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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da Questão 4 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2017-2 Questão 4 (2,5 pontos) O distribuidor das rações ”Boi na Sombra”fornece, semanalmente, dois tipos de ração, A e B, para uma fazenda. Pelo que foi estabelecido no contrato, as quantidades de cada tipo de ração podem ser escolhidas livremente pela ”Boi na Sombra”, desde que o total seja 6 toneladas. Para a Boi na Sombra, cada tonelada da ração A custa R$ 6.000,00, e cada tonelada da B custa R$ 2.000,00. Para a remessa ser viável, o custo total em cada semana não pode ser maior do que R$ 24.000,00. Utilizando as variáveis a e b, para as quantidades de toneladas das rações do tipo A e do tipo B, respectivamente, faça o que é pedido abaixo. (a) Escreva a equação que modela a condição de que total de toneladas das rações fornecidas deve ser de 6 toneladas. Solução: Denotando por a a quantidade de toneladas da ração A e por b a quantidade de toneladas de B, temos a condição a+ b = 6. Observe também que as quantidades devem ser não negativas. (b) Esboce, no plano cartesiano, onde o eixos representam as os valores das variáveis a (eixo hori- zontal) e b (eixo vertical) de toneladas das rações do tipo A e do tipo B, a reta que satisfaz a condição acima. Solução: Como trata-se de uma reta, basta obtermos dois de seus pontos para poder esboçá-la. Podemos obter um ponto da reta fazendo a = 0, que nos dará 0 + b = 6, logo b = 6. Assim, temos o ponto (0, 6). Fazendo b = 0 para obter outro ponto, teremos a+ 0 = 6, logo a = 6 e, portanto, obtemos o ponto (6, 0). Esboçando a reta que une estes dois pontos, temos: Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 2 da AD 2 – 2017-2 2 No gráfico acima, tomamos o cuidado de esboçar apenas o segmento da reta em que a > 0 e b > 0. (c) Escreva a inequação que modela a condição de que o custo total em cada semana não pode ser maior do que R$ 24.000,00. Solução: Cada tonelada de ração A custa R$ 6.000,00, logo, o total desta ração custará, em reais, 6.000 · a. Da mesma forma, o total da ração B custará 2.000 · b. Assim, a condição sobre o preço total pode ser escrita como 6.000 · a+ 2.000 · b 6 24.000. Devemos também observar que a > 0 e b > 0. (d) Esboce, em um plano cartesiano como o do item (b), a região que satisfaz a condição do item (c). Solução: O custo total da ração, isto é, a soma 6.000 · a + 2.000 · b será menor ou igual a 24.000 abaixo da reta 6.000 · a+2.000 · b = 24.000 ou nesta reta (porque a condição é 6 e não só <). Simplificando a equação da reta, dividindo por 2.000, temos 6.000 · a+ 2.000 · b = 24.000⇔ 3a+ b = 12. Para esboçar esta reta, e depois a região abaixo dela, precisamos conhecer dois de seus pontos. Fazendo a = 0, temos b = 12, logo o ponto (0, 12). Fazendo b = 0, temos a = 4, logo o ponto (4, 0). Esboçando a reta, temos: Agora, a região abaixo e na reta: Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 2 da AD 2 – 2017-2 3 Note que a região atende também às condições a > 0 e b > 0. (e) Esboce, em um plano cartesiano como o dos itens (b) e (d), a interseção entre as condições dos itens (a) e (c), esboçadas em (b) e (d). Solução: Esboçando em um mesmo plano a condições dos itens (b) e (d), temos: Portanto, a interseção entre as condições é dada pelo esboço abaixo: Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 2 da AD 2 – 2017-2 4 O ponto de interseção entre as retas pode ser encontrado resolvendo-se o sistema{ a+ b = 6 3a+ b = 12 A primeira equação nos dá b = 6−a que, substituindo na segunda, nos leva a 3a+(6−a) = 12, logo 2a = 6 e, portanto a = 3. Isto nos dá b = 6− 3 = 3 e temos, portanto, o ponto (3, 3). (f) A fazenda que receberá a ração prefere a ração do tipo A, e solicitou que, dentro das 6 toneladas, fosse enviado o máximo posśıvel desta ração. Se a Boi na Sombra pretende atender a solicitação de seu cliente, porém sem extrapolar seu custo máximo de R$ 24.000,00, qual a quantidade máxima de ração do tipo A poderá ser enviada? Dê a resposta e justifique com base no esboço do item (e). Solução: A maior quantidade de ração A é dada quando a coordenada horizontal a possui seu maior valor dentro das condições acima. Pelo esboço feito no item anterior, vemos que o maior valor posśıvel de a é 3 (no ponto (3, 3)). Assim, a maior quantidade de ração A que pode ser enviada, dentro das condições contratadas, é 3 toneladas. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
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