Dedução em demonstrações seminarios

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Disciplina: Seminários1
Tema: Dedução em demonstrações
Nome: Aline Maria Rodrigues
Origens das demonstrações matemáticas
Na cidade Jônia de Mileto, foi onde viveu um dos grandes sábios da matemática, o grego Tales, que ficou conhecido como Tales de Mileto. Ele desenvolveu seus estudos na área da filosofia, matemática e um pouco de astronomia, é provável que tenha vivido entre 640 a.C. e 564 a.C. Embora Tales fosse apaixonado por seus estudos, sua atividade de rotina era o comércio. Procurando ampliar seus conhecimentos, Tales fez uma viagem ao Egíto e conseguiu visitar as pirâmides onde mediu as sombras da pirâmide de Quéops e de um bastão que colocou verticalmente na areia, e conseguiu calcular a altura do monumento através de triângulos semelhantes, e este foi um dos acontecimentos máximos da história da geométrica. Tales foi quem lançou a idéia que as verdades devem ser justificadas, demonstradas e provadas por meio do raciocínio dedutivo dando rumos definidos para a matemática.
Conforme Garbi (2009), Tales começou a aprofundar seus estudos e divulgar em Mileto aquilo que teria visto no Egíto. Não se viu nenhum dos trabalhos originais de Tales, então não foi possível verificar suas provas e como foram construídas e nem se seriam aceitas, porém o que foi relevante era a idéia da matemática dedutiva que já havia sido lançada. E através dele, despertou o interesse que originou novos filósofos em Mileto. Não só em Mileto, mas também um pouco mais distante havia quem se interessasse pelos estudos de Tales, mas precisamente o matemático Pitágoras, que inclusive carrega um teorema com seu nome conhecido como Teorema de Pitágoras. Não se sabe muito sobre o período que transcorreu a vida de Pitágoras, mas á relatos que tenha sido de 586 a.C. a 500 a.C., então provavelmente quando Tales (considerado o pai da matemática dedutiva) morreu, Pitágoras tinha pouco mais de 20 anos. Vivia na cidade de Samos, cerca de 50 quilômetros de Mileto. È possível que Pitágoras tenha viajado para Mileto e conhecido Tales, mais nada foi comprovado, porém é bem claro que Pitágoras foi fortemente influenciado pelos estudos de Tales. Pitágoras deixou Samos e passou algum tempo no Egíto e depois se mudou para Crotona. Então por volta de 540 a.C., Pitágoras fundou uma escola que reuniu muitos discípulos interessados em suas idéias. Embora Tales tenha sido quem lançou a idéia que as verdades matemáticas devem ser provadas pelo raciocínio dedutivo, foram os pitagóricos que produziram estas demonstrações razoavelmente rigorosas. Através da escola pitagórica de Crotona despertou interesse para várias outras cidades, que começaram a construir centros de estudos voltados para a matemática. 
Segundo Garbi(2009), após os Pitagóricos, apareceram os Pré-Platônicos, que eram os integrantes da academia criada pro Platão, em Atenas, fundada cerca de 386 a.C., que deu impulso ao estudo da matemática na Grécia e aperfeiçoaram os verdadeiros conceitos de ciência dedutiva, rigorosa e profunda. Aproximadamente dois séculos depois das fundações da escola Pitagórica e da academia de Platão, originou importantes geômetras, que foram verdadeiramente notáveis.
Os geômetras perceberam que nem sempre poderiam seguir a idéia de Tales, de que tudo na matemática devia ser provado, a idéia era válida, porém havia exceções, alguns princípios básicos deveriam se aceitos sem demonstração. E foi assim o início da Axiomática. E é provável que fosse neste mesmo período que surgiu a idéia de demonstrar teoremas não só por uma dedução direta, mais também pro dedução indireta, que ficou conhecida como Método de Redução ao Absurdo ou Prova por Contradição.
