituindo-se tais valores em (1), teremos:
Como 
, temos:
. Como a incerteza do intervalo de tempo pode ser calculada da mesma forma, teremos os seguintes resultados finais:
 (2) e 
 (3)
Tais valores de incertezas são utilizados nos cálculos de velocidade dos corpos, nos experimentos de Trilho de Ar, Atrito, Colisões, Conservação de Energia e Dinâmica de Rotações.
Incerteza da velocidade média
O cálculo da incerteza associada à velocidade de um corpo, segundo a fórmula de propagação de incertezas, será esquematizado pela seguinte expressão, tomando-se 
 e 
:
				(4)
Calculando-se as derivadas, teremos 
 e 
. Logo, como 
 e 
teremos, de (4)
Substituindo-se (2) e (3) na expressão acima, teremos:
Extraindo-se a raiz quadrada, teremos, portanto: 
						(5)
Na situação especial em que a incerteza do tempo puder ser desconsiderada, teremos 
 e, de (5):
						(6)
Tais valores de incertezas são utilizados nos cálculos de velocidade dos corpos, nos experimentos de Trilho de Ar, Atrito, Colisões, Conservação de Energia e Dinâmica de Rotações.
Incerteza da quantidade de movimento linear ou momento linear
Aplicando-se a fórmula de propagação de incertezas à quantidade de movimento linear, teremos:
				(7)
Calculando-se as derivadas, teremos 
 e 
. Aplicando tais expressões em (7), temos:
						(8)
Podemos ainda simplificar a expressão (8), através dos seguintes passos:
		(9)
Na situação especial em que a incerteza da massa puder ser desconsiderada, teremos 
e, de (9)
				
					(10)
Tais valores de incertezas são utilizados nos cálculos de momento linear dos corpos, no experimento de Colisões.
Incerteza da energia cinética
Aplicando-se a expressão de propagação de incertezas para a energia cinética, teremos:
				(11)
Calculando-se as derivadas, teremos 
 e 
. Substituindo-se em (11) e realizando-se as devidas simplificações, teremos:
Extraindo-se a raiz quadrada, teremos, portanto:
						(12)
Na situação especial em que a incerteza da massa puder ser desconsiderada, teremos 
e, de (12):
							(13)
Tais valores de incertezas são utilizados nos cálculos de energia cinética dos corpos, no experimento de Conservação de Energia.
Incerteza da energia potencial
Aplicando-se a expressão de propagação de incertezas para a energia cinética, teremos, tomando-se 
:
		(14)
Calculando-se as derivadas, teremos 
 e 
. Como 
, teremos, substituindo-se em (14) e realizando-se as devidas simplificações:
Extraindo-se a raiz quadrada, teremos, portanto:
					(15)
Na situação especial em que a incerteza da constante elástica puder ser desconsiderada, teremos 
e, de (15):
						(16)
Tais valores de incertezas são utilizados nos cálculos de energia potencial dos corpos, no experimento de Conservação de Energia.
Incerteza da energia mecânica
Aplicando-se a expressão de propagação de incertezas para a energia cinética, teremos:
				(17)
Calculando-se as derivadas, teremos 
 e 
. Substituindo-se em (17) e realizando-se as devidas simplificações, teremos:
Tais valores de incertezas são utilizados nos cálculos de energia mecânica dos corpos, no experimento de Conservação de Energia.
Incerteza da velocidade angular
A velocidade angular constitui um caso especial de nossa análise, uma vez que pode ser calculada de duas maneiras diferentes e, portanto, possui duas propagações de incerteza distintas, dependendo das informações dadas pelo experimento. Explicitaremos ambas as fórmulas a seguir.
Velocidade angular na forma 
Pela fórmula de propagação de incertezas, teremos, tomando-se 
 e 
:
			(18)
Calculando-se as derivadas, teremos 
 e 
. Logo, como 
 e 
, teremos, de (18):
Substituindo-se (2) e (3) na expressão acima, teremos:
Extraindo-se a raiz quadrada, teremos, portanto:
					(19)
Na situação especial em que a incerteza do tempo puder ser desconsiderada, teremos 
 e, de (19):
						(20)
Velocidade angular na forma 
Pela fórmula de propagação de incertezas, teremos:
				(21)
Calculando-seas derivadas, teremos 
 e 
. Logo, teremos, de (21):
Extraindo-se a raiz quadrada, teremos, portanto:
						(22)
Incerteza do torque
Aplicando-se a expressão de propagação de incerteza, teremos:
			(23)
Calculando-se as derivadas parciais, teremos 
, 
 e 
. Substituindo-se tais valores em (23) e simplificando-se a expressão, teremos:
Extraindo-se a raiz quadrada, teremos, por fim:
Desprezando-se a incerteza da aceleração da gravidade (
), teremos, portanto:
				(24)
Incerteza do momento de inércia de um cilindro com massa uniformemente distribuída
Aplicando-se a expressão de propagação de incerteza, teremos:
			(25)
Calculando-se as derivadas parciais, teremos 
 e 
. Substituindo-se tais derivadas em (25) e realizando-se as devidas simplificações, tem-se:
Extraindo-se a raiz quadrada, teremos, por fim:
				(26)
Incerteza da aceleração angular (calculada teoricamente)
Aplicando-se a expressão de propagação de incerteza e pela Segunda Lei de Newton para a Rotação, teremos:
				(27)
Calculando-se as derivadas parciais, teremos: 
 e 
. Substituindo as derivadas em (27), teremos, realizando-se as devidas simplificações:
Extraindo-se a raiz quadrada, temos, por fim:
					(28)
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