Resolução Pilares

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Resolução do Teste de Complementos de Mecânica dos Solos e Fundações.
Simbologia adotada
A: área da sapata;
a: maior lado da sapata;
Adotei algumas simbologias do livro, algumas da aula, e outras surgiram do imprevisto!
b: menor lado da sapata;
a0: maior lado do pilar;
b0: menor lado do pilar;
P: carga;
σs: tensão admissível do solo;
x: maior lado da sapata antes do arredondamento;
y: menor lado da sapata antes do arredondamento;
q: carga distribuída linear;
d: distância onde é aplicada uma carga distribuída linear;
u: distância entre as duas faces mais distantes do pilar;
xn: posição da abscissa do baricentro das figuras regulares;
yn: posição da ordenada do baricentro das figuras regulares;
Pilar P1
Cálculo da área da sapata:
σs = P/A → 250 = 1600/A ∴ A = 6,4 m2 ou 64000 cm2
Cálculo dos lados da sapata:
Nesse caso, como é um pilar quadrado, os lados da sapata também são iguais. Podemos resolver os lados pela raiz quadrada da área da sapata!
A = a2 → 6,4 = a2 ∴ a = 2,53 m ou 253 cm
Adota-se a = 2,55 m ou 255 cm
Pilar P2
Cálculo da área da sapata:
σs = P/A → 250 = 3000/A ∴ A = 12 m2 ou 120000 cm2
Para o cálculo do CG, dividimos a seção transversal do pilar P2 em duas figuras geométricas regulares A e B. Temos:
AA = b*h → AA = 35*145 ∴ AA = 5075 cm2
AB = b*h → AB = 65*25 ∴ AB = 1625 cm2
ΣA = AA + AB → ΣA = 5075 + 1625 ∴ ΣA = 6700 cm2
Equações do baricentro
xA = 17,5 cm; xB = 67,5 cm;
yA = 72,5 cm; yB = 12,5 cm;
AAxA + ABxB = ΣAx’ → 5075*17,5 + 1675*67,5 = 6700*x’ ∴ x’ = 29,63 cm
AAyA + AByB = ΣAy’ → 5075*72,5 + 1675*12,5 = 6700*y’ ∴ y’ = 57,95 cm
Agora devemos calcular os lados do um pilar retangular fictício:
Se y’ < u/2 ou x’ < u/2, então a0 = 2*(u – y’) ou b0 = 2*(u – x’). Se y’ > u/2 ou x’ > u/2, então a0 = 2*y’ ou b0 = x’.
a0 = 2*(u – y’) → a0 = 2*(145 – 57,95) ∴ a0 = 174,1 cm
b0 = 2*(u – x’) → b0 = 2*(100 – 29,63) ∴ b0 = 140,74 cm
É um sistema de duas equações do primeiro grau, com duas incógnitas. 
Cálculo dos lados da sapata. Lembrando que neste caso é interessante manter balanços iguais:
{
{
→
A = a*b			120000 = a*b
a – b = a0 – b0 		a – b = 174,1 – 140,74
Manipulando a segunda equação temos:
a – b = 174,1 – 140,74 ∴ a = 33,36 + b
Substituindo o a na primeira equação temos:
120000 = a*b → 120000 = (33,36 + b)*b ∴ b2 + 33,36*b – 120000
Temos uma equação do segundo grau. Resolvemos por Báskara, onde:
Apenas consideramos o sinal positivo da equação de Báskara, pois pretendemos uma grandeza também positiva.
A = 1; B = 33,36 e C = (-120000)…
Primeiro o discriminante (delta):
Δ = B2 – 4AC → Δ = 33,362 – 4*1*(-120000) ∴ Δ = 481112,9
Por enquanto, pensemos que “a” é “x” e “b” é “y”; só até os devidos arredondamentos. Então:
y = [(-B) + √ Δ] / (2A) → y = [(-33,36) + √ 481112,9] / (2*1) ∴ y = 330,1 cm
120000 = x*y → 120000 = x*330,1 ∴ x = 363,5 cm
Adota-se a = 365 cm e b = 330 cm
Pilar P3
Cálculo da carta total do pilar:
Ramo A: PA = 700kN/m * 1,00 m ∴ 700 kN
Ramo B: PB = 1000 kN/m * 1,00 m ∴ 1000 kN
Total: P = PA + PB → P = 700 + 1000 ∴ P = 1700 kN
Cálculo da área da sapata:
σs = P/A → 250 = 1700/A ∴ A = 6,8 m2 ou 68000 cm2
Cálculo do CC:
PA = q*d → PA = 700*1,00 ∴ PA = 700 kN 
PB = q*d → PB = 1000*1,00 ∴ PB = 1000 kN
Ptotal = AA + AB → Ptotal = 700 + 1000 ∴ 1700 KN
Posicionando o eixo x das abscissas do plano cartesiano na face inferior, e o eixo y das ordenadas na face esquerda do pilar, temos que as posições das cargas PA e PB são:
xA = 15 cm; xB = 50 cm;
yA = 80 cm; yB = 15 cm;
PAxA + PBxB =Px’ → 700*15 + 1000*50 = 1700*x’ ∴ x’ = 35,59 cm
PAyA + PByB = Py’ → 700*80 + 1000*15 = 1700*y’ ∴ y’ = 41,76 cm
Agora devemos calcular os lados do um pilar retangular fictício:
a0 = 2*(130 – y’) → a0 = 2*(130 – 41,76) ∴ a0 = 176,48 cm
b0 = 2*(100 – x’) → b0 = 2*(100 – 35,59) ∴ b0 = 128,82 cm
Cálculo dos lados da sapata. Lembrando que neste caso é interessante manter balanços iguais:
{
{
→
A = a*b			68000 = a*b
a – b = a0 – b0 		a – b = 176,48 – 128,82
Manipulando a segunda equação temos:
a – b = 176,48 – 128,82 ∴ a = 47,66 + b
Substituindo o a na primeira equação temos:
68000 = a*b → 68000 = (47,66 + b)*b ∴ b2 + 47,66*b – 68000
Temos uma equação do segundo grau. Resolvemos por Báskara, onde:
A = 1; B = 47,66 e C = (-68000)…
Primeiro o discriminante (delta):
Δ = B2 – 4AC → Δ = 47,662 – 4*1*(-68000) ∴ Δ = 274271,5
Por enquanto, pensemos que “a” é “x” e “b” é “y”; só até os devidos arredondamentos. Então:
y = [(-B) + √ Δ] / (2A) → y = [(-47,66) + √ 274271,5] / (2*1) ∴ y = 238 cm
68000 = x*y → 120000 = x*238 ∴ x = 285,7 cm
Adota-se a = 285 cm e b = 240 cm