Mais tarde fica conhecido outro grande matemático, Euclides, não se sabe muito a respeito de suas origens, mais provavelmente estudou na academia de Platão, a única certeza que se tem é que ele foi diretor da área de matemática do museu de Alexandria, e foi lá que ensinou e escreveu sua obra “Os Elementos”, que foi utilizada durante muitos anos para o ensino da matemática. Euclides também defendia a idéia de chegar a verdades através de raciocínio dedutivo, tendo o pensamento de que cada passo vai sendo dado com base nas premissas e proposições que já foram demonstradas, até que se conclua a prova.
Toda a história da matemática não é possível saber com exatidão, pois tudo que temos são escritos deixados por matemáticos antigos, que foi se desenvolvendo e aperfeiçoando com o passar dos tempos, porém nem todos deixaram relatados seus trabalhos, mais com base no que se encontrou , a matemática foi se desenvolvendo, podemos dizer que a matemática foi em grande parte dedutiva, baseada na idéia de Tales, onde a necessidade de provar era indispensável, e que a prova demonstrada só seria aceita se partisse de verdades já demonstradas.
 
Fonte:
 GARBI, G. G. A Rainha das Ciências/Um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. pg 21-35,57,61. Ed; Livraria da Física. 3º edição ampliada. 2009.
Provar com o Absurdo
É muito claro que a matemática é uma ciência que se baseia no raciocínio lógico, e a partir dessa lógica temos o Método dedutivo, que foi o mais utilizado nas demonstrações matemáticas. Na Dedução temos o objetivo de provar teoremas, que através de proposições verdadeiras, ou seja, que já foram demonstradas e provadas conseguimos realizar novas demonstrações e provar novos teoremas, ampliando os conhecimentos matemáticos de forma segura e certa. Porém o Método conhecido e utilizado era o Dedutivo direto, mais com o passar do tempo e as novas descobertas observou-se que nem sempre era possível provar um teorema pela forma de dedução direta, então originou a forma de dedução indireta que ficou conhecida como Método de Redução ao Absurdo ou prova por Contradição.
Segundo Mota e Carvalho (2011), a demonstração por redução ao absurdo consiste em admitirmos um dado valor para a hipótese e suponhamos que a nossa tese é falsa, assim chegamos a uma conclusão absurda ao chegar a uma proposição que contradiz o suposto valor levantado anteriormente. Um exemplo de redução ao absurdo é a demonstração da irracionalidade de √2. Vejamos a demonstração:
Temos √2 é um irracional
Se √2 fosse racional,(estamos fazendo a negação da tese) então existiria dois inteiros positivos p e q tais que √2 = p/q, sendo p/q primos entre si, o que nos leva a uma fração irredutível. Temos √2= p/q que elevando esta igualdade ao quadrado, constatamos que:
(√2)2 = (p/q)2 → 2= p2/q2 → p2= 2q2
Com essa demonstração chegamos que p2 é par. Então se p2 é par, p também é par. Consideramos então p= 2r, com r pertencendo aos Naturais, temos:
P2= 2q2 → (2r)2= 2q2 ↔ 4r2= 2q2→ q2= 2r2
Com essa demonstração também chegamos a um resultado par, e isto é um absurdo, pois se p e q são pares, a fração p/q não é irredutível, pois p e q sendo pares ambos são divisíveis por 2 ,ou seja esta afirmação é falsa.Isso só aconteceu porque tomamos a hipótese como √2 sendo racional e mesmo não conseguindo provar diretamente que √2 é irracional, temos que aceitar esta prova, pois se o contrário é falso,então é porque a proposição é verdadeira.E este é o método de redução ao absurdo.Se provarmos que o contrário da afirmação é absurda então o que nos resta é acreditar que a afirmação primária é verdadeira.
Fonte: MOTA, M.C. e CARVALHO, M.P. Os diferentes tipos de demonstrações: Uma reflexão para cursos de Licenciatura em Matemática. Revista da Educação Matemática de UFOP, vol. 1, 2011.